初中数学2.3 三角形的内切圆优秀精练

这是一份初中数学2.3 三角形的内切圆优秀精练，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.若⊙O是△ABC的内切圆，则O是△ABC( )
A. 三条边的垂直平分线的交点B. 三条角平分线的交点
C. 三条中线的交点D. 三条高线的交点
2.如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是DF上一点，则∠EPF的度数是( )
A. 65°B. 60°C. 58°D. 50°
3.如图，AB为⊙O直径，C为圆上一点，I为△ABC内心，AI交⊙O于D，OI⊥AD于I，若CD=4，则AC为( )
A. 12 55
B. 16 55
C. 2 5
D. 5
4.如图，⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，D为弧AC上一点，P为△ABD的内心，过P作PE⊥AB，垂足为E，若CD=2 2，则BE−AE的值为( )
A. 4
B. 4 2
C. 2
D. 2 2
5.下列命题中，正确的有( )
①平分弦的直径垂直于弦；
②三角形的内心到三边的距离相等；
③用反证法证明命题：“同位角相等，两直线平行”时，第一步应假设“同位角不相等，两直线平行”；
④圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；
⑤垂直于半径的直线是圆的切线．
A. 0B. 1C. 2D. 3
6.如图，在平面直角坐标系xOy中，A(4,0)，B(0,3)，C(4,3)，I是△ABC的内心，将△ABC绕原点逆时针旋转90°后，I的对应点I′的坐标为( )
A. (−2,3)B. (−3,2)C. (3,−2)D. (2,−3)
7.如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD=2，BC=5，则△ABC的周长为( )
A. 16B. 14C. 12D. 10
8.如图，点I为△ABC的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB平移使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为( )
A. 4.5B. 4C. 3D. 2
9.如图，等腰△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AB=AC=5，BC=6，则DE的长是( )
A. 3 1010B. 3 105C. 3 55D. 6 55
10.如图，在四边形材料ABCD中，AD//BC，∠D=90°，BC=9cm，AB=10cm，CD=8cm.现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是( )
A. 2.4cm
B. 3.6cm
C. 4cm
D. 3cm
11.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，I为△ABC的内心，ID//AC，IE//BC，则△IDE的周长为( )
A. 6
B. 5
C. 4.8
D. 4
12.如图，点O为△ABC的内心，∠B=60°，BM≠BN，点M，N分别为AB，BC上的点，且OM=ON.甲、乙两人有如下判断：甲：∠MON=120°：乙：当MN⊥BC时，△MON的周长有最小值.则下列说法正确的是( )
A. 只有甲正确B. 只有乙正确C. 甲、乙都正确D. 甲、乙都错误
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13.如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD=3，BD=4，则△ABC的面积为 ．
14.如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，切点分别为D、E、F，若等边△ABC的边长为8，则阴影部分的面积是 ．
15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为(结果保留π) ．
16.如图，在边长为6的等边△ABC中，D，E分别在边AB，AC上，连结DE.∠BDE的平分线经过△ABC的内心P，交AB于点F，连结EF，若△ADE为直角三角形，则AD= ______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D为BC的中点，点P在射线AD上，⊙P与直线AB相切，切点为E．
(1)求证：⊙P与直线AC相切．
(2)当⊙P是△ABC内切圆时，求⊙P的半径．
18.(本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，请用尺规作图法作出△ABC的内心.(保留作图痕迹，不写作法)
19.(本小题8.0分)
如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆交于点D．
(1)如图1，连接DB，求证：DB=DE；
(2)如图2，若∠BAC=60°，求证：AB+AC= 3AD．
20.(本小题8.0分)
如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C=90°，AB=13，BC=12．
(1)求BF的长；
(2)求⊙O的半径r．
21.(本小题8.0分)
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AE⊥BD，BD>BC，点A是CAD的中点，且AF // CD．
(1)求证：直线AF是⊙O的切线；
(2)若BC=6，BE=3，求ED的长；
(3)在(2)的条件下，若∠BAE=∠ADE=30°，求△ABD的内心与外心之间的距离d。
22.(本小题8.0分)
如图，点I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC的外接圆于点E，连结BE．
(1)求证：IE=BE．
(2)若IE=4，AE=8，求DE的长．
23.(本小题8.0分)
如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C=90°，AB=13，BC=12．
(1)求BF的长；
(2)求⊙O的半径r．
24.(本小题8.0分)
如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D.若AC=6，CD=2.求⊙O的半径．
25.(本小题8.0分)
如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，连接AD，CD，AI．
(1)求证：AD=ID；
(2)若DE=4，BE=5，求BI的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】略
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查三角形的内切圆与内心，等边三角形的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
如图，连接OE，OF，求出∠EOF的度数即可解决问题．
【解答】
解：如图，连接OE，OF．
∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点，
∴OE⊥AB，OF⊥BC，
∴∠OEB=∠OFB=90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠EOF=120°，
∴∠EPF=12∠EOF=60°，
故选：B．
3.【答案】A
【解析】解：连接BD、CD、BI，
∵I为△ABC内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，
∴BD=CD，
∴BD=CD=4，
∵∠DBI=∠DBC+∠CBI=∠DAC+∠CBI=∠DAB+∠ABI=∠BID，
∴ID=BD=4，
∵OI⊥AD，
∴AD=2ID=8，
∴AB= AD2+BD2= 82+42=4 5，
连接OD交BC于点E，则OD⊥BC，
设DE=x，则OE=12AB−x=2 5−x，
∵OB2−OE2=BD2−DE2，
∴(2 5)2−(2 5−x)2=42−x2，
解得：x=4 55，
∴BE= BD2−DE2= 42−(4 55)2=8 55，
∴BC=2BE=16 55，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴AC= AB2−BC2= (4 5)2−(16 55)2=12 55，
故选：A．
连接BD、CD、BI，由已知可得BD=CD=4，进而可证ID=BD=4，勾股定理计算AB，连接OD交BC于点E，则OD⊥BC，设DE=x，利用OB2−OE2=BD2−DE2求x，再利用勾股定理求AC即可．
本题考查了三角形的内切圆和内心，三垂径定理，圆周角定理，三角形外角性质，等知识点的应用，正确作出辅助线后求出AD=2BD是解此题的关键，有一定的难度．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查三角形的内心，三角形外接圆与外心，等腰直角三角形，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，关键是通过辅助线构造全等三角形，并掌握三角形内心的性质．作PM⊥AD于M，PN⊥BD于N，连接PA，在DB上截取BK=AD，连接CK，可以证明△CDA≌△CKB，得到CD=CK，∠DCA=∠KCB，推出△DCK是等腰直角三角形，得到DK= 2CD= 2×2 2=4，由P是△ADB的内心，推出BE−AE=BD−AD=DK=4．
【解答】
解：作PM⊥AD于M，PN⊥BD于N，连接PA，在DB上截取BK=AD，连接CK，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ACB=90°，AC=BC，
∵∠DAC=∠CBK，
∴△CDA≌△CKB(SAS)，
∴CD=CK，∠DCA=∠KCB，
∵∠KCB+∠ACK=90°，
∴∠DCA+∠ACK=90°，
∴△DCK是等腰直角三角形，
∴DK= 2CD= 2×2 2=4，
∵P是△ADB的内心，
∴PM=PN=PE，
∵∠MDN=∠ACB=90°，
∴四边形PMDN是正方形，
∴DM=DN，
∵PA=PA，PM=PE，
∴Rt△PMA≌Rt△PEA(HL)，
∴AM=AE，
同理：BN=BE，
∴BE−AE=BN−AM=(BN+DN)−(AM+DM)=BD−AD，
∵BD−AD=BD−BK=DK=4，
∴BE−AE=4．
5.【答案】C
【解析】解：①平分不是直径的弦的直径垂直于弦，故①错误；
②三角形的内心到三边的距离相等，故②正确；
③用反证法证明命题：“同位角相等，两直线平行”时，第一步应假设“同位角不相等，两直线平行”，故③正确；
④圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，故④错误；
⑤垂直于半径且经过半径外端点的直线是圆的切线，故⑤错误；
综上所述，正确的有②③，共2个，
故选：C．
根据反证法的概念和圆的相关性质逐项分析判断求解即可．
此题考查了反证法的概念和圆的相关性质，解题的关键是熟练掌握反证法的概念和圆的相关性质．
6.【答案】A
【解析】【分析】
根据三角形内心的概念，以及三角形的面积得出其内切圆半径，进而得出I点坐标，再利用旋转的性质得出对应点的坐标即可．
此题主要考查了旋转的性质，三角形的内心以及直角三角形的性质，得出其内切圆半径是解题关键．
【解答】
解：过点I作IF⊥AC于点F，IE⊥OA于点E，IG⊥BC于点G，IH⊥AB于点H，
连接IA，IB，IC，如图所示：
∵A(4,0)，B(0,3)，C(4,3)，
∴BC=4，AC=3，
则AB=5，
∵I是△ABC的内心，
∴I到△ABC各边距离相等，等于其内切圆的半径，
∴设IF=IG=IH=r，
∴S△ABC=12AB+AC+BC·r=12BC·AC，
∴r=1
∴IF=1，故I到AC，BC的距离都为1，
则CF=IG=1，AE=1，
故IE=3−1=2，
OE=4−1=3，
则I(3,2)，
∵△ABC绕原点逆时针旋转90°，
∴I的对应点I′的坐标为：(−2,3)．
故选A．
7.【答案】B
【解析】【分析】根据切线长定理得到AF=AD=2，BD=BE，CE=CF，根据BC=5即可得到△ABC的周长．
【详解】解：∵△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD=2，
∴AF=AD=2，BD=BE，CE=CF，
∵BE+CE=BC=5，
∴BD+CF=BE+CE =BC=5，
∴△ABC的周长=2+2+5+5=14，
故选：B．
【点睛】本题考查切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：连接AI、BI，
∵点I为△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，
∴∠CAI=∠BAI，
由平移得：AC//DI，
∴∠CAI=∠AID，
∴∠BAI=∠AID，
∴AD=DI，
同理可得：BE=EI，
∴△DIE的周长=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4，
即图中阴影部分的周长为4，
故选：B．
连接AI、BI，因为三角形的内心是角平分线的交点，所以AI是∠CAB的平分线，由平行的性质和等角对等边可得：AD=DI，同理BE=EI，所以图中阴影部分的周长就是边AB的长．
本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是关键．
9.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等腰三角形的性质和勾股定理．
连接OA、OE、OD、OB，OB交DE于H，利用切线的性质和切线长定理得到OA平分∠BAC，OE⊥BC，OD⊥AB，BE=BD，再根据等腰三角形的性质判断点A、O、E共线，BE=CE=3，利用勾股定理计算出AE=4，则AD=2，设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，AO=4−r，利用勾股定理得到r2+22=(4−r)2，解得r=32，于是可计算出OB=3 52，然后证明OB垂直平分DE，利用面积法求出HE，从而得到DE的长．
【解答】
解：连接OA、OE、OD、OB，OB交DE于H，如图，
∵等腰△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，
∴AO平分∠BAC，OE⊥BC，OD⊥AB，BE=BD，
∵AB=AC，
∴AO⊥BC，
∴点A、O、E共线，即AE⊥BC，
∴BE=CE=3，
在Rt△ABE中，AE= 52−32=4，
∵BD=BE=3，
∴AD=2，
设⊙O的半径为r，则OD=OE=r，AO=4−r，
在Rt△AOD中，r2+22=(4−r)2，解得r=32，
在Rt△BOE中，OB= 32+(32)2=3 52，
∵BE=BD，OE=OD，
∴OB垂直平分DE，
∴DH=EH，OB⊥DE，
∵12HE⋅OB=12OE⋅BE，
∴HE=OE⋅BEOB=3×323 52=3 55，
∴DE=2EH=6 55．
故选：D．
10.【答案】D
【解析】解：∵AD/​/BC，∠D=90°，
∴∠BCD=90°，
如图所示，过点A作AF⊥BC于F，
∴△AFB是直角三角形，四边形ADCF是矩形，
∵BC=9，AB=10，CD=8，
∴AF=DC=8，
在Rt△AFB中，BF= AB2−AF2=6，
∴AD=FC=BC−BF=9−6=3，
如图所示，延长BA，CD交于点E，作Rt△BCE的内切圆⊙O，则此圆的面积最大，
∵∠D=90°，
∴∠ADE=90°
∵AD/​/BC，
∴△ADE∽△BCE，
∴EAEB=EDEC=ADBC，
∴EAEA+10=EDED+8=39，
解得：EA=5，ED=4，
∴EB=EA+AB=15，EC=4+8=12，
设⊙O的半径为r，则12×(EC+BC+EB)r=12EC×BC，
即12(15+12+9)r=12×9×12，
解得：r=3．
故选：D．
过点A作AF⊥BC于F，勾股定理得出AF=DC=8，延长BA，CD交于点E，作Rt△BCE的内切圆⊙O，则此圆的面积最大，证明△ADE∽△BCE，求得AE，DE，进而根据等面积法求得半径即可求解．
本题主要考查了三角形内切圆半径与三角形三边的关系，相似三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
11.【答案】B
【解析】解：∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB= 32+42=5，
连接IA、IB，如图，
∵I为△ABC的内心，
∴AI平分∠CAB，
即∠1=∠2，
∵ID//AC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴DA=DI，
同理可得EI=EB，
∴△IDE的周长=ID+DE+IE=DA+DE+EB=AB=5．
故选：B．
先解直角三角形得到AB=5，连接IA、IB，如图，利用三角形的内心的性质得到∠1=∠2，再证明∠2=∠3得到DA=DI，同理可得EI=EB，所以△IDE的周长=AB=5．
本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．
12.【答案】A
【解析】解：连接OB，过点O作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，
∵点O为△ABC的内心，
∴OB是∠ABC的平分线，
又OD⊥AB，OE⊥BC，
∴OD=OE，
在Rt△ODM和Rt△OEN中，
OM=ONOD=OE，
∴Rt△ODM≌Rt△OEN(HL)，
∴∠DOM=∠EON，
在四边形ODBE中，∠ODB=∠OEB=90°，
∴∠B+∠DOE=180°，
又∠B=60°，
∴∠DOE=120°，
即：∠DON+∠EON=120°，
∴∠DON+∠DOM=120°，
即：∠MON=120°，
故甲的说法正确；
过点O作OF⊥MN于点F，
∵OM=ON，OF⊥MN
∴OF是∠MON的平分线，MF=NF，
∴MN=2NF，
又∵甲的说法正确；
∴∠MON=120°，
∴∠NOF=∠MOF=60°，
在Rt△NOF中，sin∠NOF=NFON，
∴NF=ON⋅sin∠NOF=ON⋅sin60°= 32ON，
∴MN=2NF= 3ON，
∴△MON的周长为：OM+ON+MN=(2+ 3)ON，
∴当ON最小时，△MON的周长为最小，
根据“垂线段最短”可知：当ON⊥BC时，△MON的周长为最小，
∵MN⊥BC，
∴ON与BC一定不垂直，
∴ON不是最小，
∴△MON的周长不是最小，
故乙的说法不正确．
故选：A．
连接OB，过点O作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，依据“HL”判定Rt△ODM和Rt△OEN全等，从而得出∠DOM=∠EON，然后再根据四边形的内角和等于360°即可对甲的说法进行判断；
过点O作OF⊥MN于点F，则MN=2NF，根据∠MON=120°得∠NOF=∠MOF=60°，进而得NF= 32ON，据此得△MON的周长为(2+ 3)ON，只有当ON最小时，△MON的周长为最小，然后根据“垂线段最短”可对乙的说法进行判断．
此题主要考查了三角形的内心，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键正确的作出辅助线构造全等三角形，难点是在解答△MON的周长最小时，将三角形的各边都用ON表示，并根据垂线段最短来判断．
13.【答案】12
【解析】解：设CE=x.
根据切线长定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x.
根据勾股定理，得(x+3)2+(x+4)2=(3+4)2.
整理，得x2+7x=12.
∴S△ABC=12AC⋅BC
=12(x+3)(x+4)
=12(x2+7x+12)
=12×(12+12)
=12；
故答案为：12.
由切线长定理得出AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x.根据勾股定理，得(x+3)2+(x+4)2=(3+4)2.整理得x2+7x=12.再由三角形面积公式即可得出答案．
本题考查了三角形的内切圆、切线长定理、勾股定理以及三角形面积公式等知识；熟练掌握切线长定理和勾股定理是解题的关键．
14.【答案】163−163π
【解析】解：如图，连接OE、OB、OC，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60∘，BC=8，
∵⊙O是等边△ABC的内切圆，
∴OE⊥BC，BO平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBE=∠OCE=30∘，
∵OB=OC，OE⊥BC，
∴BE=CE=12BC=4，
在Rt△OBE中，OE=33BE=433，
∴S阴影部分=S△ABC−S⊙O
=3S△OBC−S⊙O
=3×12×8×433−π×(433)2
=163−163π.
故答案为：163−163π.
连接OE、OB、OC，根据等边三角形的性质得∠ABC=∠ACB=60∘，BC=8，再利用切线的性质和内心性质得到OE⊥BC，BO平分∠ABC，OC平分∠ACB，从而得到∠OBE=∠OCE=30∘，再计算OE，然后根据扇形的面积公式，利用S阴影部分=S△ABC−S⊙O=3S△OBC−S⊙O进行计算即可．
本题考查了三角形的内切圆与内心，等边三角形的性质，切线的性质，解决本题的关键是掌握内心定义．
15.【答案】5−34π
【解析】【分析】
本题考查三角形的内切圆、勾股定理等知识点，解答本题的关键是求出内切圆的半径．
根据题意，先作出相应的辅助线，然后求出内切圆的半径，再根据图形可知：阴影部分的面积=△ABC的面积−正方形CEOD的面积−⊙O面积的34，代入数据计算即可．
【解答】
解：如图，
作OD⊥AC于点D，作OE⊥CB于点E，作OF⊥AB于点F，连接OA、OC、OB，
∵∠ACB=90°，OD=OE=OF，
∴四边形CEOD是正方形，
∵AC=4，BC=3，∠ACB=90°，
∴AB= AC2+BC2= 42+32=5，
∵S△ABC=S△AOC+S△COB+S△BOA，
∴4×32=4⋅OD2+3⋅OE2+5⋅OF2，
解得OD=OE=OF=1，
∴图中阴影部分的面积=△ABC的面积−正方形CEOD的面积−⊙O面积的34
=4×32−1×1−π×12×34=5−34π.
16.【答案】3− 3或6−2 3
【解析】【分析】
本题考查等边三角形的性质，等边三角形的内心的应用，角平分线的性质应用，正方形的判定与性质，以及含30°角的直角的性质，属较综合的题.分∠ADE=90°时，∠AED=90°时两种情况，过P作∠BDE的两边的垂线，构造正方形，解直角三角形即可得解．
【解答】
解：当∠ADE=90°时，
过P作PM⊥AB于M，PN⊥DE于N，PG⊥BC于G，连接BP，
∵P为等边三角形的内心，
∴∠PBG=∠PBM=30°，PM=PG=12BP，且M为AB中点，G为BC中点，
∵等边三角形ABC的边长为6，
∴AM=MB=3，∴在Rt△PBM中，可得PM= 3．
∵DP为∠BDE的平分线，且∠ADE=90°，
又∵PM⊥DB，PN⊥DE，
∴PM=PN，
又∵∠MDE=∠PMD=∠PND=90°，
∴四边形PMDN为正方形，
∴MD=PM= 3，
∴AD=AM−DM=3− 3．
当∠AED=90°时，
过P作PS⊥AC于S，PR⊥DE于R，PQ⊥AB于Q，连接CP，
∵P为等边三角形的内心，
∴∠PCB=∠PCS=30°，PS=PQ=12CP，且S为AC中点，Q为AB中点，
∵等边三角形ABC的边长为6，
∴AS=SC=3，∴在Rt△PSC中，可得PS= 3．
∵DP为∠BDE的平分线，
又∵PQ⊥DB，PR⊥DE，
∴PQ=PR，
∴PS=PR，
∵∠PRE=∠RES=∠ESP=90°，
∴四边形PRES为正方形，
∴RE=PS=ES= 3，
∴AE=AS−ES=3− 3，
Rt△ADE中，∠A=60°，∴AD=2AE=6−2 3．
综上，AD=3− 3或6−2 3．
17.【答案】(1)证明：连接PE，过点P作PF⊥AC，垂足为F．
∵⊙P与直线AB相切，切点为E，
∴PE⊥AB．
在△ABC中，AB=AC，
∵D为AC的中点，
∴AD平分∠BAC．
∵PE⊥BA，PF⊥AC，
∴PE=PF，
∴⊙P与直线AC相切；
(2)解：连接BP，CP，
∵AB=AC=5，BC=6，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=12BC=3，
∴在Rt△ABD中根据勾股定理得AD=4．
设⊙P半径为r，
则运用面积法可得：S△ABC=AB⋅r2+AC⋅r2+BC⋅r2=BC⋅AD2，
∴5r2+5r2+6r2=6×42．
∴r=1.5，
即⊙P的半径为1.5．
【解析】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，勾股定理，三角形的面积，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．
(1)连接PE.过点P作PF⊥AC，垂足为F.根据切线的性质可得PE⊥AB.再根据角平分线的性质可得PE=PF.进而可以证明⊙P与直线AC相切；
(2)连接BP，CP，设⊙P半径为r，则根据三角形面积列出等式，即可求出⊙P的半径．
18.【答案】解：如图，点O即为所求．

【解析】作BT平分∠ABC，BT交AD于点O，点O即为所求．
本题考查作图−复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的内心等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19.【答案】(1)证明：如图，连接BE
∵点E是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠ABE+∠BAD=∠CBE+∠CBD，
∴∠BED=∠EBD
∴DE=DB．
(2)证明：连接BD、BE、CD，延长AC至F，使得CF=AB，连接DF，过D作DG⊥CF于点G．
∵∠ABD+∠ACD=180∘，∠ACD+∠DCF=180∘，
∴∠ABD=∠DCF，
∵∠BAC=60∘，点E是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD=30∘，BD=DC，
∵AB=CF，
∴△ABD≌△FCD(SAS)，
∴AD=DF，∠F=∠BAD=30∘，
∵DG⊥CF，∠F=∠CAD=30∘，
∴AD=2DG，AF=2AG，AG= 3DG，
∴AF= 3AD，
∴AB+AC=CF+AC=AF= 3AD，
即AB+AC= 3AD．
【解析】此题考查了圆周角定理，圆内接四边形性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定，含30°角的直角三角形的性质，三角形的内心等知识点，
(1)根据内心的性质得出∠BAD=∠CAD，∠ABE=∠CBE，进一步结合圆周角定理得出∠BED=∠EBD，即可得证；
(2)先根据圆内接四边形性质得到∠ABD=∠DCF，再根据SAS判定△ABD≌△FCD，得出AD=DF，∠F=∠BAD=30∘，进一步得出AF= 3AD，即可证明结论．
20.【答案】解：(1)在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=13，BC=12，
∴AC= AB2−BC2= 132−122=5，
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴BD=BF，AD=AE，CF=CE，
设BF=BD=x，则AD=AE=13−x，CF=CE=12−x，
∵AE+EC=5，
∴13−x+12−x=5，
∴x=10，
∴BF=10．
(2)连接OE，OF，
∵OE⊥AC，OF⊥BC，
∴∠OEC=∠C=∠OFC=90°，
∴四边形OECF是矩形，
∴OE=CF=BC−BF=12−10=2．
即r=2．
【解析】本题考查三角形的内心，勾股定理，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
(1)设BF=BD=x，利用切线长定理，构建方程解决问题即可．
(2)证明四边形OECF是矩形，推出OE=CF即可解决问题．
21.【答案】解：(1)证明：连接AO并延长交CD于G，如图：
∵A是CAD的中点，AG过圆心O，
∴AO⊥CD于G，
∵AF//CD，
∴AF⊥AO，
又∵AO是⊙O的半径，
∴AF是是⊙O的切线；
(2)连接AC，过点A作AH⊥BC于H，如图：
则∠AHC=90°，
∵A是CAD的中点，
∴AC=AD，
∴AC=AD，
根据圆周角定理可得，∠ACB=∠ADB，
在△ACH和△ADE中，
∠AHC=∠AED=90°∠ACH=∠ADEAC=AD,
∴△ACH≌△ADE(AAS)，
∴AH=AE，CH=DE，
在Rt△ABH和Rt△ABE中，
AH=AEAB=AB,
∴Rt△ABH≌Rt△ABE(HL)，
∴BH=BE=3，
∴CH=BC+BH=6+3=9，
∴ED=CH=9；
(3)∵AE⊥BD，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∵∠BAE=∠ADE，
∴∠ABE+∠ADE=90°，
∴∠BAD=180°−∠ABE+∠ADE=180°−90°=90°，
∴BD是⊙O的直径，BD过圆心O，如图：
则O为△ABD的外心，
设I为△ABD的内心，过点I作IM⊥BD于M，IN⊥AB于N，IP⊥AD于P，连接IA、IB、IC、OA，则IM=IN=IP，BI平分∠ABC，AI平分∠BAD，
∴∠ABI=∠OBI，∠BAI=12∠BAD=12×90°=45°，
∵∠ADE=30°，
∴∠AOB=2∠ADE=60°，
又∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴BA=BO，
在△BIO和△BIA中，
BO=BA∠OBI=∠ABIBI=BI,
∴△BIO≌△BIA(SAS)，
∴∠BOI=∠BAI=45°，
在Rt△IMO中，∠IMO=90°，∠MOI=45°，
∴∠MIO=90°−∠MOI=45°=∠MOI，
∴MO=MI，
∴IO= MO2+MI2= 2IM，
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，BE=3，∠BAE=30°，
∴AB=2BE=6，
在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ADB=30°，
∴BD=2AB=12，
∴AD= BD2−AB2= 122−62=6 3，
∴S△ABD=12AB·AD=12×6×6 3=18 3，
∵S△ABD=S△IAB+S△IBD+S△IAD
=12AB·IN+12BD·IM+12AD·IP
=12IMAB+BD+AD，
∴IM=2S△ABDAB+BD+AD=2×18 36+12+6 3=3 3−3，
∴d=IO= 2IM= 23 3−3=3 6−3 2．
【解析】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形的内心与外心，解答本题的关键是通过作辅助线，构造全等三角形．
(1)连接AO并延长交CD于G，根据垂径定理及其推论得出AO⊥CD于G，根据AF//CD，得出AF⊥AO，再根据AO是⊙O的半径，即可证明结论成立；
(2)连接AC，过点A作AH⊥BC于H，证明△ACH≌△ADE(AAS)，得出AH=AE，CH=DE，进一步证明Rt△ABH≌Rt△ABE(HL)，得出BH=BE=3，求出CH=BC+BH=6+3=9，即可求解；
(3)首先证明BD是⊙O的直径，BD过圆心O，则O为△ABD的外心，设I为△ABD的内心，过点I作IM⊥BD于M，IN⊥AB于N，IP⊥AD于P，连接IA、IB、IC、OA，则IM=IN=IP，BI平分∠ABC，AI平分∠BAD，进一步得出∠ABI=∠OBI，∠BAI=12∠BAD=45°，证明△AOB是等边三角形，得出BA=BO，然后证明△BIO≌△BIA(SAS)，得出∠BOI=∠BAI=45°，MO=MI，求出IO= MO2+MI2= 2IM，利用含30°角的直角三角形的性质得出AB=2BE=6，BD=2AB=12，利用勾股定理求出AD=6 3，进一步得出S△ABD=18 3，根据S△ABD=S△IAB+S△IBD+S△IAD=12IMAB+BD+AD，求出IM=3 3−3，进而得出d=IO= 2IM=3 6−3 2，即可求解．
22.【答案】【小题1】
解：证明：如图，连结IB．
∵点I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠IBD．
又∵∠BIE=∠BAD+∠ABI，
∴∠BIE=∠CAD+∠IBD=∠DBE+∠IBD=∠IBE，∴BE=IE．
【小题2】
在△BED和△AEB中，
∵∠EBD=∠CAD=∠EAB，∠BED=∠AEB，
∴△BED∽△AEB，∴BEAE=DEBE．
∵IE=4，∴BE=4．∵AE=8，∴DE=BE2AE=2．

【解析】1. 见答案
2. 见答案
23.【答案】解：(1)在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=13，BC=12，
∴AC= AB2−BC2= 132−122=5，
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，
∴BD=BF，AD=AE，CF=CE，
设BF=BD=x，则AD=AE=13−x，CF=CE=12−x，
∵AE+EC=5，
∴13−x+12−x=5，
∴x=10，
∴BF=10．
(2)连接OE，OF，
∵OE⊥AC，OF⊥BC，
∴∠OEC=∠C=∠OFC=90°，
∴四边形OECF是矩形，
∴OE=CF=BC−BF=12−10=2．
即r=2．
【解析】本题考查三角形的内心，勾股定理，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．
(1)设BF=BD=x，利用切线长定理，构建方程解决问题即可．
(2)证明四边形OECF是矩形，推出OE=CF即可解决问题．
24.【答案】解：设AC，BC分别和圆相切于点F，E，连接OF，OE，
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，
∴OF=OE，OF⊥AC，OE⊥BC，
又∵∠C=90°，
∴四边形CEOF是正方形．
设圆O的半径为r，则DE=2−r，OE=r．
∵四边形CEOF是正方形，
∴OE//AC，
∴△OED∽△ACD．
∴OEAC=EDCD，即r6=2−r2．
解得：r=1.5．
∴⊙O的半径为1.5．
【解析】设AC，BC分别和圆O相切于点F，E，连接OF，OE，首先证明四边形CEOF是正方形．设圆O的半径为r，则DE=2−r，OE=r，然后证明△OED∽△ACD，最后依据相似三角形的性质列方程求解即可．
本题主要考查的是三角形的内心的性质、相似三角形的性质和判定、正方形的判定、切线的性质，依据相似三角形的性质列出关于r的方程是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵点I是△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，AI平分∠CAB，
∴∠CBI=∠ABI=12∠ABC，∠CAI=∠BAI=12∠CAB，
∴∠AID=∠ABI+∠BAI，∠DAI=∠CAI+∠CAD，∠CAD=∠CBD，
∴∠AID=∠DAI，
∴AD=ID；
(2)解：∵BI平分∠ABC，
∴∠CBI=∠ABI，
又∵∠CAD=∠CBD，
∴∠DAE=∠ABD，
∵∠ADE=∠BDA，
∴△ADE∽△BDA，
∴ADBD=DEDA，
即AD4+5=4AD，
∴AD=6=ID，
∴BI=BD−DI=(4+5)−6=3．
【解析】(1)利用角平分线的定义，圆周角定理以及三角形内角和定理可得出∠AID=∠DAI，再根据等腰三角形的判定方法可得AD=ID；
(2)根据角平分线的定义，圆周角定理可证出△ADE∽△BDA，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AD，再根据线段的和差关系可求出答案．
本题考查角平分线的定义，圆周角定理、三角形内角和定理以及相似三角形的判定和性质，掌握角平分线的定义，圆周角定理、三角形内角和是180°以及相似三角形的判定和性质是解决问题的前提．