2023-2024学年湖北省黄冈中学部分普通高中高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年湖北省黄冈中学部分普通高中高一上学期期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1.设集合U={−2,−1,0,1,2}，A={−1,2}，B={−1,0,1}，则(∁UB)∪A=( )
A. {−2,−1,1,2}B. {−2,−1,2}C. {−2,2}D. {2}
2.函数f(x)=1 1−2x的定义域为( )
A. (−∞,12)B. (−∞,12]C. (12,1)D. (0,12)
3.已知命题p:∀x∈R，ax2+2x−1≤0.若命题p为真命题，则实数a的取值范围是( )
A. {a|a<−1}B. {a|−14.已知函数f(x)=x2−3,x>2|x−2|+1,x≤2，则f(f( 5))=( )
A. −1B. −32C. −34D. 1
5.若关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为(3,4)，则bx2+ax+1>0的解集为( )
A. (−∞,3)∪(4,+∞)B. (3,4)
C. (14,13)D. (−∞,14)∪(13,∞)
6.若函数f(x)=xa+1+2a是区间[−a,a2]上的偶函数，m=f(a)，n=f(0)，p=f(−2)，则m，n，p的大小关系为( )
A. m7.已知x<3，则函数y=x2−3x+4x−3的最大值为( )
A. −1B. 7C. −3D. 2 3
8.设集合A={x|x<−12或x>1}，集合B={x|x2−2ax−1≤0,a>0}，若A∩B中恰有两个整数，则实数a的取值范围( )
A. (0,43]B. [43,158)C. [2,158)D. (1,+∞)
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知a，b，c∈R，下列说法正确的是( )
A. 若ac2+1>bc2+1，则a>b
B. 若a>b且ab>0，则a2>b2
C. 若a2>b2且ab>0，则1a>1b
D. 若−1<2a+b<1，−110.下列结论正确的是( )
A. “a∈M∪N”是“a∈M”的充分不必要条件
B. “|x|<2”的一个必要不充分条件是“x<3”.
C. “∃x∈R，x2+x+1<0′的否定是“∀x∈R，x2+x+1≥0”
D. 方程x2−2x−m=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是−111.德国著名数学家狄利克雷第一个引入了现代函数的概念，是解析数论的创始人，秋利克雷函数就以其名命名，其解析式为D(x)={1,x是有理数0,x是无理数，则关于秋利克雷函数D(x).下列结论正确的是( )
A. 函数D(x)是奇函数B. ∀r∈Q，D(r−x)=D(r+x)
C. 函数D(D(x))是偶函数D. D(x)的值域为{0,1}
12.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)+1为奇函数，f(x+1)为偶函数，且对任意的x1，x2∈(2,3)，且x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>1，则下列结论正确的是( )
A. f(0)=1B. f(2024)=−1
C. f(52)+f(13)>−116D. f(154)+14>f(−12)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.设m，n∈R，集合P={1,m}，Q={2,−n}.若P=Q，则mn=__________.
14.已知函数f(x)=(x−1)2+ax2+b是奇函数，则实数a+b=__________.
15.对满足1x+1+4y=1的任意正实数x，y，不等式x+y4>m2−5m−3恒成立，则实数m的取值范围是__________.(用区间或集合的形式表示)
16.已知f(x)=x2+2x,−3≤x≤c1x,c四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知全集U=R，集合A={x|x2+3x−18≤0}，B={x|1x+1≤−1}
(1)求(∁UB)∩A.
(2)若集合C={x|2a18.已知命题p:∃x∈(−1,1)，x2−(a+2)x+2a=0，命题q:x1和x2是方程x2−2mx−3=0的两个实根，不等式a2−3a≥|x1−x2|对任意实数m∈[−1,1]恒成立;
(1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围;
(2)若命题p.q有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围.
19.已知f(x)为偶函数，且当x≥0时.f(x)=x(2−x),0≤x≤2(a−x)(x−2),x>2
(1)求当x<0时，f(x)的解析式;
(2)若a=4，求当函数y=f(x)的图象与直线y=m恰有8个不同的交点时实数m的取值范围.
20.已知函数f(x)=x2+2x的定义域为[1,+∞).
(1)用单调性的定义证明f(x)在[1,+∞)上是增函数;
(2)若函数y=g(x)是R上的减函数，且不等式g(x3+2)恒成立，求实数a的取值范围.
21.小明同学喜欢玩折纸游戏，经常对折纸中的一些数学问题进行探究.已知一矩形纸片ABCD(其中AB>AD)的周长为20 2cm.他把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P.他在思索一个问题：如果改变AB的长度(周长保持不变)，△ADP的面积是否存在最大值?请帮他确定△ADP的面积是否存在最大值?若存在，求出其最大值并指出相应的AB的长度;若不存在，试说明理由?
22.定义：若函数f(x)在其定义域内存在实数x0，使f(x0)=x0，则称x0是f(x)的一个不动点.已知函数f(x)=ax2+(2b−1)x+b−2(a≠0).
(1)若对任意的实数b，函数f(x)恒有两个不动点，求实数a的取值范围;
(2)在(1)的条件下，若y=f(x)图象上两个点A、B的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B中点C在函数g(x)=−x+a3a2−2a+1的图象上，求实数b的最小值.
2023-2024学年第一学期湖北省黄冈市普通高中阶段性教学质量监测高一数学试题参考答案
1.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查集合的交并补混合运算，为基础题.
【解答】
解：∁UB=−2,2，∁UB∪A=−2,−1,2，故选B.
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数的定义域，属于基础题.
结合函数解析式列出不等式，求解即可.
【解答】
解：由题知1−2x>0，
∴x<12，故函数f(x)的定义域为(−∞,12).
故选A.
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查命题的真假判断与应用，二次函数的性质，考查学生逻辑推理能力，属于基础题．
利用命题为真命题结合二次函数判别式建立不等式，求解实数a的取值范围.
【解答】
解：由题意可知a<0Δ=4+4a≤0，解得a≤−1.
故选C
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查分段函数值的求解，为基础题.
【解答】
解：f 5=2,f2=1，故f(f( 5))=1，故选D.
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系，以及解一元二次不等式，属于基础题.
由已知可得方程x2+ax+b=0的两个根为3和4，从而可求出a=−7,b=12，则不等式bx2+ax+1>0可化为12x2−7x+1>0，进而可求出不等式的解集.
【解答】
解：因为不等式x2+ax+b<0的解集是(3,4)，
所以方程x2+ax+b=0的两个根为3和4，
所以−a=7,b=12，得a=−7,b=12，
不等式bx2+ax+1>0可化为12x2−7x+1>0，即(3x−1)(4x−1)>0，
解得x<14或x>13，
所以不等式bx2+ax+1>0的解集为(−∞,14)∪(13,+∞)，
故选D.
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查利用偶函数的性质比较大小，属于中档题.
【解答】
解：由偶函数的区间对称性可知a=a2，且f(x)=xa+1+2a=f(−x)=−xa+1+2a，
解得a=1，故f(x)=x2+2，
m=f(a)=f(1)=3，n=f(0)=2，p=f(−2)=6，
故n故选B.
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查利用基本不等式求最值的问题，
先令t=3−x，将原式化为有关t的代数式，最后化简，利用基本不等式即可求出答案.
【解答】
解：因为 x<3，所以3−x>0，
设t=3−x，则t>0，
y=(3−t)2−3(3−t)+4−t=t2−3t+4−t=−(t+4t)+3≤−2 4+3=−1
当且仅当t=4t即t=2相当于x=1时取等号，
所以原函数的最大值是−1.
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查含参数的集合交集运算，三个二次之间的关系，属于中档题.
分类讨论整数的情况，求出参数的范围.
【解答】
解：由题知，方程x2−2ax−1=0的两根异号，
设f(x)=x2−2ax−1，(a>0)
①若A∩B中恰有两个整数为2，3，则f−1=1+2a−1>0f3=9−6a−1≤0f4=16−8a−1>0,∴43≤a<158;
②若A∩B中恰有两个整数为−1，2，则f−2=4+4a−1>0f−1=1+2a−1≤0且f2=4−4a−1≤0f3=9−6a−1>0,∴a∈⌀;
③若A∩B中有两个整数为−1，−2，则{f(−2)=4+4a−1⩽0f(−3)=9+6a−1>0且{f(1)=1−2a−1⩾0f(0)=−1<0,∴a∈∅，
综上a∈[43,158).
故选B.
9.【答案】AD
【解析】【分析】
本题考查不等式的性质，考查了利用作差法比较式子的大小，是基础题.
利用不等式的基本性质，对选项中的命题判断正误即可.
【解答】
解：对于A，因为c2+1>0，ac2+1>bc2+1，所以a>b，故A正确;
对于B，因为a>b且ab>0，所以a2−b2=(a+b)(a−b)>0，
可知a−b>0，由于a+b的范围不确定，故无法判断，故B错误;
对于C，不妨设a>b>0，则1a−1b=b−aab<0，即1a<1b，故C错误;
对于D，令4a−b=m(2a+b)+n(a−b)，
则4a−b=(2m+n)a+(m−n)b
∴2m+n=4m−n=−1.
∴m=1，n=2，
∴4a−b=(2a+b)+2(a−b)，
∵−1<2a+b<1，−1∴−3<(2a+b)+2(a−b)<5，
即−3<4a−b<5.故D正确.
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查充分必要条件的判断及应用，命题的否定，为简单题.
【解答】
解：“a∈M∪N”是“a∈M”的必要不充分条件，A错；
“|x|<2”的一个必要不充分条件是“x<3”，满足必要不充分的概念，注意理解题意，正确；
“∃x∈R，x2+x+1<0′的否定是“∀x∈R，x2+x+1≥0”，C正确；
方程x2−2x−m=0有两个同号且不相等的实根，4+4m>0−m>0，即−1故选BCD.
11.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查定义新函数的性质，考查运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
利用函数的性质，判断A、B、C、D的结论．
【解答】
解：对于A：若x是有理数，则−x是有理数，D(−x)=D(x)，
若x是无理数，则−x是无理数，D(−x)=D(x)，故函数D(x)为偶函数，故A错误；
对于B：当x∈Q时，r−x∈Q，r+x∈Q，故D(r−x)=D(r+x)=1，
当x∉Q时，r−x∉Q，r+x∉Q，D(r−x)=D(r+x)=0，故B正确；
对于C：D(D(−x))=D(D(x))，则D(D(x))还为偶函数，故C正确；
对于D：当x为有理数时，Dx=1，当x为无理数时，Dx=0，
D(x)的值域为{0,1}，故D正确．
故选：BCD.
12.【答案】BC
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性周期性，属于难题，灵活转化是关键.
【解答】
解：因为f(x)+1为奇函数，所以f(0)+1=0，即f(0)=−1，故A错误;
因为f(x+1)为偶函数，所以f(x+1)=f(−x+1)，
则有f(x)=f(2−x)，f(x+4)=f(−x−2)，
又由f(x)+1为奇函数，得f(−x)+1+f(x)+1=0，
即f(−x)+f(x)=−2，f(−x−2)+f(x+2)=−2，
所以f(2−x)+f(−x)=−2，f(2+x)+f(x)=−2，f(x+4)=−2−f(x+2)=f(x)，
所以f(2024)=f(4×506)=f(0)=−1，B正确；
由f(−x)+f(x)=−2可知当x=−13得f(13)=−f(−13)−2，
由f(−x+1)=f(x+1)知，当x=43得f(−13)=f(73)，
所以f(13)=−f(−13)−2=−f(73)−2，
所以f(52)+f(13)=f(52)−f(73)−2，
f(x1)−f(x2)x1−x2>1⇒f(x1)−x1−f(x2)+x2x1−x2>0
易知y=f(x)−x在(2,3)上单调递增，且52>73，
所以f(52)−52>f(73)−73，
所以f(52)+f(13)=f(52)−f(73)−2>−73+52−2=−116，所以C正确;
对于选项D，由f(x)=f(x+4)及f(−x+1)=f(x+1)
得f(154)=f(−14)=f(94)，f(−12)=f(52)，
所以f(154)−f(−12)=f(94)−f(52)，
易知y=f(x)−x在(2,3)上单调递增，且52>94，
所以f(94)−9413.【答案】12
【解析】【分析】
本题考查集合相等，属于基础题.
利用集合相等的定义，即可求解.
【解答】
解：∵m，n∈R，集合P={1,m}，Q={2,−n}，P=Q，
∴m=2，n=−1，
∴mn=12.
故答案是：12.
14.【答案】−2
【解析】【分析】
本题考查利用函数奇偶性求参，属于基础题.
利用f0=0,f−x=−fx，求出a，b.
【解答】
解：由题知，函数f(x)的定义域为R，则f(0)=0，
则f(0)=1+b=0，∴b=−1，
又f(−x)=−f(x),即(x+1)2+ax2−1=−(x−1)2−ax2+1，
∴1+ax2=−1+ax2，∴a=−1，
故a+b=−1.
15.【答案】m|−1【解析】【分析】
本题考查基本不等式的应用及一元二次不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．
利用基本不等式可把问题转化为解不等式 m2−5m<6，由此容易得解．
【解答】
解：由题意可知，原不等式可变为m2−5m<(x+3)+y4，
所以，只需要m2−5m小于(x+3)+y4的最小值，
由(x+3)+y4=[(x+1)+y4](1x+1+4y)+2=4+4(x+1)y+y4(x+1)≥4+2 4(x+1)y×y4(x+1)=6，
当且仅当4(x+1)y=y4(x+1)，即y=8,x=1时取等号，
所以m2−5m<6，解得−1所以， m的取值范围为m|−1故答案为m|−116.【答案】[−1,+∞) ； [13,1]
【解析】【分析】
本题考查了分段函数、函数的值域，属于中档题.
(1)若c=0，则f(x)=x2+2x,−3≤x≤c1x,c(2)分当c【解答】
解：(1)若c=0，则f(x)=x2+2x,−3≤x≤c1x,c当−3≤x≤0时，f(x)=x2+2x=(x+1)2−1∈−1,3，
当0综上，f(x)的值域是[−1,+∞).
(2)由己知，f(x)的值域是[−1,3].
当c0，
所以f(x)∈[13,1c),1c≤3，得c≥13，
当−3≤x≤c时，f(x)=x2+2x=(x+1)2−1，
f(x)min=f(−1)=−1，
且有f(−3)=3，易知f(1)=12+2=3，所以c≤1.
综上，实数c的取值范围是[13,1]，
故答案为：[−1,+∞),13,1.
17.【答案】解：(1)∵A={x|−6≤x≤3}，B={x|−2≤x<−1}
∴(CUB)∩A={x|−6≤x<−2或−1≤x≤3};
(2)∵B∪C=B∴C⊆B
当C=⌀时，a+1≤2a∴a≥1;
当C≠⌀时，a+1>2a2a≥−2a+1≤−1得a∈⌀.
综上a≥1.

【解析】本题题考查集合的交并补混合运算，已知集合关系求参，属于基础题.
(1)解不等式，再进行集合间的运算；
(2)由题可得C⊆B，分类讨论集合C是否为空集，求出参数的取值范围.
18.【答案】(1)p:x2−(a+2)x+2a=0得(x−a)(x−2)=0，
∃x∈(−1,1)，x2−(a+2)x+2a=0，命题p为真命题，∴−1(2)由(1)知p真：−1当命题q为真命题时：x1+x2=2m，x1x2=−3
a2−3a≥|x1−x2|= (x1+x2)2−4x1x2= 4m2+12
对任意实数m∈[−1,1]恒成立;∴a2−3a≥4
∴a≤−1或a≥4
若命题p，q有且只有一个为真命题，则：
p真q假：−1p假q真：{a⩽−1或a⩾1a⩽−1或a⩾4得a≤−1或a≥4
综上：a<1或a≥4

【解析】本题考查命题真假的判断，属于中档题.
19.【答案】解：(1)当x<−2时，−x>2，f(−x)=(a+x)(−x−2)=−(x+2)(x+a)
∵f(x)为偶函数，∴f(x)=f(−x)=−(x+2)(x+a)
当−2≤x<0时，0<−x≤2，∵f(x)为偶函数，∴f(x)=f(−x)=−(x+2)x
∴fx=−x(x+2),−2≤x<0−(x+a)(x+2),x<−2.
(2)当a=4时，
结合(1)知f(x)在[0,1)是增函数，在[1,2)单调递减，在[2,3)单调递增，在[3,+∞)单调递减，
且f(1)=f(3)=1，
作出f(x)在[0,+∞)的图象，f(x)为偶函数，对称作出y轴左边的图象，
由f(x)的图象知：0
【解析】本题考查利用函数的奇偶性求解析式，结合函数单调性，数形结合求出交点个数，为中档题.
20.【答案】解：(1)设x1，x2∈[1,+∞)，且1≤x1则f(x1)−f(x2)=x12+2x1−x22−2x2=(x1−x2)(x1+x2−2x1x2)
∵x1，x2∈[1,+∞)，且1≤x12，0<2x1x2<2
所以x1+x2−2x1x2>0，
则有f(x1)−f(x2)=x12+2x1−x22−2x2=(x1−x2)(x1+x2−2x1x2)<0，
即f(x1)(2)由于函数y=g(x)是R上的减函数，且g(x3+2)所以x3+2>(a2−2a)x，
又x∈[1,+∞)，所以x2+2x>a2−2a，即f(x)>a2−2a在x∈[1,+∞)上恒成立，
由(1)可知f(x)在[1,+∞)上是增函数，
所以a2−2a即a的取值范围为(−1,3).

【解析】本题考查定义法证明函数单调性，利用单调性解不等式及求最值，属于中档题.
(1)按照取值、作差、变形、定号、结论的过程，证明函数单调性；
(2)利用函数单调性得x3+2>(a2−2a)x，分离参数求函数最值.
21.【答案】解：由题意可知，矩形ABCD(AB>AD)的周长为20 2，
AB=x，则AD=10 2−x
设PC=a，则DP=x−a，AP=a，而△ADP为直角三角形，
∴a=x+100x−10 2，∴DP=10 2−100x
∴a2=(x−a)2+(10 2−x)2SΔADP=12×AD×DP=12(10 2−x)(10 2−100x)
=150−5 2(x+100x)≤150−5 2×20=150−100 2
当且仅当100x=x，即x=10时，此时AD=10 2−10，满足AB>AD，
即x=10时，△ADP取最大面积为150−100 2.

【解析】本题考查基本不等式求最值的实际应用，属于中档题.
22.【答案】解：(1)令ax2+(2b−1)x+b−2=x，则ax2+(2b−2)x+b−2=0①，
由题意，方程①恒有两个不相等的实数根，所以△1=(2b−2)2−4a(b−2)>0，
即b2−(a+2)b+2a+1>0恒成立，则△2=(a+2)2−4(2a+1)<0，
解得0(2)依题意y=f(x)图象上两个点A，B的横坐标是函数f(x)的不动点，
设A(x1,x1)，B(x2,x2)，(x1≠x2)，x1+x2=−2b−2ax1x2=b−2a
g(x)=−x+a3a2−2a+1，
又AB的中点在该直线上，所以g(x1+x22)=−x1+x22+a3a2−2a+1=x1+x22
∴x1+x2=a3a2−2a+1=−2b−2a
即2−2b=a23a2−2a+1=11a2−2a+3=1(1a−1)2+2
∵0