2023年上海市高中学业水平合格性考试考前模拟（三）数学试题（解析版）

这是一份2023年上海市高中学业水平合格性考试考前模拟（三）数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1．“ntebks”中的字母构成一个集合，该集合中的元素个数是______________
【答案】7
【分析】根据集合中元素的互异性知集合中不能出现相同的元素.
【详解】根据集合中元素的互异性，“ntebks”中的不同字母为“n，，t，e，b，k，s”，共7个，故该集合中的元素个数是7；
故答案为：7.
2．设，，则s与t的大小关系是________.
【答案】
【分析】作差后变形，判断符号即可得解.
【详解】,
.
故答案为：.
3．函数f(x)＝x＋的定义域是______________________
【答案】
【分析】由函数解析式有意义列不等式求自变量的范围即可.
【详解】要使函数式有意义，则2－x≥0，即x≤2，所以函数的定义域为，
故答案为：
4．若，，则________.
【答案】或2
【分析】根据条件列方程，解得结果.
【详解】由已知或.
故答案为或2.
【点睛】本题考查根据函数值逆求自变量，考查基本求解能力，本题属于基础题.
5．函数的零点是______.
【答案】
【解析】解方程得出．
【详解】由得，所以函数的零点是．
故答案为：．
【点睛】本题考查函数零点概念，掌握零点定义是解题关键．
6．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20cm，则扇形的周长为___cm.
【答案】6π＋40
【分析】根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角，再由扇形的弧长公式，可得弧长，即可求解扇形的周长，得到答案.
【详解】由题意，根据角度制与弧度制的互化，可得圆心角，
∴由扇形的弧长公式，可得弧长，
∴扇形的周长为.
【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式的应用，其中解答中熟记扇形的弧长公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
7．已知方程的两个根在复平面上对应的点分别为 、，则的面积为__________
【答案】##
【分析】求出两点的坐标，关于轴对称，以AB为底求三角形面积.
【详解】方程的根为，
即，，
所以，所以关于轴对称，
以AB为底求三角形面积，所以.
故答案为：
8．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm．
【答案】24
【分析】根据给定的频率分布表求出底部周长在[80，100)的频率即可计算作答.
【详解】底部周长在[80，90)的频率为0.015×10=0.15，底部周长在[90，100)的频率为0.025×10=0.25，
于是得底部周长在[80，100)的频率0.15+0.25=0.4，而样本容量为60，
所以树木的底部周长小于100 cm的株数为0.4×60=24.
故答案为：24
9．样本中共有5个个体，其中四个值分别为0，1，2，3，第五个值丢失，但该样本的平均数为1，则样本方差为 __.
【答案】2
【分析】设第五个数为，由数据的平均数公式求得 ，再根据方差的公式计算
【详解】解：设第五个值为，则，即，
则样本方差为，
故答案为：2.
10．一个六棱锥的体积为，其底面是边长为的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 .
【答案】
【详解】试题分析：判断棱锥是正六棱锥，利用体积求出棱锥的高，然后求出斜高，即可求解侧面积．
∵一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，
∴棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为h，则
棱锥的斜高为该六棱锥的侧面积为
【解析】棱柱、棱锥、棱台的体积
11．如图．M是棱长为2cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是______cm．
【答案】
【详解】试题分析：由题意，若以为轴展开，则两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2，3,故两点之间的距离是;
若以以为轴展开，则两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1，4，故两点之间的距离是;
故沿正方体表面从点到点的最短路程是,
故答案为.
【解析】多面体和旋转体表面上的最短距离问题.
12．已知，，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】根据向量模的三角不等式即可求出取值范围.
【详解】∵，且，，
∴，
∴的取值范围是.
故答案为：
【点睛】本题主要考查了向量模的三角不等式，属于容易题.
二、单选题
13．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解一元二次不等式求解集，再根据充分、必要性定义判断关系.
【详解】由，可得，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
14．已知{第一象限角}，{锐角}，{小于的角}，那么A、B、C的关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分别判断，，的范围即可求出；
【详解】解：第一象限角，；锐角，
小于的角
，
，；
“小于的角”里边有“第一象限角”，从而．
故选：．
15．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（ ）
A．2，5B．5，5C．5，8D．8，8
【答案】C
【详解】试题分析：由题意得，，选C.
【解析】茎叶图
16．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.
详解：设2名男同学为，3名女同学为，
从以上5名同学中任选2人总共有共10种可能，
选中的2人都是女同学的情况共有共三种可能
则选中的2人都是女同学的概率为，
故选D.
点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件；第二步，分别求出基本事件的总数与所求事件中所包含的基本事件个数；第三步，利用公式求出事件的概率.
17．在某段时间内，甲地不下雨的概率为（），乙地不下雨的概率为（），若在这段时间内两地下雨相互独立，则这段时间内两地都下雨的概率为
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据相互独立事件的概率，可直接写出结果.
【详解】因为甲地不下雨的概率为，乙地不下雨的概率为，且在这段时间内两地下雨相互独立，
所以这段时间内两地都下雨的概率为.
故选D
【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率，熟记概念即可，属于基础题型.
18．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是（ ）
A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定
【答案】A
【分析】根据棱柱的定义进行判断
【详解】如图.
∵平面AA1D1D∥平面BB1C1C，
∴有水的部分始终有两个平面平行，而其余各面都易证是平行四边形(水面与两平行平面的交线)，因此呈棱柱形状.
故选：A
19．已知水平放置的是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，那么原的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据直观图面积是原图面积的，先计算的面积，即求得的面积.
【详解】解：设原图面积是，对应直观图面积为直观图，由图可知，
根据“斜二测画法”的原则：“横不变纵减半，两轴夹角”，，即.
中，，高，
故的面积为，
那么的面积为.
故选：A．
20．如图所示，在三棱锥S—MNP中，E、F、G、H分别是棱SN、SP、MN、MP的中点，则EF与HG的位置关系是
A．平行B．相交
C．异面D．平行或异面
【答案】A
【分析】由题可知E、F分别是SN和SP的中点，∴EF∥PN．同理可证HG∥PN，可得EF与HG的位置关系.
【详解】∵E、F分别是SN和SP的中点，∴EF∥PN．同理可证HG∥PN，∴EF∥HG．故选A.
【点睛】本题考查空间直线与直线的位置关系，属基础题.
21．若斜线段AB是它在平面内的射影长的2倍，则直线与所成的角为（ ）
A．60°B．45°C．30°D．120°
【答案】A
【分析】根据题意，得到平面，推出即为与平面所成的角，再由题中条件，即可求出结果．
【详解】因为斜线段是它在平面上的射影的倍，
所以平面，，所以，
因此即为与平面所成的角，
所以，因此．
故选：A
22．下列说法中，正确的是（ ）
A．λ与的方向不是相同就是相反B．若，共线，则＝λ
C．若||＝2||，则＝±2D．若＝±2，则||＝2||
【答案】D
【分析】A.由判断；B. 由判断；C. 利用平面向量共线定理判断； D. 利用平面向量共线定理判断；
【详解】A. 当时，结论不成立；
B. 当时，结论不成立；
C. 当||＝2||，与2不一定共线；
D. 因为＝±2，所以||＝2||，故正确；
故选：D
23．的大小关系为
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
单位圆中，，，故选A.
24．已知函数f(x)＝cs x－|sin x|，那么下列命题中假命题是（ ）
A．f(x)是偶函数B．f(x)在[－π,0]上恰有一个零点
C．f(x)是周期函数D．f(x)在[－π,0]上是单调函数
【答案】D
【分析】一次判断选项即可.
【详解】∵f(－x)＝cs(－x)－|sin(－x)|＝cs x－|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，A正确；
由f(x)＝cs x－|sin x|＝0，x∈[－π,0]时，可得cs x＝－sin x，∴x＝－，即f(x)在[－π,0]上恰有一个零点，B正确；
∵f(x＋2π)＝cs(x＋2π)－|sin(x＋2π)|＝cs x－|sin x|＝f(x)，∴f(x)为周期函数，C正确；
当x∈[－π,0]，f(x)＝cs x＋sin x＝，则，故f(x)在[－π,0]上不单调，D为假命题，
故选：D.
25．已知x>1，y>1且lg x＋lg y＝4，那么lg x·lg y的最大值是（ ）
A．2B．
C． D．4
【答案】D
【分析】根据基本不等式求解即可.
【详解】∵x>1，y>1，∴lg x>0，lg y>0，∴，
当且仅当lg x＝lg y＝2，即x＝y＝100时等号成立．
故选：D.
26．如图，在地面上共线的三点处测得一个建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且，则建筑物的高度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设建筑物的高度为，根据已知将用表示，在和中，用余弦定理结合，得到关于的方程，即可求出结论.
【详解】设建筑物的高度为，由题图知，
，，，
在和中，分别由余弦定理的推论，得
①，
②，
因为，
所以③，
由①②③，解得或（舍去），
即建筑物的高度为.
故选:D.
【点睛】本题考查解三角形的实际应用，考查余弦定理，考查计算求解能力，属于中档题.
三、解答题
27．某商品经营部每天的房租、人员工资等固定成本为300元，已知该商品进价为3元/件，并规定其销售单价不低于商品进价，且不高于12元，该商品日均销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图所示．
（1）试求y关于x的函数解析式；
（2）当销售单价定为多少元时，该商品每天的利润最大？
【答案】（1）；（2）9.
【解析】（1）设日均销售额y与销售单价x的函数关系为：，利用图象将代入解方程组即可；（2），利用配方法求最值.
【详解】（1）设日均销售额y与销售单价x的函数关系为：，把
代入上式，得，解得，
所以商品日均销售量y（件）与销售单价x（元）的关系为
（2）设销售单价为x元，日均获利W元，根据题意，
当时，W有最大值，最大值为1500元.
28．已知向量函数；
(1)若，求的值；
(2)当时，求函数的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据三角恒等变换和同角三角函数的关系求解；(2)利用三角函数的图象性质求函数在指定区间内的值域.
【详解】（1）∵，
∴
∵，即，∴，
∴＝.
（2）
当，即时，；
当，即时，，
∴当时，函数的值域为．