023-2024学年湖南省邵阳市第二中学2高一上学期期中考试数学试题含答案

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总分：150时间：120min
命题：胡朝辉 审核：袁雄辉
一､单选题（共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用集合的交运算法则进行运算即可.
【详解】因为集合，
故，
故选：
2. 在下列函数中，函数表示同一函数的（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，判断函数是否相等，需对比定义域和对应关系，先求定义域，再整理解析式，可得答案.
【详解】由题意，函数，其定义域为，其解析式为，
对于A，函数，其定义域为，故A错误；
对于B，函数，其定义域为，对应法则不同，故B错误；
对于C，与题目中的函数一致，故C正确；
对于D，函数，其定义域为，故D错误，
故选：C.
3. 设，则“”是“”的
A. 充分而不必要条件
B 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】求出的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】等价于，故推不出；
由能推出．
故“”是“”的必要不充分条件．
故选B．
【点睛】充要条件的三种判断方法：
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；
(2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．
4. 若，使的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，分离参数，求出二次函数在上最大值即得结果.
【详解】不等式，等价于，
依题意，，恒成立，
而函数在上单调递增，当时，，因此，
所以的取值范围为.
故选：C
5. 已知函数则函数定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据被开方数非负和分母不等于零，列出不等式组即可求解.
【详解】要使函数有意义，则
，
解得且，
所以函数的定义域为，
故选：D．
6. 设，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
易得，再由，利用幂函数的单调性判断.
【详解】因为，
且， 在上递增，
所以，即，
综上：
故选：A
7. 若且恒成立，则的最大值是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】试题分析：由恒成立，则恒成立，
即，
由，
当且仅当时等号成立，
所以，故选C.
考点：基本不等式.
8. 设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据所给函数满足性质，结合函数图象的伸缩平移变换可作出函数的大致图象，求得函数值等于7时的x的值，数形结合，可求得答案.
【详解】因为时，，
由可知，即将图象向右平移2个单位长度，图象上各点对应的纵坐标变为原来的2倍，可得到时图象，
又由可知 ，当时，将的图象向左平移2个单位长度，图象上各点对应的纵坐标变为原来的倍，
如图所示：
当时，，
令，得或，
若时，成立，则，
所以实数的取值范围为,
故选:D．
二､多选题（共4小题.每题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）
9. 下列命题中真命题的有（ ）
A. 若a，b，，且，则B. 若，则的最小值为2
C 若，则D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据不等式性质以及基本不等式取等的条件以及举反例即可得.
【详解】对于选项A，则，因此不等式两边同时除以，即可得，因此选项A正确；
对于选项B，，当且仅当时，等号成立，但此时无解，因此最小值不为2，所以选项B错误；
对于选项C，，而，，因此选项C正确；
对于选项D，当时，，因此选项D错误.
故选：AC
10. 已知函数图像经过点，则下列结论正确的有（ ）
A. 为偶函数
B. 为增函数
C. 若，则
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据函数图像经过点，得到，定义域为，然后逐项判断.
【详解】解：因为函数图像经过点，
所以，解得，则，定义域为，
定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，易知为增函数，所以当时，，
作出函数的图象，如图所示：
由图象知：，
所以当时，，
故选：BCD
11. 若正实数满足，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为4B. 的最大值为4
C. 的最小值为D. 的最大值为8
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据题意，结合基本不等式及其变形，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，正实数满足，
对于A中，由，当且仅当时，等号成立，
可得，解得，所以A正确；
对于B中，由，可得，当且仅当时，等号成立，
所以的最大值为，所以 B正确；
对于C中，由，可得，
则，
当且仅当时，等号成立，所以C正确；
对于D中，由，
因为，所以的最小值为，当且仅当时取得最小值，
所以D错误.
故选：ABC.
12. 设函数，其中表示中的最小者，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 当时，则
C. 当时，则
D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意画出的大致图象,然后依据图象逐个检验即可．
【详解】根据，作出以下图形，
对A选项，，
结合图象可知为偶函数，所以恒成立，故选项A正确；
对B选项，当时，，，
显然根据图象得，故B正确；
对C选项，当时,，
当时，，
而，此时，故C错误；
对D选项，由图知,当时,,且时，恒成立，
可令,则，故，
所以，故选项D正确；
故选：ABD.
三､填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 命题“，”的否定是_________．
【答案】，
【解析】
【分析】根据命题否定的定义写出即可.
【详解】命题“，”的否定是，；
故答案为：，.
14. 已知，求的解析式为_________.
【答案】
【解析】
【详解】配凑法：
故答案为：
换元法：令，则，代入可得
故答案为：
15. 已知函数且，则的值为__________
【答案】
【解析】
【分析】由函数的解析式发现，它是由一个奇函数加一个常数的形式，再注意到已知的函数值和要求的函数值，它们的自变量互为相反数，所以可以直接代入利用奇函数的性质求解.
【详解】因为，所以，
所以，
所以
，
故答案为：.
16. 若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是__________.
【答案】或
【解析】
【分析】分、、三种情况讨论，当时得到，即可求出的取值范围.
详解】①当时，解得，不符合题意；
故，关于的不等式，即，
②当时，不等式即，解得或，即它的解集为，不满足题意；
③当时，不等式即．
由于，当且仅当时取等号，故它的解集为，
，即，解得或，
则实数的取值范围为或.
故答案为：或．
四､解答题（共6小题，共70分.第17题10分，其他每题12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 设集合，
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由交集和补集的概念求解，
（2）转化为集合间关系列式求解．
【小问1详解】
当时，，
，或，．
【小问2详解】
由得，
当时，得，解得，
当时，得，解得，
综上，的取值范围为
18. 已知幂函数的图象过点，幂函数的图象不过原点.
（1）求函数与的解析式；
（2）设函数，判断在上的单调性并用定义证明.
【答案】（1），
（2）在递增，证明见解析
【解析】
【分析】（1）设，得，求解可得函数的解析式，由，求解得函数的解析式，再检验即可；
（2）根据定义法的步骤即可判断单调性.
【小问1详解】
设，
若幂函数的图象过点，
则，解得：，故，
由，解得：或，故或，
又幂函数的图象不过原点，故；
【小问2详解】
由（1）得，
在上单调递增，证明如下：设，
则
，
因为，所以，
所以，即，
故在上单调递增.
19. 已知不等式的解集为或.
（1）求实数a，b的值；
（2）解关于x的不等式（其中c为实数）.
【答案】（1），，
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据不等式的解集得出对应方程的解，由此求出、的值；
（2）不等式化为，然后分，和讨论即可求出不等式的解集．
【小问1详解】
不等式的解集为，或，
所以1和是方程的解，
所以，解得；
由根与系数的关系知，解得；
所以，；.
【小问2详解】
由（1）知，不等式为，
即，
当时，不等式化为，解得；
当时，解不等式得；
当时，若，即时，解不等式得或，若，即时，解不等式得，若，即，解不等式得或，
综上知，时，不等式的解集为；
时，不等式的解集为
时，不等式的解集为或；
时，不等式的解集为
时，不等式的解集为或．
20. 已知函数在闭区间（）上的最小值为．
（1）求的函数表达式；
（2）画出的简图，并写出的最小值．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
【详解】【试题分析】（1）由于函数的对称轴为且开口向上，所以按三类，讨论函数的最小值.（2）由（1）将分段函数的图象画出，由图象可判断出函数的最小值.
【试题解析】
（1）依题意知，函数是开口向上的抛物线，
∴函数有最小值，且当时，．
下面分情况讨论函数在闭区间（）上的取值情况：
①当闭区间 ，即时，在处取到最小值，
此时；
②当，即时，处取到最小值，此时；
③当闭区间，即时，在处取到最小值，
此时．
综上，的函数表达式为
（2）由（1）可知，为分段函数，作出其图象如图：

由图像可知．
【点睛】本题主要考查二次函数在动区间上的最值问题，考查分类讨论的数学思想，考查数形结合的数学思想方法.由于二次函数的解析式是知道的，即开口方向和对称轴都知道，而题目给定定义域是含有参数的动区间，故需要对区间和对称轴对比进行分类讨论函数的最值.
21. 民族要复兴，乡村要振兴，合作社助力乡村产业振兴，农民专业合作社已成为新型农业经营主体和现代农业建设的中坚力量，为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献.某农民专业合作社为某品牌服装进行代加工，已知代加工该品牌服装每年需投入固定成本30万元，每代加工万件该品牌服装，需另投入万元，且根据市场行情，该农民专业合作社为这一品牌服装每代加工一件服装，可获得12元的代加工费.
（1）求该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润y（单位：万元）关于年代加工量x（单位：万件）的函数解析式.
（2）当年代加工量为多少万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大?并求出年利润的最大值.
【答案】（1）
（2）当年代加工量为15万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大，最大值为25万元
【解析】
【分析】（1）根据利润与成本之间的关系，即可结合的表达式求解，
（2）根据二次函数以及不等式求解最值，由分段函数的性质即可求解最大值.
【小问1详解】
当时，；
当时，.
故
【小问2详解】
当时，函数为开口向下的二次函数，且对称轴为直线
所以在上单调递增，
故（万元）；
当时，，
当且仅当，即时，等号成立.
即当时，（万元）.
因为，所以当年代加工量为15万件时，该农民专业合作社为这一品牌服装代加工费的年利润最大，最大值为25万元.
22. 设函数的定义域是，且对任意正实数x，y都有恒成立，已知，且当时，.
（1）求的值；
（2）判断在区间内的单调性，并给出证明；
（3）解不等式.
【答案】（1）；
（2）增函数，理由见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用赋值法，即可求得所求的函数值，得到答案；
（2）首先判定函数为增函数，然后利用函数的单调性的定义和所给条件进行证明即可；
（3）利用函数的单调性和所得函数值对应的自变量得到函数不等式，得出不等式组，即可求解.
【小问1详解】
由题意，函数对任意的正实数x，y都有恒成立，
令，可得，所以，
令，可得，即，解得；
【小问2详解】
函数为增函数，证明如下：
设且，
令，根据题意，可得，即，
又由时，，
因为，可得，即，即，
所以函数在上的单调递增；
【小问3详解】
由题意和（1）可得：，
又由不等式，即，
可得，解得，
即不等式的解集为.
【点睛】关键点睛：令，构造大于1的实数是证明单调性的关键.