专题07 二元一次方程组（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用）

这是一份专题07 二元一次方程组（夯实基础、考点分析）--2024年中考数学一轮复习（全国通用），共47页。试卷主要包含了二元一次方程，二元一次方程组，二元一次方程的解，二元一次方程组的解法等内容，欢迎下载使用。
夯实基础
1．二元一次方程
（1）等号两边的式子都是整式；
（2）有且只有两个未知数；
（3）含有未知数的项的次数都是1．
2．二元一次方程组
由两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为．
3．二元一次方程（组）的解
（1）一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
（2）检验一对数值是否是某个二元一次方程组的解，常用的方法是将这对数值分别代入方程组中的每个方程．只有当这对数值同时满足所有方程时，才能说这对数值是此方程组的解；如果这对数值不满足其中的某个方程，那么它就不是此方程组的解．
4．二元一次方程组的解法
（1）代入消元法的一般步骤
①变形：从方程组中选一个未知数的系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来．
②代入：将变形后的方程代入没变形的方程，得到一个一元一次方程．
③解方程：解这个一元一次方程，求出一个未知数的值．
④求值：将求得的未知数的值代入变形后的方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．
（2）加减消元法的一般步骤
①变形：先观察系数特点，将同一个未知数的系数化为相等的数或相反数．
②加减：用加减法消去系数互为相反数或系数相等的同一未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程．
③解方程：解一元一次方程，求出一个未知数的值．
④求值：将求得的未知数的值代入原方程组中任意一个方程，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．
5．列二元一次方程组解应用题的主要步骤
（1）审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系；
（2）设：设未知数（一般求什么，就设什么）；
（3）找：找出应用题中的相等关系；
（4）列：根据相等关系列出两个方程，组成方程组；
（5）解：解所列的方程组，求出未知数的值；
（6）检：检验所求未知数的值是否符合题意；
（7）答：写出答案（包括单位名称）．
吃透考点
1．二元一次方程组
（1）定义：具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．
（2）一般形式：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1x＋b1y＝c1，,a2x＋b2y＝c2))（a1，a2，b1，b2均不为零）．
（3）二元一次方程组的解
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
2．二元一次方程组的解法
（1）代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：
①从方程组中任选一个方程，将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来；
②将这个代数式代入另一个方程，消去一个未知数，得到含有一个未知数的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
④将所求得的这个未知数的值代入原方程组的任一方程中，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解．
（2）加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
①方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使 它们中同一个未知数的系数相等或互为相反数；
②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程；
④将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解．
3．二元一次方程组的实际应用常见题型：
（1）工作（或工程）问题：工作量=工作效率×工作时．
（2）利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息．
（3）行程问题：路程=速度×时间；其中，相遇问题：s甲+s乙=s总；．
（4）追及问题：（同地异时）前者走的路程=追者走的路程；（异地同时）前者走的路程+两地间的距离=追者走的路程．
（5）利润问题：利润=卖价-进价；利润率=×100%．
（6）数字问题：两位数=10×十位数字+个位数字；三位数=100×百位数字+10×十位数字+个位数字．
考点1 二元一次方程的定义
【例1】（2023•禹会区二模）若方程是关于，的二元一次方程，则的值为 ．
【答案】1．
【分析】根据二元一次方程的定义即可得到答案．
【解答】解：根据二元一次方程的定义，方程中只含有2个未知数且未知数的次数为1，得
，
解得，
故答案为：1．
【变式练1】（2023•沙坪坝区校级开学）下列方程是二元一次方程的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都为1的方程即为二元一次方程，据此进行判断即可．
【解答】解：．，符合二元一次方程的定义，故本选项符合题意；
．是一元一次方程，故本选项不符合题意；
．是一元二次方程，故本选项不符合题意；
．是分式方程，故本选项不符合题意．
故选：．
【变式练2】（2023•岳阳校级开学）已知是关于，的二元一次方程，则的值为
A．B．C．16D．
【答案】
【分析】根据二元一次方程的定义得出且，求出、的值，再求出答案即可．
【解答】解：方程是关于，的二元一次方程，
且，
解得：，，
，
故选：．
【变式练3】（2023春•拱墅区校级期中）下列各式中是二元一次方程的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用二元一次方程的定义，逐一分析各选项，即可得出结论．
【解答】解：．方程是二元一次方程，选项符合题意；
．方程是二元二次方程，选项不符合题意；
．多项式不是方程，选项不符合题意；
．方程是分式方程，选项不符合题意．
故选：．
【变式练4】（2023春•永定区期末）下列方程是二元一次方程的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据二元一次方程的定义即可判断．
【解答】解：是一元一次方程，不符合题意．
含有两个未知数，且未知数的次数为1，是二元一次方程，符合题意．
不是整式方程，不符合题意．
是二元二次方程，不符合题意．
故选：．
【变式练5】（2023春•溆浦县校级期中）如果是二元一次方程，那么，的值分别是
A．1，0B．0，1C．，2D．2，
【答案】
【分析】依据二元一次方程的未知数的次数为1列出方程组求解即可．
【解答】解：是二元一次方程，
，
解得，．
故选：．
考点2 二元一次方程的解
【例2】（2023•锡林浩特市二模）已知，是方程的解，那么的值为
A．B．C．3D．4
【答案】
【分析】将，代入原方程，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值．
【解答】解：将，代入原方程得：，
解得：，
的值为．
故选：．
【变式练1】（2023•大连模拟）已知是二元一次方程的一个解，则的值为
A．B．1C．D．2
【答案】
【分析】把与的值代入方程计算即可求出的值．
【解答】解：把代入方程得：，
解得：，
故选：．
【变式练2】（2023•六盘水二模）下面4组数值中，哪组是二元一次方程的解
A．B．C．D．
【答案】
【分析】二元一次方程的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解．
【解答】解：．把代入方程，左边右边，所以不是方程的解；
．把代入方程，左边右边，所以是方程的解；
．把代入方程，左边右边，所以不是方程的解；
．把代入方程，左边右边，所以不是方程的解．
故选：．
【变式练3】（2023•建湖县一模）已知二元一次方程，其中与互为相反数，则，的值为
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【分析】与互为相反数，那么，然后代入求出的值，即可求解．
【解答】解：由题意得，即，
代入，得
，
解得，
则．
故选：．
【变式练4】（2023•张家口一模）不是下列哪个方程的解
A．B．C．D．
【答案】
【分析】将代入各个方程，即可判断．
【解答】解：经代入计算，可知能使方程、、成立，
不能使成立，
不是的解．
故选：．
【变式练5】（2023•沈阳一模）已知是方程的解，则的值是
A．B．1C．D．7
【答案】
【分析】把代入方程得出，再求出方程的解即可．
【解答】解：把代入方程得：，
解得：，
故选：．
考点3 解二元一次方程
【例3】（2023•漳浦县模拟）如果，那么用含的代数式表示正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】首先移项，把含有的项移到方程的左边，其它的项移到方程的右边，再进一步化系数为1即可．
【解答】解：移项，得，
系数化为1，得．
故选：．
【变式练1】（2023•德惠市模拟）已知方程，用含的代数式表示，得 ．
【答案】．
【分析】把看作已知数求出即可．
【解答】解：，
，
解得．
故答案为：．
【变式练2】（2022•长春二模）将方程变形成用含的代数式表示，则 ．
【答案】．
【分析】把看作已知数求出即可．
【解答】解：，
，
即．
故答案为：．
【变式练3】（2022•惠城区一模）在二元一次方程中，若、互为相反数，求与值．
【分析】根据，互为相反数，得到，与已知等式联立求出与的值即可．
【解答】解：根据题意得：，
①②得：，即，
把代入②得：．
【变式练4】（2022•河源一模）方程，如果，求的值．
【分析】利用代入消元法解方程组可得到的值．
【解答】解：，
解②得，
把代入①得，
解得，
所以方程组的解为，
即的值为．
【变式练5】（2020•顺德区校级模拟）已知方程，当时，那么为
A．B．C．D．
【分析】把与的值代入方程计算即可求出的值．
【解答】解：把，代入方程得：，
移项合并得：，
解得：，
故选：．
考点4 由实际问题抽象出二元一次方程
【例4】（2023•修文县模拟）《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．问有多少人？小红是这样想的：设有人，物品价值元，她先列了一个方程，请你帮她再列出另一个方程
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据题意可得等量关系：人数物品价值；人数物品价值，根据等量关系列出方程组即可．
【解答】解：由题意得：
，
故选：．
【变式练1】（2023•西峡县一模）《算法统宗》中有如下的类似问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少二十五，八两多十五，试问能算者，合与多少肉？”，意思是一个哑巴来买肉，说不出钱的数目，买一斤两）还差二十五文钱，买八两多十五文钱，问哑巴所带的钱数和肉价各是多少？设肉价为文两，哑巴所带的钱数为文，则可建立方程组为 ．
【答案】．
【分析】根据“买一斤两）还差二十五文钱，买八两多十五文钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：买一斤两）还差二十五文钱，
；
买八两多十五文钱，
．
根据题意可列方程组．
故答案为：．
【变式练2】（2023•西城区校级模拟）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个题目：九百九十文钱，甜果苦果买一千，四文钱买苦果七，十一文钱九个甜，甜苦两果各几个？其大意是：九百九十文钱共买一千个苦果和甜果，其中四文钱可买苦果七个，十一文钱可买甜果九个．问苦、甜果各几个？设苦果个，甜果个，则可列方程为 ．
【答案】．
【分析】利用总价单价数量，结合用九百九十九文钱共买了一千个苦果和甜果，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：共买了一千个苦果和甜果，
；
共花费九百九十文钱，且四文钱可以买苦果七个，十一文钱可以买甜果九个，
．
可列方程组为．
故答案为：．
【变式练3】（2023•厦门模拟）小桐花45元在文具店购买了一些水笔和笔记本，这两种文具的单价分别为7元支、5元本．设小桐购买了支水笔和本笔记本，根据已知信息，可列出方程： ．
【答案】．
【分析】设小桐购买了支水笔和本笔记本，再利用花费45元和这两种文具的单价即可列出方程．
【解答】解：设小桐购买了支水笔和本笔记本，
根据题意可得：．
故答案为：．
【变式练4】（2022•萧山区二模）为了迎接杭州亚运会的召开，某学校组织学生开展有关亚运会的知识竞赛．竞赛共有20道题，规定：每答对一道题得5分，每答错一道题扣3分，不答的题得1分．已知杭杭同学这次竞赛成绩为60分．设杭杭同学答对了道题，答错了道题，则有
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据“每答对一道题得分，每答错一道题扣3分，不答的题得1分．已知杭杭同学这次竞赛成绩为60分”列出方程．
【解答】解：依题意得：，即．
故选：．
【变式练5】（2022•上虞区模拟）我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？若设鸡只，兔只，则由头数可列出方程，那么由足数可列出的方程为 ．
【答案】．
【分析】根据“鸡的数量兔的数量，鸡的脚的数量兔子的脚的数量”可列方程组．
【解答】解：设鸡有只，兔有只，则由头数可列出方程，那么由足数可列出的方程为．
故答案为：．
考点5 二元一次方程的应用
【例5】（2023•黑龙江一模）李老师准备用30元钱全部购买，两种型号的签字笔（两种型号的签字笔都买），型签字笔每支5元，型签字笔每支2元，则李老师的购买方案有
A．4种B．3种C．2种D．1种
【答案】
【分析】设种型号的签字笔购买支，种型号的签字笔购买支，根据用30元钱全部购买，两种型号的签字笔列方程，根据，都是正整数，得到方程的解，即可得到答案．
【解答】解：设种型号的签字笔购买支，种型号的签字笔购买支，由题意得，
，
，
，都是正整数，
．或，
有2种购买方案，
故选：．
【变式练1】（2023•佳木斯三模）某同学打算花费27元钱购买2元和5元的两种学习用品，则他的购买方案有
A．1种B．2种C．3种D．4种
【答案】
【分析】设购买2元的学习用品件，5元的件，可得：，，根据，为非负整数，可得或或，即可得到答案．
【解答】解：设购买2元的学习用品件，5元的件，
根据题意得：，
，
，为非负整数，
或或，
他的购买方案有3种，
故选：．
【变式练2】（2023•肇东市校级一模）小明去买2元一支和3元一支的两种圆珠笔（每种圆珠笔至少买一支），恰好花掉20元，则购买方案有
A．3种B．4种C．5种D．6种
【答案】
【分析】根据题意列出二元一次方程，再结合实际情况求得正整数解．
【解答】解：设买支2元一支的圆珠笔，支3元一支的圆珠笔，
根据题意得：，且，为正整数，
符合条件的整数解有：，，，
故共有3种购买方案，
故选：．
【变式练3】（2023•明水县模拟）为落实“双减”政策，刘老师把班级里50名学生分成若干小组进行小组互助学习，每小组只能是4人或6人，则分组方案有
A．4种B．3种C．2种D．1种
【答案】
【分析】设可分成每小组4人的小组组，每小组6人的小组组，利用各组人数之和为50人，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为自然数，即可得出共有4种分组方案．
【解答】解：设可分成每小组4人的小组组，每小组6人的小组组，
依题意得：，
．
又，均为自然数，
或或或，
共有4种分组方案．
故选：．
【变式练4】（2023•黑龙江模拟）某同学打算花费27元钱购买2元和5元的两种学习用品，则他的购买方案有
A．1种B．2种C．3种D．4种
【答案】
【分析】设购买2元的学习用品件，购买5元的学习用品件，根据某同学打算花费27元钱购买2元和5元的两种学习用品，列出二元一次方程，求出正整数解即可．
【解答】解：设购买2元的学习用品件，购买5元的学习用品件，
由题意得：，
、为正整数，
或或，
某同学的购买方案有3种，
故选：．
【变式练5】（2023•浠水县模拟）某单位为了加大“精准扶贫”力度，将16名干部分成甲、乙、丙三个小组到村屯带领48个贫困户脱贫．若甲组每人负责4个农户，乙组每人负责3个农户，丙组每人负责1个农户，则分组方案有
A．3种B．4种C．5种D．6种
【答案】
【分析】根据选派16名成员分三组带领48个农户可列方程，再根据每组人数为正整数求解即可．
【解答】解：设甲组人，乙组人，则丙组人，
由题意，，
，
、是正整数，
当时，，，符合题意；
当时，，，符合题意；
当时，，，符合题意；
当时，，，符合题意；
当时，，，符合题意；
分组方案共5组，
故选：．
考点6 二元一次方程组的定义
【例6】（2022•长春二模）下列方程组中是二元一次方程组的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据二元一次方程组的定义，逐一判断即可解答．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．
【解答】解：、原方程组为三元一次方程组，故不符合题意；
、原方程组为分式方程组，故不符合题意；
、原方程组为二元一次方程组，故符合题意；
、原方程组为二元二次方程组，故不符合题意；
故选：．
【变式练1】（2020春•来宾期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是
A．B．
C．D．
【分析】二元一次方程满足的条件：为整式方程；含有2个未知数；最高次项的次数是1；两个二元一次方程组合成二元一次方程组．
【解答】解：、第二个方程不是整式方程，不符合题意；
、整个方程组含有3个未知数，不符合题意；
、符合题意；
、最高次项的次数是2，不符合题意；
故选：．
【变式练2】（2013•凉山州模拟）下列方程组中是二元一次方程组的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．
【解答】解：、第一个方程中的是二次的，故此选项错误；
、第二个方程有，不是整式方程，故此选项错误；
、含有3个未知数，故此选项错误；
、符合二元一次方程组定义，故此选项正确．
故选：．
【变式练3】（2023春•景县期末）下列方程组中是二元一次方程组的是
A．B．
C．D．
【分析】根据二元一次方程组的定义对各个选项中的方程组进行判断即可．
【解答】解：、是分式方程，故该选项错误．
、符合二元一次方程组的定义；
、有三个未知数，是三元一次方程组，故该选项错误．
、第二个方程的二次的，故该选项错误．
故选：．
【变式练4】（2023春•攸县期中）下列方程组是二元一次方程组的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据二元一次方程组的特点判断即可．主要从3个方面来判断：①两个方程都是整式方程；②含有2个未知数；③含未知数的项的次数是1次．
【解答】解：、有3个未知数，不是二元一次方程组，故不符合题意；
、有2个未知数，但是最高次数是2，不是二元一次方程组，故不符合题意；
、有两个未知数，方程的次数是1次，所以是二元一次方程组，故符合题意；
、有两个未知数，第二个方程不是整式方程，不是二元一次方程组，故不符合题意．
故选：．
【变式练5】（2023春•肥城市期中）下列方程组为二元一次方程组的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可．
【解答】解：，第2个方程中的次数是2，此选项不符合题意；
，此方程符合二元一次方程组的定义，此选项符合题意；
，此选项第2个方程不是整式方程，此选项不符合题意；
，此方程含有3个未知数，此选项不符合题意；
故选：．
考点7 二元一次方程组的解
【例7】（2023•兴宁市校级一模）若关于、的方程的解满足，则的值为
A．B．C．0D．不能确定
【答案】
【分析】①②得出，求出，根据求出，再求出方程的解即可．
【解答】解：，
①②，得，
，
，
，
解得：，
故选：．
【变式练1】（2023•青县校级模拟）已知方程组的解满足，则的值是
A．B．C．D．
【分析】对于方程组，利用①②得到，而，则，然后解关于的一次方程即可．
【解答】解：，
①②得，
，
，
．
故选：．
【变式练2】（2023•潮阳区二模）若关于，的二元一次方程组的解为 则关于，的二元一次方程组
的解为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】结合题意，根据二元一次方程组的解的定义求得第二个方程组中，，解得，的值即可．
【解答】解：关于，的二元一次方程组的解为，
关于，的二元一次方程组中，，，
解得：，，
则该方程组的解为：，
故选：．
【变式练3】（2023•盐都区一模）已知有理数，满足方程组，则的值为
A．B．0C．1D．2
【答案】
【分析】根据题意直接将两个方程相加即可求解．
【解答】解：，
由①②得：，
化简得：，
故选：．
【变式练4】（2023•蕉岭县一模）若关于，的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则的值为
A．2B．1C．D．0
【答案】
【分析】解原方程组后，根据同解方程得到含的一元一次方程，就能求得此题结果了．
【解答】解：解原方程组得，
，
将其代入方程得，
，
解得，
故选：．
【变式练5】（2023•沭阳县模拟）已知方程组的解满足，则的值是
A．B．2C．D．
【答案】
【分析】根据②①得，再根据，可得，进一步求解即可．
【解答】解：，
②①得，
，
，
解得．
故选：．
考点8 解二元一次方程组
【例8】（2023•河西区模拟）方程组的解是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用加减消元法求解即可．
【解答】解：，
①②得，，
解得，
把代入①得，，
解得，
所以，方程组的解是．
故选：．
【变式练1】（2023•滨海新区一模）方程组的解是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先用加减消元法求出的值，再用代入消元法求出的值即可．
【解答】解：，
①②得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
原方程组的解为，故正确．
故选：．
【变式练2】（2023•兴宁区校级模拟）已知，那么的值是
A．1B．C．0D．2
【答案】
【分析】直接将二元一次方程组的方程（1）（2），即可求得的值．
【解答】解：方程组
（1）（2）得：．
故选：．
【变式练3】（2023•天津二模）方程组的解是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】把①代入②，可消去未知数，求出未知数，再把的值代入①即可．
【解答】解：，
把①代入②，得，
解得，
把代入①，得，
故原方程组的解是．
故选：．
【变式练4】（2023•河西区校级一模）方程组的解是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据加减消元法求出方程组的解再进行判断即可．
【解答】解：，
①②得，
，
将代入②得，
，
方程组的解为，
故选：．
【变式练5】（2023•红桥区三模）方程组的解是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：，
①②得：，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
则方程组的解为．
故选：．
考点9 由实际问题抽象出二元一次方程组
【例9】（2023•南山区三模）明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒瓶，薄酒瓶．根据题意，可列方程组为
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据题意，列方程求解即可．
【解答】解：设有好酒瓶，薄酒瓶，
根据“总共饮19瓶酒”可得：
根据“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了”，可得：
综上：，
故选：．
【变式练1】（2023•鼓楼区校级模拟）现用190张铁皮制作一批盒子，每张铁皮可做8个盒身或做22个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．问用多少张白铁皮制盒身、多少张白铁皮制盒底，可以使盒身和盒底正好配套．设用张铁皮做盒身，张铁皮做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则可列方程是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】由题意可知：制盒身的铁皮制盒底的铁皮张；盒底的数量盒身数量的2倍．据此可列方程组求解即可．
【解答】解：设张铁皮制盒身，张铁皮制盒底，由题意得
．
故选：．
【变式练2】（2023•罗定市校级一模）我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱．问人数、物价各多少？设人数为人，物价为钱，下列方程组正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据“每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：每人出八钱，会多三钱，
；
每人出七钱，又差四钱，
．
根据题意可列方程组．
故选：．
【变式练3】（2023•高青县一模）《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉；下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子．问上等、下等稻子每捆打多少斗谷子？设上等稻子每捆打斗谷子，下等稻子每捆打斗谷子，根据题意可列方程组为
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】设上等稻子每捆打斗谷子，下等稻子每捆打斗谷子，分别利用已知“今有上等稻子三捆十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆两捆上等稻子打出来的谷子“分别得出等量关系求出答案．
【解答】解：设上等稻子每捆打斗谷子，下等稻子每捆打斗谷子，
根据题意可列方程组为：．
故选：．
【变式练4】（2023•邗江区二模）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前．其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有人，辆车，可列方程组为
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】根据“每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设有人，辆车，根据题意可得：
，
故选：．
【变式练5】（2023•天心区校级三模）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马六匹、牛五头，共价四十四两；马二匹、牛三头，共价二十四两．问马、牛各价几何？”设马每匹两，牛每头两，根据题意可列方程组为
A．B．
C．D．
【答案】
【分析】利用总价单价数量，结合“马六匹、牛五头，共价四十四两；马二匹、牛三头，共价二十四两”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：马六匹、牛五头，共价四十四两，
；
马二匹、牛三头，共价二十四两，
．
根据题意可列方程组．
故选：．
考点10 二元一次方程组的应用
【例10】（2023•蕉岭县一模）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问物价几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出11元，还盈余8元；每人出9元，则还差12元．问这个物品的价格是多少元？
A．118B．102C．88D．78
【答案】
【分析】设共有人，这个物品的价格是元，根据每人出11元，还盈余8元；每人出9元，则还差12元．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设共有人，这个物品的价格是元，
由题意得：，
解得：，
即这个物品的价格是102元，
故选：．
【变式练1】（2023•拱墅区校级模拟）《九章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五一容三斛，大器一小器五容二斛．”大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依据该条件，3大桶加3小桶共盛 斛米．（注斛是古代一种容量单位）
A．B．C．D．
【答案】
【分析】设一个大桶盛酒斛，一个小桶盛酒斛，根据“5个大桶加上1个小桶可以盛酒3斛”和“1个大桶加上5个小桶可以盛酒2斛”即可得出关于、的二元一次方程组，两式相加可得，然后整体求出即可．
【解答】解：设一个大桶盛酒斛，一个小桶盛酒斛，
根据题意得：，即．
，即．
故答案为：．
【变式练2】（2023•仁寿县模拟）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，它奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”在这个问题中，物价钱数为
A．49B．53C．56D．59
【答案】
【分析】设合伙购物的人有人，物价为钱，根据“每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设合伙购物的人有人，物价为钱，
根据题意得：，
解得：，
物价为53钱．
故选：．
【变式练3】（2023•龙沙区三模）开学前明明、亮亮和小伟去购买学习用品，明明用17元买了1支笔和4个本亮亮用19元买了2支笔和3个本，小伟购买上述价格的笔和本共用了48元，则小伟的购买方案共有（ ）
A．5种B．4种C．3种D．2种
【答案】C
【分析】设1支笔的价格为x元，一个本的价格为y元，根据小强和小亮所花费的钱数列出方程组，可求得笔和本的单价，然后设小伟购买了a支笔，b个本，接下来根据小伟的花费列出关于a、b的方程，最后求得方程的非负整数解即可．
【解答】解：设1支笔的价格为x元，一个本的价格为y元．
根据题意得：．
解得：．
设小伟购买了a支笔，b个本．
根据题意得：5a+3b＝4．
当a＝3时，b＝11．
当a＝6时，b＝6．
当a＝9时，b＝1
故选：C．
【变式练4】（2023•黄陂区校级模拟）小明同学剪纸片：把一张长方形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片：从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片：从这3张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有4张纸片：如此下去，若剪了10剪刀后，小明藏起所剪纸片中的一部分，剩下纸片中有4张三角形纸片，5张四边形纸片，1张五边形纸片，则关于小明藏起来的纸片的说法正确的是
A．1张三角形和1张四边形B．1张四边形和1张五边形
C．1张七边形D．1张九边形
【答案】
【分析】从纸片个数出发，纸片剪1刀变成2张，剪2刀变成3张，依次类推，剪10刀变成11张，说明小明藏起来1张纸片；从边数出发，每剪1刀多4条边，那么剪10刀会多出40条边，所以一共有条边．利用一元一次方程，设藏起来的纸片为边形，列出方程即可求解．
【解答】解：设小明藏起来的纸片是边形．
，
解得，
答：小明藏起来的纸片是七边形．
故选：．
【变式练5】（2023•市中区模拟）《孙子算经》卷中著名的“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”根据所学知识，计算出鸡兔的只数分别是
A．鸡23只，兔12只B．鸡12只，兔23只
C．鸡20只，兔15只D．鸡15只，兔20只
【答案】
【分析】确定等量关系，结合生活常识求解．
【解答】解：设鸡、免各有，只，则
，解得．
故选：．
考点11 同解方程组
【例11】（2022•济南二模）已知方程组和方程组有相同的解，则的值是 5 ．
【分析】既然两方程组有相同的解，那么将有一组、值同时适合题中四个方程，把题中已知的两个方程组成一个方程组，解出、后，代入中直接求解即可．
【解答】解：解方程组，
得，
代入得，．
【变式练1】（2021•饶平县校级模拟）已知关于，的方程组和有相同解，求值．
【分析】因为两个方程组有相同的解，故只要将两个方程组中不含有，的两个方程联立，组成新的方程组，求出和的值，再代入含有，的两个方程中，解关于，的方程组即可得出，的值．
【解答】解：因为两组方程组有相同的解，所以原方程组可化为
，
解方程组（1）得，
代入（2）得，
解得：．
所以．
【变式练2】（2016•富顺县校级模拟）若方程组与方程组有相同的解，则、的值分别为
A．1，2B．1，0C．D．
【答案】
【分析】根据两个方程组有相同的解，即有一对和的值同时满足四个方程，所以可以先求出第二个方程组的解，再把求得的解代入第一个方程组中，得到一个新的关于、的二元一次方程组，再求出、的值即可．
【解答】解：先解得：，
把代入方程组得：
，
解得：；
故选：．
【变式练3】（2015•江都市模拟）若方程组与有相同的解，则 3 ， ．
【分析】本题用代入法和加减消元法均可．
【解答】解：（1）②变形为：，
代入①，得，
将代入②，得，
．
把，代入（2），得，
把代入①，得
，
，
代入，得．
，．
【变式练4】（2012•昆山市一模）已知方程组和方程组的解相同，求的值．
【分析】由于这两个方程组的解相同，所以可以把这两个方程组中的第一个方程再组成一个新的方程组，然后求出、的解，把求出的解代入另外两个方程，得到关于，的方程组，即可求出、的值．
【解答】解：因为两个方程组的解相同，所以解方程组，
解得．
代入另两个方程得，
解得．
原式．
【变式练5】若方程组：与方程组的解相同，求、的值．
【分析】因为方程组有相同的解，所以只需求出一组解代入另一组，即可求出未知数的值．
【解答】解：解方程组，得，
代入方程组，得，
即，．
考点12 解三元一次方程组
【例12】（2023春•岚山区期末）解三元一次方程组，若先消去，组成关于、的方程组，则应对方程组进行的变形是
A．①②，②③B．①③，②③C．①②，②③D．①③，②③
【答案】
【分析】利用加减消元法进行计算，即可解答．
【解答】解：，
①②得：，
②得：④，
③④得：，
即，
故选：．
【变式练1】（2023春•通道县期末）已知方程组，则的值是
A．9B．8C．7D．6
【答案】
【分析】利用解方程中的整体思想，进行计算即可解答．
【解答】解：，
①②③得：，
解得：，
故选：．
【变式练2】（2023春•南召县期末）解三元一次方程组，如果消掉未知数，则应对方程组变形为
A．①③，①②B．①③，③②C．②①，②③D．①②，①③
【答案】
【分析】观察的系数，利用加减消元法消去即可．
【解答】解：解三元一次方程组，如果消掉未知数，
则应对方程组变形为②①，②③．
故选：．
【变式练3】（2023春•秦州区校级期中）下列四组数值中，是方程组的解的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用加减消元法，进行计算即可解答．
【解答】解：，
①②得：
④，
①③得：
⑤，
⑤④得：
，
把代入④中，
，
解得：，
把，代入①中，
，
解得：，
原方程组的解为：，
故选：．
【变式练4】（2023春•通道县期中）已知方程组，则的值是
A．3B．4C．5D．6
【答案】
【分析】把三个方程相加即可得到的值．
【解答】解：，
①②③，得：，
．
故选：．
【变式练5】（2023春•昆明期中）解方程组，如果要使运算简便，那么消元时最好应
A．先消去B．先消去C．先消去D．先消常数项
【答案】
【分析】观察发现，未知数的系数具有相同，或互为相反数，从而可确定先消去．
【解答】解：观察未知数，，的系数特点发现：
未知数的系数要么相等，要么互为相反数，
所以要使运算简便，那么消元时最好应先消去，
故选：．
考点13 三元一次方程组的应用
【例13】（2023•涪城区开学）小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲，2件乙，1件丙时显示的价格为420元；当购物车内选择2件甲，3件乙，4件丙时显示的价格为580元，那么购买甲、乙、丙各两件应该付款
A．200元B．400元C．500元D．600元
【答案】
【分析】设购买甲、乙、丙三种商品需付款元，元，元，根据题意列出方程组，计算即可求出，，的值，即可得到结果．
【解答】解：设购买甲、乙、丙三种商品需付款元，元，元，
根据题意得：，
①②得：，即，
，
则购买甲、乙、丙各两件应该付款400元．
故选：．
【变式练1】（2023春•集贤县期末）某商店对自己销售的三个品牌的奶粉进行了跟踪调查，两周内三个品牌奶粉，，的销售量的比为，现在该商店购进一批奶粉，共计2400箱，采购员是根据商店的销售情况购进的，则品牌奶粉约购进了
A．900箱B．1600箱C．300箱D．2100箱
【答案】
【分析】用总箱数乘以品牌奶粉所占比例即可．
【解答】解：（箱，
故选：．
【变式练2】（2023•沂水县二模）某商店将巧克力包装成甲、乙两种礼盒出售，且每盒甲种礼盒的价钱相同，每盒乙种礼盒的价钱相同，晓雨原先想购买2盒甲种礼盒和5盒乙种礼盒，但他身上的钱还差3元，如果改成购买5盒甲种礼盒和2盒乙种礼盒，他身上的钱会剩下3元，若晓雨最后购买7盒甲种礼盒，则他身上剩下的钱数是
A．1元B．3元C．5元D．7元
【答案】
【分析】设每盒甲种礼盒的价钱为元，每盒乙种礼盒的价钱为元，晓雨身上有元钱，根据购买2盒甲种礼盒和5盒乙种礼盒，但他身上的钱还差3元，如果改成购买5盒甲种礼盒和2盒乙种礼盒，他身上的钱会剩下3元，列出三元一次方程组，解之得出的值即可．
【解答】解：设每盒甲种礼盒的价钱为元，每盒乙种礼盒的价钱为元，晓雨身上有元钱，
由题意得：，
①②得：③，
①②得：，
④，
将④代入③中得：，
，
即晓雨最后购买7盒甲种礼盒，则他身上剩下的钱数是7元，
故选：．
【变式练3】（2023春•余干县期末）某班级组织活动需购买小奖品，若购买5支铅笔，3块橡皮，2本日记本，共21元；若购买9支铅笔，5块橡皮，3本日记本，共35元．则购买4支铅笔，4块橡皮，4本日记本，需要的钱数为
A．32元B．28元C．24元D．不能确定
【答案】
【分析】设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，根据“购买5支铅笔，3块橡皮，2本日记本，共21元；购买9支铅笔，5块橡皮，3本日记本，共35元”，可列出关于，，的三元一次方程组，利用①②，可得出，再将其代入中，即可求出结论．
【解答】解：设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，
根据题意得：，
①②得：，
，
购买4支铅笔，4块橡皮，4本日记本，共需28元．
故选：．
【变式练4】（2023春•灌南县期末）一个宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团25人准备同时租用这三种客房共9间，如果每个房间都住满，则租房方案共有
A．4种B．3种C．2种D．1种
【分析】首先设宾馆有客房：二人间间、三人间间、四人间间，根据题意可得方程组：，解此方程组可得，又由，，是非负整数，即可求得答案．
【解答】解：设宾馆有客房：二人间间、三人间间、四人间间，根据题意得：
，
解得：，
，
，，都是小于9的正整数，
当时，，；
当时，，；
当时，，
当时，（不符合题意，舍去）
租房方案有3种．
故选：．
【变式练5】（2023春•威海期中）某商场推出、、三种特价玩具，若购买种2件、种1件、种3件，共需24元；若购买种3件、种4件、种2件，共需36元．那么小明购买种1件、种1件、种1件，共需付款
A．11元B．12元C．13元D．不能确定
【分析】设种玩具的单价为元，种玩具的单价为元，种玩具的单价为元，由“若购买种2件、种1件、种3件，共需24元；若购买种3件、种4件、种2件，共需36元”，即可得出关于，，的三元一次方程组，由①②可求出的值，此题得解．
【解答】解：设种玩具的单价为元，种玩具的单价为元，种玩具的单价为元，
依题意，得：，
①②，得：．
故选：．
方
法
技
巧
点
拨
1．解二元一次方程组的步骤
（1）代入消元法
①变：将其一个方程化为y=ax+b或者为x=ay+b的形式
②代：将y=ax+b或者为x=ay+b代入另一个方程
③解：解消元后的一元一次方程
④求：将求得的未知数值代入y=ax+b或x=ay+b，求另一个未知数的值
⑤答：写出答案
（2）加减消元法
①化：将原方程组化成有一个未知数的系数相等（互为相反数）的形式，
②加减：将变形后的方程组通过加减消去一个未知数
③解：解消元后的一元一次方程
④求：将求得的知数的值代入方程组中任意一个方程求另一个未知数的值
2．解二元一次方程组的方法选择
（1）当方程组中某一个未知数的系数是1或者-1时，选用代入消元法；
（2）当方程组中某一个方程的常数项为0时，选用代入消元法；
（3）方程组中同一个知数的数相同或互为相反数时，选用加减消无法
（4）当两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系时，选用加减消元法
组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”．