浙江省金华市永康市三校2023—2024学年上学期九年级期中数学试卷

这是一份浙江省金华市永康市三校2023—2024学年上学期九年级期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）化简的正确结果是（ ）
A．±2B．﹣2C．2D．4
2．（3分）将抛物线y＝﹣x2向下平移2个单位所对应的函数图象表达式为（ ）
A．y＝﹣x2+2B．y＝﹣x2﹣2C．y＝﹣（x+2）2D．y＝﹣（x﹣2）2
3．（3分）已知⊙O的直径为5，若PO＝3，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断
4．（3分）下列事件中，属于不确定事件的是（ ）
A．在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°
B．在△ABC中，∠A+∠B+∠C＜180°
C．α，β是对顶角，α+β＝180°
D．α，β是对顶角，α＝β
5．（3分）如图，直线a∥b∥c，直线AC分别交a，b，c于A，B，C；直线DF分别交a，b，c于D，E，F．若AB＝2，AC＝5，DE＝3，则EF＝（ ）
A．2B．C．4D．
6．（3分）已知△ABC∽△DEF，AB＝3，DE＝5，△ABC的周长为12，则△DEF的周长为（ ）
A．18B．19C．20D．21
7．（3分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，C为的中点，OC与AB交于点D，若⊙O的半径是10，CD＝4，则AB＝（ ）
A．14B．15C．17D．16
8．（3分）边长为6的正三角形的外接圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
9．（3分）若二次函数y＝x2﹣4x+m的图象经过点A（3，y1），B（0，y2），则y1，y2的大小关系为（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．不能确定
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，AC＝5，点D是其内部一动点，且∠DBC＝∠BAD，则C，D两点的最小距离为（ ）
A．3B．4C．D．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）请写出一个二次函数表达式 ，使其图象经过点（2，3）．
12．（4分）已知线段a＝9，b＝4，则a、b的比例中项线段等于 ．
13．（4分）在一个不透明的布袋中装有30个白球和若干个黑球，它们只有颜色不同．若摸出一个球是黑球的概率是，则布袋中黑球的个数有 ．
14．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，E为BC的中点，连接AE，DE．以E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，N．则图中阴影部分的面积和是 （结果保留π）．
15．（4分）二次函数y＝（﹣2x+6）（x+5）的最大值是 ．
16．（4分）当1≤x≤2时，关于x的二次函数y＝（x﹣m）2+m﹣1有最小值2，则实数m的值为 ．
三、解答题（本题有8小题，共66分，写出必要的解答过程）
17．（6分）解一元二次方程：（x﹣2）（2x﹣3）＝6．
18．（6分）已知，求的值．
19．（6分）为传承红色文化，激发革命精神，增强爱国主义情感，某校组织七年级学生开展“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学之旅，策划了三条红色线路让学生选择：A．刘英烈士陵园；B．中国工农红军第十三军第三团纪念馆；C．中共永康县委诞生地纪念馆，且每人只能选择一条线路．小张和小王两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上字母A，B，C，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，小张先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小王再从中随机抽取一张卡片．
（1）小张从中随机抽到卡片A的概率是 ．
（2）请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到卡片C的概率．
20．（8分）为了增强学生身体素质，学校要求同学们练习跑步．
下面是一次练习时的场景：开始时甲生跑了50m，乙生跑了80m，然后甲生、乙生都开始匀速跑步．已知甲生的跑步速度为4.5m/s，当他们分别到达终点时停止跑步，甲生从开始匀速跑步到停止跑步共用时100s．已知x轴表示从开始匀速跑步到停止跑步的时间（s），y轴表示跑过的路程（m），则：
（1）这次练习跑步的路程为 ．
（2）当甲生追上乙生时，求此时甲生距离出发点的距离．
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D为圆弧上一点，CD＝BC．
（1）求证：OC∥AD．
（2）若AD＝6，AB＝10，求点O到AD的距离．
22．（10分）如图，延长圆内接四边形的边AB和DC，相交于点E．
（1）证明：△EBC∽△EDA．
（2）若CD＝CE＝4，BE＝3，求AE的长度．
（3）若∠CBE+∠E＝110°，且该圆的半径是5．求的长度．
23．（10分）前面我们学习了一次函数，反比例函数，二次函数的图象和性质，积累了一定的学习经验，相信大家都掌握了探究函数图象和性质的路径．
下面是探究函数的图象和性质的过程．阅读并回答相关问题．
列表：自变量x与函数y的对应值表．
（1）①表格中的m＝ ，n＝ ．
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请在下面的平面直角坐标系中补充描点（﹣2，m）和点（4，n）．
③连线：请在下面的平面直角坐标系中用光滑曲线顺次连接各点，画出函数图象．
（2）请写出该函数图象的一条性质： ．
（3）运用该函数图象，直接写出方程的解是：x＝ ．
（4）若关于x方程有4个实数解，则实数k的范围是 ．
24．（12分）“图形的旋转”是图形变化中的一种主要形式．
（1）如图1，△ABC是等边三角形，将△ABC绕点A逆时针旋转20°得到△ADE．DE和BC交于点F，连接BD，CE．
①证明：△ACE≅△ABD；
②求∠CFE的度数．
（2）如图2，在四边形ABCD中，AC＝BC，∠BAC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝5，BD＝13，求CD的长度．
2023-2024学年浙江省金华市永康市三校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）化简的正确结果是（ ）
A．±2B．﹣2C．2D．4
【解答】解：＝2．
故选：C．
2．（3分）将抛物线y＝﹣x2向下平移2个单位所对应的函数图象表达式为（ ）
A．y＝﹣x2+2B．y＝﹣x2﹣2C．y＝﹣（x+2）2D．y＝﹣（x﹣2）2
【解答】解：将二次函数y＝﹣x2的图象向左平移2个单位，所得抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2﹣2，
故选：B．
3．（3分）已知⊙O的直径为5，若PO＝3，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内B．点P在⊙O上C．点P在⊙O外D．无法判断
【解答】解：圆的半径r＝×5＝2.5，点P到O的距离d＝PO＝3，
∴d＞r，
∴点P在圆外，
故选：C．
4．（3分）下列事件中，属于不确定事件的是（ ）
A．在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°
B．在△ABC中，∠A+∠B+∠C＜180°
C．α，β是对顶角，α+β＝180°
D．α，β是对顶角，α＝β
【解答】解：A、在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，属于必然事件，是确定性事件，故此选项不符合题意；
B、在△ABC中，∠A+∠B+∠C＜180°，属于不可能事件，是确定性事件，故此选项不符合题意；
C、若α，β是对顶角，则α＝β，可能会出现α+β＝180°，属于随机事件，是不确定性事件，故此选项符合题意；
D、α，β是对顶角，α＝β，属于必然事件，是确定性事件，故此选项不符合题意；
故选：C．
5．（3分）如图，直线a∥b∥c，直线AC分别交a，b，c于A，B，C；直线DF分别交a，b，c于D，E，F．若AB＝2，AC＝5，DE＝3，则EF＝（ ）
A．2B．C．4D．
【解答】解：∵a∥b∥c，
∴＝，
∵AB＝2，AC＝5，DE＝3，
∴＝，
解得：DF＝，
∴EF＝DF﹣DE＝﹣3＝，
故选：D．
6．（3分）已知△ABC∽△DEF，AB＝3，DE＝5，△ABC的周长为12，则△DEF的周长为（ ）
A．18B．19C．20D．21
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴△ABC的周长：△DEF的周长＝AB：DE＝3：5，
∵△ABC的周长为12，
∴△DEF的周长为20．
故选：C．
7．（3分）如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，C为的中点，OC与AB交于点D，若⊙O的半径是10，CD＝4，则AB＝（ ）
A．14B．15C．17D．16
【解答】解：连接AO，如图，
∵⊙O的半径为10，则OA＝10，
∵CD＝4，
∴OD＝10﹣4＝6，
∵C为的中点，
∴OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB，
∴在Rt△AOD中，AD＝＝8，
∴AB＝16．
故选：D．
8．（3分）边长为6的正三角形的外接圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：如图，连接OB，作OD⊥BC，
∵BC＝6，
∴BD＝BC＝×6＝3，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠OBD＝30°，
∴OD＝BO，
∵OB2＝OD2+BD2，
∴4OD2＝OD2+9，
解得：OD＝（负值舍去），
∴OB＝2OD＝2，
故选：A．
9．（3分）若二次函数y＝x2﹣4x+m的图象经过点A（3，y1），B（0，y2），则y1，y2的大小关系为（ ）
A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1＝y2D．不能确定
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+m的图象开口向上，对称轴是直线x＝﹣＝2，
∴在对称轴的右面y随x的增大而增大，
∵点A（3，y1），B（0，y2）是二次函数y＝x2﹣4x+m的图象上两点，
∴B（0，y2）关于直线x＝2的对称点（4，y2）在二次函数y＝x2﹣4x+m的图象上，
∵2＜3＜4，
∴y1＜y2．
故选：B．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，AC＝5，点D是其内部一动点，且∠DBC＝∠BAD，则C，D两点的最小距离为（ ）
A．3B．4C．D．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，AC＝5，
∴由勾股定理，得AB＝＝＝4，
如图，取AB的中点O，连接OD，OC交圆于点D'，
∵∠DBC＝∠BAD，∠DBC+∠ABD＝90°，
∴∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠ADB＝90°，
∴E点在以O为圆心，半径为OA的圆上运动，当O，D，C三点在同一直线上时，CD最短，
此时OD＝OD'＝OA＝2，
在Rt△OCB中，
由勾股定理，得OC＝＝＝，
故CD的最小值为：OC﹣OD'＝﹣2，
故选：C．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）请写出一个二次函数表达式 y＝（x﹣2）2+3 ，使其图象经过点（2，3）．
【解答】解：由题意可得，
图象经过点（2，3）的二次函数的表达式是：y＝（x﹣2）2+3，
故答案为：y＝（x﹣2）2+3．
12．（4分）已知线段a＝9，b＝4，则a、b的比例中项线段等于 6 ．
【解答】解：设线段x是线段a，b的比例中项，
∵a＝4，b＝9，
∴＝，
∴x2＝ab＝4×9＝36，
∴x＝±6，x＝﹣6（舍去）．
故答案为：6．
13．（4分）在一个不透明的布袋中装有30个白球和若干个黑球，它们只有颜色不同．若摸出一个球是黑球的概率是，则布袋中黑球的个数有 45 ．
【解答】解：设黑球的个数为x个，根据题意得：
＝，
解得：x＝45，
经检验x＝45是方程的解，
∴黑球的个数为45．
故答案为：45．
14．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，E为BC的中点，连接AE，DE．以E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，N．则图中阴影部分的面积和是 （结果保留π）．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝3，BC＝6，点E是BC的中点，
∴AB＝BF＝EC＝CD＝3，∠B＝∠C＝90°，
∴∠AEB＝∠BAE＝＝45°，
同理∠CED＝45°，
∴S阴影部分＝2S扇形BEM
＝2×
＝．
故答案为：．
15．（4分）二次函数y＝（﹣2x+6）（x+5）的最大值是 32 ．
【解答】解：y＝（﹣2x+6）（x+5）
＝﹣2x2﹣4x+30
＝﹣2（x2﹣2x+1﹣1﹣15）
＝﹣2（x﹣1）2+32，
∴最大值为32．
故答案为：32．
16．（4分）当1≤x≤2时，关于x的二次函数y＝（x﹣m）2+m﹣1有最小值2，则实数m的值为 ．
【解答】解：∵关于x的二次函数y＝（x﹣m）2+m﹣1有最小值2，
二次项系数a＝1＞0，故图象开口向上，对称轴为x＝m，
当m≥2时，
当x＝2时，函数取得最小值，即（2﹣m）2+m﹣1＝2，
解得：m＝（不合题意的值已舍去）；
当m≤1时，
当x＝1时，函数取得最小值，即（1﹣m）2+m﹣1＝2，
解得：m＝2（舍去）或﹣1；
当1＜m＜2时，
函数在顶点处取得最小值，
即（m﹣m）2+m﹣1＝2，
解得：m＝3（舍去），
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，共66分，写出必要的解答过程）
17．（6分）解一元二次方程：（x﹣2）（2x﹣3）＝6．
【解答】解：（x﹣2）（2x﹣3）＝6，
整理得：2x2﹣7x＝0，
x（2x﹣7）＝0，
x＝0或2x﹣7＝0，
解得：x1＝0，x2＝．
18．（6分）已知，求的值．
【解答】解：令x＝3k，y＝2k（k≠0），
∴原式＝
＝
＝
＝．
即．
19．（6分）为传承红色文化，激发革命精神，增强爱国主义情感，某校组织七年级学生开展“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学之旅，策划了三条红色线路让学生选择：A．刘英烈士陵园；B．中国工农红军第十三军第三团纪念馆；C．中共永康县委诞生地纪念馆，且每人只能选择一条线路．小张和小王两人用抽卡片的方式确定一条自己要去的线路．他们准备了3张不透明的卡片，正面分别写上字母A，B，C，卡片除正面字母不同外其余均相同，将3张卡片正面向下洗匀，小张先从中随机抽取一张卡片，记下字母后正面向下放回，洗匀后小王再从中随机抽取一张卡片．
（1）小张从中随机抽到卡片A的概率是 ．
（2）请用画树状图或列表的方法，求两人都抽到卡片C的概率．
【解答】解：（1）小张从中随机抽到卡片A的概率为；
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小张和小王两人都抽到卡片C的结果有1种，
∴两人都抽到卡片C的概率是．
20．（8分）为了增强学生身体素质，学校要求同学们练习跑步．
下面是一次练习时的场景：开始时甲生跑了50m，乙生跑了80m，然后甲生、乙生都开始匀速跑步．已知甲生的跑步速度为4.5m/s，当他们分别到达终点时停止跑步，甲生从开始匀速跑步到停止跑步共用时100s．已知x轴表示从开始匀速跑步到停止跑步的时间（s），y轴表示跑过的路程（m），则：
（1）这次练习跑步的路程为 500m ．
（2）当甲生追上乙生时，求此时甲生距离出发点的距离．
【解答】解：（1）甲生匀速跑步的路程为4.5×100＝450（m），
总路程为：450+50＝500（m），
则这次练习跑步的路程为500m．
故答案为：500m；
（2）设从开始匀速跑步到甲生追上乙生的时间为xs，
乙生跑步的速度为（500﹣80）÷120＝3.5（m/s），
根据题意得：80+3.5x＝50+4.5x，
解得x＝30，
∴此时甲生距离出发点的距离为4.5×30+50＝185（m），
答：甲生距离出发点的距离为185m．
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点C，D为圆弧上一点，CD＝BC．
（1）求证：OC∥AD．
（2）若AD＝6，AB＝10，求点O到AD的距离．
【解答】（1）证明：∵CD＝BC，
∴＝，
∴∠COD＝∠COB＝∠BOD，∠A＝∠BOD，
∴∠A＝∠COB，
∴OC∥AD；
（2）解：如图，连接BD，过点O作OE⊥AD于点E，
则AE＝DE，
∵OA＝OB，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE＝BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝＝＝8，
∴OE＝BD＝4，
即点O到AD的距离为4．
22．（10分）如图，延长圆内接四边形的边AB和DC，相交于点E．
（1）证明：△EBC∽△EDA．
（2）若CD＝CE＝4，BE＝3，求AE的长度．
（3）若∠CBE+∠E＝110°，且该圆的半径是5．求的长度．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠A+∠DCB＝180°，
∵∠DCB+∠ECB＝180°，
∴∠A＝∠ECB，
∵∠E＝∠E，
∴△EBC∽△EDA；
（2）解：由（1）得：，
即，
∴．
（3）解：∵∠CBE+∠E＝110°，
∴∠ECB＝180°﹣110°＝70°．
，
∴弧BD的度数是140°，
∴的长度是．
23．（10分）前面我们学习了一次函数，反比例函数，二次函数的图象和性质，积累了一定的学习经验，相信大家都掌握了探究函数图象和性质的路径．
下面是探究函数的图象和性质的过程．阅读并回答相关问题．
列表：自变量x与函数y的对应值表．
（1）①表格中的m＝ ﹣3 ，n＝ 1 ．
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请在下面的平面直角坐标系中补充描点（﹣2，m）和点（4，n）．
③连线：请在下面的平面直角坐标系中用光滑曲线顺次连接各点，画出函数图象．
（2）请写出该函数图象的一条性质： 函数的图象关于y轴对称（答案不唯一） ．
（3）运用该函数图象，直接写出方程的解是：x＝ ±2 ．
（4）若关于x方程有4个实数解，则实数k的范围是 ﹣4＜k＜﹣3 ．
【解答】解：（1）①当x＝﹣2时，m＝2﹣2﹣3＝﹣3，
当x＝4时，n＝8﹣4﹣3＝1；
故答案为：﹣3，1；
②③如图：
（2）根据图象可知：函数的图象关于y轴对称（答案不唯一）；
故答案为：函数的图象关于y轴对称（答案不唯一）；
（3）观察函数图象，可得方程的解是：x＝±2；
故答案为：±2；
（4）观察函数图象可得，若关于x方程有4个实数解，则实数k的范围是﹣4＜k＜﹣3．
故答案为：﹣4＜k＜﹣3．
24．（12分）“图形的旋转”是图形变化中的一种主要形式．
（1）如图1，△ABC是等边三角形，将△ABC绕点A逆时针旋转20°得到△ADE．DE和BC交于点F，连接BD，CE．
①证明：△ACE≅△ABD；
②求∠CFE的度数．
（2）如图2，在四边形ABCD中，AC＝BC，∠BAC＝60°，∠ADC＝30°，AD＝5，BD＝13，求CD的长度．
【解答】（1）①证明：∵将等边△ABC绕点A逆时针旋转20°得到△ADE，
∴AB＝AC＝AE＝AD，∠CAE＝∠BAD＝20°，
∴△ACE≌△ABD（SAS）；
②如图1，设BC与AE交于点O，
∵将等边△ABC绕点A逆时针旋转20°得到△ADE，
∴∠ACB＝∠AED，∠CAE＝20°，
∵∠AOC＝∠EOF，
∴∠CAE＝∠CFE＝20°；
（2）∵AC＝BC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
如图3，把△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCE，连接DE，
则BE＝AD＝5，△CDE是等边三角形，
∴DE＝CD，∠CED＝60°，
∵∠ADC＝30°，
∴∠BED＝30°+60°＝90°，
在Rt△BDE中，DE＝＝＝12，
∴CD＝DE＝12．
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
1
﹣
m
﹣
﹣3
﹣
﹣3
﹣
n
…
x
…
﹣5
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
5
…
y
…
1
﹣
m
﹣
﹣3
﹣
﹣3
﹣
n
…