2023年1月广东省普通高中学业水平合格性考试仿真模拟（四）数学试题（解析版）

这是一份2023年1月广东省普通高中学业水平合格性考试仿真模拟（四）数学试题（解析版），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用交集的定义可求.
【详解】由题设有，
故选：B .
2．关于函数描述正确的是（ ）
A．最小正周期是B．最大值是
C．一条对称轴是D．一个对称中心是
【答案】D
【分析】利用三角恒等变换化简得解析式，再利用正弦型函数的图像和性质得出结论.
【详解】解：由题意得：
选项A：函数的最小正周期为，故A错误；
选项B：由于，函数的最大值为，故B错误；
选项C：函数的对称轴满足，，当时，，故C错误；
选项D：令，代入函数的，故为函数的一个对称中心，故D正确；
故选：D
3．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，现有如下说法：①至少有一个黑球与都是黑球是互斥而不对立的事件；②至少有一个黑球与至少有一个红球不是互斥事件；③恰好有一个黑球与恰好有两个黑球是互斥而不对立的事件；④至少有一个黑球与都是红球是对立事件.在上述说法中，正确的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】利用互斥事件和对立事件的定义逐个判断即可
【详解】①“至少有一个 黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是互斥事件，故错误.
②“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一个红球或两个红球”，可以同时发生，故正确.
③“恰好有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红球，不是对立事件，故正确.
④“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有一个发生，是对立事件，故正确.上述说法中，正确的个数为3.
故选：C
【点睛】此题考查互斥事件和对立事件的判断，属于基础题
4．若函数f（x）=x2 +2x+m，x∈R的最小值为0，则实数m的值是（ ）
A．9B．5C．3D．1
【答案】D
【分析】将原函数配方，求出最小值列方程求解即可.
【详解】f（x）=x2 +2x+m，
当时，函数f（x）的最小值为，
所以，
故选：D.
5．下列函数中与是同一个函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数相等的定义是：定义域相同且对应关系相同，逐个分析可得答案.
【详解】对于A，的定义域为，与的定义域为不同，故A不正确；
对于B，与是同一函数，故B正确；
对于C，与的对应关系不同，故C不正确；
对于D，与的定义域不同，故D不正确.
故选：B
6．2020年12月31日，国务院联防联控机制发布，国药集团中国生物的新冠病毒灭活疫苗已获药监局批准附条件上市，其保护效力达到世界卫生组织及药监局相关标准要求，现已对18至59岁的人提供.根据某地接种年龄样本的频率分布直方图（如图）估计该地接种年龄的中位数为（ ）
A．40B．39C．38D．37
【答案】C
【分析】利用中位数左右两边的小矩形的面积都等于即可求解.
【详解】年龄位于的频率为，
年龄位于的频率为，
年龄位于的频率为，
年龄位于的频率为，
因为，而
，
所以中位数位于，设中位数为，
则，
解得：，
故选：C.
7．函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（ ）
A．为奇函数B．为偶函数
C．为奇函数D．为偶函数
【答案】C
【分析】依次构造函数，结合函数的奇偶性的定义判断求解即可.
【详解】令，则,且，
既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误；
令，则,且，
是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误；
故选：C
8．若角的终边上一点的坐标为，则( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据任意角三角函数的定义即可求解.
【详解】∵角的终边上一点的坐标为，它与原点的距离，
∴，
故选：C.
9．函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】先求出抛物线的对称轴，而抛物线的开口向下，且在区间上单调递增，所以，从而可求出的取值范围
【详解】解：函数的图像的对称轴为，
因为函数在区间上单调递增，
所以，解得，
所以的取值范围为，
故选：D
10．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知得，根据复数除法运算法则，即可求解.
【详解】，
.
故选：B.
11．已知幂函数的图象过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先用待定系数法求出幂函数解析式，然后直接求出即可.
【详解】解：设幂函数，代入点，
得，解得，
所以，
则，
故选：D．
【点睛】本题考查利用待定系数法求幂函数解析式，是基础题．
12．函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由分母中根式内部的代数式大于0，0指数幂的底数不为0联立不等式组求解．
【详解】由，解得且．
函数的定义域为．
故选：C．
13．某中学共有学生2500人，其中男生1500人，为了解该校学生参加体育锻炼的时间，采用分层抽样的方法从该校全体学生中抽取一个容量为50的样本，则样本中女生的人数为（ ）
A．10B．15C．20D．30
【答案】C
【分析】先求得中学中的女生人数，然后根据样本容量，按照比例求解.
【详解】因为共有学生2500人，其中男生1500人，
所以女生有1000人，
所以样本中女生的人数为人
故选：C
【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，属于基础题.
14．下列各角中与终边相同的角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据终边相同的角的概念可得出合适的选项.
【详解】，，，，
因此，只有A选项中的角与终边相同.
故选：A.
15．已知向量，，若与垂直，则的值为
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据向量坐标运算求得；根据可得，从而构造方程求得结果.
【详解】由题意得：
，解得：
本题正确选项：
【点睛】本题考查向量垂直关系的坐标表示，关键是明确向量垂直等价于两向量数量积等于零，利用坐标运算求得结果.
二、填空题
16．若，则的最小值是___________.
【答案】
【分析】由，结合基本不等式即可.
【详解】因为，所以，
所以，
当且仅当即时，取等号成立.
故的最小值为，
故答案为：
17．若f（x），则f（1）+f（8）＝_____.
【答案】5
【分析】将和分别代入分段函数的解析式即可求解.
【详解】 f（x），
f（1）+f（8）＝
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了求分段函数的函数值，属于基础题.
18．一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表：
则样本数据落在[10，40)上的频率为________.
【答案】0.52
【分析】根据图表，样本数据落在[10，40)上的频数为13＋24＋15＝52，根据频率公式即可得解.
【详解】样本数据落在[10，40)上的频数为13＋24＋15＝52.
则样本数据落在[10，40)上的频率为＝0.52.
故答案为：0.52
19．已知向量，若，则__________．
【答案】
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】因为，所以由可得，
，解得．
故答案为：．
【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设，
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
三、解答题
20．某公司为奖励员工实施了两种奖励方案，方案一：每卖出一件产品奖励4.5元；方案二：卖出30件以内（含30件）的部分每卖出一件产品奖励4元，超出30件的部分每卖出一件产品奖励7元．
（1）记利用方案二员工甲获得的日奖励为Y（单位：元），日卖出产品数为．求日奖励Y关于日卖出产品数n的函数解析式；
（2）员工甲在前10天内卖出的产品数依次为22，23，23，23，25，25，25，29，32，32，若将频率视为概率，如果仅从日平均奖励的角度考虑，请利用所学的统计学知识为员工甲选择奖励方案，并说明理由．
【答案】（1）；（2）选择方案一，理由见解析.
【分析】（1）由题意可得分和两种情况求解函数解析式；
（2）先求出员工甲日平均卖出的产品件数，然后分别求两种奖励方案中的奖励大小，再比较可得答案
【详解】（1）当时，．
当时，．
综上可知：
（2）根据数据，可估算员工甲日平均卖出的产品件数为．
员工甲根据方案一的日平均奖励为（元），
员工甲根据方案二的日平均奖励为，
因为，所以建议员工甲选择方案一．
21．在△中，，．
（1）若点M是线段BC的中点，，求边的值；
（2）若，求△的面积．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设，则，在△中由余弦定理求即知，进而求；
（2）由正弦定理得，由三角形的边角关系知，进而求，再由及三角形面积公式求面积即可.
【详解】（1）设，则，
∴在△中，，
∴，整理得，解得（舍去），
∴，即△为等边三角形，则.
（2）由正弦定理知：，由已知得，
∵，即，
∴，而，
∴.
22．如图，某几何体的下部分是长､宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：
（1）该几何体的体积；
（2）该几何体的表面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）按照公式求出长方体和四棱锥的体积，求和即可；（2）先找到四棱锥侧面的高，然后可求出四棱锥的侧面积，继而求长方体的表面积，求和即可.
【详解】连接，交于点，取的中点，连接，，
（1）
∴
（2）∵，
∴
【点睛】易错点睛：求棱锥的表面积时要注意高为面的高，而不是棱锥的高.
组别
[0，10)
[10，20)
[20，30)
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70]
频数
12
13
24
15
16
13
7