2023-2024学年云南省红河州一中与云南民族大学附属中学高一上学期10月期中联考诊断性测试数学试含答案

这是一份2023-2024学年云南省红河州一中与云南民族大学附属中学高一上学期10月期中联考诊断性测试数学试含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若集合，，则
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求出集合后可得.
【详解】因为集合，则，选C
【点睛】本题考查集合的交，注意集合意义的理解，如表示函数的定义域，而表示函数的值域，表示函数的图像.
2．若幂函数的图象过点，则函数的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】B
【分析】由幂函数的性质求解析式，再根据二次函数的性质求最小值即可.
【详解】令，由题设，则，
∴，
故当时，函数最小值为.
故选：B.
3．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【分析】利用特殊值判断A，利用不等式的性质判断B、C、D；
【详解】解：对于A：当时，故A错误；
对于B：因为，所以，所以，所以，即，故B错误；
对于C：由，则，，所以，故C错误；
对于D：由，所以，所以，故D正确；
故选：D
4．对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分与两种情况进行讨论，求解出答案.
【详解】当时，不等式为恒成立，故满足要求；
当时，要满足：
，解得：，
综上：实数的取值范围是.
故选：D
5．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意列出不等式组，求解即可．
【详解】要使有意义，则，即，解得，
所以函数的定义域为．
故选：D．
6．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，利用二次函数的单调性可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围.
【详解】当时，函数在上单调递增，合乎题意；
当时，则二次函数图象的对称轴方程为，
若函数在上单调递增，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
7．一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买黄金项链，售货员先将一条黄金项链放在天平左盘中，质量为的砝码放在天平右盘中使天平平衡；再将这条黄金项链放在天平右盘中，质量为的砝码放在天平左盘中使天平平衡；那么这条项链的真实质量（ ）
A．大于B．小于C．等于D．无法确定
【答案】B
【解析】设天平左臂长为a，右臂长为b（不妨设），再利用杠杆原理，列出等式，即，，求出和的值，再利用基本不等式比较与的大小，即可得结论.
【详解】由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为a，右臂长为b（不妨设），再利用杠杆原理，要使杠杆平衡，作用在杠杆上的两个力矩（力与力臂的乘积）大小必须相等，即，，解得：，
下面比较与的大小：
，由于，故等号不成立，
所以
故选：B
【点睛】关键点睛：本题主要考查了基本不等式的应用，解题的关键是要熟悉杠杆原理，通过杠杆原理列出等式，所以学生平时在学习时要各科融汇贯通，考查学生的分析转化能力与运算求解能力，属于基础题.
8．若定义在的奇函数在单调递增，且，则满足的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分别求出和的的范围，由不等式，得或，从而可得出答案.
【详解】解：因为定义在的奇函数在单调递增，
所以函数在上递增，且，
又，，
则当时，，
当时，，
则由不等式，
得或，
即或，
解得或，
所以的的取值范围是.
故选：C.
二、多选题
9．下列各组函数不能表示同一个函数的是（ ）
A．，B．与
C．，D．，
【答案】BC
【分析】从定义域和对应关系两方面来判断是否是同一函数.
【详解】解：对于A，，与的定义域相同，对应关系相同，所以是同一函数；
对于B，，与的定义域不相同，所以不是同一函数；
对应C，，与的定义域不同，对应关系也不同，所以不是同一函数；
对于D，与的定义域为，对应关系相同，所以是同一函数.
故选：BC.
10．已知下列说法：
①命题“，”的否定是“，”；
②命题“，，”的否定是“，，”；
③“”是“”的充分不必要条件；
④命题：对任意，总有.
其中说法错误的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【答案】ACD
【分析】①根据特称命题的否定是全称命题即可判断；②根据全称命题的否定是特称命题即可判断；③根据必要条件和充分条件的概念即可判断；④判断命题的真假.
【详解】对于①，命题“，”的否定是“，”，故错误；
对于②，命题“，，”的否定是“，，”，正确；
对于③，“”是“”的必要不充分条件，故错误；
对于④，当时，故错误.
故选：ACD.
11．已知函数为奇函数，且当时，，则下面说法正确的是（ ）
A．
B．的解析式为
C．在上有最小值
D．的单调递减区间为
【答案】AC
【分析】A选项，利用奇函数性质可判断选项正误；B选项，注意到不一定为0；
C选项，利用在时的最大值可判断选项正误；D选项，由函数单调区间书写规则可判断选项正误.
【详解】A选项，因为奇函数，则，A正确；
B选项，因本题并无强调是上奇函数，所以时可能没有定义，B错；
C选项，当时，，又为奇函数，则时，有最小值，故C正确；
D选项，函数出现两个或两个以上相同性质的单调区间时，中间用逗号或汉字和连接，不能用并集符号.故D错误.
故选：AC．
12．下列说法正确的有（ ）
A．设，，且，则实数；
B．若是的真子集，则实数；
C．集合若，则实数；
D．设集合至多有一个元素，则；
【答案】ABD
【分析】根据集合元素的性质可判断A的正误，根据集合的包含关系分别计算BCD中参数的值或范围，从而可判断它们的正误.
【详解】对于A，因为，故（无解舍去）或，故，故A正确.
对于B，因为是的真子集，故为非空集合，
故，故B正确.
对于C，，
若，则，满足；
若，则，又，故或即或，
综上，或或，故C错误.
对于D，因为至多有一个元素，故或，
所以，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．已知，函数，若，则 ．
【答案】
【分析】根据定义域选择合适的表达式代入求值
【详解】，解得
故答案为：
14．命题p：，成立的充要条件是 ．
【答案】
【分析】转化为在有解，求出的最小值，从而求出的取值范围，得到命题p成立的充要条件
【详解】在有解，因为，
所以，
故命题p成立的充要条件是．
故答案为：
15．已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，则 .
【答案】2
【解析】根据函数的奇偶性即可求出.
【详解】令可得，由，分别是定义在上的偶函数和奇函数可得，，则.
故答案为：2.
16．若，且，则的最小值为
【答案】
【分析】令，可得，化简可得，再结合基本不等式可求解.
【详解】令，则，
则，即，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题考查基本不等式的应用，解题的关键是令，化简得出利用基本不等式求解.
四、解答题
17．已知集合.
(1)若，求；
(2)若“”是“”充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当时，求得或，结合集合交集的运算，即可求解；
（2）根据题意得到是Q的真子集，分和，两种情况讨论，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）当时，集合，可得或，
因为，所以.
（2）若“”是“”的充分不必要条件，所以是Q的真子集，
当时，即时，此时，满足，
当时，则满足且不能同时取等号，解得，
综上，实数的取值范围为.
18．回答下列问题
(1)已知都是正实数，比较与的大小；
(2)已知，，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将与相减并化简，分类讨论判断差的符号即可比较大小；
（2）根据不等式的性质求解即可.
【详解】（1）
，
因为都是正实数，所以，，，
所以，当且仅当时等号成立.
（2）设，
则，
解得，，
所以，
因为，，
所以，，
所以，
即，
所以的取值范围为.
19．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数.
(1)求的值和函数的解析式；
(2)解关于的不等式.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据函数单调性得到不等式，求出或2，结合函数的奇偶性得到的值和函数的解析式；
（2）根据函数的奇偶性和单调性得到，结合定义域，求出不等式的解集.
【详解】（1）∵函数在上递减，
∴即，
又，∴或2，
又函数图象关于轴对称，故函数为偶函数，
当时，，此时为奇函数，舍去，
当时，，此时为偶函数，满足要求，
∴函数的解析式为.
（2）不等式，函数是偶函数，
故不等式等价于.
因为函数在区间为减函数，
所以，两边平方得，
即，解得，
又因为，，即，，
所以.
20．已知集合，；
(1)当时，求；
(2)若是的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解分式不等式和一元二次不等式，求出不等式解集，进而求出交集；
（2）方法一：解含有参数的一元二次不等式，得到，根据得到不等式，求出答案；
方法二：令，由二次函数图象分析得到不等式，求出答案.
【详解】（1），解得，故，
时，，
故.
（2）方法一：，
当时，，
当时，，
当时，
因为“”是“”的充分条件，
所以，
所以或，
解得.
方法二：，，
令，
要想，所以，
即，解得.
21．某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产（千部）手机，需另外投入成本万元，其中，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完.
(1)求2023年该款手机的利润关于年产量的函数关系式；
(2)当年产量为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元.
【分析】（1）根据利润等于收入减去成本即可求出结果；
（2）根据（1）求出的函数关系式直接求最大值即可.
【详解】（1）当时，，
当时,，
所以.
（2）当时，,
∴当时，，
当时,
,
当且仅当，即时，，
因此当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元.
22．教材87页第13题有以下阅读材料：我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．
(1)利用上述材料，求函数图象的对称中心；
(2)利用函数单调性的定义，证明函数在区间上是增函数．附立方差公式：
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】按照已知条件设出对称中心坐标，利用奇函数定义待定系数得到坐标
利用单调性的定义，配合立方差公式证明
【详解】（1）设函数的图象关于点成中心对称图形，由已知，函数为奇函数,所以令为奇函数，
所以满足且g(0)=0.
化解后得.∴关于中心对称
（2）证明：设,则，
令，则
∴恒成立
对任意， ∴
∴为R上的增函数，