2023-2024学年上海市曹杨第二中学高二上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年上海市曹杨第二中学高二上学期10月月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．在空间中，若直线与无公共点，则直线的位置关系是 ；
【答案】平行或异面
【分析】根据直线与直线的位置关系直接判断
【详解】与无公共点，与可能平行，可能异面．
【点睛】本题考查两直线的位置关系的判断，解题时要认真审题，注意空间思维的培养，属基础题．
2．不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】根据分式不等式的求法可直接求得结果.
【详解】由得：，解得：，即不等式的解集为.
故答案为：.
3．在长方体中，若，，则点到平面的距离为 ．
【答案】/
【分析】根据等体积法求点到面的距离．
【详解】设点到平面的距离为，
又长方体中，且，，
则，
则，
，
又，即，解得，
故点到平面的距离为．

故答案为：．
4．已知复数满足（为虚数单位），则 ．
【答案】
【分析】利用复数的除法运算求出，再求，进而得到复数的虚部.
【详解】由，
得，则.
故答案为：.
5．一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的梯形，其中，，则原平面图形的周长为 ．
【答案】/
【分析】根据直观图还原原图形，结合直角梯形运算求解即可得解.
【详解】由直观图还原原图形，如图，
在直观图中，过作交轴于，
则，
可知四边形为直角梯形，
且，，
在直角梯形中过作于，
在中，，
故直角梯形周长为，
故答案为：
6．已知是边长为8的菱形，且，若平面，且，则点到直线的距离为 ．
【答案】5
【分析】作，连接，根据平面，得到，又，利用勾股定理即可求解．
【详解】已知是边长为8的菱形，且，若平面，且，
作，连接，
平面，平面,所以,
又，平面,故平面，
平面，，故为点到直线的距离，
又，．
故答案为：5．
7．已知正三棱柱的侧棱长与底面边长相等，则直线与侧面所成角的正弦值等于 ．
【答案】
【详解】
在正三棱柱ABC—A1B1C1中，取A1C1的中点E，
则连B1E，B1E垂直于A1C1，
所以B1E垂直于平面ACC1A1，连AE，
则角B1AE就是AB1与侧面ACC1A1所成角
由正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，设棱长为，
AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于
8．已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于 ．
【答案】
【分析】利用余弦定理得到，进而得到结合正弦定理得到结果.
【详解】，由正弦定理得.
【点睛】本题考查解三角形的有关知识，涉及到余弦定理、正弦定理及同角基本关系式，考查恒等变形能力，属于 基础题.
9．在四面体中，若，则异面直线与的距离为 ．
【答案】
【分析】分别取AB，CD的中点E，F，连接CE，DE，AF，BF，EF，证得EF为异面直线AB和CD的公垂线求解.
【详解】如图所示：
分别取AB，CD的中点E，F，连接CE，DE，AF，BF，EF，
因为，
所以，
又因为E为中点，
所以，同理，
所以EF为异面直线AB和CD的公垂线，
所以，
故答案为：
10．设常数．如图在矩形中，平面．若线段上存在点，使得，则的取值范围是 ．

【答案】
【分析】通过建系，把转换成向量垂直坐标运算，结合存在点，进而转换为方程有解问题.
【详解】
因为在矩形中，平面，
所以以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
设，，其中或不符题意，
则，，，
则有，
由，得
即，
若线段上存在点，即方程在有解，
设函数为，，对称轴为，
则方程在有解需满足，
又因为，
所以.
故答案为：
11．已知在以为直径的圆周上．若，则 ．
【答案】6
【分析】连接, 利用数量积公式表示, 再结合其几何意义计算即可.
【详解】连接，
因为是直径，所以，
又因为,，
所以，
所以
.
故答案为: 6 .
12．已知是边长为1的正方形，在空间中取4个不同的点，使得它们与恰好成为一个侧棱长为1的正四棱柱的8个顶点，则不同的取法数为 ．
【答案】12
【分析】根据题意，按正方形在棱柱中的位置分2种情况讨论，分析正四棱柱的数目，相加可得答案．
【详解】根据题意，分2种情况讨论：
①正方形作为对角面时，有6个，
②正方形作为正四棱柱的底面或侧面，有6个，
共有种取法．
故答案为：12.
二、单选题
13．已知，是两个不同的平面，直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由面面垂直的判定定理及面面垂直的性质，结合充分必要条件的定义即可判断.
【详解】根据面面垂直的判定定理，可知若，则“”则成立，满足充分性；
反之，若，则与的位置关系不确定，即不满足必要性；
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
14．在四面体中，已知，若不是等边三角形，且点在平面上的投影位于内，则点是的（ ）
A．重心B．外心C．内心D．垂心
【答案】D
【分析】先证明平面，平面，进而可证得，，即可得解.
【详解】如图，由题意可知平面，
因为平面，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以，
因为平面，
所以平面，
又平面，所以，
所以点是的垂心.
故选：D.
15．已知，设函数在区间上的最大值为，在区间上的最大值为，当变化时，下列情况不可能发生的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据的单调性，取特殊值排除选项.
【详解】取时，则，，函数在上单调递减，最大值为，函数在上单调递减，最大值为，故A正确；
取时，则，，函数在上单调递减，最大值为，函数在上单调递减，在上单调递增，最大值为，故B正确；
取时，则，，函数在上单调递减，在上单调递增，最大值为，函数在上单调递增，，最大值为，故C正确；
所以不可能发生的是D.
故选：D.
16．如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，为底面上的动点，若直线平面，则线段的长度的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得 和平面的一个法向量为，根据平面，求得，再由，得到，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】如图所示，以点为原点，所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为正方体的棱长为2，且分别是棱的中点，为底面上的动点，
可得
则，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
因为平面，所以，
因为，且，
所以，
所以当时，取得最小值，最小值为.
故选：B.
三、解答题
17．已知公差d不为0的等差数列的前n项和为，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列，，求数列的前n项和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由，应用等差数列前n项和、等差中项公式得，结合已知求基本量，进而写出的通项公式；
（2）由（1）得，应用分组求和，结合等差等比前n项和公式求.
【详解】（1）由题设，则，即，
所以，而，易得，则，
故.
（2）由（1）知：，则，
所以.
18．如图，在圆柱中，是底面圆的直径，为半圆弧上一点，是圆柱的母线．已知，，圆柱的体积为．

(1)求圆柱的表面积；
(2)求异面直线与所成角的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据题意求出圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积求出其高，进而即可求出圆柱的表面积；
（2）由题意可得，从而得到异面直线与所成角为，再求出，，再利用余弦定理计算夹角即可求解．
【详解】（1）设圆柱的高为，
由是底面圆的直径，且，，
则,则圆柱的底面半径为，
又圆柱的体积为，解得，
所以圆柱的表面积为．
（2）连接，，
由题意可得，
则异面直线与所成角为直线与所成角，即，
又结合（1）可得,，
在中，有，
在中，有，
所以，
故异面直线与所成角的大小为．

19．如图，是矩形所在平面外一点，且平面．已知．
(1)求二面角的大小；
(2)求直线与平面所成角的大小．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据二面角的定义求即可；
（2）根据线面角的定义构造垂直解三角形即可.
【详解】（1）因为底面为矩形，所以,
又因为平面，平面，
所以，
平面，所以平面，
又平面，所以，
易知二面角即二面角，
因为，，所以即其平面角，
由题意易知，
故二面角的大小为；
（2）如图所示，过作交于点，连接，
根据已知平面，平面，所以，
因为平面，
所以平面，
由直线与平面的夹角的定义可知直线与平面所成角为，
矩形中，易知，又易知，
所以，
所以直线与平面所成角大小为.
20．如图，三棱柱中，，，，点M，F分别为BC，的中点，点E为AM的中点．
(1)证明：；
(2)证明：平面；
(3)求直线EF与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一定理及线面垂直的判定定理，结合线面垂直的性质定理即可求解；
（2）利用三角形的中位线定理及平行四边形的判定和性质，结合线面平行的判定定理即可求解；
（3）根据平行线的性质及线面角的定义，再利用线面平行的判定定理及线面垂直的性质定理，结合锐角三角函数即可求解.
【详解】（1），点M为BC的中点
同理，,平面,
平面,
平面

（2）取BM中点为G，连接EG、,
则，所以
又，
所以四边形为平行四边形，所以
而在平面内，EF在平面外，
故平面，
（3）因为，所以只需求直线与平面所成角的正弦值．
因为，所以，
因为
所以
因为 所以
需求点到平面的距离．
因为，不在平面内，BC在平面内，
所以平面，所以只需求到平面的距离．
过作的垂线，垂足为H．如图所示
因为平面，所以．
又因为，，所以平面
因为 所以
所以．
所以直线EF与平面所成角的正弦值为.
四、证明题
21．对于定义在上的函数和，若对任意给定的，不等式都成立，则称函数是函数的“从属函数”．
(1)若函数是函数的“从属函数”，且是偶函数，求证：是偶函数；
(2)设，求证：当时，函数是函数的“从属函数”；
(3)若定义在上的函数和的图像均为一条连续曲线，且函数是函数的“从属函数”，求证：“函数在上是严格增函数或严格减函数”是“函数在上是严格增函数或严格减函数”的必要非充分条件．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据“从属函数”的定义和偶函数的性质可证对任意，恒成立，即可证明是偶函数；
（2）不妨设，当时，利用放缩法可证，即可得证函数是函数的“从属函数”；
（3）可通过举反例证明非充分，必要性，即证：函数是函数的“从属函数”，若函数在上为严格增函数或严格减函数，则函数在上是严格增函数或严格减函数，分情况讨论得证.
【详解】（1）因为是上的偶函数，故对任意的都有．又是上的“从属函数”，于是恒成立，即对任意的成立，故是偶函数；
（2）不妨设，当时，在上是严格增函数，有．
而，
所以，
因此，当时，函数是函数的“从属函数”；
（3）举反例不具备充分性.
令，显然在上是严格增函数，
因为，
所以函数是函数的“从属函数”，但在上不是单调函数．
因此不是的充分条件．
必要性证明，即证：函数是函数的“从属函数”，
若函数在上为严格增函数或严格减函数，
则函数在上是严格增函数或严格减函数．
任取，且，有，即对任意，且，有．
下面证明：对任意的实数，有或成立．
若存在，，使得且…①，
其中不妨设…②，
当①或②式中有等号成立时，则与（其中）矛盾！
当①②两式中等号均不成立时，考虑，
因为，
由连续函数的零点存在定理知，必存在使得，
也与（其中）矛盾！
同理可证且也不可能.
【点睛】思路点睛：第二问利用放缩法即可得证，第三位可通过举反例证明非充分，必要性利用定义可得答案.