2023-2024学年广东省广州市第四中学高二上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省广州市第四中学高二上学期期中数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，未知等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．直线的一个方向向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接根据方向向量的定义解答即可．
【详解】直线的斜率为，则选项中是直线的一个方向向量，即B正确．
故选：B．
2．方程的化简结果是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由方程的几何意义及椭圆定义得出结果即可.
【详解】方程的几何意义为动点到定点和的距离和为10，并且，
所以动点的轨迹为以两个定点为焦点，定值为的椭圆，所以， ，
根据 ，所以椭圆方程为.
故选：C.
3．已知直线：和：平行，则实数（ ）
A．B．2C．或D．1
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出两直线不相交时的值，再验证即可得解.
【详解】当，不相交时，
解得或，
当时，，，即，此时两直线重合，不符合题意，
当时，，，两直线平行，符合题意．
故选：B
4．已知，，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接根据空间向量的投影计算公式求出在上的投影，进行计算在上的投影向量.
【详解】因为，，所以.
因为，所以
故在上的投影向量为
故选：B
5．已知圆，，则这两圆的公共弦长为（ ）
A．4B．C．2D．1
【答案】C
【分析】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，用垂径定理求弦长.
【详解】由题意知，，将两圆的方程相减，得，所以两圆的公共弦所在直线的方程为.
又因为圆的圆心为，半径，所以圆的圆心到直线的距离.所以这两圆的公共弦的弦长为.
故选：C.
6．在平行六面体中，底面是菱形，侧面是正方形，且，，，若P是与的交点，M是的中点，则（ ）

A．5B．7C．3D．
【答案】D
【分析】根据数量积的定义可得，，，再结合向量的线性运算以及数量积的运算律运算求解.
【详解】由题意可知：，，，，
可得：，，，
因为，
可得
，
所以，即.
故选：D.
7．已知实数满足，则的最大值是（ ）
A．B．4C．D．7
【答案】C
【分析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.
【详解】法一：令，则，
代入原式化简得，
因为存在实数，则，即，
化简得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
则，
，所以，则，即时，取得最大值，
法三：由可得，
设，则圆心到直线的距离，
解得
故选：C.
8．椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】[方法一]：设而不求
设，则
则由得：，
由，得，
所以，即，
所以椭圆的离心率，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故，
由椭圆第三定义得：，
故
所以椭圆的离心率，故选A.
二、多选题
9．下列说法错误的是（ ）
A．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
B．直线的倾斜角的取值范围是
C．过，两点的所有直线的方程为
D．方程与方程表示同一条直线
【答案】ACD
【分析】对于A，根据充要条件的定义结合两直线垂直的条件进行判断，对于B，由倾斜角与斜率的关系判断，对于C，举例判断，对于D，根据两方程的特征分析判断.
【详解】对于A，当时，两直线分别为和，此时两直线的斜率乘积为，所以两直线垂直，当直线与直线互相垂直时，则或，所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件，所以A错误，
对于B，直线的斜率，因为，所以，所以，所以，所以B正确，
对于C，当或时，过，两点的直线不能用表示，所以C错误，
对于D，因为方程表示的是一条直线，而方程表示直线上除去的部分，所以方程与方程表示的不是同一条直线，所以D错误，
故选：ACD
10．设为实数，已知圆，直线：，当为（ ）时，圆上恰有3个点到直线的距离都等于1.
A．B．1C．D．
【答案】AC
【分析】由题意得到的圆心到直线距离等于1时满足要求，利用点到直线距离公式求出答案.
【详解】由于圆的半径为2，故的圆心到直线距离等于1时，
圆上恰有3个点到直线的距离都等于1，
即，解得.
故选：AC
11．若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】根据不共面的三个向量可构成空间的一个基底，结合共面向量定理对选项一一判断即可得出答案.
【详解】不存在，使得，所以不共面，
是空间的另一个基底，A正确．
因为，所以共面，
不是空间的另一个基底，B错误．
不存在，使得，所以不共面，
是空间的另一个基底，C正确．
因为，所以共面，
不是空间的另一个基底，D错误．
故选：AC.
12．法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆：的蒙日圆为：，过上的动点M作的两条切线，分别与C交于P，Q两点，直线交于A，B两点，则（ ）
A．
B．面积的最大值为
C．M到的左焦点的距离的最小值为
D．若动点D在上，将直线，的斜率分别记为，，则
【答案】ABD
【分析】对于A，取椭圆上顶点和右顶点的切线，可得答案；对于B，根据圆的性质，结合三角形的面积公式，可得答案；对于C，设出点的坐标，由两点距离公式，利用函数的思想，可得答案；对于D，设出点的坐标，代入椭圆的标准方程，利用点差法，结合两点之间的斜率公式，可得答案.
【详解】
对于A，依题意，过椭圆的上顶点作轴的垂线，过椭圆的右顶点作轴的垂线，
则这两条垂线的交点在圆上，
所以，得，
所以，故A正确；
对于B，因为点都在圆上，且，
所以为圆的直径，，
所以面积的最大值为，故B正确；
对于C，设，的左焦点为，连接，
因为，
所以，
又，
所以，
所以，
则M到的左焦点的距离的最小值为，故C错误；
对于D，由直线经过坐标原点，易得点关于原点对称，
设，，则，
，，又，
所以，
所以，
所以，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．若两条平行直线与之间的距离是，则 ．
【答案】3
【分析】由两直线平行列方程求出，再由两平行线间的距离公式列方程可求出的值，从而可求出结果.
【详解】因为直线与平行，
所以，解得且，
所以直线为，
直线化为，
因为两平行线间的距离为，
所以，得，
因为
所以，得，
所以，
故答案为：3
14．写出与圆和都相切的一条直线的方程 ．
【答案】或或
【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【详解】[方法一]：
显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，
于是，
故①，于是或，
再结合①解得或或，
所以直线方程有三条，分别为，，
填一条即可
[方法二]：
设圆的圆心，半径为，
圆的圆心，半径，
则，因此两圆外切，
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；
又由方程和相减可得方程，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，
直线OC与直线的交点为，
设过该点的直线为，则，解得，
从而该切线的方程为填一条即可
[方法三]：
圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
当切线为l时，因为，所以，设方程为
O到l的距离，解得，所以l的方程为，
当切线为m时，设直线方程为，其中，，
由题意，解得，
当切线为n时，易知切线方程为，
故答案为：或或.
15．已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为 ．
【答案】/
【分析】由向量的夹角公式可得，利用余弦定理、椭圆定义可得，再由三角形面积公式可得答案.
【详解】因为，，所以，
若，因为，
则可得，
由余弦定理可得
，
所以，
则.
故答案为：.

16．两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点，E和A，F，使，且已知，则线段的长为 ．
【答案】或
【分析】利用空间向量线性运算得到，结合空间向量数量积的运算法则及模的运算即可得解，注意的夹角有两种情况.
【详解】由题意，得，
所以，
因为，所以，，
因为，所以，则，同理：，
因为异面直线a，b所成的角为，
当的夹角为时，，
所以，则，即，故；
当的夹角为时，，
所以，则，故；
综上：线段的长为或.
故答案为：或.
.
四、解答题
17．已知的三个顶点分别为，求：
(1)边中线所在的直线方程
(2)的外接圆的方程
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出中点的坐标，由两点得直线斜率，由点斜式得直线方程并化简；
（2）设出圆的一般方程，代入三点坐标求解．
【详解】（1）设的中点为，则所在直线的斜率为，
则边所在直线的方程为，即．
（2）设的外接圆的方程为，
由，解之可得
故的外接圆的方程为．
18．四边形为菱形，平面，，，．

(1)设中点为，证明：平面；
(2)求平面与平面的夹角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用菱形的性质、平行线的性质，结合线面垂直的性质和判定定理进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】（1）四边形为菱形，且，中点为，所以．
因为，所以，
因为平面，平面，所以．
又，，平面，
所以平面；
（2）设交于点，取中点，连接，所以，底面．以为原点，以，，分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，

因为，所以，
所以，，，，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，则，
令，得；
，，平面的一个法向量为，
则，令得；
所以，
所以平面与平面的夹角的大小为．
19．中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；
（2）方法一：利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果.
【详解】（1）由正弦定理可得：，
，
，.
（2）[方法一]【最优解】：余弦+不等式
由余弦定理得：，
即.
（当且仅当时取等号），
，
解得：（当且仅当时取等号），
周长，周长的最大值为.
[方法二]：正弦化角（通性通法）
设，则，根据正弦定理可知，所以，当且仅当，即时，等号成立．此时周长的最大值为．
[方法三]：余弦与三角换元结合
在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．由余弦定理得，即．令，得，易知当时，，
所以周长的最大值为．
【整体点评】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；
方法一：求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.
方法二采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围进行求解最值，如果三角形是锐角三角形或有限制条件的，则采用此法解决.
方法三巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦函数求最值问题.
20．为了保证我国东海油气田海域的海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了两个观测站（点在点、点之间），它们到平台的距离分别为海里和海里，记海平面上到两观测站距离，之比为的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区（如图）．
(1)以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求曲线的方程；
(2)某日在观测站处发现，在该海上平台正南海里的处，有一艘轮船正以每小时海里的速度向北偏东方向航行，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，说明理由；如果进入，则它在安全预警区中的航行时间是几小时．
【答案】(1)
(2)如果轮船不改变航向，轮船一定会进入安全预警区，它在安全预警区中的航行时间为个小时
【分析】（1）、根据题意可知，利用两点间距离公式化简即可得到曲线的方程；
（2）、先求出轮船航行直线方程，再判断航行直线与安全预警区的位置关系，然后计算出航行直线被安全预警区截得的弦长，进而可以求出轮船在安全预警区中的航行时间；
【详解】（1）设，则由题意，根据题意可知，
，，曲线的方程为:
（2）在该海上平台正南海里处,，
轮船向北偏东方向航行, 轮船航行直线的倾斜角为，即直线的斜率为，
轮船航行直线方程：，即.
曲线的方程为: ,圆心，半径为
圆心到直线的距离,
如果轮船不改变航向，轮船一定会进入安全预警区.
直线被圆截得的弦长
轮船的速度为每小时海里，它在安全预警区中的航行时间
答：如果轮船不改变航向，轮船一定会进入安全预警区，它在安全预警区中的航行时间为个小时．
五、未知
21．已知椭圆：的一个顶点为，焦距为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点B，C，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆中的关系求解即可；
（2）利用弦长公式求解即可.
【详解】（1）椭圆的顶点为，焦距为，
故，
，
椭圆的方程为: ;
（2）,
过点作斜率为的直线方程为：，
设,联立，得：，
，解得或，
有韦达定理得：，，
所以，
整理得：，解得或（舍去），
故.
六、解答题
22．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD为正方形，四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，，，，．

(1)当点N为线段AD的中点时，求证：直线平面EFN；
(2)当点N在线段AD上时（包含端点），求平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明结论；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间角的向量求法求出平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值的表达式，进行合理变形，结合二次函数的性质求得余弦的最值，即可求得答案.
【详解】（1）证明：因为点N为线段AD的中点，且，
所以，
因为，且四边形ABCD为正方形，故，
所以，而平面，
故平面；
（2）设正方形ABCD的中心为O，分别取的中点为，
设点H为线段AD的中点，由（1）知四点共面，且平面，
连接平面，故，
又平面，故平面平面，
且平面平面，
由题意可知四边形为等腰梯形，故,
平面，故平面，
故以O为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，

因为，则，
又，故，
设到底面的距离为h，
四边形ABFE，CDEF为两个全等的等腰梯形，且，
故，又，
故，则，
，，
设，
设平面的一个法向量为，
则，令，
设平面的一个法向量为，
则，令，
故，
令，则，
令，则，
令，则在上单调递增，
故当时，，当时，，
故，
即平面BFN和平面ADE的夹角的余弦值得取值范围为.
【点睛】难点点睛：本题考查了线面垂直的证明以及空间面面角的向量求法，解答的难点在于求出平面夹角的余弦值之后，要对其表达式进行变形，从而结合二次函数的单调性求得余弦的最值，从而得到其取值范围.