2024年1月上海市普通高中学业水平合格性考试数学仿真模拟卷02

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一、填空题（本题共12小题，每小题3分，共计36分）
1．设全集，，则 .
2．已知正实数满足，则的最大值为 .
3．函数的定义域为 ．
4．已知函数为偶函数，则正实数的值为 .
5．函数的最小正周期为 ．
6．某医院对某学校高三年级的600名学生进行身体健康调查，采用男女分层抽样法抽取一个容量为50的样本，已知女生比男生少抽了10人，则该年级的女生人数是 ．
7．单位向量、的夹角为，则 .
8．不等式的解集为 .
9．已知为实数.若关于的方程有一个根为（其中为虚数单位），则的值为 .
10．已知，且．若函数有最大值，则关于x的不等式的解集为 ．
11．如图，，，，，在三角形挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C，M，与BC交于点N）.则图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积为 .
12．已知，，若存在个实数、、、、，使得成立，且的最大值为，则的取值范围为 .
二、选择题（本大题共14题，每小题3分，共计42分。)
13．陈述句“或”的否定形式是（ ）．
A．且B．且
C．且D．或
14．下列函数中，在其定义域内既不是增函数，也不是减函数的为（ ）.
A．B．
C．D．
15．设、为复数，下列命题一定成立的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，是正实数，那么
D．如果，那么为实数
16．已知是第一象限角，，则（ ）
A．B．C．D．
17．甲乙两选手进行围棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制（前两局各有胜负则进行第三局），则甲最终获胜的概率为（ ）
A．0.72B．0.704C．0.604D．0.648
18．测量甲、乙两组各10名学生的身高（单位：cm），所得数据用茎叶图表示如下，则下列结论中正确的是（ ）

A．两组学生身高的极差不相等
B．甲组学生身高的平均值比乙组学生身高的平均值大
C．甲组学生身高的中位数比乙组学生身高的中位数大
D．甲组学生身高在175cm以上的人数较多
19．在钝角中，角所对的边分别为，若，则最大边的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
20．在棱长为1的正方体中，八个顶点按红蓝间隔染色，使得每条棱上的两个顶点各不同色，则由红色顶点连成的四面体与蓝色顶点连成的四面体的公共部分的体积为（ ）
A．B．C．D．
21．函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
22．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A．B．是奇函数
C．的图象关于直线对称D．在区间上单调递增
23．已知函数的图像关于点中心对称，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
24．关于函数的最值，以下结论正确的是（ ）
A．最小值为0，最大值为4B．最小值为，最大值为0
C．最小值为，最大值为4D．既无最小值，也无最大值
25．如图所示，边长为2的正，以BC的中点O为圆心，BC为直径在点A的另一侧作半圆弧，点P在圆弧上运动，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
26．已知函数，若对任意，不等式恒成立，，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
三、解答题（本题共2小题，共22分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
27．（10分）如图，在三棱锥中，平面，，，，为垂足.

(1)求证：平面；
(2)若为的中点，求四面体的体积.
28．（12分）某科研小组对面积为8000平方米的某池塘里的一种生物的生长规律进行研究，一开始在此池塘投放了一定面积的该生物，观察实验得到该生物覆盖面积y（单位：平方米）与所经过月数的下列数据：
为描述该生物覆盖面积y（单位：平方米）与经过的月数的关系，现有以下三种函数模型供选择：；；.
(1)试判断哪个函数模型更适合，并求出该模型的函数解析式；
(2)约经过几个月，此生物能覆盖整个池塘?
(3)经过4个月的研究掌握该生物生长规律后，科研小组需改善池塘生态，现有两种方案：
方案一：加入能抑制该生物生长的某种化学物质，使其覆盖面积y与经过的月数的关系变为；
方案二：在4月底集中打捞一次，使其覆盖面积减少到4平方米，生物增长速度不变.
问如何评价这两种方案，并说明理由.0
2
3
4
4
25
62.5
156.25