2023-2024学年云南省红河州开远一中高二（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年云南省红河州开远一中高二（下）开学数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z满足(2−i)z=2，则z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知集合A={−1,0,1,2,3}，B={x|(x−1)(x+2)≥0}，则A∩B=( )
A. {−1,0,1,2,3}B. {0,1,2,3}C. {1,2,3}D. {2,3}
3.已知直线x−y+1=0与圆x2+y2−4x−2y+m=0交于A，B两点，且|AB|=2 2，则实数m=( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
4.某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面边长分别为8cm，6cm的正四棱台，若棱台的高为3cm，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为( )
A. 1483cm3B. 74cm3C. 148cm3D. 298cm3
5.已知数列{an}为等差数列，且a1+a7+a13=4π，则sina7=( )
A. 12B. −12C. 32D. − 32
6.我国周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和.在3，4，5，6，8，10，12，13这8个数中任取3个数，这3个数恰好可以组成勾股定理关系的概率为( )
A. 47B. 328C. 1112D. 356
7.若f(x)=(x+a)ln2x−12x+1为偶函数，则a=( )
A. −1B. 0C. 12D. 1
8.已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上除顶点外的一点，|PF1|=3|PF2|，且∠F1PF2>60°，则C的离心率的取值范围是( )
A. ( 72,2)B. ( 72,3)C. (1,2)D. ( 3,3)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. “a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件
B. 命题“∀x>0，ex−lnx>2”的否定为∃x≤0，ex−lnx≤2”
C. 若cs2α+sin2β=1，则α=β
D. y=lg2(−x2+14)的最大值为−2
10.已知a>0，b>0，a+2b=1，则( )
A. 2a+3b的最小值为8+4 3B. ab的最小值为18
C. a2+b2的最小值为15D. 2a+4b的最小值为2 2
11.设函数f(x)=sinxcsx+ 3cs2x− 32，给出下列命题，正确的是( )
A. f(x)的图象关于点(π3,0)对称
B. 若|f(x1)−f(x2)|=2，则|x1−x2|min=π
C. 把f(x)的图象向左平移π12个单位长度，得到一个偶函数的图象
D. 在(0,2π)内使f(x)=12的所有x的和为133π
12.已知函数f(x)=e|x|x2，则( )
A. f(x)为偶函数
B. f(x)的最小值为e24
C. 函数g(x)=f(x)−a(a>e24)有两个零点
D. 直线ex+y−2e=0是曲线y=f(x)的切线
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知a，b是非零向量|a|=1，|b|= 2，(a+b)⊥a，则|a−b|= ______．
14.我校高二年级1600人参加了期中数学考试，若数学成绩X～N(105,σ2)，统计结果显示数学考试成绩在80分以上的人数为总人数的70%，则此次期中考试中数学成绩在80分到130分之间的学生有______人.
15.(1x+2)(x−1)5的展开式中x3的系数为______(用数字作答)．
16.三棱锥P−ABC内接于球O，球O的表面积是24π，∠BAC=π3，BC=4，则三棱锥P−ABC的最大体积是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
△ABC中，sin2A−sin2B−sin2C=sinBsinC．
(1)求A；
(2)若BC=3，求△ABC周长的最大值．
18.(本小题12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n,Sn)(n∈N*)在函数y=2x2−x的图象上．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)令bn=1 an+ an+1，求数列(bn)的前n项和Tn．
19.(本小题12分)
某校高三1000名学生的一模考试数学成绩频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[30,50)，[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]．
(1)求图中a的值；
(2)根据频率分布直方图，估计这1000名学生的一模考试数学成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
(3)从一模数学成绩位于[90,110)，[110,130)的学生中采用分层抽样抽取8人，再从这8人中随机抽取2人，该2人中一模数学成绩在区间[90,110)的人数记为X，求X的分布列及数学期望．
20.(本小题12分)
如图，在等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC= 2，AD⊥PB，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．
(Ⅰ)若M是侧棱PB中点，求证：CM/​/平面PAD；
(Ⅱ)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．
21.(本小题12分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)离心率为12，且经过点A(−2,0)．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点(32,0)且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M，N两点，证明：直线AM与直线AN的斜率之积为定值．
22.(本小题12分)
设函数f(x)=lnx+a(1−x)．
(1)当a=−1时，求曲线在(1,f(1))处的切线方程；
(2)讨论：f(x)的单调性；
(3)当f(x)有最大值，且最大值大于2a−2时，求a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：z=22−i=2(2+i)(2−i)(2+i)=4+2i4−i2=4+2i5，
故z在复平面内对应的点坐标为(45,25)，位于第一象限．
故选：A．
利用复数的除法法则得到z=4+2i5，得到z在复平面内对应的点坐标，得到答案．
本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：因为集合A={−1,0,1,2,3}，
B={x|(x−1)(x+2)≥0}={x|x≤−2或x≥1}，
所以A∩B={1,2,3}．
故选：C．
化简集合B，根据交集的定义运算即可．
本题考查了集合的化简与运算问题，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由题意，圆x2+y2−4x−2y+m=0即圆(x−2)2+(y−1)2=5−m，
圆心为C(2,1)，半径r= 5−m(m0，得x>12或x0)，|PF1|=3m，∠F1PF2=θ，
显然60°0时，设切点为(x0,y0)，
由f′(x)=ex(x−2)x3可得切线斜率k=ex0(x0−2)x03，
若直线ex+y−2e=0与曲线y=f(x)相切，
则ex0(x0−2)x03=−e，解得x0=1，
则切点坐标为(1,e)，
故切线方程为ex+y−2e=0，D正确．
故选：ABD．
求出函数的定义域，根据函数奇偶性的定义判断选项A；根据函数的奇偶性，判断函数在(0,+∞)的最值即可判断选项B；根据函数的奇偶性和单调性，作出函数的图象即可判断选项C；利用导数的几何意义判断选项D．
本题考查函数与导数的综合运用，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】 5
【解析】解：因为|a|=1，|b|= 2，(a+b)⊥a，
所以(a+b)⋅a=a2+a⋅b=1+a⋅b=0，即a⋅b=−1，
所以|a−b|= a2−2a⋅b+b2= 1−2×(−1)+2= 5．
故答案为： 5．
根据向量垂直的表示以及模的计算方法求解即可．
本题考查平面向量的数量积，属于基础题．
14.【答案】640
【解析】解：由于正态分布曲线的对称轴为105，故P(X≥105)=0.5，
由题意可知P(X>80)=P(105>X>80)+P(X≥105)=70%，
∴P(105>X>80)=0.2，
根据对称性可得P(130>X>80)=2P(105>X>80)=2×0.2=0.4，
所以数学成绩在80分到130分之间的学生有1600×0.4=640．
故答案为：640．
根据正态分布的对称性即可求解概率，进而可求人数．
本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．
15.【答案】15
【解析】解：根据(x−1)5的展开式Tr+1=C5r⋅(−1)r⋅x5−r(r=0,1,2,3,4,5)，
①当与1x配对，r=1时，x3的系数为C51⋅(−1)=−5；
②当与2配对，r=2，x3的系数为2C52=20；
故x3的系数为20−5=15．
故答案为：15．
直接利用二项式的展开式及组合数的应用求出结果．
本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
16.【答案】16 23
【解析】解：设球的半径为R，球心为O，如图所示，
∵球O的表面积是24π，∴4πR2=24π，解得R= 6．
设△ABC的外心为O1，外接圆的半径为r，则O1B=r=12×4sinπ3=4 3，
∴OO1= OB2−O1B2= 63．
∴O1P= 6+ 63=4 63．
在△ABC中，由余弦定理可得：42=b2+c2−2bccsπ3，
化为b2+c2=bc+16≥2bc，∴bc≤16，当且仅当b=c=4时取等号．
∴三棱锥P−ABC的体积V=13×S△ABC×O1P=13×12bcsinπ3×4 63≤2 69× 32×16=16 23，
故答案为：16 23．
设球的半径为R，球心为O，如图所示，由球O的表面积是24π，可得4πR2=24π，解得R.设△ABC的外心为O1，外接圆的半径为r，则O1B=r=12×4sinπ3，可得OO1= OB2−O1B2.可得O1P= 6+ 63.在△ABC中，由余弦定理可得：42=b2+c2−2bccsπ3，利用基本不等式的性质可得bc≤16，利用三棱锥P−ABC的体积V=13×S△ABC×O1P，即可得出．
本题考查了三棱锥外接球的性质、勾股定理、三棱锥的体积计算公式、正弦定理余弦定理、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
因为sin2A−sin2B−sin2C=sinBsinC，
由正弦定理可得a2−b2−c2=bc，
即为b2+c2−a2=−bc，
由余弦定理可得csA=b2+c2−a22bc=−bc2bc=−12，
由02a−2，即a+lna−1