2024年高考数学复习：28 离心率归类训练（解析版）

28离心率归类训练目录TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc17993" 【题型一】 判断横放竖放求参 1 HYPERLINK \l "_Toc26924" 【题型二】 直接法 3 HYPERLINK \l "_Toc12217" 【题型三】 补连另一焦点利用定义 4 HYPERLINK \l "_Toc30563" 【题型四】 余弦定理1：基础型 7 HYPERLINK \l "_Toc30563" 【题型五】 余弦定理2：勾股定理用两次 10 HYPERLINK \l "_Toc30563" 【题型六】 余弦定理3：余弦定理用两次 12 HYPERLINK \l "_Toc30563" 【题型七】 中点型 15 HYPERLINK \l "_Toc30563" 【题型八】 多曲线交点1：和抛物线 18 HYPERLINK \l "_Toc30563" 【题型九】 多曲线交点2：与圆 20 HYPERLINK \l "_Toc30563" 【题型十】 多曲线交点3：双曲线和椭圆 23 HYPERLINK \l "_Toc30563" 【题型十一】双曲线特性1：渐近线 25 HYPERLINK \l "_Toc30563" 【题型十二】双曲线特性2：内心 28 HYPERLINK \l "_Toc30563" 【题型十三】难点1：向量计算 31 HYPERLINK \l "_Toc30563" 【题型十四】难点2：小题大做型 34【题型一】 判断横放竖放求参【典例分析】已知实数成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）A． B．2 C．或2 D．或【答案】C【分析】根据成等比数列求得，再根据离心率计算公式即可求得结果.【详解】因为实数成等比数列，故可得，解得或；当时，表示焦点在轴上的椭圆，此时；当时，表示焦点在轴上的双曲线，此时.故选：C.【经验总结】依据椭圆和双曲线定义好几何性质，对方程中含参判断，要从以下几方面：通过讨论，确定焦点在x轴还是在y轴上判断（即俗称的横放还是竖放）。“椭圆”要注意避开俩分母相等这个计算坑【变式演练】1.已知双曲线的离心率为2，则双曲线M的渐近线方程是（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由离心率的值求出的值，则可得双曲线方程，从而可求出其渐近线方程【详解】因为双曲线的离心率为2，所以，解得，所以双曲线方程为，由，得，所以双曲线的渐近线方程为，故选：A2.已知曲线C：的离心率，则实数m值为（ ）A．6 B．-6 C． D．【答案】D【分析】由曲线C：的离心率，得出是双曲线，进而得出，，由离心率，即可得出答案．【详解】因为曲线C：的离心率，所以曲线C：为双曲线，即，所以，，所以离心率，解得，故选：D．3.设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是（ ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据椭圆焦点位置分情况讨论.【详解】当椭圆焦点在轴上时，椭圆方程为，即，解得，当椭圆焦点在轴上时，椭圆方程为即，解得，综上：，故选：B.【题型二】 直接法【典例分析】椭圆上的点到椭圆的焦点的距离的最大值与椭圆的短轴长相等，则椭圆的离心率为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意得，进而得，即，再解方程即可得答案.【详解】解：因为椭圆上的点到椭圆的焦点的距离的最大值为，椭圆的短轴长为所以根据题意得，所以两边平方得，即等式两边同除以得 ，解得或（舍）所以椭圆的离心率为故选：B【经验总结】直接利用椭圆和双曲线的定义和基础性质求离心率离心率的公式：椭圆；双曲线【变式演练】1.已知双曲线的右焦点到它的一条渐近线的距离为4，且焦距为10，则C的离心率为（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据焦距可得的值，根据右焦点到渐近线距离可求得的值，由可得的值，再由即可求解.【详解】因为焦距为，所以，右焦点，，双曲线渐近线方程为：，所以右焦点到它的一条渐近线的距离为，所以，，所以离心率，故选：C.2.在平面直角坐标系xOy中，椭圆上存在点P，使得，其中､分别为椭圆的左､右焦点，则该椭圆的离心率取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知结合椭圆定义，用a表示出和，再借助焦点三角形建立不等关系求解即得.【详解】因点P在椭圆上，则，又，于是得，，而，当且仅当点P在椭圆右顶点时取“=”，即，解得，即，所以，椭圆的离心率取值范围是.故选：D3.设双曲线E：的离心率为，直线过点和双曲线E的一个焦点，若直线与圆相切，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得直线，由与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，化简得出方程，结合离心率的定义，得到，即可求解.【详解】不妨设直线右焦点，则直线的方程为，即，由直线与圆相切，且，可得，整理得，即，即，可得，即，解得或，因为，可得，所以.故选：D.【题型三】 补连另一焦点利用定义【典例分析】已知椭圆C：的左，右焦点，过原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点．其中M在第一象限．，则椭圆C的离心率的取值范围为（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】：由题设易知四边形为矩形，可得，结合已知条件有即可求椭圆C的离心率的取值范围.【详解】：由椭圆的对称性知：，而，又，即四边形为矩形，所以，则且M在第一象限，整理得，所以，又即，综上，，整理得，所以.故选：D.【经验总结】椭圆和双曲线，与一个焦点有关，思维上优先连接另一焦点，分析是否能借助定义解决。【变式演练】1.椭圆的左右焦点分别为､，直线与交于A､两点，若，，当时，的离心率的最小值为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】：结合题干条件得到，表达出，，利用椭圆定义得到关系，结合的范围求出离心率的最小值.【详解】：连接，由题知点A､关于原点对称，，，，则，，又，即，，由得，所以，D正确.2.设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对你，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】：设椭圆的左焦点，由已知条件知四边形为矩形，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到，再根据，得到的范围，然后利用对勾函数的值域得到的范围，然后由求解.【详解】：如图所示：设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，又，即，所以四边形为矩形，，设，，在直角中，，，得，所以，令，得，又，得，所以，所以 ，即，所以所以椭圆的离心率的取值范围为，故选：B3.设椭圆（）的左焦点为F，O为坐标原点．过点F且斜率为的直线与C的一个交点为Q（点Q在x轴上方），且，则C的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】：连接Q和右焦点，可知|OQ|＝，可得∠FQ＝90°，由得，写出两直线方程，联立可得Q点坐标，Q点坐标代入椭圆标准方程可得a、b、c关系﹒【详解】：设椭圆右焦点为，连接Q，∵，，∴|OQ|＝，∴∠FQ＝90°，∵，∴，FQ过F(－c，0)，Q过(c，0)，则，由，∵Q在椭圆上，∴，又，解得，∴离心率．故选：D．【题型四】 余弦定理1：基础型【典例分析】已知双曲线的左､右焦点分别为，，点是双曲线渐近线上一点，且(其中为坐标原点)，交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】：根据双曲线的定义和余弦定理建立关于的方程，从而可得双曲线的离心率．【详解】：根据双曲线的对称性，不妨设点在第二象限，设，因为，点到直线的距离，所以，因为，所以，因为，所以，由双曲线的定义可知，在中，由余弦定理可得，整理得，所以，即离心率.故选：C.【经验总结】一般情况下，焦点三角形，可以构造余弦定理。【变式演练】1.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，与交于点，若，且，则的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】：由题设知△为等腰直角三角形，即、，结合双曲线的定义求、，在△中应用余弦定理，构造齐次方程，求离心率即可.【详解】：由且知：△为等腰直角三角形且、，即，∵，∴，故，则，而在△中，，∴，则，故.故选：B.2.设点，分别为双曲线的左右焦点.点，分别在双曲线的左，右支上，若，且，则双曲线的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】：由及数量积的运算律可得，设，则，，利用双曲线的定义及直角三角形可求得（不合题意舍去），然后求出，再用余弦定理得出关系求得离心率．【详解】：，共线，且， ，，则，故有，设，则，，由双曲线的定义可得∴，整理得，解得：或，若，则，，不满足，舍去；若，，符合题意，则，，此时，在中，，即，得到，即，∴．故选：B．3.设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线左右两支交于，两点，以为直径的圆过，且，则双曲线C的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】：由题意可得△MNF2为等腰直角三角形，设|MF2|＝|NF2|＝m，则|MN|m，运用双曲线的定义，求得|MN|＝4a，可得m，再由勾股定理可得a，c的关系，即可得到所求离心率．【详解】：因为即所以在三角形中，有余弦定理可得：所以即因为以MN为直径的圆经过右焦点F2，所以，又|MF2|＝|NF2|，可得△MNF2为等腰直角三角形，设|MF2|＝|NF2|＝m，则|MN|m，由|MF2|﹣|MF1|＝2a，|NF1|﹣|NF2|＝2a，两式相加可得|NF1|﹣|MF1|＝|MN|＝4a，即有m＝2a，在直角三角形HF1F2中可得4c2＝4a2+（2a+2a﹣2a）2，化为c2＝3a2，即e．故选：B．【题型五】 余弦定理2：勾股定理用两次【典例分析】如图，O是坐标原点，P是双曲线右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QF⊥FR，且，则E的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】：令双曲线E的左焦点为，连线即得，设，借助双曲线定义及直角用a表示出|PF|，，再借助即可得解.【详解】：如图，令双曲线E的左焦点为，连接， 由对称性可知，点是线段中点，则四边形是平行四边形，而QF⊥FR，于是有是矩形，设，则，，，在中，，解得或m＝0（舍去），从而有，中，，整理得，，所以双曲线E的离心率为．故选：B【经验总结】焦点三角形或者焦点弦，有垂直（或者在圆上）可以构造勾股定理，特别是焦点弦，俩交点，可以构造两个勾股定理。【变式演练】1.已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线C的左支于P，Q两点，若，且的周长为，则双曲线C的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】：根据条件求得，∴，在中，由勾股定理可得关于的等式，进而可求得离心率.【详解】：由双曲线定义知，则，，所以，∴的周长为，∴，，由，所以，故，∴，∴，，∴，在中，，故.故选：A.2.已知是双曲线的左焦点，圆与双曲线在第一象限的交点为，若的中点在双曲线的渐近线上，则此双曲线的离心率是（       ）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】：根据双曲线的几何性质和平面几何性质，建立关于a,b,c的方程，从而可求得双曲线的离心率得选项.【详解】：由题意可设右焦点为，因为，且圆：，所以点在以焦距为直径的圆上，则，设的中点为点，则为的中位线，所以，则，又点在渐近线上，所以，且，则，，所以，所以，则在中，可得，，即，解得，所以，故选：A．3.已知，是双曲线：的左，右焦点，过点倾斜角为30°的直线与双曲线的左，右两支分别交于点，.若，则双曲线的离心率为（       ）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】：设，据双曲线的定义可用表示，作，构造直角三角形可计算得，并用勾股定理列出了，进而可求.【详解】：设，则，从而，进而.过作，则.如图：在中，，；在中，，即，所以.故选：A【题型六】 余弦定理3：余弦定理用两次【典例分析】已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为．若，则该双曲线离心率的取值范围为（       ）A． B．C． D．【答案】B根据题中的条件求出，根据三角形两边之和大于第三边得到，再根据，得到，即可求出离心率的取值范围.【详解】：解：如图所示：，是双曲线的左右焦点，延长交于点，是的角平分线，，又点在双曲线上，，，又是的中点，是的中点，是的中位线，，即，在中，，，，由三角形两边之和大于第三边得：，两边平方得：，即，两边同除以并化简得：，解得：，又，，在中，由余弦定理可知，，在中，，即，又，解得：，又，,即， ，综上所述：.故选：B.【经验总结】焦点弦俩交点，可以分开为两次构造余弦定理【变式演练】1.设分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若，且，则椭圆的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，设，则，，，由，利用余弦定理，可得，在中，利用余弦定理，即可求椭圆的离心率.【详解】：由题意，如图：设，因，则，由椭圆的定义知，，，在中，由余弦定理得：，即，整理得，在中，由余弦定理得：，即，即，即，所以，椭圆的离心率为.故选：A.2.已知梯形ABCD满足AB∥CD，∠BAD＝45°，以A，D为焦点的双曲线Γ经过B，C两点.若CD＝7AB，则双曲线Γ的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先画出大致图象，结合双曲线的定义以及余弦定理求得a，c之间的关系即可得到结论.【详解】：如图：连接AC，BD，设双曲线的焦距AD＝2c，实轴长为2a，则BD﹣AB＝AC﹣CD＝2a，设AB＝m，则CD＝7m，BD＝2a+m，AC＝2a+7m，∠BAD＝45°，∠ADC＝135°，在△ABD中，由余弦定理及题设可得：（2a+m）2＝m2+4c2﹣2，在△ACD中，由余弦定理及题设可得：（2a+7m）2＝49m2+4c2+14，整理得：（c2﹣a2）＝m（a+c），（c2﹣a2）＝7m（a﹣c），两式相结合得：a+c＝7（a﹣c），故6a＝8c，∴双曲线Γ的离心率为e.故选：A.3.．已知椭圆的两个焦点分别是，，过的直线交椭圆于，两点，若且，则椭圆的离心率为（       ）.A． B．C． D．【答案】C【分析】根据所给关系式利用椭圆的定义用a、c表示出边、、、，在、中利用余弦定理求出、，再根据两角互补列出关系式即可求得离心率.【详解】：由题意作出草图，如下图所示，由椭圆的定义可知，， ，则，，，，则，在中由余弦定理可得，在中有余弦定理可得，，，，化简得，.所以椭圆的离心率为．故选：C【题型七】 中点型【典例分析】已知椭圆的左焦点为，过作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】：依据题给条件得到关于的关系式，即可求得椭圆的离心率.【详解】：设在椭圆上，所以，两式相减，得，由直线AB的倾斜角为，可知，所以；设，，所以，所以，所以，即，所以.故选：B.【经验总结】中点型可以点差法，，点代入法计算【变式演练】1.已知О为坐标原点，双曲线的右焦点为，直线与双曲线C的渐近线交于A、B两点，其中M为线段OB的中点．O、A、F、M四点共圆，则双曲线C的离心率为（       ）A． B． C． D．2【答案】A【分析】：根据题意得到，，，，再根据O、A、F、M四点共圆，可知四边形为等腰梯形，利用，求得a，b关系即可.【详解】：由题意得：，，，因为M为线段OB的中点，又为AB的中点，，即四边形为梯形，又O、A、F、M四点共圆，即四边形为圆内接四边形，而圆内接四边形的对角互补，可知四边形为等腰梯形，，即，整理得，所以，故选：A2.已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线的右支于，两点.点为线段的中点，且.若，则双曲线的离心率是（ ）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】:设，根据双曲线的定义得出，从而求出，在中利用余弦定理以及离心率的定义即可求解.【详解】:点为线段的中点，且，则, 设，则，又为直角三角形，，即，，，由双曲线的定义可得，，，，，又，在中，由余弦定理可得，，离心率.故选：A3.已知，分别是椭圆的左、右焦点．若椭圆上存在点，使得线段的垂直平分线恰好经过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）A． B． C． D．【答案】C【分析】:根据中垂直的性质可得，根据列不等式，结合离心率公式以及椭圆离心率即可得解.【详解】:如图：因为线段的垂直平分线恰好经过焦点，所以，当点位于椭圆的左顶点时，最大为；当点位于椭圆的右顶点时，最小为；所以，可得，所以，故选：C【题型八】 多曲线交点1：和抛物线【典例分析】已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A． B． C． D．【答案】B【详解】：过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，∵|PA|=m|PB|， ∴|PA|=m|PN|   ∴，设PA的倾斜角为，则，当m取得最大值时，最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，   ∴P（2，1），∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2（﹣1）， ∴双曲线的离心率为．故选B．【变式演练】1.已知点F为抛物线C：的焦点，点，若点Р为抛物线C上的动点，当取得最大值时，点P恰好在以F，为焦点的椭圆上，则该椭圆的离心率为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】：过点P引抛物线准线的垂线，交准线于D，根据抛物线的定义可知，记，根据题意，当最小，即直线与抛物线相切时满足题意，进而解出此时P的坐标，解得答案即可.【详解】：如图，易知点在抛物线C的准线上，作PD垂直于准线，且与准线交于点D，记，则.由抛物线定义可知，.由图可知，当取得最大值时，最小，此时直线与抛物线相切，设切线方程为，代入抛物线方程并化简得：，，方程化为：，代入抛物线方程解得：，即，则，.于是，椭圆的长轴长，半焦距，所以椭圆的离心率.故选：D.2.已知抛物线和椭圆（），直线l与抛物线M相切，其倾斜角为，l过椭圆N的右焦点F，与椭圆相交于A、B两点，，则椭圆N的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】B根据题意，利用导数的几何意义求出的方程，以及点坐标，则可得到方程，求得，则离心率得解.【详解】：根据题意，作图如下：因为，故可得，根据直线斜率为，解得切点为，故直线的方程为，整理得故可得椭圆的右焦点坐标为.过点作轴的垂直，垂足为，则在中，由，容易得，则可得，又点在椭圆上，故可得，结合，解得，故离心率为.故选：B.3.已知抛物线的焦点F是椭圆的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A、B两点，若是正三角形，则椭圆的离心率为A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意画出几何图形,由椭圆和抛物线的对称性可知AB与轴交于椭圆的另一焦点,则.根据正三角形性质可得结合椭圆定义,可由勾股定理求得椭圆的离心率.【详解】：由题意可知,画出几何图形如下图所示:由椭圆与抛物线的对称性可知, AB与轴交于椭圆的另一焦点,则.由椭圆定义可知,且为正三角形.所以则由正三角形性质可知为直角三角形.所以即,化简可得所以 故选:C【题型九】 多曲线交点2：与圆【典例分析】已知双曲线的右焦点为，以实轴为直径的圆与其中一条渐近线的一个交点为，若直线与另一条渐近线平行，则的离心率为（       ）A．3 B．2 C． D．【答案】D【分析】：将一条渐近线方程与以实轴为直径的圆方程联立可得出点坐标，进而可得直线的斜率，通过直线与另一条渐近线斜率相等即可得出的关系，从而求得双曲线的离心率.【详解】：不妨设为第一象限的交点.联立方程组可得的坐标为，所以直线的斜率.因为直线与另一条渐近线平行，所以，所以，则，故的离心率.故选：D.【变式演练】1.如图，已知，为双曲线：的左、右焦点，过点，分别作直线，交双曲线于，，，四点，使得四边形为平行四边形，且以为直径的圆过，，则双曲线的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】：利用双曲线的定义，几何关系以及对称性，再利用平行四边形的特点，以及点在圆周上的向量垂直特点，列方程可解.【详解】：设 ，则 ，由双曲线的对称性和平行四边形的对称性可知： ，连接 ，则有 ， 由于 在以AD为直径的圆周上， ，∵ABCD为平行四边形， ， ，在直角三角形 中，， ，解得： ， ；在直角三角形 中， ， ，得 ， ，故选：D.2.已知双曲线与圆在第二象限相交于点分别为该双曲线的左、右焦点，且，则该双曲线的离心率为(       )A． B． C． D．2【答案】C【分析】：根据正弦定理得，结合双曲线定义可求，可判断为直角三角形，故可求M点坐标，将M点坐标代入双曲线方程即可求得a与b关系，故而求出离心率的值.【详解】：在中，∵，∴由正弦定理知，，又∵，∴，，∴在中，，，，∴，∴.设，则由等面积得：，即，∵在上，∴，∵在上，∴，即，即，即，即，即，即，即，∴.故选：C.3.已知，分别为双曲线的左､右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M，N，设四边形的周长C与面积S满足则该双曲线的离心率的平方为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】：联立圆和双曲线的方程，并利用对称性、双曲线的定义、勾股定理，结合，解得双曲线的离心率的平方为【详解】：如图所示，根据题意绘出双曲线与圆的图像，设由圆与双曲线的对称性可知，点与点关于原点对称，可得：因为圆是以为直径，所以圆的半径为。因为点在圆上，也在双曲线上，所以有，联立化简可得：。整理可得：，则有：因为，所以，因为可得：因为，联立可得：因为为圆的直径，可得：，即，以离心率的平方为：又，则故选：A【题型十】 多曲线交点3：双曲线和椭圆【典例分析】已知有相同焦点、的椭圆和双曲线，则椭圆与双曲线的离心率之积的范围为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由椭圆和双曲线的方程有相同的焦点，得出，再表示出椭圆与双曲线的离心率之积，即可求出范围．【详解】：由题可知，椭圆焦点在轴上，则，对于双曲线焦点在轴上，则，椭圆和双曲线有相同的焦点，则，即，设椭圆与双曲线的离心率分别为，则，∴．故选：A．【变式演练】1.已知、是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共交点，且，则椭圆和双曲线的离心率倒数之和的最大值为A． B． C．2 D．【答案】A设椭圆方程为，双曲线方程为，焦距为由椭圆和双曲线的定义，不妨设在第一象限，求出为焦点），在中利用余弦定理，求出关系，进而得出椭圆与双曲线的离心率关系，利用三角换元，结合正弦函数的有界性，即可求解.【详解】：设椭圆方程为，双曲线方程为，左右焦点分别为不妨设在第一象限，，得，在中，，即，设椭圆和双曲线的离心率分别为，设，取，，当时，取得最大值为.故选:A.2.椭圆与双曲线共焦点，，它们的交点对两公共焦点，张的角为.椭圆与双曲线的离心率分别为，，则A． B．C． D．【答案】B【分析】先将椭圆和双曲线的、、分别设出, 并设,,在中,根据余弦定理可得,根据几何意义,整理为；再分别根据椭圆与双曲线的定义,将该式分别整理为,,利用,对等式两边同除,分别得到,,建立两式的联系,即可得出结果【详解】：设椭圆的长半轴为,双曲线的实半轴为,半焦距为,设,,,椭圆与双曲线的离心率分别为，,由余弦定理可得，,即,即 ①,在椭圆中，由定义得, ①化简可得,即,等式两边同除,得,即 ②在双曲线中，由定义得,①化简可得,即,等式两边同除,得,即 ③联立②③得,即,.故选B3.已知椭圆与双曲线有公共焦点，，，为左焦点，为右焦点，P点为它们在第一象限的一个交点，且，设，分别为椭圆双曲线离心率，则的最大值为A． B． C． D．【答案】B【分析】设椭圆的长半轴长为半焦距为,双曲线的实半轴长为,半焦距为,根据椭圆和双曲线的定义可得,,然后在焦点三角形中,由余弦定理以及离心率公式可得,最后利用柯西不等式即可得到.【详解】：设椭圆的长半轴长为,半焦距为,双曲线的实半轴长为,半焦距为,根据椭圆的定义可得:,根据双曲线的定义可得:,两式联立解得:,,在焦点三角形中,由余弦定理得:,化简得:,两边同时除以,得:,由柯西不等式得:,即,所以,所以.故选B.【题型十一】 双曲线特性1：渐近线【典例分析】已知双曲线的左､右焦点分别是，，在其渐近线上存在一点，满足，则该双曲线离心率的取值范围为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】：由题意问题转化为双曲线的渐近线与双曲线有公共点即可，据此可得两曲线渐近线斜率间的关系，进而求出离心率范围.【详解】：双曲线的渐近线方程为，,点P在双曲线上，双曲线的渐近线方程为，因为与双曲线相交，所以由双曲线渐近线性质可知只需，即，则，解得，故该双曲线离心率的取值范围是，故选：A【变式演练】1.已知，是双曲线的左、右焦点，点A是的左顶点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，过点作轴的垂线，垂足为，为坐标原点，且平分，则的离心率为(       )A．2 B． C．3 D．【答案】A【分析】：根据已知条件求出P点坐标和直线PA方程，平分，则O到PM的距离等于到AP的距离，列式可求离心率﹒【详解】：如图，双曲线的渐近线取，则，由，∴P()，，故，∴，即∵平分，∴O到PM的距离等于O到AP的距离|OM|，即，化简整理得，解得e=2，故选：A﹒2.已知双曲线：（，）的左右焦点分别为、、A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于、两点，且，则该双曲线的离心率为（       ） A． B． C． D．【答案】C【分析】：先由题意，得到以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为，设，则，求出点P，Q的坐标，得出，，根据，再利用余弦定理求出，之间的关系，即可得出双曲线的离心率．【详解】：由题意，以为直径的圆的方程为，不妨设双曲线的渐近线为．设，则，由，解得或，∴，．又为双曲线的左顶点，则，∴，，，在中，，由余弦定理得，即，即，则，所以，则，即，所以∴．故选：C.3.已知双曲线的左、右焦点分别为、，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若线段交双曲线于点，且，则双曲线的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】C根据题意，不妨取点在第二象限，题中条件，得到，记，求出，根据双曲线定义，得到，，在中，由余弦定理，即可得出结果.【详解】：因为以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，不妨取点在第二象限，所以，则，因为双曲线的渐近线方程为，则，所以；记，则，由解得，因为，由双曲线的定义可得，所以，，由余弦定理可得：，则，所以，整理得，解得，所以双曲线的离心率为.故选：C.【题型十二】 双曲线特性2：内心【典例分析】已知双曲线，直线与C交于A、B两点（A在B的上方），，点E在y轴上，且轴．若的内心到y轴的距离为，则C的离心率为（       ）.A． B． C． D．【答案】B【分析】：根据题目信息画出准确图像，本题重难点在于合理利用三角形内心性质，以及角平分线定理，得到关系后即可求出离心率.【详解】：因为A在B的上方，且这两点都在C上，所以，则．因为，所以A是线段的中点，又轴，所以，，所以的内心G在线段上．因为G到y轴的距离为，所以，所以，因此，即．故．故选：B【变式演练】1.设分别为双曲线的左右焦点，点为双曲线上的一点，若的重心和内心的连线与x轴垂直，则双曲线的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】：先求出的重心坐标，再根据双曲线定义及切线长定理求出的内心横坐标，根据重心与内心横坐标相同得到方程，求出离心率.【详解】：将代入，解得：，即，不妨令，则，，所以重心坐标为，设的内心为D，内切圆与，的切点分别为A，B，与x轴切点为C，则PA=PB，，，且点D与点C横坐标相同，又由双曲线定义知：，从而，设，则，解得：，故点C为双曲线的右顶点，故D点的横坐标为a，因为的重心和内心的连线与x轴垂直，所以，解得：，即，解得：.故选：A2.已知双曲线，的左右焦点记为，，直线过且与该双曲线的一条渐近线平行，记与双曲线的交点为P，若所得的内切圆半径恰为，则此双曲线的离心率为（       ）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】：根据给定条件探求出的内切圆圆心坐标，再借助点到直线距离公式计算作答.【详解】：令双曲线的半焦距为c，则，由对称性不妨令与平行的渐近线为，直线方程为：，即，令的内切圆与三边相切的切点分别为A，B，C，令点，如图，由切线长定理及双曲线定义得：，即，而轴，圆半径为，则有，点到直线的距离：，整理得，即，而，解得，所以双曲线的离心率为2.故选：A3.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（       ）A． B．C． D．【答案】A【分析】：设双曲线的左、右焦点分别为，，设双曲线的一条渐近线方程为，可得直线的方程为，联立双曲线的方程可得点的坐标，设，，运用三角形的等面积法，以及双曲线的定义，结合锐角三角函数的定义，化简变形可得关于，的方程，结合离心率公式可得所求值．【详解】：设双曲线的左、右焦点分别为，，设双曲线的一条渐近线方程为，可得直线的方程为，与双曲线联立，可得，，设，，由三角形的等面积法可得，化简可得，①由双曲线的定义可得，②在三角形中，为直线的倾斜角），由，，可得，可得，③由①②③化简可得，即为，可得，则．故选：A．【题型十三】 难点1：借助向量构造【典例分析】已知双曲线的左，右焦点分别是，，点是双曲线右支上异于顶点的点，点在直线上，且满足，.若，则双曲线的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】：根据条件可确定在的角平分线上，且是的内心，由向量关系式求出线段长的比，利用双曲线定义求解.【详解】：由，，则点在的角平分线上，由点在直线上，则是的内心，由，由奔驰定理（已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·＋S△PAC·＋S△PAB·＝.）知，,即则，设，，，则，，则.故选：C【变式演练】1.已知椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若的内切圆的半径满足，则椭圆的离心率为（       ）【答案】C由已知，得，在中，利用余弦定理及面积公式可得，再利用的内切圆的半径，可知，建立等式关系，再由已知结合正弦定理得到关系式，结合，将关系式转化为的关系式，从而求得离心率.【详解】：由题可知，即， 在中，利用椭圆定义知，由余弦定理得即，整理得易得面积又的内切圆的半径为，利用等面积法可知，所以由已知，得，则，即在中，利用正弦定理知即，又，整理得两边同除以，则，解得或（舍去）故选：C.2.椭圆：的左、右焦点分别为，，过的直线交于，两点，若，，其中为坐标原点，则椭圆的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】：由可得，若，有，结合可求得，，最后结合几何图形有即可求得离心率【详解】：由题意，有，即，知 过左焦点的直线交于，两点，令，有，，且由上知①又∵有，且知：∴由知：②，由①、②可知：，∴结合几何图形知：，即得故选：C3.已知双曲线的虚轴的一个顶点为，左顶点为，双曲线的左、右焦点分别为，，点为线段上的动点，当取得最小值和最大值时，的面积分别为，，若，则双曲线的离心率为（       ）．A． B． C． D．【答案】A【分析】设直线所在直线的方程为，设，，，则可得，，从而可求出两向量的数量积的表达式，由二次函数的性质可求出当时，取得最小值，从而可求；当时，在处取得最大值，此时，，由可求出，进而可求离心率的值.【详解】：解：由题意可知，，则直线所在直线的方程为，因为点在线段上，可设，其中．设双曲线的焦距为，则，，，从而，，故．因为，所以当时，取得最小值，此时，．当，即时，无最大值，所以不符合题意；当，即时，在处取得最大值，此时，，因为，所以，解得，符合题意．综上，，，，故双曲线的离心率．故选:A.【题型十四】 难点2：小题大做型【典例分析】已知F是椭圆的左焦点，A是该椭圆的右顶点，过点F的直线l（不与x轴重合）与该椭圆相交于点M，N．记，设该椭圆的离心率为e，下列结论正确的是（       ）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，【答案】A【分析】：设在轴上方，在轴下方，设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，联立直线的方程与椭圆方程可求的坐标，同理可求的坐标，利用三点共线可得，利用离心率的范围可得，从而可判断为锐角.【详解】：不失一般性，设在轴上方，在轴下方，设直线的斜率为，倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为，则，，，且.又.又直线的方程为，由可得，故，所以，故，同理，故，因为共线，故，整理得到即，若，，因为，，故，所以，故.故选：A.【变式演练】1.已知是离心率为的椭圆外一点，经过点的光线被轴反射后，所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，则此条切线的斜率是（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】：由题意知，设过点的直线方程为：，反射后的切线方程为：，联立切线方程与椭圆的方程，利用求解即可.【详解】：由题意可知，又，故，设过点的直线斜率为，则直线方程为：，即则反射后的切线方程为：由得，因为所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，，化简得：，即，解得2.双曲线上有两点、，为坐标原点，为双曲线焦点，满足，当、在双曲线上运动时，使得恒成立，则离心率取值范围是（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】：先根据得到，再联立直线方程和双曲线方程利用韦达定理化简得到，从而得到为定值，即可求解离心率.【详解】：设，直线:因为，即联立，整理得，代入得所以整理得即由到直线:的距离所以距离为一个定值又又即所以又所以又所以故选：A3.已知双曲线的离心率为，过的左焦点作直线，直线与双曲线分别交于点，与的两渐近线分别交于点，若，则______.【答案】根据双曲线的离心率与左焦点可得双曲线,再根据可得为的中点,再设,根据可得坐标,代入渐近线方程可求得关于的表达式,再代入双曲线求得,进而求出直线的方程,再联立双曲线与其渐近线的方程即可得.【详解】：因为双曲线的离心率为,左焦点,故又,故故.因为,故为的中点.设,因为,故,解得.不妨设在渐近线上,则,即.代入则,解得,即.故直线的斜率,故的方程：.联立双曲线方程：即.设,则.再联立渐近线,即.故.故答案为：