辽宁省沈阳市东北育才学校科学高中部2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

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这是一份辽宁省沈阳市东北育才学校科学高中部2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：袁野时间：120分钟满分：150分
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设事件A，B满足，且，则（）
A． B． C． D．
2．已知一个等比数列的前n项，前项，前项的和分别为P，Q，R，则下列等式中恒成立的是（）
A． B． C． D．
3．若不等式对任意恒成立，则实数m的取值范围是（）
A． B． C． D．
4．已知函数满足对任意的且都有，若，则（）
A． B． C． D．
5．已知，则a，b，c的大小关系为（）
A． B． C． D．
6．已知当时，不等式恒成立，则正实数a的最小值为（）
A．1 B． C．e D．
7．若（且）恒成立，则a的取值范围是（）
A． B． C． D．试卷源自每日更来这里全站资源一元不到！新，汇集全国各地小初高最新试卷。8．若数列满足：当时，，则数列的前28项和为（）
A．2048 B．2046 C．4608 D．4606
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．已知A，B是两个事件，且，则下列结论一定成立的是（）
A．
B．若，则A与B独立
C．若A与B独立，且，则
D．若A与B独立，且，则
10．棋盘上标有第0、1、2、…100站，棋子开始位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束．设棋子位于第n站的概率为，设，则下列结论正确的有（）
A． B．数列是公比为的等比数列
C． D．
11．函数，下列说法正确的是（）
A．当时，在处的切线的斜率为1
B．当时，在上单调递增
C．对任意，在上均存在零点
D．存在，在上有唯一零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若对任意的，且，则m的最小值是___________．13．已知数列满足，的前n项和为，则___________．
14．己知动点P，Q分别在圆和曲线上，则的最小值为___________．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（本小题13分）
某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一个礼物，有4个装小兔和3个装小狗．
（1）依次不放回地从中取出2个盲盒，求第1次、第2次取到的都是小兔盲盒的概率；
（2）依次不放回地从中取出2个盲盒，求第2次取到的是小狗盲盒的概率．
16．（本小题15分）
已知数列满足，．
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若记为满足不等式的正整数k的个数，求数列的前n项和．
17．（本小题15分）
已知函数．
（1）求函数图象经过的定点坐标；
（2）当时，求曲线在点处的切线方程及函数单调区间；
（3）若对任意恒成立，求实数a的取值范围．
18．（本小题17分）
若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质P．
（1）若具有性质P，且，求；
（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，；，，判断是否具有性质P，并说明理由；
（3）设是无穷数列，己知，求证：“对任意，都具有性质P”的充要条件为“是常数列”．19．（本小题17分）
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若对恒成立，求a的取值范围．
数学期中考试
【答案】
1．B 2．D 3．B 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．BC 10．ABD 11．AD
12．
13．962 14．
15．解：（1）
设事件“第i次取到的是小兔盲盒”，
，
，
即第1次、第2次取到的都是小兔盲盒的概率为．
（2）设事件“第i次取到的是小狗盲盒”，．
，
由全概率公式，可知第2次取到的是小狗盲盒的概率为
．16．（1）证明：，
即，
为等差数列，其首项为1，公差为，
，
，
（2）由得，
，
满足不等式的正整数k的个数为，
，
，
①，
②
①-②得：
，
．
17．解：（1）当时，，所以，
所以函数的图象无论a为何值都经过定点．
（2）当时，．则，
则，
则切线方程为，即．
易知函数定义域为
令，解得，此时函数单调递增；
令，解得，此时函数单调递减．
（3）．
当时，在上单调递增．
所以，当且仅当时等号成立，所以不恒成立．
当时，设．
的对称轴为，
在上单调递增，且存在唯一，使得．
当时，，即在上单调递减；
当时，，即在上单调递增．
在上的最大值．
，得，
解得．
18．解：（1），
．（2）设无穷数列的公差为：d，无穷数列的公比为q，则，
，
．
，
而，但是不具有性质P．
（3）充分性：若是常数列，
设，则，
若存在p，q使得，则，
故具有性质P．
必要性：若对于任意具有性质P，
则，
设函数，
由图象可得，对于任意的，二者图象至少有一个交点，
一定能找到一个，使得，
，
故，
是常数列．
19．解：
（1）由题，，
令，得或a，当时，令，解得或，
令，解得，
当时，，
当时，令，解得或，
令，解得，
综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减，
当时，在R上单调递增，
当时，在和上单调递增，在上单调递减．
（2）因为，对恒成立，
所以，得，
若，由（1）知在和上单调递增，在上单调递减，
，即，解得，
；
若在上单调递增，恒成立，
；
若在和上单调递增，在上单调递减．
，即，解得，
又，
，
，综上，符合题意的实数a的取值范围为．