2022年1月广东省普通高中学业水平合格性考试数学试题 （解析版）

这是一份2022年1月广东省普通高中学业水平合格性考试数学试题 （解析版），共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据并集的知识求得正确答案.
【详解】依题意.
故选：C
2．等比数列中,,,则公比
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】将与用首项和公比表示出来，解方程组即可.
【详解】因为，且，故：
，且，解得：
，即，
故选：B.
【点睛】本题考查求解等比数列的基本量，属基础题.
3．已知点，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用向量的坐标运算即可.
【详解】,
故选:D.
4．已知直线经过点，斜率为，则直线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用点斜式可得出所求直线的方程.
【详解】由题意可知，所求直线的方程为，即.
故选：A.
5．不等式的解集是（ ）
A．B．或
C．D．或
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式的解法求得正确答案.
【详解】依题意，
解得或，
所以不等式的解集是或
故选：D
6．下列函数中，在区间上是减函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的单调性求得正确答案.
【详解】、、在上递增，ABC选项错误，
在上递减，符合题意，D选项正确.
故选：D
7．某小组六名学生上周的体育运动时间为、、、、、，则该小组体育运动时间的平均数和方差是（ ）
A．、B．、C．、D．、
【答案】B
【分析】利用平均数和方差公式计算可得结果.
【详解】由题意可知，该小组体育运动时间的平均数为，
方差为.
故选：B.
8．若某圆的标准方程为，则此圆的圆心和半径长分别为（ ）．
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】C
【分析】根据圆的标准方程可得选项.
【详解】解：因为圆的标准方程为：，圆心为，半径长为，
又因为某圆的标准方程为，所以、、，
故选：C．
9．已知是第一象限角，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用同角三角函数的平方关系可求得的值.
【详解】因为是第一象限角，则.
故选：B.
10．已知，，，则、、的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.
【详解】因为，，，
因此，.
故选：A.
11．已知，，，则的最小值是（ ）
A．9B．18C．D．27
【答案】B
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】因为，，由基本不等式得，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值是18，
故选:B.
12．为了得到函数y=cs(x+)的图象，只需把余弦曲线y=csx的所有的点
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【答案】A
【详解】把余弦曲线上的所有的点向左平移个单位长度，可得函数的图象，
故选：A.
13．某校高一学生550人，高二学生500人，高三学生450人，现有分层抽样，在高三抽取了18人，则高二应抽取的人数为（ ）
A．24B．22C．20D．18
【答案】C
【分析】根据分层抽样的知识求得正确答案.
【详解】设高二应抽取的人数为人，则，解得人.
故选：C
14．已知直线与平面，则下列结论成立的是（ ）
A．若直线垂直于平面内的一条直线，则
B．若直线垂直于平面内的两条直线，则
C．若直线平行于平面内的一条直线，则
D．若直线与平面没有公共点，则
【答案】D
【分析】利用空间线面位置关系逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，若直线垂直于平面内的一条直线，则或与相交（不一定垂直）或，A错；
对于B选项，若直线垂直于平面内的两条直线，则与的位置关系不确定，B错；
对于C选项，若直线平行于平面内的一条直线，则或，C错；
对于D选项，若直线与平面没有公共点，则，D对.
故选：D.
15．古代《九章算术》记载：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何”其意思为：“今有人分钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前人所得之和与后人所得之和相等，问各得多少钱”.由此可知第一人分得的钱数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设第分到钱，由题意可得出关于、的方程组，解出的值即可.
【详解】设第分到钱，设数列的公差为，
由题意可得，所以，，解得.
故选：A.
二、填空题
16．设向量，，若，则________．
【答案】1
【分析】根据向量垂直列方程，化简求得的值.
【详解】由于，
所以.
故答案为：
17．从甲、乙、丙名同学中选出名同学参加活动，则甲、乙两人中恰有一人被选中的概率为________．
【答案】
【分析】列举出所有的基本事件，并确定所求事件包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】从甲、乙、丙名同学中选出名同学参加活动，则所有的基本事件有：甲乙、甲丙、乙丙，共种情况，
其中“甲、乙两人中恰有一人被选中”所包含的基本事件为：甲丙、乙丙，共种情况，
故所求事件的概率为.
故答案为：.
18．函数是上的偶函数，当时，，则________．
【答案】9
【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案.
【详解】是偶函数，所以.
故答案为：
19．裴波那契数列的前7项是1，1，2，3，5，8，13，则该数列的第8项为________．
【答案】21
【分析】观察裴波那契数列的前面的项,总结出规律,求得正确答案.
【详解】观察裴波那契数列的前7项可以发现：
前两项都是，从第三项起，每一项都是前两项的和，
故第项为.
故答案为：
三、解答题
20．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民用水实行“阶梯水价”，计算方法如下表：
(1)甲用户某月的用水量为，求甲用户该月需要缴纳的水费；
(2)乙用户某月缴纳的水费为54元，求乙用户该月的用水量．
【答案】(1)30元
(2).
【分析】(1)直接根据图表数据求解;(2)建立分段函数模型可求解.
【详解】(1)甲用户该月需要缴纳的水费：元.
(2)设用水量为，需要缴纳的水费为，
由题可知，
整理得，
当时，，
当时，，
当时，，
所以令，
解得，因此乙用户该月的用水量为.
21．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，
(1)求b
(2)求的值
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦定理求得.
（2）利用正弦定理求得.
【详解】(1)由余弦定理，
所以.
(2)由正弦定理.
22．如图，PA是圆柱的母线，AB是底面圆的直径，C是底面圆周上异于A．B的一点，且．
(1)求证：平面PAC
(2)若M是PC的中点，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过证明来证得平面.
（2）先求得三棱锥的高，进而求得三棱锥的体积.
【详解】(1)∵PA为圆柱母线，
∴平面ACB，
∵平面，
∴，
∵AB为底面圆直径，∴，
∵平面APC，平面APC，，
∴平面PAC.
(2)∵平面APC，平面平面APC，
∴平面ACM，BC为三棱锥的高，，
∵，M为PC中点，
∴，，，
∴.
每户每月用水量
水价
不超过的部分
3元
超过的部分但不超过的部分
6元
超过的部分
9元