2023-2024学年浙江省温州中学十校联合体高二上学期期中联考数学试题含答案

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考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4．考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用双曲线方程可得渐近线方程．
【详解】双曲线的渐近线方程为，即，
故选：C.
2. 平行六面体中，化简（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间向量的线性运算计算即可.
【详解】
如图所示，.
故选：B.
3. 若直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知直线斜率可以求得，再根据二倍角公式可以求得.
【详解】由直线可知，，，
则.
故选：C
4. 若圆与圆仅有一条公切线，则实数a的值为（ ）
A. 3B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】利用两圆的位置关系计算即可.
【详解】由题意可知两圆相内切，易得两圆圆心，且两圆半径分别，
所以.
故选：B
5. 如图，是棱长为1的正方体中，点P在正方体的内部且满足，则P到面的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立合适的坐标系，利用空间向量求点面距离即可.
【详解】如图所示建立空间直角坐标系，则，
，所以，
设平面的一个法向量，所以，
令，即，
故P到面的距离.
故选：A
6. 细心的观众发现，2023亚运会开幕式运动员出场的地屏展示的是8副团扇，分别是梅兰竹菊松柳荷桂．“梅兰竹菊，迎八方君子；松柳荷桂，展大国风范“．团扇是中国传统文化中的一个重要组成部分，象征着团结友善．花瓣型团扇，造型别致，扇作十二葵瓣形，即有12个相同形状的弧形花瓣组成，花瓣的圆心角为，花瓣端点也在同一圆上，12个弧形花瓣也内切于同一个大圆，圆心记为O，若其中一片花瓣所在圆圆心记为C，两个花瓣端点记为A、B，切点记为D，则不正确的是（ ）
A. 在同一直线上B. 12个弧形所在圆的圆心落在同一圆上
C. D. 弧形所在圆的半径BC变化时，存在
【答案】D
【解析】
【分析】根据两个圆的位置关系逐个判断即可.
【详解】已知外圈两个圆的圆心都为，令最外面圆半径为，花瓣所在圆半径为，
对于A：因为大圆与小圆内切且切点为，所以切点与两个圆心共线，即在同一条直线上，A正确；
对于B：由两圆内切可知为定值，所以12个弧形的圆心在同一圆上，B正确；
对于C：因为12个弧形花瓣也内切于同一个大圆，所以，C正确；
对于D：由得，所以，
又，所以，
所以，所以恒成立，D错误，
故选：D
7. 已知是直线上一点，过点P作圆的两条切线，切点分别为A，B，当直线AB与l平行时，（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根据跟定条件，利用圆的切线的性质，结合面积法求解作答.
【详解】
连接，由切圆于A，B知，，
因为直线AB与l平行，则，
，而圆半径为1，
于是，
由四边形面积，
得，
所以.
故选：A.
8. 已知曲线C的方程为，则下列说法不正确的是（ ）
A. 无论a取何值，曲线C都关于原点成中心对称
B. 无论a取何值，曲线C关于直线和对称
C. 存在唯一的实数a使得曲线C表示两条直线
D. 当时，曲线C上任意两点间的距离的最大值为
【答案】C
【解析】
【分析】对于AB选项，根据对称性即可判断，C选项可以代入可以验证，D选项可以判断出为椭圆，则根据椭圆的性质即可判断.
【详解】A选项，在曲线C上任取一点，则关于原点的对称点为，
代入曲线方程可知，，
即，所以无论a取何值，曲线C都关于原点成中心对称；
故A选项正确；
B选项，关于的对称点为，代入曲线方程得，，
所以对称点在曲线上. 关于的对称点为，
代入曲线方程得，，故对称点也在曲线上；故B选项正确；
C选项，当时，曲线方程为即，即或，
当，曲线方程即，即或；故C选项错误；
D选项，当时，曲线C的方程为，，，
则代入曲线方程化简得，，方程表示焦点在轴上的椭圆，所以曲线C上任意两点间的距离的最大值为，故D选项正确；
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点共面的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用空间向量的共面定理的推论计算即可.
【详解】因为三点不共线，若四点共面，
不妨设，则，
即，
显然有，
反之若，
则有，
即共面，所以共面，
对于A，，有，
故共面，A正确；
对于B，，有，
故共面，B正确；
对于C，，有，
故不共面，C错误；
对于D，，有，
故共面，D正确；
故选：ABD
10. 已知曲线表示椭圆，下列说法正确的是（ ）
A. m的取值范围为B. 若该椭圆的焦点在y轴上，则
C. 若，则该椭圆的焦距为4D. 若椭圆的离心率为，则
【答案】BC
【解析】
【分析】由方程表示椭圆可得判断A，再根据其它各项描述及椭圆的性质判断正误即可.
【详解】由题意，A错；
椭圆的焦点在y轴上，则，即，B对；
若，则，故，该椭圆的焦距为4，C对；
若椭圆的离心率为，则或，可得或，D错.
故选：BC
11. 己知过点的直线l与圆交于A，B两点，在A处的切线为，在B处的切线为，直线与，交于Q点，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线l与圆C相交弦长最短为B. AB中点的轨迹方程为
C. Q、A、B、C四点共圆D. 点Q恒在直线上
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用弦长公式可判定A，利用圆的性质可判定B、C，利用两圆的公共弦方程可判定D.
【详解】由题意可知，圆C半径，
设的中点为，则，
而，所以，故A正确；
当不重合时，易知，即在以为直径的圆上，
易知的中点为，
所以D的轨迹方程为，
显然重合时符合上方程，
但当时，此时为直径，过的切线平行，不符合题意，
即D的轨迹方程为，故B错误；
易知，即Q、A、B、C四点在以为直径的圆上，
故C正确；
不妨设，
则为直径的圆心为，半径为，
故该圆方程为，
易知直线为圆C与圆E的公共弦，
两圆方程作差可得，
又直线过点P，即，故D正确；
故选：ACD
12. 已知正方体的棱长为1，H为棱（包含端点）上的动点，下列命题正确的是（ ）
A. 二面角的大小为
B.
C. 若O在正方形内部，且，则点O的轨迹长度为
D. 若平面，则直线CD与平面所成角的正弦值的取值范围为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据几何体为正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，可利用数量积计算夹角的余弦值后可判断A的正误，求出的坐标后利用数量积可判断B的正误，由已知确定轨迹图形，进而求其长度判断C；最后利用直线和平面的法向量计算线面角的正弦值后可判断D的正误.
【详解】
由正方体可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，其中，
对于A：，，
设平面的法向量为，
则，即，取，则，
故.
设平面的法向量为，
则，即，取，则，
故.
故，而二面角为锐二面角，
故其余弦值为，不为，故二面角的平面角不是，故A错误.
对于B：，故即，
故B正确.
对于C：由在正方形内部，且，
若分别是上的点，且，此时，
由图知：O在上，故以为圆心，为半径的四分之一圆弧上，
所以点轨迹的长度为；

故C错误.
对于D：设直线与平面所成的角为.
因为平面，故为平面的法向量，
而，故，
而，故D正确.
故选：BD.
【点睛】思路点睛：空间中位置关系的判断、角的计算或范围的判断，可结合几何体的规则性建立合适空间直角坐标系，通过向量的共线、向量的数量积等来判断位置关系，通过平面的法向量、直线的法向量等来处理相关角的计算或范围问题.
非选择题部分
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 过点且与直线平行的直线记为，则两平行线，之间的距离为_________．
【答案】##2.4
【解析】
【分析】利用两直线的平行关系先求，再由平行线的距离公式计算即可.
【详解】由题意不妨设，则，
所以两平行线，之间的距离.
故答案为：
14. 已知椭圆为椭圆C的左右焦点，P为椭圆C上的一点，且，延长交椭圆于Q，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据，建立向量关系，求出点坐标，然后求出直线方程，联立椭圆方程，求出点坐标，再利用两点间距离公式求解.
【详解】
由椭圆，得，，
设，
因为，
所以，则，
即，
又因为P为椭圆C上的一点，
所以
联立得，，
所以或，、
①当时，，直线方程为，即，
联立得，
所以，
②当，，直线方程为，即，
联立得，
所以，
综上，,
故答案为：
15. 把正方形ABCD沿对角线AC折成的二面角，E、F分别是BC、AD的中点，O是原正方形ABCD的中心，则的余弦值为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据空间向量的夹角公式，结合数量积的运算即可求解.
【详解】由于,所以,
不妨设正方形的边长为2，则,,
,
所以,
故
,
所以,
故答案为：

16. 双曲线的光学性质为：如图①，从双曲线的右焦点发出的光纤经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为为其左右焦点，若从由焦点发出的光线经双曲线上的点A和点B反射后，满足，则该双曲线的离心率为_________．
图① 图②
【答案】
【解析】
【分析】根据双曲线的光学性质结合双曲线的定义利用勾股定理计算即可.
【详解】
根据双曲线的光学性质可知与三点共线，
故，
不妨设，则，
由双曲线的定义可知，
两式相加可得，
所以，
由勾股定理可知，
故.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知圆，直线l过点．
（1）若直线被圆截得的弦长2，求直线的方程；
（2）若直线被圆截得的优弧和劣弧的弧长之比为，求直线的方程．
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】（1）法一，分直线斜率存在与不存在两种情况，当斜率不存在时，直线的方程为，联立方程直接求出两个交点，从而判断出是否满足题意，当斜率存在时，再根据条件即可求出结果；法二，利用点在圆上，直接设出另一个交点，联立方程和，从而可求出另一个交点，进而可求出结果；法三，利用点在圆上，因为弦长为2，则另一个点在以2为半径的圆为上，直接求出另一个交点，从而可求出结果；法四，分直线斜率存在与不存在两种情况，当斜率不存在时，直线的方程为，联立方程直接求出两个交点，从而判断出是否满足题意，当斜率存在时，联立方程，得到，再利用弦长公式即可求出结果；
（2）先利用条件，求出弦长为，再结合条件即可求出结果.
【小问1详解】
解法一：因为圆，圆心为，半径为，直线过点，
当直线斜率不存在时，直线的方程为：，由和，得到或，满足题意，
当直线斜率存在时，设直线，
设圆心O到直线的距离为，又直线被圆截得的弦长为2，所以，
又，解得，又，所以，解得，
此时，直线的方程为，
综上，直线的方程为或.
解法2：点在圆上，故令圆上点，则弦长为①
又②
①-②得 ③
③式代入到①式得或
或斜率不存在，
所以，直线的方程为或.
解法3：以为圆心，以2为半径的圆为①
②
①-②得③
③式代入到①式得或
或斜率不存在，
所以，直线的方程为或.
解法4：当直线斜率不存在时，直线的方程为：，由和，得到或，满足题意，
当直线斜率斜率存在时，设直线，
弦长：，整理得到，即，
解得，此时，直线的方程为，
综上，直线的方程为或.
【小问2详解】
易知劣弧所对圆心角为，又，故直线被圆所截弦长为，
由，得到圆心O到直线l的距离为，
所以，
整理得到，或
所以，或．
18. 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，E是PD的中点．
（1）证明：平面；
（2）当点为棱中点时，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中点，连接，，即可得到四边形为平行四边形，从而得到，即可得证；
（2）取中点，连接，，由面面垂直的性质得到面，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【小问1详解】
取中点，连接，．
为中点，且，
，，
且，且，
四边形为平行四边形，
，又平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
取中点，连接，．
正三角形，，
面面，面面，
面，
又，，所以为正方形，所以．
如图以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，
所以，，，
设面的一个法向量为，
则，不妨取，
设与平面所成角为，则 ，
故直线与平面所成角的正弦值为.
19. 已知点，动点P满足，记点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C方程；
（2）若直线上存在点M满足，求实数m的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用两点距离公式化简计算即可；
（2）法一，利用点与圆，直线与圆的位置关系解不等式即可；法二，联立直线方程与圆C方程利用判别式计算即可.
【小问1详解】
设，则，
∵，
，
；
【小问2详解】
法一、（即M在圆C上及圆C的内部），
，
，
，
；
法二、由题意可知直线与圆C有交点，联立方程，
，化简得，
，
.
20. 己知点，动点P满足关系式．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）l是过点且斜率为2的直线，M是轨迹C上（不在直线l上）的动点，点A在直线l上，且，求的最大值及此时点M的坐标．
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）根据椭圆的定义知，动点P的轨迹为椭圆，再根据条件即可求出结果；
（2）法一，设M的坐标为，根据条件求出，从而得出，计算法1，根据条件，设为参数，利用参数方程即可求出结果；计算法2，利用不等式得出，进而可求出结果；法二，利用为直角三角形，即，从而求出，进而可求出结果；法三，利用几何意义，转化为直线，当与椭圆相切时，与l的交点为A，切点为M，此时最大．再根据条件，联立方程，得到，利用和图形，得到，从而可求出结果；法四，将问题转化为过且垂直l的直线为，则为M到的距离，易知，，再利用参数方程即可求出结果.
【小问1详解】
，由椭圆定义知，动点P轨迹为椭圆
且，，，
所以，动点P的轨迹C的方程为.
【小问2详解】
解1：设M的坐标为，且满足,
易知，直线，因为，设直线，
由，解得，
所以，又，所以，
计算法1：因为，设为参数，
则，
当时，取得最大值为，所以，又，
所以.
计算法2：因为，
得到，当且仅当，即时，取等号，
，由和，
解得，，又，得到，
所以
解2：设M的坐标为，且满足，又直线，，
设点M到直线l的距离为d，
则，
所以，
又因为，设为参数，
则，
当时，取得最大值为，所以，又，
所以，
解3：转化为直线，当与椭圆相切时，与l的交点为A，切点为M，此时最大．
设方程为：，由，消得到，
由，得到，所以，由图知，，
联立，和，得到，故，又，
，
将代入，得到，所以，，
此时.
解4：将问题转化为过且垂直l的直线为，
则为M到的距离
易知，，即，
设，因为，设为参数，
则到直线的距离为，
当时，取得最大值为，所以，又，
所以.
21. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面CDFE为正方形，，，点C在面ABEF上的射影恰为的重心G．
（1）证明：；
（2）证明：面EFDC；
（3）求该五面体的体积．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据线线平行可得线面平行，进而由线面平行的性质即可求解，
（2）根据线线垂直以及重心的性质，即可由线面垂直的判定求证，或者利用向量法求解坐标，根据向量垂直求解，
（3）根据锥体体积以及柱体体积公式即可求解.
【小问1详解】
,平面ABEF,平面ABEF
平面ABEF，
又平面平面,平面ABCD．
【小问2详解】
解1：点G为的重心，作EG的延长线交AB于H，
点H为AB中点 又．
四边形AHCD为平行四边形，,
又平面，平面 ,,由于,,
又,平面，
平面，平面,
又,
又，平面，
平面
解2：以D为原点，以DC为y轴，DF为z轴建立直角坐标系,
设,
,
又,
，故，,
又,平面，
平面,
【小问3详解】
解1：以D为原点，以DA为x轴，DC为y轴，DF为z轴建立直角坐标系,
，
，,
∴五面体体积，
解2：在中，,
令,
五面体的体积，
22. 已知双曲线与直线有唯一的公共点．
（1）点在直线l上，求直线l的方程；
（2）设点分别为双曲线C的左右焦点，E为右顶点，过点的直线与双曲线C的右支交于A，B两点（其中点A在第一象限），设M，N分别为的内心．
①点M的横坐标是否为定值？若是，求出横坐标的值；若不是，请说明理由．
②求的取值范围．
【答案】（1）
（2）①是定值为1；②
【解析】
【分析】（1）代入根据判别式等于0即可；
（2）①根据双曲线定义即可得到定值；②设，再通过化简得到斜率之和表达式，再求出范围即可.
【小问1详解】
联立方程得；
得：，
；
；又，
，即.
【小问2详解】
①P为的内切圆与x轴的切点，由定义知：
，
与E重合，，
同理：.
②设，
．
下求的范围,
当直线AB斜率不存在时，满足题意，
当直线AB斜率存在时，设为，
即代入（1）中求的，
，
或，，