北师大版九年级数学下册 专题2.2 二次函数(基础篇)(专项练习)(附答案)
展开知识点一、二次函数的判断
1.下列函数中是二次函数的是( )
A.y=3x+1B.y=3x2﹣6C.D.y=﹣2x3+x﹣1
2.下列是二次函数的是( )
A.B.C.D.
3.下列函数中,是二次函数的是( )
A.y=6x2+1B.y=6x+1C.y=D.y=﹣+1
4.以x为自变量的函数:①;②;③;④.是二次函数的有( )
A.②③B.②③④C.①②③D.①②③④
知识点二、根据二次函数定义求参数
5.若函数是二次函数,那么的值是( )
A.2B.-2或2C.-2D.0或2
6.若函数是关于x的二次函数,则m的值是( )
A.2B.或3C.3D.
7.若是二次函数,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
8.若函数是二次函数,则m的值为( )
A.3B.C. D.9
知识点三、列二次函数解析式
9.一个边长为2厘米的正方形,如果它的边长增加厘米,则面积随之增加平方厘米,那么与之间满足的函数关系是( )
A.正比例函数B.反比例函数C.一次函数D.二次函数
10.下列问题中的两个变量成反比例关系的是( )
A.汽车以80千米/时的速度行驶s千米,用时t时
B.正方形的周长C与它的面积S
C.有一水池的容量为100立方米,每小时的灌水量q(立方米)与灌满水池所需要的时间t(小时)
D.圆的面积S与它的半径r
11.在半径为4cm 的圆中,挖去了一个半径为xcm的圆面,剩下一个圆环的面积为ycm2,则y与x的函数关系式为( )
A.B.C.D.
12.国家决定对某药品价格分两次降价,若设平均每次降价的百分率为x,该药品原价为18元,降价后的价格为y元,则y与x的函数关系式为( )
A.y=36(1﹣x)B.y=36(1+x)C.y=18(1﹣x)2D.y=18(1+x2)
填空题
知识点一、二次函数的判断
13.像y=-5x²+100x+60000,,,函数都是用自变量的_____次式表示的.
一般地,若两个自变量x,y之间的对应关系可以表示成 (a,b,c是常数,a≠0)的形式,则称y是x的______函数.其中,x是______,a为_______,叫做________;b为_______,bx叫做________;c为_______.
14.观察:①;②;③;④;⑤;⑥.这六个式子中二次函数有___________________.(只填序号)
15.关于的二次函数,当时,它是______函数;当时,它是______函数.
16.给出下列函数:①;②;③;④.其中是二次函数的有______,若把它写成的形式,则______,______,______.
知识点二、根据二次函数定义求参数
17.已知函数是二次函数,则m=________.
18.已知y=+3是x的二次函数,则m=_____.
19.二次函数的图像经过原点,则__________.
20.已知二次函数的图像经过原点,则的值是_______.
知识点三、列二次函数解析式
21.将长为的铁丝首尾相连围成扇形(忽略铁丝的粗细),扇形面积为、扇形半径为且,则与之间的函数关系式为__________.
22.已知,则___________
23.在实数范围内定义一种运算“※”,其运算法则为※=,根据这个法则,若※,则________(写成一般式).
24.在一幅长60cm,宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边,制成一幅矩形挂图,如图所示,如果要使整个挂图的面积是ycm2,设金色纸边的宽度为xcm,那么y关于x的函数是 ___________.
三、解答题
25.如果函数y=(m﹣3)+mx+1是二次函数,求m的值.
已知是关于的二次函数,试确定的值.
27.当m为何值时,函数是二次函数.
28.如图2所示,有一根长60cm的铁丝,用它围成一个矩形,写出矩形面积S(cm2)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式.
29.某农科所研究出一种新型的花生摘果设备,一期研发成本为每台6万元,该摘果机的销售量(台)与售价(万元/台)之间存在函数关系:.
(1)设这种摘果机一期销售的利润为(万元),问一期销售时,在抢占市场份额(提示:销量尽可能大)的前提下利润达到32万元,此时售价为多少?
(2)由于环保局要求该机器必须增加除尘设备,科研所投入了7万元研究经费,使得环保达标且机器的研发成本每台降低了1万元,若科研所的销售战略保持不变,请问在二期销售中利润达到63万元时,该机器单台的售价为多少?
30.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,点P是AB边上一个动点,过点P作AB的垂线交AC边与点D,以PD为边作∠DPE=60°,PE交BC边与点E.
(1)当点D为AC边的中点时,求BE的长;
(2)当PD=PE时,求AP的长;
(3)设AP 的长为,四边形CDPE的面积为,请直接写出与的函数解析式及自变量的取值范围.
参考答案
1.B
【分析】根据二次函数的定义:形如的函数,判断即可.
解:A、该函数是一次函数,故本选项不符合题意;
B、该函数二次函数,故本选项符合题意;
C、该函数不是二次函数,故本选项不符合题意;
D、该函数不是二次函数,故本选项不符合题意.
故选B.
【点拨】本题考查了二次函数的定义,熟练掌握定义是解题的关键.
2.B
【分析】根据二次函数的定义,形如,其中是常数的函数是二次函数,据此分析即可.
解:A. ,不是二次函数,故该选项不符合题意;
B.,是二次函数,故该选项符合题意;
C.,是一次函数,故该选项不符合题意;
D.,不是函数,故该选项不符合题意.
故选B.
【点拨】本题考查了二次函数的定义,掌握二次函数的定义是解题的关键.
3.A
【分析】根据二次函数的定义求解.
解:A.是二次函数,故本选项符合题意;
B.是一次函数,不是二次函数,故本选项不符合题意;
C.是反比例函数,不是二次函数,故本选项不符合题意;
D.等式的右边是分式,不是整式,不是二次函数,故本选项不符合题意;
故选:A.
【点拨】本题考查二次函数的基础知识,熟练掌握二次函数的意义是解题关键.
4.C
【分析】根据二次函数的定义进行判断.
解:①,符合二次函数的定义,故①是二次函数;
②,符合二次函数的定义,故②是二次函数;
③,符合二次函数的定义,故②是二次函数;
④,不符合二次函数的定义,故④不是二次函数.
所以,是二次函数的有①②③,
故选:C.
【点拨】本题考查了二次二次函数的定义,熟记概念是解题的关键.
5.A
【分析】根据二次函数的定义得出且,继而即可求解.
解:∵函数是二次函数,
∴且,
∴
故选:A.
【点拨】本题考查二次函数的定义,解题的关键是根据二次函数的定义得出:且.
6.C
【分析】根据二次函数的定义条件列出方程与不等式即可得解.
解:∵函数是关于x的二次函数,
∴,且,
由得,或,
由得,,
∴m的值是3,
故选:C.
【点拨】本题考查了二次函数的定义、解一元一次不等式、解一元二次方程等知识,解答本题的关键是根据二次函数的定义列出方程与不等式.
7.A
【分析】根据二次函数的二次项系数不为0可得关于a的不等式,解不等式即得答案.
解:由题意得: a-2 ≠0,则a≠2.
故选择:A.
【点拨】本题考查了二次函数的定义,属于基础题型,掌握二次函数的概念是关键.
8.C
【分析】根据二次函数的定义即可得.
解:由题意得:,
解得,
故选:C.
【点拨】本题考查了二次函数的定义,熟记定义是解题关键.
9.D
【分析】根据题意列出增加的面积与原面积的关系式,即可解题.
解:由题意得,
与之间满足的函数关系是二次函数,
故选:D.
【点拨】本题考查列二次函数的表达式,是重要考点,难度较易,掌握相关知识是解题关键.
10.C
【分析】根据题意逐一写出两个变量之间的函数关系,逐一分析即可得到答案.
解:A、汽车以80千米/时的速度行驶s千米,用时t时,则,是的正比例函数,故本选项错误;
B、正方形的面积是的二次函数,故本选项错误;
C、有一水池的容量为100立方米,每小时的灌水量q(立方米)与灌满水池所需要的时间t(小时)的函数关系为:,所以是的反比例函数,故本选项正确;
D、圆的面积S与它的半径r的函数关系为: 所以是的二次函数,故本选项错误.
故选:.
【点拨】本题考查的是列函数关系式,同时考查正比例函数,反比例函数,二次函数的含义,掌握反比例函数的含义是解题的关键.
11.A
【分析】先求出原来的圆的面积,再用x表示挖去的圆的面积,相减得到圆环的面积.
解:圆的面积公式是,
原来的圆的面积=,
挖去的圆的面积=,
∴圆环面积.
故选:A.
【点拨】本题考查二次函数的列式,解题的关键是根据题意用x表示各个量,然后列出函数关系式.
12.C
【分析】原价为18,第一次降价后的价格是18×(1-x),第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为:18×(1-x)×(1-x)=18(1-x)2,则函数解析式即可求得.
解:原价为18,
第一次降价后的价格是18×(1-x);
第二次降价是第一次降价后的价格的基础上降价:18×(1-x)×(1-x)=18(1-x)2,
则函数解析式是:y=18(1-x)2,
故选:C.
【点拨】本题需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的.
13.二 二次 自变量 二次项系数 二次项 一次项系数 一次项 常数项
解:略
14.①②③④
【分析】根据二次函数的定义可得答案.
解:这六个式子中,二次函数有:①y=6x2;②y=-3x2+5;③y=200x2+400x+200;④.
故答案为:①②③④.
【点拨】本题主要考查的是二次函数的定义,熟练掌握二次函数的概念是解题的关键.
15.二次 一次
【分析】将和代入到中即可.当时,,是二次函数;当时,,是一次函数.
解:当时,,是二次函数;当时,,是一次函数.
故答案为二次 一次
【点拨】本题主要考查二次函数与一次函数的定义,掌握一次函数与二次函数的定义是解题的关键.
16.④ 1 0
【分析】根据二次函数的概念:逐一进行判断即可.①②③都不满足二次函数的形式,④是二次函数
解:①不满足二次函数的形式,所以不是二次函数;
②,是一次函数,也不满足要求;
③不满足二次函数的形式,所以不是二次函数;
④是二次函数
所以二次函数只有④
其中
故答案为 ④ 1 0
【点拨】本题主要考查二次函数的概念,掌握二次函数的概念是解题的关键.
17.
【分析】根据二次函数的定义得出且,求出即可.
解:函数是二次函数,
且,
解得:.
故答案为:.
【点拨】本题考查了二次函数的定义,解题的关键是能熟记二次函数的定义即:表示形式为.
18.-1
【分析】根据二次函数定义可得m2﹣m=2,且m﹣2≠0,再解出m的值即可.
解:由题意得:m2﹣m=2,且m﹣2≠0,
解得:m=﹣1,
故答案为:﹣1.
【点拨】此题主要考查了二次函数定义,解题的关键是掌握一般地,形如(a、b、c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中x、y是变量,a、b、c是常量,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项.y═ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)也叫做二次函数的一般形式.
19.3
【分析】根据二次函数图像过原点,把代入解析式,求出m的值,还需要考虑二次项系数不能为零.
解:根据二次函数图像过原点,把代入解析式,
得,整理得,解得,
∵,
∴,
∴.
故答案为:3.
【点拨】本题考查二次函数图像的性质,需要注意解出的解要满足二次项系数不能为零的隐藏条件.
20.
【分析】根据二次函数图像经过原点、并结合二次项系数不为零进行解答即可.
解:∵二次函数的图像经过原点
∴
∴.
故答案是:
【点拨】本题考查了根据二次函数的定义求参数、解一元一次不等式、解一元二次方程等,熟练掌握相关知识点是解题的关键.
21.
【分析】根据扇形的面积公式即可得.
解:扇形的面积公式:,其中为扇形的弧长,为扇形半径,
由题意得:扇形的弧长为,
则,
即,
故答案为:.
【点拨】本题考查了扇形的面积公式、列二次函数关系式,熟记公式是解题关键.
22.2.
【分析】求的值,即是求当时,的值,从而进行计算即可得到答案.
解:∵
∴
故答案为:2.
【点拨】本题主要考查了函数在某一点的函数值,解题的关键是把该点的值代入函数解析数进行运算求解.
23.
【分析】先根据新定义列出关系式,然后改写成一般式即可.
解:由题意可得:
整理,得:
故答案为:
【点拨】本题考查新定义问题,正确理解题意列出关系式并准确计算是解题关键.
24.y=(60+2x)(40+2x)
解:试题分析:整个挂图仍是矩形,长是:60+2x,宽是:40+2x,
由矩形的面积公式得
y=(60+2x)(40+2x).
故答案为y=(60+2x)(40+2x).
点睛:本题考查了根据实际题意列函数解析式,根据题意,找到所求量的等量关系是解决问题的关键.本题需注意长和宽的求法.
25.0
【分析】根据二次函数的定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数是二次函数,即可答题.
解:根据二次函数的定义:m2﹣3m+2=2,且m﹣3≠0,
解得:m=0.
【点拨】本题考查二次函数的定义,解题的关键是熟练掌握二次函数的定义.
26.
【分析】根据二次函数的定义:最高次数是2,二次项系数不能是0,求出m的值.
解:根据题意得,,解得,,
∵,即,
∴.
【点拨】本题考查二次函数的定义,解题的关键是二次函数的定义.
27.m=3
【分析】根据二次函数的定义即可求出结论.
解:∵函数是二次函数
∴
解得:m=3
即当m=3时,函数是二次函数.
【点拨】此题考查的是根据二次函数的定义,求参数,掌握二次函数的定义是解题关键.
28.S=- x2+30x(0<x<30)
【分析】由铁丝的长是60cm,一边长xcm,可知另一边长是(30-x)cm,然后根据长方形的面积公式即可求出矩形面积S(cm2)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式.
解:∵铁丝的长是60cm,一边长xcm,
∴另一边长是(30-x)cm,
∴S=x(30-x)=- x2+30x(0<x<30).
【点拨】本题考查了列二次函数解析式,解决本题的关键得到所求矩形的等量关系,易错点是得到另一边的长度;注意求自变量的取值应从线段的长为正数入手考虑.
29.(1)在抢占市场份额的前提下利润要达到32万元,此时售价为8万元/台;(2)要使二期利润达到63万元,销售价应该为10万元/台.
【分析】(1)先根据等量关系式:总利润=(售价-成本)销售量,列出函数关系式,再将代入函数关系式得出方程求解即得;
(2)先根据等量关系式:总利润=(售价-新成本)销售量-7,列出函数关系式,再将代入函数关系式得出方程求解即得.
解:(1)根据题意列出函数关系式如下:
当时,,
解得,.
∵要抢占市场份额
∴.
答:在抢占市场份额的前提下利润要达到32万元,此时售价为8万元/台.
(2)降低成本之后,每台的成本为5万元,每台利润为万元,销售量.
依据题意得,
当时,,解得,.
∵要继续保持扩大销售量的战略
∴
答:要使二期利润达到63万元,销售价应该为10万元/台.
【点拨】本题考查函数解析式及解一元二次方程,解题关键是正确找出等量关系式:总利润=(售价-成本)销售量.
30.(1);(2);(3)
【解析】
【分析】(1)根据含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出的长,从而求出BP的长,然后求出BE的长;
(2)设AP= ,则BP=4—,根据含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出PD和PE的长,再根据PD=PE列出方程即可.
(3)分别用AP表示PD、PE、BE,再根据即可求出.
解:
(1)在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,
∵点D为AC边的中点
,
∵∠DPE=60°,过点P作AB的垂线交AC边与点D,
∴∠EPB=30°,∴EB
(2)设AP= ,则BP=4—,在两个含有30°的中得出:
AD=2DP,BP=2BE,由勾股定理解得:,
∵PD=PE,∴解得 即有AP=
(3)由(2)知:AP= ,
【点拨】本题主要考查了含有30°角的直角三角形的性质和勾股定理,以及二次函数,熟练掌握相关知识是解题的关键.
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