专题14 反比例函数（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用）

这是一份专题14 反比例函数（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用），共51页。试卷主要包含了反比例函数的概念，反比例函数的图象和性质，实际问题与反比例函数等内容，欢迎下载使用。
夯实基础
1．反比例函数的概念
（1）一般地，形如y=（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数．其中x是自变量，y是函数．自变量x的取值范围是不等于0的一切实数．
反比例函数解析式还有其他两种形式：
①y=kx-1（k为常数，k≠0）；
②xy=k（k为常数，k≠0）．
（2）反比例函数y=中的x，y成反比例，无论变量x，y怎样变化，k的值始终等于x与y的乘积，因此人们习惯上称k为比例系数，若k=0，则y=0恒成立，为一常数函数，失去了反比例函数的意义．
2．用待定系数法求反比例函数的解析式
用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：
（1）设——根据题意，设反比例函数的解析式为；
（2）代——把它的一对对应值（x，y）代入中，得到关于k的方程；
（3）解——解方程，求出常数k；
（4）写——把k的值代入反比例函数的解析式中即可写出解析式．
3．反比例函数的图象和性质
（1）反比例函数图象的画法
①列表：自变量的取值以原点O为中心，一般地，在点O的两边分别取三列表对或三对以上互为相反数的数，并计算相应的y值，以表格的形式表示出来；
②描点：以表格中各对对应值为点的坐标，描出各点；
③连线：按照从左到右的顺序用平滑的连线曲线顺次连接各点并向两端延伸．
（2）反比例函数图象的特点
①反比例函数的图象是双曲线，它的两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限；
②双曲线有两个分支，延伸部分无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交；
③双曲线既是中心对称图形（对称中心是原点），又是轴对称图形（对称轴是直线y=x或直线y=-x）．
（3）①自变量x的取值范围是x≠0的一切实数；
②必须用平滑的曲线连接各点，而不能用折线；
③因为x≠0，y≠0，所以图象不可能经过原点，且与x轴、y轴都没有交点；
④为了更好地反映图象的全貌，要尽可能多地取一些数值，多描一些点．
（4）反比例函数的性质如下表：
4．反比例函数中比例系数k的几何意义
如图，过双曲线上任意一点P（x，y）分别作x轴、y轴的垂线PM，PN，所得长方形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|．因为，所以xy=k，所以S=|k|，即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得长方形的面积为|k|．
5．实际问题与反比例函数
（1）一般地，建立反比例函数模型有以下两种常用方法：
①待定系数法
若题目提供的信息中明确此函数为反比例函数，则可设反比例函数解析式为，然后求出k的值即可．
②列方程法
若题目信息中变量之间的函数关系不明确，在这种情况下，通常是列出关于函数（y）和自变量（x）的方程，进而解出函数，得到函数解析式．
（2）用反比例函数解决实际问题的步骤：
①审——审清题意，找出题目中的常量、变量，并审理清常量与变量之间的关系；
②设——根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；
③列——由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；
④写——写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；
⑤解——用函数解析式去解决实际问题．
吃透考点
1．反比例函数的概念
如果两个变量x，y之间的关系可以表示成（k为常数，且k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数．
2．反比例函数的图象和性质
（1）图象的特征：反比例函数的图象是一条双曲线，它关于坐标原点成中心对称，两个分支在第一、三象限或第二、四象限．
（2）图象和性质
3．反比例函数的解析式的确定
求反比例函数的解析式跟求一次函数一样，也是待定系数法．
考点1 反比例函数的定义
【例1】（2023•东洲区模拟）下列函数中，是的反比例函数的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据反比例函数的定义回答即可．
【解答】解：、该函数不是反比例函数，故本选项不合题意；
、该函数是正比例函数，故本选项不合题意；
、该函数是正比例函数，故本选项不合题意；
、该函数是反比例函数，故本选项符合题意．
故选：．
【变式练1】（2023•红桥区模拟）下面四个关系式中，是的反比例函数的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是，即可判定各函数的类型是否符合题意．
【解答】解：、是一次函数，故此选项不符合题意；
、是二次函数，故此选项不符合题意；
、，符合反比例函数的形式，是反比例函数，故此选项符合题意．
、是一次函数，故此选项不符合题意；
故选：．
【变式练2】（2023•大渡口区模拟）下面四个关系式中，是的反比例函数的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是，即可判定各函数的类型是否符合题意．
【解答】解：、是一次函数，故此选项不符合题意；
、是二次函数，故此选项不符合题意；
、，符合反比例函数的形式，是反比例函数，故此选项符合题意．
、是一次函数，故此选项不符合题意；
故选：．
【变式练3】（2023•山西模拟）下列函数中，是反比例函数的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据反比例函数的定义解答即可．
【解答】解：、该函数是正比例函数，故本选项不符合题意；
、该函数是二次函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意；
、该函数是一次函数，不是反比例函数，故本选项不符合题意；
、该函数是反比例函数，故本选项符合题意．
故选：．
【变式练4】（2023•未央区校级三模）下列关系式中，是的反比例函数的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据反比例函数的概念：形如为常数，的函数称为反比例函数．其中是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数进行分析即可．
【解答】解：、不是反比例函数，故此选项不符合题意；
、是反比例函数，故此选项符合题意；
、不是反比例函数，故此选项不符合题意；
、不是反比例函数，故此选项不符合题意．
故选：．
【变式练5】（2022•双峰县一模）下列函数不是反比例函数的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据反比例函数的定义判断即可．
【解答】解：．，是反比例函数，故不符合题意；
．，是反比例函数，故不符合题意；
．，是正比例函数，故符合题意；
．，是反比例函数，故不符合题意；
故选：．
考点2 反比例函数的图象
【例2】（2023•花溪区校级一模）反比例函数的图象如图所示，则的值可能是
A．5B．12C．D．
【答案】
【分析】直接利用反比例函数的图象上点的坐标特点得出的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：，都不在反比例函数图象上，
则，
即，
故的值可能是．
故选：．
【变式练1】（2023•保康县模拟）函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题．
【解答】解：在函数和中，
当时，函数的图象位于第一、三象限，函数的图象位于第一、二、四象限，故选项、错误，选项正确，
当时，函数的图象位于第二、四象限，函数的图象位于第一、二、三象限，故选项错误，
故选：．
【变式练2】（2023•平阴县一模）反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据一次函数图象判定、的符号，根据的符号判定反比例函数图象所在的象限．
【解答】解：、一次函数的图象经过第一、三象限，则，与轴交于负半轴，则，所以，则反比例经过第二、四象限，不符合题意；
、一次函数的图象经过第二、四象限，则，与轴交于负半轴，则，所以，则反比例经过第一、三象限，不符合题意；
、一次函数的图象经过第二、四象限，则，与轴交于正半轴，则，所以，则反比例经过第二、四象限，不符合题意；
、一次函数的图象经过第一、三象限，则，与轴交于负半轴，则，所以，则反比例经过第二、四象限，符合题意；
故选：．
【变式练3】（2023•德宏州模拟）如图所示的图象，对应的函数解析式可能是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据函数的图象的形状和所处的位置选择即可．
【解答】解：函数的图象为双曲线，所以为反比例函数的图象，
图象位于一、三象限，
对应的函数的解析式可能是，
故选：．
【变式练4】（2023•庐阳区校级三模）反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】分别利用的取值，进而分析一次函数与反比例函数图象的位置，进而得出答案．
【解答】解：当时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，
当时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，
四个选项中只有符合，
故选：．
【变式练5】（2023•任丘市三模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可能是
A．B．1C．3D．5
【答案】
【分析】根据反比例函数的图象的特点即可得出答案．
【解答】解：当反比例函数的图象过点时，，当反比例函数的图象过点时，，
根据图象可知的取值范围为，故选项符合题意．
故选：．
考点3 反比例函数图象的对称性
【例3】（2023•海口二模）如图，直线与双曲线相交于、两点，则点坐标为
A．B．C．D．，
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【解答】解：点与关于原点对称，
点的坐标为．
故选：．
【变式练1】（2021•滨海县一模）如图，已知直线与双曲线的一个交点坐标为，则它们的另一个交点坐标是 ．
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【解答】解：因为直线过原点，双曲线的两个分支关于原点对称，
所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为，另一个交点的坐标为．
故答案为：．
【变式练2】（2017•呼和浩特模拟）如果直线与双曲线的一个交点的坐标为，则它们的另一个交点的坐标为 ．
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【解答】解：因为直线与双曲线的交点均关于原点对称，
所以另一个交点坐标为．
【变式练3】（2020•鼓楼区校级模拟）正比例函数和反比例函数的一个交点为，则另一个交点是 ．
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【解答】解：点与所求的点的坐标关于原点对称，
另一交点的坐标为．
故答案为：．
【变式练4】（2016•丹东一模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点，，若点的坐标为，则点的坐标为 ．
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【解答】解：根据题意，知
点与关于原点对称，
点的坐标是，
点的坐标为．
故答案为：．
【变式练5】（2015•抚顺县四模）若函数与的图象有一个交点是，，则另一个交点坐标是 ， ．
【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【解答】解：正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，则其交点也关于原点对称，
那么，关于原点的对称点为：，．
故答案为：，．
考点4 反比例函数的性质
【例4】（2023•章贡区校级模拟）对于反比例函数，下列结论错误的是
A．函数图象分布在第一、三象限
B．函数图象经过点
C．函数图象在每一象限内，的值随值的增大而减小
D．若点，，，都在函数图象上，且，则
【答案】
【分析】根据反比例函数的性质和相应的取值得到正确选项即可．
【解答】解：、，图象分布在第一，三象限，此选项不符合题意；
、，
函数图象经过点，此选项不符合题意；
、，
函数图象在每一象限内，的值随值的增大而减小，此选项不符合题意；
、虽然点，，，都在函数图象上，且，
但不知道，所在的象限，故，不能判断大小，此选项符合题意；
故选：．
【变式练1】（2023•海南模拟）关于反比例函数的图象，下列说法正确的是
A．图象经过点B．图象分布在第二、四象限
C．两个分支关于轴成轴对称D．当时，随的增大而增大
【答案】
【分析】根据反比例函数的图象及性质判断即可．
【解答】解：、当时，，图象经过点，故正确；
、，图象分布在第一、三象限，故不正确；
、函数图象两个分支关于原点对称，故不正确；
、当时，随的增大而减小，故不正确；
故选：．
【变式练2】（2023•淮阴区模拟）已知反比例函数，则下列描述正确的是
A．图象位于第一、三象限B．随的增大而增大
C．图象不可能与坐标轴相交D．图象必经过点
【答案】
【分析】根据反比例函数的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征判断即可．
【解答】解：，，
函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，故选项、不符合题意；
当时，则，
函数图象经过点，，图象不可能与坐标轴相交，故选项不符合题意，选项符合题意；
故选：．
【变式练3】（2023•双柏县模拟）反比例函数的图象位于
A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限
【分析】根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，，位于一、三象限；，位于二、四象限．
【解答】解：，，
函数图象过二、四象限．
故选：．
【变式练4】（2023•肇东市校级二模）对于反比例函数，下列说法不正确的是
A．图象关于对称B．当时，随的增大而增大
C．图象位于第一、三象限D．当时，则
【答案】
【分析】根据反比例函数的性质对、、、进行判断即可．
【解答】解：、的图象是中心对称图形，对称中心为原点，
故选项的说法正确，不符合题意；
、当时，随着的增大而减小，
故选项的说法错误，符合题意；
、，则双曲线的两支分别位于第一、第三象限，
故选项的说法正确，不符合题意；
、把代入得，则时，，
所以选项的说法正确，不符合题意；
故选：．
【变式练5】（2023•播州区三模）已知反比例函数在每一个象限内随的增大而增大，则的值可能是
A．B．C．0D．
【答案】
【分析】由题意可得，所以，所以选．
【解答】解：反比例函数在每一个象限内随的增大而增大，
，
，
只有选项符合题意．
故选：．
考点5 反比例函数系数k的几何意义
【例5】（2023•朝阳区校级二模）如图，已知正方形的面积为4，它的两个顶点，是反比例函数的图象上两点．若点的坐标是，则的值为
A．3B．C．2D．
【答案】
【分析】由几何意义得，进而得，证明出，再由正方形的面积为4，求出即可．
【解答】解：如图，延长、交轴于点、，延长、交轴于点、，
由几何意义得，，
，
，
，
点的坐标是，
，，
，
正方形的面积为4，
，
．
故选：．
【变式练1】（2023•盐都区二模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的垂线，垂足为点，点在轴上，若的面积为2，则的值为
A．B．2C．D．4
【答案】
【分析】连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，便可求得结果．
【解答】解：连接，如图，
轴，
，
，
，
，
，
．
故选：．
【变式练2】（2023•襄州区模拟）对于反比例函数，下列结论正确的是
A．图象分布在第二、四象限
B．当时，随增大而增大
C．从图象上任意一点作两坐标轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积都是
D．若点，，，都在图象上，若，
【答案】
【分析】根据反比例函数的性质进行分析即可．
【解答】解：在反比例函数中，，
、该反比例函数的图象在第一、第三象限，故选项不符合题意；
、该反比例函数的图象在第一、第三象限，且在每一象限内，随的增大而减小，故选项不符合题意；
、从图象上任意一点作两坐标轴的垂线，与坐标轴围成的矩形面积都是，故选项符合题意；
、该反比例函数的图象在第一、第三象限，且在每一象限内，随的增大而减小，
当时，，
当时，，
当时，，
故选项不符合题意．
故选：．
【变式练3】（2023•鹤山市模拟）如图，点是反比例函数图象上任意一点，轴于，点是轴上的动点，则的面积为
A．1B．2C．4D．不能确定
【答案】
【分析】根据同底等高，面积相等及的几何意义求解．
【解答】解：连接，如图示：
轴，
，
故选：．
【变式练4】（2023•和平区校级三模）如图，点在双曲线上，轴于，且的面积，则的值为
A．2B．4C．D．
【分析】根据的几何意义以及函数所在的象限即可确定．
【解答】解：，
，
函数在二、四象限，
．
故选：．
【变式练5】（2023•港南区三模）如图，点在反比例函数的图象上，点在轴负半轴上，直线交轴于点，若，的面积为12，则的值为
A．4B．6C．10D．12
【答案】
【分析】根据三角形的面积公式可得，进而求出答案．
【解答】解：如图，过点作轴，垂足为，
，，
，
，，
，
故选：．
考点6 反比例函数图象上点的坐标特征
【例6】（2023•河西区模拟）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据，可得反比例函数图象和增减性，即可进行比较．
【解答】解，
反比例函数经过第一、三象限，且在每一象限内，随着增大而减小，
根据，，点横坐标，可知点，在第三象限，在第一象限，
，，
；
故选：．
【变式练1】（2023•南岗区校级四模）已知反比例函数的图象经过点，则该函数的图象位于
A．第一、三象限B．第二、四象限C．第三、四象限D．第二、三象限
【答案】
【分析】根据反比例函数图象上的点的横纵坐标的积是定值，即，求出的值，再根据，判断所经过象限．
【解答】解：反比例函数的图象经过点，
，
该函数的图象位于二、四象限；
故选：．
【变式练2】（2023•赛罕区二模）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上．轴交轴于点．当为等腰三角形且面积为6，则的值为
A．B．C．2D．
【答案】
【分析】依据题意，作于，交轴于点．连接、，易得，根据反比例函数系数的几何意义得到，解方程可求的值．
【解答】解：如图，作于，交轴于点．连接、，
为等腰三角形且面积为6，
的面积为3．
轴，
，即，
点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上．
．
．
由题意，，
，
故选：．
【变式练3】（2023•唐河县模拟）若反比例函数的图象经过点，则下列结论中不正确的是
A．点位于第二或四象限
B．图象一定经过
C．在每个象限内，随的增大而减小
D．图象一定经过
【答案】
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
【解答】解：反比例函数的图象经过点，
，
，
图象位于第二、四象限，故选项正确，不符合题意；
在每个象限内，随的增大而增大，故选项不正确，符合题意．
，
图象一定经过和故选项、正确，不符合题意；
故选：．
【变式练4】（2023•绥江县二模）已知函数的自变量分别为，，时，对应的函数值依次为、3、6，则下列关系式中正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据反比例函数的解析式可得，，，可得答案；也可以根据在每一象限内，随的增大而增大比较大小．
【解答】解：，在每一象限内，随的增大而增大，
函数的自变量分别为，，时，对应的函数值依次为、3、6，
，
，，，
．
故选：．
【变式练5】（2023•利辛县模拟）如图，正方形的顶点，分别在函数和的图象上，点，在轴上，则点的坐标为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】设与轴交于点，由反比例函数中的几何意义可知，从而可求出．再将代入，可求得，即．
【解答】解：如图，设与轴交于点，
正方形的顶点，分别在函数和的图象上，点，在轴上，
，，
．
正方形的边长为3，即，
．
将代入，
，
解得：，
．
故选：．
考点7 待定系数法求反比例函数解析式
【例7】（2023•双柏县模拟）反比例函数经过点，则反比例函数的解析式为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】依据题意，将点代入反比例函数解析式可以求得的值，进而可以得解．
【解答】解：由题意，将点代入反比例函数解析式，
．
．
反比例函数的解析式为．
故选：．
【变式练1】（2023•五华区校级模拟）如图，点是反比例函数图象上的一点，由点分别向轴，轴作垂线段，与坐标轴围成的矩形面积为6，则这个反比例函数的解析式是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据矩形的面积公式及坐标与图象的关系求解．
【解答】解：设，则，
又图象在第一象限，
，
故选：．
【变式练2】（2023•珠晖区一模）若与成反比例，且时，，则比例系数是
A．3B．7C．21D．20
【答案】
【分析】先根据反比例函数的定义设出，再把已知点的坐标代入即可求出比例系数的值．
【解答】解：因为与成反比例，所以设，
因为时，，即，．
故比例系数是21．
故选：．
【变式练3】（2023•大理州模拟）已知直线分别与轴、轴交于、两点，且的面积为18，反比例函数的图象恰好经过的中点，则反比例函数的解析式为 或 ．
【答案】或．
【分析】根据直线分别与轴、轴交于、两点，可知，利用的面积为18，求出点坐标，最后得出中点坐标，得到反比例函数解析式即可．
【解答】解：直线分别与轴、轴交于、两点，
，，
设，则，
的面积为18，
，即，
，或．
当时，，，
的中点坐标，
反比例函数解析式为．
当时，，，
的中点坐标，
反比例函数解析式为．
故答案为：或．
【变式练4】（2023•永州模拟）在反比例函数的图象的每一支上，都随的增大而减小，且整式是一个完全平方式，则该反比例函数的解析式为 ．
【答案】．
【分析】由整式是一个完全平方式，可得，由反比例函数的图象的每一支上，都随的增大而减小，可得，解得，则，即可得反比例函数的解析式．
【解答】解：整式是一个完全平方式，
，
反比例函数的图象的每一支上，都随的增大而减小，
，
，
反比例函数的解析式为．
故答案为：．
【变式练5】（2023•盘龙区二模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，若的面积为2，则该反比例函数的解析式是 ．
【答案】．
【分析】根据三角形的面积公式及图象的性质求解．
【解答】解：设，则，
，
由图象得：，
，
故答案为：．
考点8 反比例函数与一次函数的交点问题
【例8】（2023•山西模拟）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于，两点，点的横坐标为．当时，的取值范围是
A．B．C．D．或
【答案】
【分析】观察图象，找出反比例函数落在正比例函数图象上方且均在轴上方的部分对应的自变量的取值范围即可．
【解答】解：从图象看，当时，的取值范围是．
故选：．
【变式练1】（2023•任丘市校级模拟）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则代数式 的值为
A．3B．C．D．
【答案】
【分析】把点分别代入与中，得，，进而求解即可．
【解答】解：函数与的图象交于点，
，，
，
，
．
故选：．
【变式练2】（2023•东城区校级模拟）在平面直角坐标系中，直线与双曲线有公共点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】当方程组有解时，直线与双曲线有公共点，进而得出答案．
【解答】解：在平面直角坐标系中，直线与双曲线有公共点，
即方程组有解，
所以，且，
，
故选：．
【变式练3】（2023•安徽模拟）若函数与的图象交于点，则的值为
A．6B．C．D．
【答案】
【分析】先把分别代入两个解析式，求出、之间的关系，再由即可求解．
【解答】解：把代入，得，，即，，
所以，
故选：．
【变式练4】（2023•砀山县二模）若一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，则的值为
A．B．C．D．3
【答案】
【分析】先将点代入求出，把代入求出的值即可．
【解答】解：把代入得：，
一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，
把代入得：，
，
故符合题意，
故选：．
【变式练5】（2023•梧州二模）如图，直线是常数，与双曲线交于点，与直线交于点，当面积最小时，的值是
A．1B．2C．3D．4
【答案】
【分析】求得、，得到，利用三角形面积公式列式，根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：，
，，
，，
，
，
，
当时，有最小值，最小值为1，
故选：．
考点9 根据实际问题列反比例函数关系式
【例9】（2023•泰兴市二模）在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强，如下表：则可以反映与之间的关系的式子是
A．B．C．D．
【分析】利用表格中数据得出函数关系，进而求出即可．
【解答】解：由表格数据可得：此函数是反比例函数，设解析式为：，
则，
故与之间的关系的式子是，
故选：．
【变式练1】（2021•饶平县校级模拟）如果等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为，则与的函数关系式为
A．B．C．D．
【分析】利用三角形面积公式得出，进而得出答案．
【解答】解：等腰三角形的面积为10，底边长为，底边上的高为，
，
与的函数关系式为：．
故选：．
【变式练2】（2020•莫旗一模）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米时的平均速度用了6小时到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度（千米时）与时间（小时）的函数关系为
A．B．C．D．
【分析】先求得路程，再由等量关系“速度路程时间”列出关系式即可．
【解答】解：由于以80千米时的平均速度用了6小时到达目的地，那么路程为千米，
汽车的速度（千米时）与时间（小时）的函数关系为．
故选：．
【变式练3】（2020•古蔺县模拟）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度千米小时与时间小时的函数关系是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据路程速度时间，利用路程相等列出方程即可解决问题．
【解答】解：由题意，
则．
故选：．
【变式练4】（2018•青岛模拟）把一个长、 宽、 高分别为，，的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块， 则该圆柱体铜块的底面积与高之间的函数关系式为 ．
【分析】利用长方体的体积圆柱体的体积， 进而得出等式求出即可 ．
【解答】解： 由题意可得：，
则．
故答案为：．
【变式练5】（2023•镜湖区校级一模）近视眼镜的度数（度与镜片焦距成反比例，已知200度近视眼镜镜片的焦距为，则与的函数关系式为
A．B．C．D．
【分析】由于近视镜度数（度与镜片焦距（米之间成反比例关系可设，由200度近视镜的镜片焦距是0.5米先求得的值．
【解答】解：由题意设，
由于点适合这个函数解析式，则，
．
故眼镜度数与镜片焦距之间的函数关系式为：．
故选：．
考点10 反比例函数的应用
【例10】（2023•晋中模拟）在物理学中，功率表示做功的快慢，功与做功时间的比叫做功率，即所做的功一定时，功率与做功所用的时间成反比例函数关系，图象如图所示，下列说法不正确的是
A．与的函数关系式为
B．当时，
C．当时，
D．随的增大而减小
【答案】
【分析】先设出与的函数解析式，再把代入解析式即可．
【解答】解：设功率（单位：与做功的时间（单位：的函数解析式为，
把，代入解析式得：，
解得：，
功率（单位：与做功的时间（单位：的函数解析式为；
故不符合题意；
当时，；
故不符合题意；
当时，；
故符合题意；
，
在第一象限内，随的增大而减小；
故不符合题意；
故选：．
【变式练1】（2023•裕华区二模）已知闭合电路的电压为定值，电流（A）与电路的电阻是反比例函数关系，根据下表判断以下选项正确的是
A．B．
C．D．当时，
【答案】
【分析】由闭合电路的电压为定值，可得，判断错误；当时，，判断错误；求出，知，判断错误；求出当时，，当时，，判定正确．
【解答】解：闭合电路的电压为定值，
，
，故错误，不符合题意；
当时，，故错误，不符合题意；
当时，，
，故错误，不符合题意；
当时，，
当时，，
当时，，故正确，符合题意；
故选：．
【变式练2】（2023•平南县模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、相交于点，且，，反比例函数的图象经过点，若，，则的值是
A．6B．11.25C．12D．18
【答案】
【分析】连接，交于，先证明四边形是平行四边形，再由矩形的性质得出，证出四边形是菱形，由菱形的性质得出与互相垂直平分，求出、，得出点的坐标；把点坐标代入求出的值即可．
【解答】解：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，，，
，，，，
，
四边形是菱形；
连接，交于，如图所示：
四边形是菱形，
与互相垂直平分，
，，
，，，
点坐标为：．
反比例函数的图象经过点，
，
故选：．
【变式练3】（2023•平遥县二模）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了“杠杆原理”：杠杆平衡时，阻力阻力臂动力动力臂．在用撬棍撬动石块匀速转动的过程中，发现阻力和阻力臂分别为和，关于动力和动力臂，下列说法错误的是
A．与的积为定值
B．随的增大而减小
C．当为时，撬动石头至少需要的力
D．关于的函数图象位于第一、第三象限
【答案】
【分析】根据杠杆平衡条件：动力动力臂阻力阻力臂，代入有关数据计算即可．
【解答】解：阻力阻力臂动力动力臂，阻力和阻力臂分别为和，
动力和动力臂的关系式为：，即与的积为定值，故选项不合题意；
，
，故随的增大而减小，故此选项不合题意；
当为时，撬动石头至少需要的力，故此选项不合题意；
，
关于的函数图象位于第一象限，故选项符合题意．
故选：．
【变式练4】（2023•鹿城区校级模拟）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流与电阻是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是
A．函数表达式为B．蓄电池的电压是
C．当时，D．当时，
【答案】
【分析】根据函数图象可设，再将代入即可得出函数关系式，从而解决问题．
【解答】解：设，
图象过，
，
，故选项错误，不符合题意；
蓄电池的电压是，故选项错误，不符合题意；
当时，（A），故选项错误，不符合题意；
当时，，
由图象知：当时，，故选项正确，符合题意；
故选：．
【变式练5】（2023•西峡县二模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于时，气球将爆炸．为了保证气球不爆炸，气球的体积应满足的要求是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】当温度不变时，气球内的气体的气压是气体体积的反比例函数，其图象过点，故可求其解析式；故当气球内的气压大于时，气体体积应大于或等于．
【解答】解：设球内气体的气压和气体体积的关系式为，
图象过，
，
当时，．
故选：．
考点11 反比例函数综合题
【例11】（2023•绿园区二模）反比例函数第一象限内的图象如图所示，、均为直角三角形，，且，其中点、在反比例函数的图象上，点、在轴上，则的值为
A．B．C．D．
【分析】利用相似三角形的判定与性质表示出，点坐标，进而利用函数图象上点的坐标性质得出的值．
【解答】解：，
，
又、均为直角三角形，，
，
设两三角形相似比为；，
设点坐标为；，，
，
，
解得：，（不合题意舍去），
故选：．
【变式练1】（2023•高青县二模）如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图象上．若直线的函数表达式为，则反比例函数表达式为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】解方程求得，，得到，，过作轴于，过作轴于，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，设，，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到结论．
【解答】解：在中，令，则，
令，则，
，，
，，
过作轴于，过作轴于，
四边形是正方形，
，，
，
，
在与中，
，
，
，，
，，
，
，
设，，
，，
，，
点，点在反比例函数图象上，
，
，（不合题意舍去），
，
，
反比例函数表达式为，
故选：．
【变式练2】（2023•未央区校级模拟）如图，将矩形平放在平面直角坐标系中，是边上的点，若沿着所在直线对折，点恰好落在对角线上的点处，已知，，双曲线经过点，则 ．
【分析】首先过点作于点，过点作于点，得出，进而得出点横坐标，再利用勾股定理得出的值，即可得出点坐标，进而得出的值．
【解答】解：过点作于点，过点作于点，
将矩形平放在平面直角坐标系中，是边上的点，沿着所在直线对折，
点恰好落在对角线上的点处，，，
，
设点横坐标为，设，
则，，，
，
，
，
则，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
解得：，（不合题意舍去），
，
点坐标为：，，
．
故答案为：．
【变式练3】（2023•南宁一模）如图，直角梯形中，，点在轴上，双曲线过点，与交于点，连，若，，则 6 ．
【分析】由于，可以设则，，由于，则，然后即可求出，
依据可求，即求出了．
【解答】解：如图，过作于，
，
若设
则，
则
在双曲线上
即．
故答案为：6．
【变式练4】（2023•德惠市模拟）如图，放置在平面直角坐标系中，已知点，，，点在反比例函数的图象上．
（1）直接写出点坐标，并求反比例函数的表达式；
（2）将向上平移得到，使点在反比例函数的图象上，与反比例函数图象交于点．连结，求的长及点的坐标．
【答案】（1）点坐标为，反比例函数的表达式为：；
（2），点的坐标为，．
【分析】（1）由点，，，得，，，即可求解点坐标，得反比例函数的表达式为：；
（2）向上平移得到，得点的横坐标与点的横坐标相等，都是，由点在反比例函数的图象上，得点的坐标为，，，，可得点的纵坐标，即可求解点的坐标为，．
【解答】解：（1）点，，，
，，
四边形是平行四边形，
，
点坐标为，
点在反比例函数的图象上．
反比例函数的表达式为：；
（2）向上平移得到，
点的横坐标与点的横坐标相等，都是，
点在反比例函数的图象上，
点的坐标为，
，
，，
点的纵坐标，
点的横坐标为，
点的坐标为，．
【变式练5】（2023•香洲区校级一模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求，的值；
（2）根据函数图象，直接写出不等式的解集；
（3）若点在轴的正半轴上，且，垂足为点，求的面积．
【答案】（1），；
（2）或；
（3）15．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）解方程组得到，根据函数的图象即可得到结论；
（3）联立方程组可求点坐标，由直角三角形的性质可求，由三角形的面积公式可求解．
【解答】解：（1）正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，
，，
，；
（2），，
一次函数为，反比例函数解析式为，
解方程得，，，
，
不等式的解集为或；
（3）由（2）知点，
，
又，
，
点，
的面积．反比例函数
k的符号
k>0
k0
三象限
（x，y同号）
在每个象限内，y随x增大而减小
k