浙江省金华市永康市2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

这是一份浙江省金华市永康市2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知x=3y，则x+yy的值为( )
A. 14B. 13C. 3D. 4
2.下列事件中，属于必然事件的是( )
A. 打开电视，正在播放动画片B. 射击运动员射击一次，命中靶心
C. 经过有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯D. 实心铁块放入水中会下沉
3.已知一个斜坡AB的长为m米，坡角为α度，则斜坡高度BC为( )
A. msinα米
B. msinα米
C. mcsα米
D. mtanα米
4.将抛物线y=−2x2向下平移4个单位长度后，得到新抛物线的表达式为( )
A. y=−2(x−4)2B. y=−2x2−4C. y=−2(x+4)2D. y=−2x2+4
5.如图，折扇的骨柄AB的长为25cm，折扇张开的∠BAC为164°，图中BC的长为( )
A. 205π18cmB. 22πcmC. 205π9cmD. 23πcm
6.如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点分别为O(0,0)，A(3,0)，B(6,2).以点O为位似中心，在第三象限内作位似图形△OCD，与△OAB的位似比为1：3，则点D的坐标为( )
A. (−1,−2)B. (−23,−2)C. (−2,−1)D. (−2,−23)
7.在△ABC中，∠C=90°，tanA=43，则csA为( )
A. 35B. 34C. 45D. 43
8.如图，点A，B，C，D都在⊙O的圆周上，AB/​/OC，OA//BC，则∠BDC的度数为( )
A. 20°
B. 25°
C. 30°
D. 60°
9.在“探索函数y=ax2+bx+c的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：A(0,2)，B(1,0)，C(2,1)，D(3,3).同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为( )
A. 2B. 32C. 76D. 56
10.如图，平行线l1，l2分别经过⊙O直径AB的两个端点，C为⊙O上一点，过点C作l3/​/l1交AB于点D，若l1，l2之间的距离为16，ADBD=13，BC=20，则AB的长为( )
A. 4 26
B. 21
C. 5 17
D. 7 10
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.已知⊙O的半径为4cm，点P到圆心的距离为5cm，那么点P在______(选填“圆内”，“圆上”，“圆外”)．
12.如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，请你添加一个条件，使△ADE与△ABC相似.你添加的条件是______．
13.如图，A，B，C三点均在正方形网格的格点上，则cs∠BAC的值为______．
14.如图1，筒车是我国最古老的农业水利灌溉工具，是珍贵的历史文化遗产.如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得的弦AB长为3米，半径为2米，则圆心O到水面AB的距离为______米.
15.函数y=x2−3x(x>0)x(x0，求m+n的取值范围；
(3)若点(x,y)是二次函数图象上的任意一点，且满足y≤2，求mn的最小值．
24.(本小题12分)
如图1，AB为半圆O的直径，点C为半圆弧上一点，CD⊥AB于点D，在BC上截取CE=AC，连结AC，AE，AE与CD相交于点F．
(1)求证：AF=CF；
(2)若AD=2，AE=6，
①求CF的长；
②如图2，连结BC，BC与AE相交于点G，求△ABG的面积．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵x=3y，
∴xy=3，
∴x+yy=3+11=4．
故选：D．
先利用内项之积等于外项之积得到xy=3，然后根据合比性质求解．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质(内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质)是解决问题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、打开电视，正在播放动画片，是随机事件，故A不符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故B不符合题意；
C、经过有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯，是随机事件，故C不符合题意；
D、实心铁块放入水中会下沉，是必然事件，故D符合题意；
故选：D．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：如图，在Rt△ABC中，AB=m，∠A=α，sinα=BCAB，
∴BC=AB⋅sinα=m⋅sinα(米)．
故选：B．
坡角的正弦值=垂直高度：坡面距离，据此即可解答．
此题主要考查学生解直角三角形的应用，掌握坡角和三角函数的定义是解决问题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：将抛物线y=−2x2向下平移4个单位长度后，得到新抛物线的表达式为：y=−2x2−4．
故选：B．
根据平移的规律：上加下减，求出得到的抛物线的解析式即可．
此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
5.【答案】C
【解析】解：∵折扇的骨柄AB的长为25cm，折扇张开的∠BAC为164°，
∴BC的长为164⋅π×25180=2059π(cm)，
故选：C．
根据弧长公式即可得到结论．
本题考查了弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵以点O为位似中心，在第三象限内作位似图形△OCD，与△OAB的位似比为1：3，
∴点D的坐标为(−13×6,−13×2)，即(−2,−23).
故选：D．
根据以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把B点额横纵坐标都乘以−13得到点D的坐标．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k．
7.【答案】A
【解析】解：∵∠C=90°，
∴tanA=BCAC=43，
设BC=4x，AC=3x，
∴AB= (3x)2+(4x)2=5x，
∴csA=ACAB=3x5x=35．
故选：A．
先根据正切的定义得到tanA=BCAC=43，则可设BC=4x，AC=3x，利用勾股定理得到AB=5x，然后根据余弦的定义求解．
本题考查了同角三角函数的关系：熟练掌握锐角三角函数的定义是解决问题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：如图，连接OB，
∵AB/​/OC，OA//BC，
∴四边形ABCO是平行四边形，∠AOB=∠OBC，
∵OA=OC，
∴四边形ABCO是菱形，
∴∠AOB=∠COB，
∴∠COB=∠OBC，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OBC=∠OCB=∠COB，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠BDC=12∠BOC=30°，
故选：C．
连接OB，根据题意求出四边形ABCO是菱形，根据菱形的性质、等腰三角形的性质求出∠OBC=∠OCB=∠COB，则△OBC是等边三角形，根据等边三角形的性质求出∠BOC=60°，再根据圆周角定理即可得解．
此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：设过A、B、C三点的抛物线表达式为：y=ax2+bx+c，则有，
c=2a+b+c=04a+2b+c=1，
解得：a=32b=−72c=2，
设过A、B、D三点的抛物线表达式为：y=ax2+bx+c，则有，
c=2a+b+c=09a+3b+c=3，
解得：a=76b=−196c=2，
设过A、C、D三点的抛物线表达式为：y=ax2+bx+c，则有，
c=24a+2b+c=19a+3b+c=3，
解得：a=56b=−136c=2，
设过B、C、D三点的抛物线表达式为：y=ax2+bx+c，则有，
a+b+c=04a+2b+c=19a+3b+c=3，
解得：a=12b=−12c=0，
∵120时，直线y=x+t与原图象只有一个交点，
联立y=x2−3xy=x+t，
∴x2−3x=x+t，即，x2−4x−t=0，
∵只有一个交点，
∴16+4t=0，
∴t=−4，
∴t的取值范围为：t>0或t=−4．
由y=x+t与y=x平行可得当t>0时，直线y=x+t与原图象只有一个交点，将y=x2−3x与直线y=x+t联立方程组，使b2−4ac=0，此时只有一个交点．
本题主要考查二次函数和一次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数和一次函数的相关知识是解决本题的关键．
16.【答案】34 2546
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，AC=BD，OA=12AC，OD=12BD，
∴∠DOG=90°，
∵DF⊥AE，
∴∠AFG=90°，
∴∠AFG=∠DOG，
∵∠DGO=∠AGF，
∴∠OAE=∠ODG，
∵DE=7，BE=1，
∴AC=BD=8，
∴OA=OD=4，OE=DE−OD=3，
∴tan∠ODG=tan∠OAE=OEOA=34，
故答案为：34；
(2)如图，
作FX//AB，交BE于X，
∴△EFX∽△EAB，
∴ABBF=AEEF，
不妨设DE=7，BE=1，
由(1)知：tan∠ODG=34，
∴sin∠ODG=35，
∴EF=DE⋅sin∠ODG=215，
在Rt△AOE中，OA=4，OE=3，
∴AE=5，
∴ABFX=5215=2521，
∵AB/​/CD，
∴FX//CD，
∴△CHD∽△FHX，
∴CFFH=CDFX=ABFX=2521，
∴CFCF=2546，
故答案为：2546．
(1)可证得∠OAE=∠ODG，进一步得出结果；
(2)作FX//AB，交BE于X，可证得△EFX∽△EAB，从而ABBF=AEEF，不妨设DE=7，BE=1，可求得EF=DE⋅sin∠ODG=215，在Rt△AOE中求得AE=5，从而ABFX=5215=2521，可证得△CHD∽△FHX，从而得出CFFH=CDFX=ABFX=2521，进而得出结果．
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
17.【答案】解：原式=2× 32+ 22− 3，
= 3+ 22− 3，
= 22．
【解析】本题考查的是特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟记特殊角的三角函数值．
先把各角的三角函数值代入，再根据实数的运算法则进行计算即可．
18.【答案】解：(1)∵y=x2+2x−3=(x+1)2−4，
∴抛物线的顶点坐标为(−1,−4)；
(2)当y=0时，x2+2x−3=0，
解得x1=−3，x2=1，
∴点A、B的坐标为(−3,0)，(1,0)，
∴AB=1−(−3)=4．
【解析】(1)把二次函数的一般式配成顶点式，从而得到抛物线的顶点坐标；
(2)解方程x2+2x−3=0得点A、B的坐标为(−3,0)，(1,0)，从而可得AB的长．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∠A=∠C，
∴∠CBE=∠E，
∴△ABE∽△CFB；
(2)解∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，AB=CD，
∴△DEF∽△AEB，
∵DFCF=23
∴DFCD=DFAB=25，
∴S△DEF：S△AEB=(25)2=4：25，
∵S△DEF=4，
∴S△ABE=25．
【解析】(1)根据平行四边形的性质求出∠A=∠C，∠CBE=∠E，根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得解；
(2)根据平行四边形的性质求出AB/​/CD，进而推出△DEF∽△AEB，再根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”求解即可．
此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．
20.【答案】解：(1)把蓝色部分分成圆心角为90°的两个扇形，共4种可能，并且出现的可能性相同，指针落在红色区域有一种可能，
∴P指针落在红色区域=14；
(2)列表法，
共有16种可能，指针刚好落在蓝色区域有4种，
∴P指针都落在蓝色区域=416=14；
(3)∵P指针落在黄色区域=14，P指针都落在蓝色区域=416=14．
∴公平．
【解析】(1)求出蓝区域圆心角在整个圆中所占的比例，这个比例即为所求的概率；
(2)列举出所有情况，让指针都落在蓝色区域的情况数除以总情况数即为所求的概率；
(3)
本题考查的是几何概率，列表法与树状图法求概率的方法，解题的关键是掌握P=事件可能出现的结果÷所有可能结果．
21.【答案】解：(1)如图1，
∵∠PBD=30°，∠PDG=60°
∴∠BPD=∠PBD=30°
∴PD=BD=64m．
答：点D与塔顶P的距离为64m；
(2)如图，过点E，F作BD的垂线，分别交BD的延长线于点M，N．
∵∠PDG=60°PD=64m，
∴DN=32m，PN=32 3m．
∵MN=EF=5m，
∴DM=27m，
∵∠EDG=23°，
∴FN=EM=27tan23°=11.34m，
∴PF=PN−FN=32 3−11.34=55.36−11.34=44.02(m)≈44.0m．
答：这个宝塔的高度PF约为44.0m．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，三角函数的定义等知识；运用三角函数求出PC和QC是解决问题的关键．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，三角函数的定义等知识；运用三角函数求出PC和QC是解决问题的关键．
22.【答案】(1)解：设这本书的宽为xcm，则x26= 5−12，
解得x=13 5−13，
答：它的宽为(13 5−13)cm．
(2)证明：如图2，∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=12×(180°−36°)=72°，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠CBD=∠ABD=12∠ABC=12×72°=36°，
∴∠A=∠ABD，∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C，
∴BC=BD=AD，
∵∠CBD=∠A，∠C=∠C，
∴△BDC∽△ABC，
∴BCAC=CDBC，
∴ADAC=CDAD，
∴点D是线段AC的黄金分割点，BCAC为黄金分割比，
∴△ABC是黄金三角形．
(3)解：如图3，∵AB是⊙O的内接正十边形的边长，
∴OA=OB，∠AOB=110×360°=36°，
由(2)可知，△OAB是黄金三角形，
∴AB= 5−12OA，
作OI⊥AB于点I，则∠AIO=90°，AI=BI=12AB=12× 5−12OA= 5−14OA，
∵∠AOI=∠BOI=12∠AOB=12×36°=18°，
∴sin18°=AIOA= 5−14OAOA= 5−14，
∴sin18°的值为 5−14．
【解析】(1)设这本书的宽为xcm，则x26= 5−12，求得x=13 5−13，所以它的宽为(13 5−13)cm；
(2)由AB=AC，∠A=36°，求得∠ABC=∠C=72°，则∠CBD=∠ABD=12∠ABC=36°，所以∠A=∠ABD，∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C，则BC=BD=AD，再证明△BDC∽△ABC，得BCAC=CDBC，所以ADAC=CDAD，则点D是线段AC的黄金分割点，BCAC为黄金分割比，所以△ABC是黄金三角形；
(3)由AB是⊙O的内接正十边形的边长，得OA=OB，∠AOB=36°，则△OAB是黄金三角形，所以AB= 5−12OA，作OI⊥AB于点I，则AI=BI=12AB= 5−14OA，而∠AOI=∠BOI=12∠AOB=18°，所以sin18°=AIOA= 5−14．
此题重点考查二次根式的化简、等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、相似三角形的判定与性质、正多边形与圆、锐角三角函数与解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
23.【答案】解：(1)根据表格数据可设二次函数的表达式为y=a(x−1)2+2，
把x=3，y=−2代入，得−2=4a+2，
解得a=−1，
∴二次函数的表达式为：y=−(x−1)2+2=−x2+2x+1；
(2)把x=0.5代入y=a(x−1)2+2得：14a+2>0，
解得：a>−8．
当x=2时，y=m，则m=a+2，
当x=3时，y=n，则n=4a+2，
∴m+n=5a+4>−40+4=−36，
∵a≠0，
∴m+n≠4，
∴m+n的取值范围为：m+n>−36且m+n≠4；
(3)∵点(x,y)是二次函数图象上的任意一点，且满足y≤2，
∴a