2023-2024学年上海市普陀区曹杨二中高一（上）第一次月考数学试卷（10月份） （含解析）

这是一份2023-2024学年上海市普陀区曹杨二中高一（上）第一次月考数学试卷（10月份） （含解析），共13页。试卷主要包含了填空题.，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）方程组的解集是 ．
2．（3分）“如果，那么”是 命题（填“真”或“假” ．
3．（3分）下列表达式中正确的序号是 ．
①；②；③，2，3，；④
4．（3分）命题“，是实数，若，则”，用反证法证明时，应先假设 ．
5．（3分）若，，，则实数 ．
6．（3分）已知等式恒成立，则常数 ．
7．（4分）设集合，则 ．
8．（4分）已知全集，集合且，则 ．
9．（4分）“集合至多含有一个元素”的一个充分非必要条件是 ．
10．（4分）已知集合，，且，则实数的取值范围是 ．
11．（4分）设、是关于的方程的两个实数根，则的最小值为 ．
12．（4分）集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且．假设集合，，，其中实数，，，，，满足：
（1），；；（2）；（3）．
计算 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分16分，每题4分）
13．（4分）若，则下列不等式中不能成立的是
A．B．C．D．
14．（4分）设，命题“存在，使方程有实根”的否定是
A．对任意，方程无实根
B．对任意，方程无实根
C．对任意，方程有实根
D．对任意，方程有实根
15．（4分）设为全集，，是的子集，则“存在集合使得，”是“”的 条件．
A．充分非必要B．必要非充分
C．充要D．既非充分又非必要
16．（4分）若且，则称集合为“和谐集”，已知集合，，0，1，，，则集合的子集中“和谐集”的个数为
A．0B．1C．2D．3
三、解答题（本大题共有4题，满分42分）
17．（8分）设集合，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
18．（10分）已知集合，，．
（1）判断8、9、10是否属于集合；
（2）已知，，证明：“”的充分非必要条件是“”．
19．（10分）（1）当时，求证：；
（2）已知，，，．试证明，，至少有一个不小于1．
20．（14分）已知集合，，，，，具有性质：对任意，，与至少一个属于．
（1）分别判断集合，2，与，2，是否具有性质，并说明理由；
（2），，具有性质，当时，求集合；
（3）记，求．
参考答案
一、填空题（共有12题，满分42分，第1～6题每题3分，第7～12题每题4分）
1．（3分）方程组的解集是 ．
【答案】．
解：根据题意，方程组，利用代入消元法，可得，
故答案为：．
2．（3分）“如果，那么”是 真 命题（填“真”或“假” ．
【答案】真．
解：，
，
由不等式性质可得两边同时除以，不等号方向不变，
即，
故答案为：真．
3．（3分）下列表达式中正确的序号是 ②④ ．
①；②；③，2，3，；④
【答案】②④．
解：根据题意，①，故①错，②空集是任何集合的子集，故，故②对，
③，2，3，，故③错，
④由表示自然数集，表示整数集可得，，故④正确，
故答案为：②④．
4．（3分）命题“，是实数，若，则”，用反证法证明时，应先假设 ，不都等于1 ．
解：由题意，即考虑的否定，由于，都等于1，故否定为，不都等于1，
故答案为：，不都等于1．
5．（3分）若，，，则实数 或4 ．
【答案】或4．
解：因为，，，
所以①若，则，，，，满足集合元素的互异性；
②若，则或2（舍，此时，，，，，满足集合元素的互异性；
综上可知：或4．
故答案为：或4．
6．（3分）已知等式恒成立，则常数 4 ．
【答案】4．
解：等式恒成立，
，
，解得，
，
故答案为：4．
7．（4分）设集合，则 ， ．
解：，，
则，．
故答案为：，．
8．（4分）已知全集，集合且，则 或 ．
【答案】或．
解：，，
．
故答案为：或．
9．（4分）“集合至多含有一个元素”的一个充分非必要条件是 （答案不唯一） ．
【答案】（答案不唯一）．
解：由方程，
当时，即为，解得，此时满足题意；
当时，要使得集合中至多含有一个元素，
则满足△，解得，
综上可得，方程至多一个解时，实数的取值范围为，
所以集合中至多含有一个元素的一个充分不必要条件为．
故答案为：（答案不唯一）．
10．（4分）已知集合，，且，则实数的取值范围是 ．
【答案】．
解：集合或，
因为，所以，解得，
实数的取值范围是．
故答案为：．
11．（4分）设、是关于的方程的两个实数根，则的最小值为 ．
【答案】．
解：因为、是关于的方程的两个实数根，
所以，且△，
所以，
，
结合二次函数的性质可知，当时取得最小值．
故答案为：．
12．（4分）集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且．假设集合，，，其中实数，，，，，满足：
（1），；；（2）；（3）．
计算 或 ．
【答案】或．
解：因为，，，
所以，所以，
因为，所以，所以，所以；
同理，，所以；
由（1），；；（2）；（3）；
所以；
所以，，；
所以或．
故答案为：或．
二、选择题（本大题共有4题，满分16分，每题4分）
13．（4分）若，则下列不等式中不能成立的是
A．B．C．D．
【答案】
解：对于选项，
，，
，
即，
故不等式成立；
对于选项，
，
，
故不等式成立；
对于选项，
，
，
即，
故不等式成立；
对于选项，
，
，
故不等式不成立；
故选：．
14．（4分）设，命题“存在，使方程有实根”的否定是
A．对任意，方程无实根
B．对任意，方程无实根
C．对任意，方程有实根
D．对任意，方程有实根
【答案】
解：因为命题“存在，使方程有实根”为特称命题，
则其否定为全称命题，即为“任意，方程无实根”，
故选：．
15．（4分）设为全集，，是的子集，则“存在集合使得，”是“”的 条件．
A．充分非必要B．必要非充分
C．充要D．既非充分又非必要
【答案】
解：
若“存在集合使得，”，如图所示，推不出“”，故充分性不满足；
反之，若“”，如图所示，推不出“存在集合使得，”，故必要性不满足；
所以“存在集合使得，”是“”的既非充分又非必要条件．
故选：．
16．（4分）若且，则称集合为“和谐集”，已知集合，，0，1，，，则集合的子集中“和谐集”的个数为
A．0B．1C．2D．3
【答案】
解：由且，
若，则；
若，则，，
；
若，则，但，不存在；
所以集合的子集中“和谐集”只有，，，
故选：．
三、解答题（本大题共有4题，满分42分）
17．（8分）设集合，．
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】，．
解：由得或，故集合，
（1），，代入中的方程，
得或；
当时，，，满足条件；
当时，，满足条件；
综上，的值为或；
（2）对于集合，
△．
，，
①当△，即时，满足条件；
②当△，即时，，满足条件；
③当△，即时，，才能满足条件，
则由根与系数的关系得
矛盾；
综上，的取值范围是，．
18．（10分）已知集合，，．
（1）判断8、9、10是否属于集合；
（2）已知，，证明：“”的充分非必要条件是“”．
【答案】（1），，；
（2）证明见解析．
解：（1），，，，
假设，，，
则，且，
，或，
显然均无整数解，，
，，．
（2）集合，，
则恒有，，
即一切奇数都属于，
又，，
“”的充分不必要条件是“”．
19．（10分）（1）当时，求证：；
（2）已知，，，．试证明，，至少有一个不小于1．
【解答】证明：（1）
，
，，
（2）假设，，都小于1，即，，
则有①
而②
①与②矛盾
故，，至少有一个不小于1．
20．（14分）已知集合，，，，，具有性质：对任意，，与至少一个属于．
（1）分别判断集合，2，与，2，是否具有性质，并说明理由；
（2），，具有性质，当时，求集合；
（3）记，求．
【答案】（1）具有性质，不具有性质．
（2），4，．
（3）．
解：（1）集合，2，中，因为，，，所以集合具有性质．
集合，2，中，因为，，所以集合不具有性质．
（2）因为，且，，具有性质，所以，，
则，又因为，所以，则，
由集合的互异性知．
故：，4，．
（3）因为具有性质，所以．，则，则，
又因为，所以，
又因为，2，，，所以，则，
所以，，，，．
所以，
即，
所以，则．