2024年新高考数学名校重难点练习：2022高考数学解题技巧讲义

这是一份2024年新高考数学名校重难点练习：2022高考数学解题技巧讲义，共196页。
\l "_Tc29646" 技巧2 口算奇偶性求参数 PAGEREF _Tc29646 6
\l "_Tc298" 技巧3 形如f(x)=奇函数+常数 PAGEREF _Tc298 9
\l "_Tc26555" 第2讲 平面向量 PAGEREF _Tc26555 19
\l "_Tc10887" 技巧1 奔驰定理 PAGEREF _Tc10887 22
\l "_Tc22360" 技巧2 三角形的四心 PAGEREF _Tc22360 26
\l "_Tc10039" 技巧3 极化恒等式 PAGEREF _Tc10039 28
\l "_Tc21205" 第3讲 解三角形 PAGEREF _Tc21205 39
\l "_Tc25532" 技巧一 三角形的射影定理 PAGEREF _Tc25532 41
\l "_Tc1398" 技巧2 三角形的中线定理 PAGEREF _Tc1398 43
\l "_Tc13288" 技巧3 角平分线的定理 PAGEREF _Tc13288 45
\l "_Tc31454" 第4讲 数 列 PAGEREF _Tc31454 55
\l "_Tc18316" 技巧1 等比数列前n项和规律 PAGEREF _Tc18316 58
\l "_Tc29576" 技巧2 单一条件口算结果 PAGEREF _Tc29576 59
\l "_Tc5488" 技巧3 公式法口算通项 PAGEREF _Tc5488 61
\l "_Tc27216" 技巧4 错位相减法口算结果 PAGEREF _Tc27216 63
\l "_Tc30553" 技巧5 斐波那数列 PAGEREF _Tc30553 65
\l "_Tc15095" 第5讲 焦点三角形 PAGEREF _Tc15095 76
\l "_Tc18146" 技巧1 焦点三角形的周长 PAGEREF _Tc18146 79
\l "_Tc6657" 技巧2 焦点三角形的面积 PAGEREF _Tc6657 80
\l "_Tc2672" 技巧3 焦点三角形的离心率 PAGEREF _Tc2672 82
\l "_Tc20586" 第6讲 离心率 PAGEREF _Tc20586 95
\l "_Tc31382" 技巧1 焦点三角形中的离心率 PAGEREF _Tc31382 98
\l "_Tc505" 技巧2 点差法中的离心率 PAGEREF _Tc505 100
\l "_Tc11152" 技巧3 渐近线与离心率 PAGEREF _Tc11152 103
\l "_Tc15165" 技巧4 焦点弦与离心率 PAGEREF _Tc15165 106
\l "_Tc17358" 第7讲 点差法 PAGEREF _Tc17358 119
\l "_Tc11392" 技巧1 点差法在椭圆在的应用 PAGEREF _Tc11392 121
\l "_Tc12198" 技巧2 点差法在双曲线在的应用 PAGEREF _Tc12198 126
\l "_Tc24879" 技巧3 点差法在抛物线在的应用 PAGEREF _Tc24879 131
\l "_Tc921" 第8讲 外接球与内切球 PAGEREF _Tc921 152
\l "_Tc32636" 技巧1 外接球之墙角模型 PAGEREF _Tc32636 158
\l "_Tc2523" 技巧2 外接球之汉堡模型 PAGEREF _Tc2523 159
\l "_Tc14938" 技巧3 外接球之斗笠模型 PAGEREF _Tc14938 163
\l "_Tc7416" 技巧4 外接球之折叠模型 PAGEREF _Tc7416 165
\l "_Tc12282" 技巧5 外接球之切瓜模型 PAGEREF _Tc12282 168
\l "_Tc16592" 技巧6 外接球之麻花模型 PAGEREF _Tc16592 170
\l "_Tc361" 技巧7 外接球之矩形模型 PAGEREF _Tc361 171
\l "_Tc13376" 技巧8 内切球半径 PAGEREF _Tc13376 173
第1讲 函数相关技巧
技巧导图
技巧详讲
分式函数求值域-----分子分母为同类型函数
（一）注意事项
求值域前先求定义域，如果给出区间则不用求定义域
几个极限值
（二）模式
二.奇偶性
常见函数的奇偶性（前提定义域关于原点对称）
有对称轴函数解不等式或比较大小----比较的是两个自变量与对称轴距离的远近
当函数的对称轴为x=a，则f(x1)>f(x2)
当函数的先增后减时，
当函数的先减后增时，
奇偶性的运算
同性相加减的同性，异性相加减为非奇非偶
同性乘除为偶函数，异性乘除为奇函数
函数模型为f(x)=g(x)+k，其中g(x)为奇函数，所给区间要关于原点对称
f(x)+f(-x)=2k
推导：f(x)+f(-x)=g(x)+k+g(-x)+k=g(x)-g(-x)+2k=2k
f(x)max+f(x)min=2k
推导 :f(x)max+f(x)min=g(x)max+k+g(x)min+k=2k(奇函数的最大值与最小值成相反数）
如何找k---f(0)=k
推导:f(0)=g(0)+k=k
技巧举证
技巧1 分式函数求值域
【例1】（1）（2020山西省太原市实验中学）已知函数的取值范围 。
（2）（2020湖南省长沙市第一中学）函数的值域为 。
【答案】（1）【，】（2）
【解析】，则其值域【，】
（2）常规法：分离常数由已知:,.
技巧法：t=x2,t≥0，则函数y=f(x)=t-1t+1,f(0)=-1,f(∞)=1(取不到，开区间），
【举一反三】
1．（2019上海市普陀区曹杨第二中学函数），的值域是________；
【答案】；
【解析】技巧法：f(0)=32,f(2)=74故答案为：
常规法：,因为,故,
故.故答案为：
2．（2020广东省东莞市北师大东莞石竹附属学校）函数的值域是 。
【答案】，
【解析】技巧法：t=x2,t≥0，则函数y=f(x)=-t+2t+2,f(0)=1,f(∞)=-1(取不到，开区间），即函数的值域是，．
常规法：，
，，则，．
即函数的值域是，．
3.（2020陕西省西安市高新一中）函数的值域为________.
【答案】
【解析】技巧法：的定义域为，则y≠f(-1)=4
故答案为：
常规法：由题.
因为的值域为,故的值域为,
故的值域为.
故的值域为故答案为：
技巧2 口算奇偶性求参数
【例2】（1）（2020·福建漳州·高三其他（文））若函数是偶函数，则实数（ ）
A．B．0C．1D．
（2）（2020·河南高三月考（理））已知是奇函数，且实数满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】（1）C（2）D
【解析】（1）技巧法：因为函数为偶函数，正弦为奇函数，所以对数为奇函数，根据常见函数可知
常规法：因为是偶函数，是奇函数，
所以是奇函数，所以，
所以，所以，
所以，所以，故选：C.
（2）因为是定义域为的奇函数，所以，可得，
此时，易知在上为减函数.
又因为，所以，所以.故选：D.
【举一反三】
1．（2020·沙坪坝·重庆南开中学高三月考（理））已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】技巧法：根据常见奇偶性函数可知f(x)为偶函数，根据对勾函数已知二次函数可知x>0函数为单调递增，则x9,说明焦点在x轴上，同时a=4,b=3,而过点F2的直线交椭圆于A，B两点，则点A到F2，F1的距离和为2a=8,点B到F2，F1的距离和为2a=8，结合椭圆的定义可知△AF1B的周长为4a=16.在结合三角形的周长公式可知，其中两边之和为10，则另一边的长度为16-10=6故选A.
2．（2020·广西钦州一中）设椭圆C：(a>0，b>0)的左､右焦点分别为，，离心率为.P是C上一点，且⊥.若的面积为4，则a=（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【解析】
（技巧法）
（常规法），，由椭圆定义，，
由⊥得，
的面积为4，则，即，
，即,解得，即，故选：C.
3．（2020·河南高三其他（文））椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上的点满足：，且，则（ ）
A．1B．
C．D．2
【答案】C
【解析】设，，则，
又（1），（2），
式平方减去（2）式得：，得：.故选：C.
4．（2020·黑龙江绥化·高三其他（理））已知对任意正实数m，n，p，q，有如下结论成立：若，则有成立，现已知椭圆上存在一点P，，为其焦点，在中，，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得：，
所以，所以，解得.故选：C
5．（2020·山西临汾）已知椭圆的左，右焦点分别为，若上的点到的距离为，则△的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意知，，，所以，
因为，且，所以，
在△中，，因为，
所以，所以△的面积为.故选：C.
6．（2020·陆川中学）已知，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
（常规法）由题设可知点在以为直径端点的圆上，由此可得该圆的半径，即，也即，故应选答案A ．
7．（2020·全国高三一模（文））设椭圆的两焦点为，，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
当是椭圆的上下顶点时，最大，
∴，
∴，
∴，
，，
∴，
则椭圆的离心率的最小值为.
故选：C.
8．（2019·江西南昌十中））已知点F1，F2分别是椭圆C1和双曲线C2的公共焦点，e1，e2分别是C1和C2的离心率，点P为C1和C2的一个公共点，且，若，则e1的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设椭圆的长半轴长为,双曲线的实半轴长为,焦点坐标为，不妨设P为第一象限的点，做出示意图如下图所示，由椭圆与双曲线的定义得，所以得，
又因为，由余弦定理得 ，所以得 所以得即，
所以，
因为，所以，，，
所以，所以，所以，所以，
故选：D.
9．（2020·伊美区第二中学）设是双曲线的两个焦点,是双曲线上的一点,且,则的面积等于（ ）
A．B．
C．24D．48
【答案】C
【解析】双曲线的实轴长为2,焦距为.根据题意和双曲线的定义知
,所以,,
所以,所以.所以.
故选：C
10．（2020·四川青羊·树德中学高二月考（文））设、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由双曲线的定义得，又，
，即，
因此，即，则，
解得，（舍去），
因此，该双曲线的离心率为.
故选：B.
11．（2020·吉林松原·高三其他（文））已知点是双曲线上一点，，分别为双曲线的左､右焦点，若的外接圆半径为4，且为锐角，则（ ）
A．15B．16C．18D．20
【答案】B
【解析】（技巧法）依题意，.
在三角形中， ，由正弦定理得，
即，由于为锐角，所以.
（常规法）依题意，.
在三角形中， ，由正弦定理得，
即，由于为锐角，所以.
根据双曲线的定义得.
在三角形中，由余弦定理得，
即，
即，
即，所以.
故选：B
12．（2020·陕西省丹凤中学高三一模（理））设，分别是双曲线的左右焦点.若点在双曲线上，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据题意，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，
.故选：D
13．（2020·陕西高三其他（文））已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，若，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
因为，所以，，，
所以，
所以的取值范围是.
（常规法）设，，，则由余弦定理得.
又，则，解得，
所以.
因为，所以，，，
所以，
所以的取值范围是.
故选：B.
14．（2020·河北张家口·高三期末（理））已知双曲线的焦点为，，点为双曲线上一点，若，，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设 ，
， ，解得 ，
， 故选D.
15．（2020·全国高三一模（理））已知F1，F2是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，M F1与轴垂直，sin ,则E的离心率为（ ）
A．B．
C．D．2
【答案】A
【解析】由已知可得，故选A.
16．（2019·平罗中学高三二模（理））已知，是双曲线E：的左、右焦点，点M在E上，与x轴垂直，，则双曲线E的离心率为
A．B．C．2D．3
【答案】A
【解析】
（常规法））与x轴垂直，，
设，则，
由双曲线的定义得，即，得，
在直角三角形中，，即，
即，
即，
则，
则，
故选A．
17．（2020·陕西西安·高三其他（理））已知椭圆的两个焦点是、，点是椭圆上一点，且，则的面积是______.
【答案】4
【解析】由椭圆的定义可知，，
又，
联立两式 ，可得
又，
所以，
所以是以为直角边的直角三角形，
所以的面积为.
故答案为：.
18．（2020·全国高二课时练习）设是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小_____.
【答案】
【解析】
椭圆，可得，设，，
可得，化简可得：，
，故答案为．
19．已知是椭圆的左，右焦点，点在上，且，则的面积为______．
【答案】
【解析】
（常规法）由题意，设，，则，
由余弦定理可得，，
又，∴，
∴的面积，
故答案为：．
第6讲 离心率
技巧导图
技巧详讲
焦点三角形中的离心率
1.椭圆
（1）椭圆：设椭圆焦点三角形两底角分别为、，则(正弦定理)。
微信公众号：钻研数学
2.双曲线：利用焦点三角形两底角来表示:。
双曲线的渐进线与离心率关系
直线与双曲线相交时，两个交点的位置
两个交点在双曲线的两支：
两个交点在双曲线的同一支:
两个交点在双曲线的左支: 微信公众号：钻研数学
两个交点在双曲线的右支:
焦点弦与离心率关系
，则有(为直线与焦点所在轴的夹角)。
例题举证
技巧1 焦点三角形中的离心率
【例1】(1)．已知，是双曲线：的左、右焦点，点在上，与轴垂直，，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．2C．D．
（2）（2020·安徽省高三三模）已知椭圆：的左右焦点分别为，，若在椭圆上存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】（1）C（2）A
【解析】（1）不妨设代入双曲线方程得

，
.故答案选：C
（2），
（当且仅当时取等号），，
由椭圆定义知：，又，
，，，又，离心率的取值范围为.故选：.
【举一反三】
1．（2020·沙坪坝区·重庆一中高三月考）已知点P在以为左，右焦点的椭圆上，在中，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】中，
所以故选：B
2．（2020·全国高三专题练习）已知点是以、为焦点的椭圆上一点，若，，则椭圆的离心率（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】点是以、为焦点的椭圆上一点，
，，，
，可得，，
由勾股定理可得，即，，
因此，该椭圆的离心率为.
故选：A.
3．（2019·辽宁沈阳市·沈阳二中高三月考（理））椭圆的离心率为，、是椭圆的两个焦点，是圆上一动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．0
【答案】A
【解析】椭圆的离心率为，即.
，故，当时等号成立.
根据余弦定理：
.故选：.
技巧2 点差法中的离心率
【例2】（1）（2020·四川外国语大学附属外国语学校）过点作直线与椭圆相交于两点，若是线段的中点，则该椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
（2）（2020·安徽省潜山第二中学）已知A，B是椭圆E：的左、右顶点，M是E上不同于A，B的任意一点，若直线AM，BM的斜率之积为，则E的离心率为
A．B．C．D．
【答案】（1）B（2）D
【解析】（1）设，，
由直线的斜率为可得，
由线段的中点为可得，，
由点在椭圆上可得，作差得，
所以，即，
所以，
所以该椭圆的离心率.
故选：B.
（2）由题意方程可知，，
设,
则 ,，整理得：，①
又，得，即，②
联立①②，得，即，解得．
故选D．
【举一反三】
1．已知双曲线：，斜率为2的直线与双曲线相交于点、，且弦中点坐标为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】B
【解析】设、，
则，，
所以，所以，
又弦中点坐标为，所以，，又，
所以，即，
所以双曲线的离心率.
故选：B.
2．（2020·全国高三专题）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，∴，∴点在以为直径的圆上，又点在椭圆内部，∴，
∴，即，∴，即，又，∴，
故选：B.
3．（2020·全国高三专题练习）若，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，当，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】依题意可知，，，
，，
由椭圆定义可知，
.故选：C.
技巧3 渐近线与离心率
【例3】已知圆的一条切线与双曲线有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意，圆心到直线的距离，解得，
圆的一条切线与双曲线有两个交点，
所以，所以，所以.
故选：D.
【举一反三】
1．若双曲线（，）与直线无公共点，则离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】若双曲线与直线无公共点，
等价为双曲线的渐近线的斜率，即，即，即，即，
则，则，，离心率满足，
即双曲线离心率的取值范围是，故选：A．
2．已知双曲线 (a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e的取值范围是（ ）
A．B．(1,2),C．D．
【答案】A
【解析】已知双曲线的右焦点为，
若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，
则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，
，离心率，，故选．
3．（2020·河南新乡市·高三）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过原点作斜率为的直线交的右支于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】题可知，，，，
所以，可得.
在中，由余弦定理可得，
即，解得.
双曲线的离心率为.
故选：D.
技巧4 焦点弦与离心率
【例4】（2020·石嘴山市第三中学高三三模）已知椭圆的左右焦点分别为，过作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，且，则椭圆的离心率=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】椭圆的左右焦点分别为，过且斜率为的直线为
联立直线与椭圆方程
消后，化简可得
因为直线交椭圆于A，B，设
由韦达定理可得
且，可得，代入韦达定理表达式可得
即
化简可得
所以
故选：D．
【举一反三】
1．（2020·河南省高三月考）倾斜角为的直线经过椭圆右焦点，与椭圆交于、两点，且，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设到右准线距离为，则，因为，则，所以 到右准线距离为，从而 倾斜角为，，选B.
2．（2020·全国高三专题练习）已知、是双曲线(，)的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，交另一条渐近线于点，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】B
【解析】（1）当时，设，则，设，
由题意可知，，，，
则，，，
代入得，
即，解得，则，
（2）当时，设，，设，
则，，
由题意可知，，，，
则，，，
则，
则，
代入得，即，解得，
则，
故选：B.
3．（2019·浙江高三其他模拟）已知过双曲线的右焦点F，且与双曲线的渐近线平行的直线l交双曲线于点A，交双曲线的另一条渐近线于点B（A，B在同一象限内），满足，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【解析】双曲线的渐近线方程为，如图，不妨设在第一象限，
直线的方程为，与联立，得；
直线与联立，得．
由，得，即，
得，即，则，故选：B．
技巧强化
1．已知倾斜角为的直线与双曲线C：（，）相交于A，B两点，是弦的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为倾斜角为的直线与双曲线C：（，）相交于A，B两点，
所以直线的斜率，
设，则①②
由①②得则
因为是弦的中点，
因为直线的斜率为1即所以
，则，故选：D
2．设F是双曲线的右焦点.过点F作斜率为-3的直线l与双曲线左、右支均相交.则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为双曲线的两条渐近线方程为，
当过点F且斜率为-3的直线l与渐近线平行时.
直线l只与双曲线右支有一个交点，数形结合可知，
当渐近线的斜率满足，即时，
直线l与双曲线左、右支均相交，
所以.
故选:C.
3．（2019·黑龙江佳木斯市·佳木斯一中高三月考）已知，分别是椭圆的左、右焦点，P是此椭圆上一点，若为直角三角形，则这样的点P有（ ）.
A．2个B．4个C．6个D．8个
【答案】C
【解析】由题意，则，当为椭圆短轴顶点时，，，，即，短轴顶点有2 个，过或作轴垂直与椭圆相交的点在4个，都是直角三角形，因此共有6个．
故选：C.
4．（2020·广东广州市）已知,分别是椭圆的左, 右焦点, 椭圆上存在点 使为钝角, 则椭圆的离心率的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设椭圆的上顶点为 ，则∵椭圆上存在点，使为钝角,

故答案为A
5．（2020·河北石家庄市）已知椭圆 ，点M,N为长轴的两个端点，若在椭圆上存在点H，使 ,则离心率e的取值范围为
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意 设 ，则
可得：
故选A．
6．（2020·全国高三专题练习）椭圆C：的左焦点为F，若F关于直线x＋y＝0的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．
C．D．－1
【答案】D
【解析】设F（－c,0）关于直线x＋y＝0的对称点为A（m，n），
则，解得m＝，n，
代入椭圆方程可得化简可得 e4－8e2＋4＝0，
又0＜e＜1，解得e＝－1.
故选：D.
7．（2020·全国高三专题练习）已知椭圆（a>b>0）的左右焦点分别为F1，F2．P是椭圆上一点．PF1F2为以F2P为底边
的等腰三角形，当60°0),则-=1.整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2==2×(-12),∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2.
又a2+b2=9,∴a2=4,b2=5.∴双曲线E的方程为-=1.故选B.
【举一反三】
1．（2019·陕西宝鸡市·高考模拟）双曲线的一条弦被点平分，那么这条弦所在的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】设弦的两端点，，，，斜率为，则，，
两式相减得，即，
弦所在的直线方程，即．故选C
2．（2019·广东佛山市·佛山一中高三期中）已知双曲线C：(a>0，b>0)，斜率为1的直线与C交于两点A，B，若线段AB的中点为(4，1)，则双曲线C的渐近线方程是
A．2x±y＝0B．x±2y＝0C．x±y＝0D．x±y＝0
【答案】B
【解析】设直线方程为，
联立，消去y，得，
设，
因为线段AB的中点为，所以，解得，
所以，所以，所以双曲线C的渐近线方程为，即，故选B.
3．（2020·吉林长春市·高三月考）双曲线被斜率为的直线截得的弦的中点为则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【解析】设代入双曲线方程作差有:，
有，所以，故选：B．
4．（2020·全国高三专题练习）过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：－y2＝1相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|＝（ ）
A．2B．2
C．3D．4
【答案】D
【解析】解法一：由题意可知，直线AB的斜率存在．设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k(x－4)＋2.由消去y并整理，得(1－2k2)x2＋8k(2k－1)x－32k2＋32k－10＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝－＝8，解得k＝1.
所以x1x2＝＝10.
所以|AB|＝·＝4.
故选:D.
解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ， ①
. ②
①－②得(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4.
所以4(x1－x2)－4(y1－y2)＝0，即x1－x2＝y1－y2，所以直线AB的斜率k＝＝1.则直线AB的方程为y＝x－2.
由消去y并整理，得x2－8x＋10＝0，
所以x1＋x2＝8，x1x2＝10.所以|AB|＝·＝4.
故选：D
5．（2020·全国高三专题练习）已知斜率为的直线与双曲线：(，)相交于、两点，且的中点为.则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设
，两式做差得
整理得，
而，，，
代入有，即
可得．
故选：A.
技巧3 点差法在抛物线在的应用
【例3】（1）（2020·云南昆明市·昆明一中高三月考）已知抛物线，以为中点作的弦，则这条弦所在直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
（2）（2020·贵州高三其他模拟）已知抛物线，倾斜角为的直线交于两点.若线段中点的纵坐标为，则的值为（ ）
A．B．1C．2D．4
【答案】（1）A（2）C
【解析】（1）设过点的直线交抛物线于、两点.
若直线垂直于轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意.
所以，直线的斜率存在，由于点为线段的中点，则，
由于点、在抛物线上，可得，
两式作差得，
所以，直线的斜率为，
因此，直线的方程为，即.故选：A.
（2）设直线方程为，联立得，
设，则，
因为线段中点的纵坐标为，所以，所以.故选：C.
【举一反三】
1．（2020·全国高三专题练习）直线过点与抛物线交于两点，若恰为线段的中点，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，
，两式相减得，
即，
当时，，
因为点是的中点，所以，，
解得：
故选：A
2．（2020·河北衡水市·衡水中学高三）已知直线与抛物线交于、两点，直线的斜率为，线段的中点的横坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设、\，
则，，两式相减得，
所以，解得，得，所以，
得直线，联立，得，，
由韦达定理得，，
所以，
故选：B.
技巧强化
1．（2020·全国高三专题练习）已知椭圆的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A．B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设，则=2，=－2，
， ① ， ②
①－②得，
∴===，
又==，∴=，又9==，
解得=9，=18，∴椭圆方程为，
故选：D．
2．（2020·全国高三专题练习）椭圆内有一点，则以为中点的弦所在直线的斜率为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设以点为中点的弦所在直线与椭圆相交于点，，，，斜率为．
则，，两式相减得，
又，，，
代入解得．
故选：．
3．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三三模）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，直线(为坐标原点)的斜率为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设A，，则，
A，代入椭圆方程得：，
两式相减可得：，
化简可得：，即：，
故选：B
4．（2020·全国高三专题练习）已知离心率为的椭圆内有个内接三角形，为坐标原点，边的中点分别为，直线的斜率分别为，且均不为0，若直线斜率之和为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可得，所以不妨设为.
设，，，，，，，
两式作差得，
则，，
同理可得，
所以，
故选：．
5．（2020·全国高三专题练习）中心为原点，一个焦点为F（0,5）的椭圆，截直线y＝3x－2所得弦中点的横坐标为，则该椭圆方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由已知得c＝5，设椭圆的方程为，联立得，
消去y得（10a2－450）x2－12（a2－50）x＋4（a2－50）－a2（a2－50）＝0，
设直线y＝3x－2与椭圆的交点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
由根与系数关系得x1＋x2＝，
由题意知x1＋x2＝1，即＝1，
解得a2＝75，所以该椭圆方程为.
故选：C
6．（2020·全国高三专题练习）椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，连接原点与线段MN中点所得直线的斜率为，则的值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，所以y1＋y2＝，
所以线段MN的中点为P，.
由题意知，kOP＝，所以．
故选：A.
7．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈师大附中高三）已知双曲线：，斜率为2的直线与双曲线相交于点、，且弦中点坐标为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】B
【解析】设、，则，，
所以，所以，
又弦中点坐标为，所以，，又，
所以，即，
所以双曲线的离心率.
故选：B.
8．（2020·青海西宁市·高三二模）已知倾斜角为的直线与双曲线C：（，）相交于A，B两点，是弦的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为倾斜角为的直线与双曲线C：（，）相交于A，B两点，
所以直线的斜率，
设，则①②
由①②得则
因为是弦的中点，
因为直线的斜率为1即所以
，则，故选：D
9．（2020·银川三沙源上游学校高三）已知直线:与双曲线:(，)交于，两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【解析】设，因为是弦的中点，根据中点坐标公式得.
直线:的斜率为，故.
因为两点在双曲线上，所以，
两式相减并化简得，
所以，所以.故选：D
10．（2020·齐齐哈尔市第八中学校高三）已知A，B为双曲线1（a＞0，b＞0）上的两个不同点，M为AB的中点，O为坐标原点，若kAB•kOM，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【解析】设，，则＝，＝，
由可得．∴ ，
即，则双曲线的离心率为．故选：D．
11．（2020·甘肃兰州市·高三月考）过点作一直线与双曲线相交于、两点，若为中点，则( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】易知直线AB不与y轴平行，设其方程为y﹣2＝k（x﹣4）
代入双曲线C：，整理得（1﹣2k2）x2+8k（2k﹣1）x﹣32k2+32k﹣10＝0
设此方程两实根为，，则
又P（4，2）为AB的中点，所以8，解得k＝1
当k＝1时，直线与双曲线相交，即上述二次方程的△＞0，
所求直线AB的方程为y﹣2＝x﹣4化成一般式为x﹣y﹣2＝0．＝8，＝10
|AB|||•4．
故选D．
12．（2020·全国高三专题练习）已知F是抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点，过点R(2，1)的直线l与抛物线C交于A，B两点，R为线段AB的中点.若|FA|+|FB|=5，则直线l的斜率为（ ）
A．3B．1C．2D．
【答案】B
【解析】由于R(2，1)为AB中点，设A(xA，yA)，B(xB，yB).根据抛物线的定义|FA|+|FB|=xA+xB+p=2×2+p=5，解得p=1，抛物线方程为y2=2x.，两式相减并化简得，即直线l的斜率为1.
故选：B
13．（2020·湖北武汉市·高三三模）设直线与抛物线交于，两点，若线段中点横坐标为2，则直线的斜率（ ）.
A．2B．C．D．或2
【答案】A
【解析】联立直线与抛物线，
消整理可得，
设，，
由题意，
解可得，解可得或，
综上可知，.
故选：A
14．（2020·全国高三月考（理））已知圆与抛物线相交于两点，且，若抛物线上存在关于直线对称的相异两点和，则线段的中点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为关于轴对称，所以纵坐标为，
横坐标为1，代入，
可得.设点，.
则则，
，又关于直线对称.
，即，，
又的中点一定在直线上，.
线段的中点坐标为.
故选:A.
15．（2020·全国高三月考）已知抛物线的焦点到准线的距离为，若抛物线上存在关于直线对称的不同两点和，则线段的中点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为焦点到准线的距离为，则，
所以．设点，．
则，则，
，又，关于直线对称．，即，，
又的中点一定在直线上，
．
线段的中点坐标为．
故选：A.
16．（2020·全国高三专题练习）已知直线l过抛物线的焦点，并交抛物线C于A、B两点，，则弦AB中点M的横坐标是（ ）
A．3B．4C．6D．8
【答案】C
【解析】直线l过抛物线的焦点, 交抛物线C于A、B两点
则其焦点坐标为,准线方程为
过向准线作垂直交准线于点,过向准线作垂直交准线于点,过向准线作垂直交准线于,交轴于,如下图所示:
设
由抛物线定义可知,
由,可知
因为为的中点,
由梯形的中位线性质可知
则
即M的横坐标是
故选:C
17．（2020·河北衡水市·衡水中学高三月考）抛物线方程为，动点的坐标为，若过点可以作直线与抛物线交于两点，且点是线段的中点，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设,
由题得，
所以，
故选：A
18．（2020·全国高三专题练习）过椭圆内的一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在的直线方程 .
【答案】
【解析】解：设直线与椭圆的交点为，、，
为的中点
，
又、两点在椭圆上，则，
两式相减得
于是
，即，
故所求直线的方程为，即．
故答案为：
19．（2020·全国高三专题练习）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于、两点，且的中点为，求双曲线的方程 .
【答案】
【解析】设双曲线的方程为(，)，由题意知，，
设、则有：，，
两式作差得：，又的斜率是，
∴，代入得，，，∴双曲线标准方程是.
20．（2020·全国高三专题练习）直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为________.
【答案】
【解析】设，中点，
则满足，两式相减得，
整理得，即，即，
.
故答案为：.
21．（2020·全国高三其他模拟）已知直线与椭圆相交于，两点，若中点的横坐标恰好为，则椭圆的离心率为______.
【答案】
【解析】设，，代入椭圆方程得，，
两式作差得，整理得，
因为，所以，
又因为，
所以，所以，
所以.
故答案为：.
22．（2019·浙江宁波市·镇海中学高三开学考试）已知椭圆：的离心率为，△ABC的三个顶点都在椭圆r上，设△ABC三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、M，且三条边所在直线的斜率分别为、、且均不为0，O为坐标原点，若直线OD、OE、OM的斜率之和为2，则___________．
【答案】
【解析】由椭圆：的离心率为，
设 ，则
椭圆的标准方程为：
设
因为边AB、BC、AC的中点分别为D、E、M，
故 ，
由 在椭圆上，则 ，
两式相减化简得： ，所以
即： 同理得：，所以
又因为
故答案为：
23．（2020·四川成都市·高三二模）设直线与抛物线相交于两点，若弦的中点的横坐标为则的值为___________．
【答案】
【解析】联立直线与抛物线，得，
则，又，故，.
故答案为：.
24．（2020·全国高三月考）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点.若的中点坐标为，则椭圆的方程为______.
【答案】
【解析】设，，则，，①，②，
由①－②得，即
所以，
又，
所以，即，又，解得，，
所以椭圆方程为．
25．（2020·江苏）椭圆与直线y＝1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为________．
【答案】
【解析】设，线段AB的中点为
则，
即
，

故答案为：
26．（2020·湖北黄冈市·黄冈中学高三其他模拟）已知双曲线的中心在原点，是一个焦点，过的直线与双曲线交于，两点，且的中点为，则的方程是______.
【答案】
【解析】由，的坐标得.
设双曲线方程为，则.
设，，
则，，.
由，得，
即，
∴.
于是，，
所以的方程为.
故答案为：
27．（2020·广东广州市·高三月考）已知直线与双曲线交于两点，当两点的对称中心坐标为时，直线的方程为________.
【答案】
【解析】设，，则，
相减得到，即，.
故直线方程为：，即.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了双曲线中的点差法，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
28．（2020·西藏拉萨市·拉萨中学高三月考）已知双曲线上存在两点A，B关于直线对称，且线段的中点在直线上，则双曲线的离心率为_________.
【答案】2
【解析】点A，B关于直线对称，
线段的中点在直线上
所以得，
设，所以
将代入双曲线，则有
两式相减得.
∵，∴，
∴.
∵点A，B关于直线对称
∴，
所以，即.
∴双曲线的离心率为.
故答案为：
29．（2020·全国高三月考）过点作直线与双曲线交于，两点，若点恰为线段的中点，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】因为双曲线方程为
则
设,
因为点恰为线段的中点
则
则,两式相减并化简可得
即直线的斜率为2
所以直线的方程为
,化简可得
因为直线与双曲线有两个不同的交点
所以
解得且
所以的取值范围为
故答案为:
30．（2019·云南玉溪市·高三月考）已知抛物线，焦点到准线的距离为1，若抛物线上存在关于直线对称的相异两点，，则线段的中点坐标为_________.
【答案】
【解析】焦点到准线的距离为1，，
设，，中点，，
得：，即，即
故，又因为在直线上，所以，
从而线段的中点坐标为.故答案为：.
第8讲 外接球与内切球
技巧导图
技巧详讲
外接球8大模型秒杀公式推导
1.墙角模型
使用范围：3组或3条棱两两垂直；或可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合
推导过程：长方体的体对角线就是外接球的直径
秒杀公式：
图示过程
2.汉堡模型
（1）使用范围：有一条侧棱垂直与底面的柱体或椎体
（2）推导过程
第一步：取底面的外心O1,，过外心做高的的平行且长度相等，在该线上中点为球心的位置
第二步：根据勾股定理可得
（3）秒杀公式：
（4）图示过程
3.斗笠模型
（1）使用范围：正棱锥或顶点的投影在底面的外心上
（2）推导过程
第一步：取底面的外心O1,，连接顶点与外心，该线为空间几何体的高h
第二步：在h上取一点作为球心O
第三步：根据勾股定理
（3）秒杀公式：
（4）图示过程
4.折叠模型
使用范围：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠
推导过程 微信公众号：钻研数学
第一步：过两个平面取其外心H1、H2，分别过两个外心做这两个面的垂线且垂线相交于球心O
第二步：计算
第三步：
（3）秒杀技巧：
（4）图示过程
5.切瓜模型
（1）使用范围：有两个平面互相垂直的棱锥
（2）推导过程：
第一步：分别在两个互相垂直的平面上取外心F、N，过两个外心做两个垂面的垂线，两条垂线的交点即为球心O，取BC的中点为M，连接FM、MN、OF、ON
第二步：
（3）秒杀公式：
（4）图示过程
6.麻花模型
（1）使用范围：对棱相等的三棱锥
（2）推导过程：设3组对棱的长度分别为x、y、z,长方体的长宽高分别为a、b、c
秒杀公式：
图示过程

7.矩形模型
（1）使用范围：棱锥有两个平面为直角三角形且斜边为同一边
（2）推导过程：根据球的定义可知一个点到各个顶点的距离相等该点为球心可得，斜边为球的直径
（3）秒杀公式：
（4）图示过程

鳄鱼模型
使用范围：适用所有的棱锥
推导过程：
（3）秒杀公式：
（4）图示过程
内切球的半径---等体积法
推导过程
秒杀公式：
图示过程
特别说明：下面例题或练习都是常规方法解题，大家可以利用模型的秒杀公式
例题举证
技巧1 外接球之墙角模型
【例1】（2020·河南高三月考）已知长方体中，，，与平面所成角的正弦值为，则该长方体的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】作，垂足为，连接，.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，所以是与平面所成的平面角.
又，
.
所以，
解得.
故该长方体的体对角线为.
设长方体的外接球的半径为，则，解得.
所以该长方体的外接球的表面积为.故选B.
【举一反三】
1．（2020·全国高三专题练习）棱长为的正方体的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为正方体的外接球的直径为正方体的体对角线的长，所以，
解得，所以球的表面积为：.故选：C
2．（2019·绥德中学）球面上有四个点，若两两垂直，且，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可知，该球是一个棱长为4的正方体的外接球，
设球的半径为，由题意可得：,据此可得：，外接球的表面积为：.本题选择D选项.
技巧2 外接球之汉堡模型
【例2】（2020·四川泸州市·高三）已知四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，且平面，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，
且平面，
可把四棱锥放置在如图所示的一个长方体内，
其中长方体的长、宽、高分别为，
则四棱锥的外接球和长方体的外接球表示同一个球，
设四棱锥的外接球的半径为，
可得，解得，
所以该四棱锥外接球的表面积为.
故选：C.
【举一反三】
1．（2020·广州市广外）各顶点都在一个球面上的正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直于底面）高为2，体积为8，则这个球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为正四棱柱高为2，体积为8，所以它的底面边长是2，
所以它的体对角线的长是，因此它的外接球的直径是，所以这个球的表面积是：.故选：B．
2．（2020·辽宁省高三）如图，在三棱锥A﹣BCD中，BD⊥平面ADC，BD＝1，AB＝2，BC＝3，AC＝，则三棱锥A﹣BCD外接球的体积为（ ）
A．4πB．3πC．2πD．4π
【答案】D
【解析】因为BD⊥平面ADC，所以，，
所以，，
所以，所以，
所以以、、为棱的长方体与三棱锥A﹣BCD具有相同的外接球，
所以该外接球的直径为，半径为，
则该外接球的体积为故选：D.
3．（2020·广东广州市·高三月考）在长方体中，，，点在正方形内，平面，则三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】长方体中，平面，平面，∴，
又平面，平面，∴，
∵，∴平面，而平面，∴，
是正方形，∴是与交点，即为的中点，也是的中点．
是直角三角形，设是中点，是中点，则由可得平面（长方体中棱与相交面垂直），是的外心，三棱锥的外接球球心在直线上（线段或的延长线上）．
设，则，解得，
∴外接球半径为，
表面积为．
故选：C．
4．（2020·全国高三月考（文））三棱柱中，平面，，，，，则该三棱柱的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，取中点，连交于点，
，为的外接圆圆心，
，，，外接圆半径为,
，平面，平面，
又，点为三棱柱的外接球球心，
外接球半径，
外接球体积.故选：B.
技巧3 外接球之斗笠模型
【例3】（2020·江苏南通市·高三期中）正三棱锥中，，，则该棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】正三棱锥中，，,
所以,
故,
同理可得, ,
以为棱构造正方体，
则该棱锥外接球即为该正方体的外接球，
如图，
所以，故球的表面积为,故选：C
【举一反三】
1．（2020·秦皇岛市抚宁区第一中学）已知正三棱锥的侧棱长为，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是________.
【答案】
【解析】过点作平面于点，记球心为.
∵在正三棱锥中，底面边长为6，侧棱长为，
∴，
∴.
∵球心到四个顶点的距离相等，均等于该正三棱锥外接球的半径长，
∴，.
在中，，
即，解得，
∴外接球的表面积为.
故答案为：.
2．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】正四棱锥P-ABCD的外接球的球心在它的高上，
记为O，PO=AO=R，，=4-R，
在Rt△中，，
由勾股定理得，
∴球的表面积，故选A.
技巧4 外接球之折叠模型
【例4】（2020·广东省高三）在三棱锥A﹣BCD中，△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．7πB．8πC．D．
【答案】D
【解析】如图，取BD中点H，连接AH，CH
因为△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形
所以AH⊥BD，CH⊥BD，则∠AHC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，即∠AHD＝120°
设△ABD与△CBD外接圆圆心分别为E，F
则由AH＝2可得AEAH，EHAH
分别过E，F作平面ABD，平面BCD的垂线，则三棱锥的外接球一定是两条垂线的交点
记为O，连接AO，HO，则由对称性可得∠OHE＝60°
所以OE＝1，则R＝OA
则三棱锥外接球的表面积
故选：D
【举一反三】
1．（2020·山东枣庄市·高三期中）已知二面角的大小为120°，且，，.若点P、A、B、C都在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为______.
【答案】
【解析】设，则，
设和的外心分别为、，则分别为的中点，
过点分别作和所在平面的垂线，两垂线的交点为点，则为三棱锥的外心，
连接，则为三棱锥外接球的半径．
取的中点，连接、、，如图所示，
由题意可知，，，，且，，
为二面角的平面角，即，
连接，
平面，平面，
，，
四点共圆，且该圆的直径为．
在中，由余弦定理知，
的外接圆直径，

当时，取得最小值，为，
此时该球的表面积取得最小值，为．
故答案为：．
2．（2020·南昌市八一中学）如图所示，三棱锥S一ABC中，△ABC与△SBC都是边长为1的正三角形，二面角A﹣BC﹣S的大小为，若S，A，B，C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ）
A．πB．πC．πD．3π
【答案】A
【解析】取线段BC的中点D，连结AD，SD，
由题意得AD⊥BC，SD⊥BC，
∴∠ADS是二面角A﹣BC﹣S的平面角，∴∠ADS，
由题意得BC⊥平面ADS，
分别取AD，SD的三等分点E，F，
在平面ADS内，过点E，F分别作直线垂直于AD，SD，
两条直线的交点即球心O，
连结OA，则球O半径R＝|OA|，
由题意知BD，AD，DE，AE，
连结OD，在Rt△ODE中，，OEDE，
∴OA2＝OE2+AE2，
∴球O的表面积为S＝4πR2．
故选：A．
技巧5 外接球之切瓜模型
【例5】（2020·内蒙古赤峰市·高三月考）已知三棱锥中，，，，，面面，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，，，，
，，
所以的外接圆的圆心为斜边的中点,
，为等腰三角形.
取的中点，连接，，
，,
, 微信公众号：钻研数学
又 面面，面面，面，
面，
过点作的平行线，则球心一定在该直线上.
设的外接圆的圆心为，,则点在上，连接,
由球的性质则，平面，则为矩形.
在中，,则
所以的外接圆的半径
所以，则
则
所以球的半径为
所以三棱锥的外接球的表面积为
故选：B
【举一反三】
1．（2020·四川泸州市·高三一模）已知三棱锥中，平面平面，且和都是边长为2的等边三角形，则该三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，
由已知可得，与均为等边三角形，
取中点，连接，，则，
∵平面平面，则平面，
分别取与的外心，过分别作两面的垂线，相交于，
则为三棱锥的外接球的球心，
由与均为边长为的等边三角形，
可得，
，
，
∴三棱锥A−BCD的外接球的表面积为.故选：D.
技巧6 外接球之麻花模型
【例6】（2020·四川省眉山市彭山区第二中学）在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，
所以可在其每个面补上一个以，2，为三边的三角形作为底面，且以分别x，y，z长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2＝3，x2+z2＝5，y2+z2＝4，则有（2R）2＝x2+y2+z2＝6（R为球的半径），得2R2＝3，
所以球的表面积为S＝4πR2＝6π．
故答案为．
技巧7 外接球之矩形模型
【例7】（2020·新疆维吾尔自治区）在四面体中，，，则四面体的外接球的表面积为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，，
所以，
可得，所以，
即为外接球的球心，球的半径 所以四面体的外接球的表面积为：
.故选：B
【举一反三】
1．（2020·黑龙江省哈尔滨三中）四面体中，，平面，，，，则该四面体外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图所示：
由已知可得与为直角三角形，所以该几何体的外接球球心为的中点O，
因为,且,所以,
所以,
所以四面体的外接球半径,则表面积.故答案选：C
2．（2020·重庆一中高三）已知四面体满足：，，则四面体外接球的表面积为_______.
【答案】
【解析】因为，，
所以，，
所以△△均为直角三角形，取斜边的中点，连接、，如图：
易得，所以点为该四面体外接球的球心，
所以球的半径，故其表面积.
故答案为：.
技巧8 内切球半径
【例8】（2020·全国）正四面体的外接球与内切球的表面积比为（ ）
A．B．C．D．不确定
【答案】A
【解析】如图，正四面体的中心即为外接球与内切球的球心，设正四面体的棱长为，可得，，又，，，
，．所以故选：
【举一反三】 微信公众号：钻研数学
1．（2020·北京）如图所示，球内切于正方体．如果该正方体的棱长为a，那么球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为球内切于正方体，所以球的半径等于正方体棱长的，
所以球的半径为，所以球的体积为，故选：D.
2．（2020·山西大同一中）已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球，则其外接球与内切球表面积之比为（ ）
A．25︰1B．1︰25C．1︰5D．5︰1
【答案】D
【解析】设点是三棱柱外接球和内切球的球心，点是底面等边三角形的中心，点是底边的中点，连结，，，，设底面三角形的边长为，则，，
因为三棱锥内切球与各面都相切，所以三棱柱的高是内切球的直径，底面三角形内切圆的直径也是三棱柱内切球的直径，所以，即三棱柱内切球的半径，
，所以，即三棱柱外接球的半径，
所以内切球的表面积为，外接球的表面积，
所以三棱柱外接球和内切球表面积的比值为
故选：D
3．（2020·江苏无锡市第六高级中学）正三棱柱有一个半径为的内切球，则此棱柱的体积是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】∵正三棱柱有一个半径为的内切球，则正三棱柱的高为cm，
底面正三角形的内切圆的半径为cm，
设底面正三角形的边长为cm,则，解得cm，
∴正三棱柱的底面面积为cm2，
故此正三棱柱的体积V＝cm3．故选：B．
技巧强化
1．（2020·江苏镇江市·高三期中）直三棱柱的所有顶点都在同一球面上，且，，，则该球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图所示，直三棱柱的所有顶点都在同一球面上，且，，，
可将直三棱柱补成长方体，其中，
，长方体的对角线
，即为球的直径，则球的半径为.
球的表面积为.故选: A.
2．（2020·江西高三其他模拟）在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在中，，即，又，
∴为等边三角形
根据题意，有如下示意图：
如图，设的外接圆的圆心为，连接，，，连接PH.
由题意可得，且，.
∴由上知：且，又，
∴，由，平面ABC.
设O为三棱锥外接球的球心，连接，，OC过O作，垂足为D，则外接球的半径R满足，， ，代入解得，即有，
∴三棱锥外接球的表面积为.故选：A.
3．（2020·四川泸州市·高三）已知四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，且，则该四棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，
且平面，
可把四棱锥放置在如图所示的一个长方体内，
其中长方体的长、宽、高分别为，
则四棱锥的外接球和长方体的外接球表示同一个球，
设四棱锥的外接球的半径为，
可得，解得，
所以该四棱锥外接球的表面积为.
故选：C.
4．（2020·四川宜宾市·高三）已知点P，A，B，C在同一个球的球表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PB=，BC=，PC=，则该球的表面积为（ ）
A．6πB．8πC．12πD．16π
【答案】A
【解析】如图，三棱锥补体在长方体中，三棱锥的外接球就是补体后长方体的外接球，长方体的外接球的直径
，
即，
则该球的表面积.
故选：A
5．（2020·江西赣州市·高三）四面体中，底面，，，则四面体的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
如图，在四面体中，底面，，，
可得，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1，，
则长方体的对角线长为，
则三棱锥的外接球的半径为1．
其表面积为．
故选：B．
6．（2020·全国高三专题练习））平行四边形中，，且，沿将四边形折起成平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，平面平面，
又因为平面平面，平面，，可得平面，
因为四边形为平行四边形，所以，
同理平面，所以、均为，
设中点为，连、，
则，其中为三棱锥外接球半径，
则，，
则，故三棱锥外接球的表面积为.
故选：C.
7．（2020·湖北省鄂州高中高三月考）张衡(78年~139年)是中国东汉时期伟大的天文学家､文学家､数学家.他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点，，若线段的最小值为，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为（ ）
A．30B．C．D．36
【答案】C
【解析】设正方体的棱长为，正方体的内切球半径为，
正方体的外接球半径满足：，则.
由题意知：，则，，
该正方体的外接球的表面积为，
又因为圆周率的平方除以十六等于八分之五，即，所以，
所以外接球的表面积为.
故选：C.
8．（2020·江苏南京市第二十九中学高三期中）已知直三棱柱的顶点都在球上，且，，，则此直三棱柱的外接球的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图所示：
设点为外接圆的圆心，
因为，
所以，又，
所以是等边三角形，
所以，
又直三棱柱的顶点都在球上，
所以外接球的半径为，
所以直三棱柱的外接球的表面积是，
故选：C
9．（2020·全国高三专题练习）已知三棱柱(侧棱底面，底面是正三角形)内接于球O，与底面所成的角是45°.若正三棱柱的体积是，则球O的表面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】易知是与底面所成的角，则．
故由，得．
设，则，解得．
所以球的半径，
所以球的表面积．
故选：A．
10．（2020·甘肃省民乐县第一中学高三）在四棱锥中，，，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图，取的两个三等分点、，连接、、，
设，连接、.
则，，又，，
所以，四边形为平行四边形，，为的中点，
所以，，
由勾股定理可得，则，
在中，，，
，，又，则为等边三角形，
，则是的外接圆的圆心.
因为，为的中点，，
，，，，，
，又，，平面，
且.
设为三棱锥外接球的球心，连接、、，过作，垂足为，
则外接球的半径满足，
设，则，解得，
从而，故三棱锥外接球的表面积为.
故选：D.
11．（2020·天津红桥区·高三期中）已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是（ ）
A．10B．20C．24D．32
【答案】C
【解析】因为正四棱柱高为4，体积为16，
所以正四棱柱的底面积为，正四棱柱的底面的边长为，
正四棱柱的底面的对角线为，
正四棱柱的对角线为，而球的直径等于正四棱柱的对角线，
即，,
故选：C
12．（2020·河南洛阳市·高三月考）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱为一个“堑堵”，底面是以为斜边的直角三角形且，，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解法一：由“堑堵”的定义可知，为直角三角形，
故，
易知，又，，
所以平面，而平面，于是得．
设，，则，
则，，，
由，得，整理得，
所以，
所以
，
当且仅当，即时的面积取得最小值18．
此时．
设三棱锥的外接球半径为，
因为，，故线段为外接球的直径，
故所求外接球的表面积．
故选：D．
解法二：令，则，，，
又因为平面，所以，又．
所以平面，所以．
的面积
当且仅当时，取最小值，
此时，．
在三棱锥中，因为，取中点为，
则，
故为三棱锥的外接球的球心，
所以为外接球直径，．
故选：D．
13．（2020·山西高三月考）已知正三棱柱的体积为54，，记三棱柱的外接球为球，则外接球的表面积是__________．
【答案】
【解析】因为正三棱柱的底面积，
底面外接圆半径，
所以正三棱柱的高，
所以外接球的半径，则，
故答案为：．
14．（2020·济南市·山东省实验中学高三月考）在三棱锥中，侧棱底面且则该三棱锥的外接球的体积为__________．
【答案】
【解析】
在中，由余弦定理可知：
因为，所以是顶角为钝角的等腰三角形，
设的外接圆的直径为，
由正弦定理可知：，
因为侧棱底面，，
所以三棱锥的外接球的直径为，
由勾股定理可知：，
所以三棱锥的外接球的半径为：，
所以三棱锥的外接球的体积为：
故答案为：
15．（2020·湖南怀化市·高三期中）如图所示，在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为______.
【答案】
【解析】由题意知：在中，根据余弦定理有：
，，，
∴中有，即为等边三角形，若为中点，连接，可得，而，则在中有，
∴，又且，即面，又由面知：面面，
∴三棱锥的外接球球心：在中，过三等份点作的垂线与的垂直平分线的交点即为球心，所以令外接球半径为R，，则：
，解得，所以由球的表面积，
故答案为：.
16．（2020·广东肇庆市·高三月考）鳖臑（biē nà）出自《九章算术·商功》：“斜解立方，得两重堵．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑．”鳖臑是我国对四个面均为直角三角形的三棱锥的古称．如图，三棱锥是一个鳖臑，其中，，，且，过点B向AC引垂线，垂足为E，过E作CD的平行线，交AD于点F，连接BF．设三棱锥的外接球的表面积为，三棱锥的外接球的表面积为，则________．
【答案】．
【解析】，，，则平面，平面，
∴，又，，∴平面，
平面，∴，．又，∴，，又，
∴三棱锥可补形成以为棱的一个长方体，其外接球的直径的平方等于的平方和，而由，则是三棱锥外接球的直径．
∵，
∴，，，，，，
∴，
，，
∴．
故答案为：．
17．（2020·上海市松江二中高三期中）若体积为8的正方体的各个顶点均在一球面上，则该球的体积为______.
【答案】
【解析】因为正方体的体积为8，故棱长为2，因此正方体的体对角线的长为，
故正方体外接球的直径为，所以半径为，
故球的体积为，
故答案为：.
18．（2020·江苏南通市·高三期中）在我国古代数学名著《九章算术》中，把两底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”，已知三棱柱是一个“堑堵”，其中，，，则这个“堑堵”的外接球的表面积为________.
【答案】
【解析】因为，所以，所以，
所以可将三棱柱补成一个长方体，如图：
则该长方体的对角线长等于这个“堑堵”的外接球的直径，所以，所以.
所以外接球的表面积为.
故答案为：
19．（2020·合肥市第六中学高三期中）在长方体中，，，点在正方形内，平面，则三棱锥的外接球表面积为______.
【答案】
【解析】如图所示：
平面，连接，
又为正方形，
点为正方形对角线的交点，
则是等腰直角三角形，是直角顶点，
设是中点，则是的外心，
取是中点，
则，而平面，
平面，
三棱锥的外接球的球心在直线上，
由已知可计算，，
在的延长线上，设，
则由得，解得，，
外接球表面积：．
故答案为：．
20．（2020·湖南高三开学考试）在四面体中，平面，，，，则该四面体的外接球的表面积为________.
【答案】
【解析】在中，因为，，
可得的外圆球直径为，
又由球的性质，可得，
所以球的表面积为.
故答案为：.
21．（2020·全国高三月考）我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为方锥.已知某方锥各棱长均为2，则其内切球的体积为______.
【答案】
【解析】如图，设方锥底面的中心为，
则在中，，所以，
在中，，
所以方锥的体积为，
设方锥内切球的半径为，
而方锥的表面积为，
由等体积法可得，
解得，
体积为.
故填：.
22．（2020·江西南昌市·南昌十中）已知在三棱锥中，，，，则当点到平面的距离最大时，三棱锥外接球的表面积为_____．
【答案】
【解析】
当点到平面的距离最大时，平面平面,
设，分别为，的外心，为三棱锥外接球的球心，
连结，，设交于，由面面垂直的性质定理可知平面，
在中，，，所以,
所以，，
的外接圆直径为，所以，所以，
的外接圆直径为，所以，
在中，，
所以三棱锥外接球的半径为，
所以三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：
23．（2021·福建省福州第一中学高三期中）三棱锥中，，，面的面积为，则此三棱锥外接球的表面积为___．
【答案】
【解析】
如图，，，，则，，又由面的面积为，则的高为，且根据余弦定理，可得，，可得，，即，，明显地，当球内有一条边能同时对应两个面的三角形的直角，则该边必为球的直径，所以，，所以，三棱锥外接球的表面积为
故答案为：
24．（2020·福建福州市·高三期中）在三棱锥中，平面垂直平面，，，则三棱锥外接球的表面积为_________.
【答案】
【解析】
如图，过点在面内作交的外接圆于点，平面垂直平面，两平面的交线为，，面，面，
的外接圆直径为，，而，
中，，，，设底面的外接圆半径为，则，球的半径设为，
则有，球的表面积为
故答案为：
25．（2020·全国高三其他模拟）在三棱锥中，平面，，，，若三棱锥的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为______
【答案】
【解析】设三棱锥外接球的半径为、球心为，的外心为、外接圆的半径为，连接，
过作平行线交于，连接，，如图所示，则，，，所以为的中点.
在中，由正弦定理得，解得.
在中，由余弦定理，可得，得.
所以.
因为，所以.连接，又，所以四边形为平行四边形，
，所以.
所以该三棱锥的外接球的表面积.
故答案为：.
26．（2020·全国高三专题练习）设，，，为球的球面上的四个点，满足，.若四面体的表面积为，则球的表面积为______.
【答案】
【解析】由题意知，是等边三角形，，是等腰三角形，.所以，
即，所以，则的中点到，，，四点的距离均为，所以球的表面积为.
故答案为：．
椭圆
双曲线
图形
周长
2a+2c
2b21+csθ
2b21-csθ
离心率