2023-2024学年福建省福州市仓山区八年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省福州市仓山区八年级（上）期中数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列图形中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列长度的三条线段首尾相连能组成三角形的是（ ）
A．4，6，9B．2，3，6C．5，4，9D．2，4，7
3．经文化和旅游部数据中心测算，2023年中秋节、国庆节假期8天，国内旅游出游人数826000000人次（ ）
A．82.6×107B．8.26×108C．0.826×109D．8.26×109
4．已知一个多边形的内角和为720°，则这个多边形为（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
5．在下列各式中，计算结果为x6的是（ ）
A．x2+x4B．x8﹣x2C．x2•x4D．（x2）4
6．在平面直角坐标系xOy中，点P（2，1）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（2，﹣1）B．（ 2，1 ）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1 ）
7．如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝70°，则∠DAE的度数为（ ）
A．75°B．80°C．85°D．90°
8．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在AD上，且AE＝2DE，则△EFC的面积是（ ）
A．2B．3C．4D．5
9．已知（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣6，若a，b都是整数（ ）
A．1B．﹣1C．﹣5D．﹣7
10．在平面直角坐标系xOy中，A（0，4），动点B在x轴上，连接AB，连接OC，则线段OC长度最小为（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.
11．在等腰△ABC中，周长为14，底边长为6 ．
12．如图，DE∥BC，DF∥AC，则∠DEC的度数为 ．
13．如图，在△ABC中，∠A＝60°，E在AC上，D在BC的延长线上，则∠CED的度数为 ．
14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AD是△ABC的角平分线，若AD＝6 ．
15．已知3m＝a，3n＝b．m，n为正整数，则33m+2n＝ （用含a，b的式子表示）．
16．如图，在△ABC中，∠A＝60°，CE是△ABC的角平分线，BD与CE交于点F ．（写出所有正确结论的序号）
①∠BFC＝120°；
②BE+CD＞BC；
③若D是AC的中点，则△ABC是等边三角形；
④S△BEF：S△BFC＝AE：AC．
三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．计算：x3•x4•x﹣（x2）4+（2x4）2．
18．解不等式组：．
19．已知如图，AC交BD于点O，AB＝DC
20．某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张30元．如果45名学生购票恰好用去1230元，甲
21．如图，在△ABC中，DE是线段AB的垂直平分线
22．求证：两个全等三角形对应边上的中线相等．
23．如图，△ABC是等边三角形，D是△ABC内一点
（1）求作点D关于直线BC的对称点E；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下连接AE，BE，延长BE至F，使得EF＝EC
24．如图，A（4，4），AB⊥y轴于点B，点C在线段OB上运动（点C不与O，B重合），且CD＝AC．
（1）如图1，当点C的坐标为（0，3）时，
①求点D的坐标；
②设CD与x轴交于点M，求△OMC的面积；
（2）如图2，C是OB的中点，过点B作BF⊥AC于点E，求证：∠AFB＝∠OFC．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，将BC绕点B逆时针旋转β至BD，点C的对应点为点D，CD，其中2α+β＝180°．
（1）求证：∠ABD＝∠ACD；
（2）如备用图，延长CD至点M，使得CM＝BC．求证：
①AD平分∠BDM；
②A，M，B三点共线．
参考答案
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列图形中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A、B、C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；
D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下列长度的三条线段首尾相连能组成三角形的是（ ）
A．4，6，9B．2，3，6C．5，4，9D．2，4，7
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
解：A、4+6＞8，符合题意；
B、2+3＜7，不符合题意；
C、5+4＝5，不符合题意；
D、2+4＜6，不符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．
3．经文化和旅游部数据中心测算，2023年中秋节、国庆节假期8天，国内旅游出游人数826000000人次（ ）
A．82.6×107B．8.26×108C．0.826×109D．8.26×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
解：数字826000000科学记数法可表示为8.26×108．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．已知一个多边形的内角和为720°，则这个多边形为（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【分析】利用n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，结合方程即可求出答案．
解：设这个多边形的边数为n，由题意，得
（n﹣2）180°＝720°，
解得：n＝6，
则这个多边形是六边形．
故选：D．
【点评】本题主要考查多边形的内角和公式，比较容易，熟记n边形的内角和为（n﹣2）•180°是解题的关键．
5．在下列各式中，计算结果为x6的是（ ）
A．x2+x4B．x8﹣x2C．x2•x4D．（x2）4
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方解决此题．
解：A．根据合并同类项法则，x2+x4无法进行合并，那么A不符合题意．
B．根据合并同类项法则，x2﹣x2无法进行合并，那么B不符合题意．
C．根据同底数幂的乘法，x2•x7＝x6，那么C符合题意．
D．根据幂的乘方2）4＝x8，那么D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方是解决本题的关键．
6．在平面直角坐标系xOy中，点P（2，1）关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．（2，﹣1）B．（ 2，1 ）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1 ）
【分析】根据平面直角坐标系中对称点的规律解答．
解：根据平面直角坐标系中对称点的规律可知，点P（21（5，﹣1）．
故选：A．
【点评】此题主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
7．如图，△ABC≌△ADE，若∠B＝70°，则∠DAE的度数为（ ）
A．75°B．80°C．85°D．90°
【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．
解：∵△ABC≌△ADE，∠B＝70°，
∴∠ADE＝∠B＝80°，
∴∠DAE＝180°﹣70°﹣25°＝85°，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，熟练掌握全等三角形的性质定理是解题的关键．
8．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在AD上，且AE＝2DE，则△EFC的面积是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据三角形面积公式，利用D是BC的中点得到S△ACD＝S△ABC＝9，再利用AE＝2DE得到S△ACE＝S△ACD＝6，然后利用F是AC的中点得到S△EFC＝S△ACE．
解：∵D是BC的中点，
∴S△ACD＝S△ABC＝×18＝9，
∵AE＝3DE，
∴AE＝AD，
∴S△ACE＝S△ACD＝×9＝6，
∵F是AC的中点，
∴S△EFC＝S△ACE＝×6＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点，三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了三角形的面积公式．
9．已知（x+a）（x+b）＝x2+mx﹣6，若a，b都是整数（ ）
A．1B．﹣1C．﹣5D．﹣7
【分析】直接利用多项式乘以多项式分析得出答案．
解：∵（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+mx﹣7，
∴当a＝1，b＝﹣6时；
当a＝﹣5，b＝6时；
当a＝2，b＝﹣5时；
当a＝﹣2，b＝3时；
当a＝6，b＝﹣2时；
当a＝﹣3，b＝2时；
故m的值不可能是﹣7；
故选：D．
【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式，正确分类讨论是解题关键．
10．在平面直角坐标系xOy中，A（0，4），动点B在x轴上，连接AB，连接OC，则线段OC长度最小为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】在x轴上取点E、点F，使∠OAE＝∠OAF＝30°，则∠EOF＝∠AEO＝∠AFO＝60°，所以AE＝AF，由旋转得AC＝AB，∠BAC＝60°，则∠EAC＝∠FAB＝60°﹣∠BAE，作直线CE交y轴于点D，作OH⊥DE于点H，可证明△EAC≌△FAB，则∠AEC＝∠AFB＝60°，所以∠DEO＝∠AEO＝60°，可知点C在经过点E且与x轴所夹的锐角为60°的直线上运动，可证明OD＝OA＝4，则OH＝OD＝2，则线段OC长度最小为2，于是得到问题的答案．
解：在x轴上取点E、点F，则∠EOF＝60°，
∵∠AOE＝∠AOF＝90°，
∴∠AEO＝∠AFO＝60°，
∴AE＝AF，
由旋转得AC＝AB，∠BAC＝60°，
∴∠EAC＝∠FAB＝60°﹣∠BAE，
作直线CE交y轴于点D，作OH⊥DE于点H，
在△EAC和△FAB中，
，
∴△EAC≌△FAB（SAS），
∴∠AEC＝∠AFB＝60°，
∴∠DEO＝∠AEO＝60°，
∴点C在经过点E且与x轴所夹的锐角为60°的直线上运动，
∵∠DOE＝90°，∠DEO＝60°，
∴∠ODE＝30°＝∠OAE，
∴DE＝AE，
∵EO⊥AD，A（0，
∴OD＝OA＝4，
∴OH＝OD＝2，
∵OC≥OH，
∴OC≥2，
∴线段OC长度最小为2，
故选：C．
【点评】此题重点考查图形与坐标、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分.
11．在等腰△ABC中，周长为14，底边长为6 4 ．
【分析】根据等腰三角形的周长公式解答即可．
解：∵等腰△ABC中，周长为14，，
∴腰长＝×（14﹣5）＝4，
故答案为：4．
【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的周长公式解答．
12．如图，DE∥BC，DF∥AC，则∠DEC的度数为 60° ．
【分析】由平行线的性质得到∠C＝∠DFB＝120°，∠DEC+∠C＝180°，即可求出∠DEC＝60°．
解：∵DF∥AC，
∴∠C＝∠DFB＝120°，
∵DE∥BC，
∴∠DEC+∠C＝180°，
∴∠DEC＝60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是掌握平行线的性质．
13．如图，在△ABC中，∠A＝60°，E在AC上，D在BC的延长线上，则∠CED的度数为 50° ．
【分析】利用三角形的外角性质，可求出∠ACD（即∠ECD）的度数，再在△CDE中，利用三角形内角和定理，即可求出∠CED的度数．
解：∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠A+∠B＝60°+50°＝110°．
在△CDE中，∠ECD＝110°，
∴∠CED＝180°﹣∠ECD﹣∠D＝180°﹣110°﹣20°＝50°．
故答案为：50°．
【点评】本题考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理，牢记“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”及“三角形内角和是180°”是解题的关键．
14．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AD是△ABC的角平分线，若AD＝6 3 ．
【分析】过点D作DE⊥AC于点E，根据含30°角的直角三角形的性质即可求解．
解：如图，过点D作DE⊥AC于点E，
在△ABC中，∠B＝90°，
∴∠BAC＝60°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠DAE＝＝30°，
∴DE＝，
∴点D到AC的距离为3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，角平分线的定义，数据含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
15．已知3m＝a，3n＝b．m，n为正整数，则33m+2n＝ a3b2 （用含a，b的式子表示）．
【分析】逆向运用同底数幂的乘法法则以及幂的乘方运算法则解答即可．
解：∵3m＝a，3n＝b，m，n为正整数，
∴83m+2n＝83m•38n＝（3m）3•（2n）2＝a3b3．
故答案为：a3b2．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．
16．如图，在△ABC中，∠A＝60°，CE是△ABC的角平分线，BD与CE交于点F ①③④ ．（写出所有正确结论的序号）
①∠BFC＝120°；
②BE+CD＞BC；
③若D是AC的中点，则△ABC是等边三角形；
④S△BEF：S△BFC＝AE：AC．
【分析】由∠A＝60°，得∠ABC+∠ACB＝120°，而∠DBC＝∠ABC，∠ECB＝∠ACB，所以∠DBC+∠ECB＝（∠ABC+∠ACB）＝60°，则∠BFC＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）＝120°，可判断①正确；在BC上截取BG＝BE，连接GF，可证明△BEF≌△BGF，则∠BFE＝∠CFD＝60°，可推导出∠CFD＝∠CFG，再证明△CFD≌△CFG，得CD＝CG，所以BE+CE＝BG+CG＝BC，可判断②错误；延长BD到点R，使RD＝BD，连接AR，可证明△ADR≌△CDB，则AR＝CB，∠R＝∠CBD＝∠ABD，所以AB＝AR＝CB，则△ABC是等边三角形，可判断③正确；作EM⊥BC于点M，EN⊥AC于点N，CL⊥AB于点L，则EM＝EN，所以＝，由S△BCE＝BE•CL＝BC•EM，S△ACE＝AE•CL＝AC•EN，得＝，＝，则＝，作FI⊥AB于点I，FH⊥BC于点H，则FI＝FH，所以＝＝＝，可判断④正确，于是得到问题的答案．
解：∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，
∵BD，CE是△ABC的角平分线，
∴∠DBC＝∠ABC∠ACB，
∴∠DBC+∠ECB＝（∠ABC+∠ACB）＝，
∴∠BFC＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）＝180°﹣60°＝120°，
故①正确；
如图6，在BC上截取BG＝BE，
在△BEF和△BGF中，
，
∴△BEF≌△BGF（SAS），
∵∠BFE＝∠CFD＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BFE＝∠BFG＝60°，
∴∠CFG＝180°﹣∠BFE﹣∠BFG＝60°，
∴∠CFD＝∠CFG，
在△CFD和△CFG中，
，
∴△CFD≌△CFG（ASA），
∴CD＝CG，
∴BE+CE＝BG+CG＝BC，
故②错误；
如图1，延长BD到点R，连接AR，
∵D是AC的中点，
∴AD＝CD，
在△ADR和△CDB中，
，
∴△ADR≌△CDB（SAS），
∴AR＝CB，∠R＝∠CBD＝∠ABD，
∴AB＝AR，
∴AB＝CB，
∵∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
故③正确；
如图2，作EM⊥BC于点M，CL⊥AB于点L，
∴＝，
∵S△BCE＝BE•CL＝，S△ACE＝AE•CL＝，
∴＝，＝，
∴＝，
如图3，作FI⊥AB于点I，则FI＝FH，
∴＝＝＝，
∴S△BEF：S△BFC＝AE：AC，
故④正确，
故答案为：①③④．
【点评】此题重点考查三角形内角和定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．计算：x3•x4•x﹣（x2）4+（2x4）2．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则、同底数幂的乘法法则进行解题即可．
解：原式＝x8﹣x8+7x8＝4x6．
【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
18．解不等式组：．
【分析】先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．
解：，
解不等式①得x≤﹣1，
解不等式②得x＞﹣2，
故不等式组的解集为﹣6＜x≤﹣1．
【点评】本题主要考查一元二次方程的解法及解一元一次不等式组，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
19．已知如图，AC交BD于点O，AB＝DC
【分析】先根据全等三角形的判定定理“AAS”证明△AOB≌△DOC，得OA＝OD，OB＝OC，即可证明AC＝BD．
【解答】证明：在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴OA＝OD，OB＝OC，
∴OA+OC＝OD+OB，
∴AC＝BD．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、对顶角相等、线段的和差关系等知识与方法，正确的找到全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．
20．某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张30元．如果45名学生购票恰好用去1230元，甲
【分析】设甲种票买了x张，乙种票买了y张，根据45名学生购票恰好用去1230元，列出二元一次方程组，解方程组即可．
解：设甲种票买了x张，乙种票买了y张，
由题意得：，
解得：，
答：甲种票买了20张，乙种票买了25张．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
21．如图，在△ABC中，DE是线段AB的垂直平分线
【分析】由线段垂直平分线的性质推出AD＝BD，因此∠B＝∠BAD，由AD＝CD，推出∠C＝∠DAC，得到∠B+∠C＝∠BAD+∠DAC，由三角形内角和定理推出∠BAD+∠DAC＝×180°＝90°，即可证明AC⊥AB．
【解答】证明：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠BAD，
∵AD＝CD，
∴∠C＝∠DAC，
∴∠B+∠C＝∠BAD+∠DAC，
∵∠B+∠C+∠BAD+∠DAC＝180°，
∴∠BAD+∠DAC＝×180°＝90°，
∴AC⊥AB．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是由线段垂直平分线的性质得到AD＝BD，由等腰三角形的性质，三角形内角和定理推出∠BAD+∠DAC＝×180°＝90°．
22．求证：两个全等三角形对应边上的中线相等．
【分析】设△ABC≌△DEF，AP、DQ分别是对应边BC、EF上的中线，则AB＝DE，∠B＝∠E，再推导出BP＝EQ，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABP≌△DEQ，得AP＝DQ，所以全等三角形对应边上的中线相等．
【解答】已知：△ABC≌△DEF，AP、EF上的中线．
求证：AP＝DQ．
证明：∵△ABC≌△DEF，
∴AB＝DE，BC＝EF，
∴AP、DQ分别是对应边BC，
∴BP＝CP＝BCEF，
∴BP＝EQ，
在△ABP和△DEQ中，
，
∴△ABP≌△DEQ（SAS），
∴AP＝DQ，
∴全等三角形对应边上的中线相等．
【点评】此题重点考查三角形中线的定义、全等三角形的判定与性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明有关的三角形全等是解题的关键．
23．如图，△ABC是等边三角形，D是△ABC内一点
（1）求作点D关于直线BC的对称点E；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下连接AE，BE，延长BE至F，使得EF＝EC
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到CD＝CE，BD＝BE，根据全等三角形的性质得到∠BCE＝∠BCD，∠BEC＝∠BDC＝120°，根据等边三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】（1）解：如图所示；
（2）证明：由作图知，BC垂直平分DE，
∴CD＝CE，BD＝BE，
∵BC＝BC，
∴△BDC≌△BEC（SSS），
∴∠BCE＝∠BCD，∠BEC＝∠BDC＝120°，
∴∠CEF＝60°，
∵CE＝EF，
∴△CEF是等边三角形，
∴∠F＝∠ECF＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝60°，
∴∠ACE＝∠BCF，
∴△ACE≌△BCF（SAS），
∴AE＝BF．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，等边三角形 的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
24．如图，A（4，4），AB⊥y轴于点B，点C在线段OB上运动（点C不与O，B重合），且CD＝AC．
（1）如图1，当点C的坐标为（0，3）时，
①求点D的坐标；
②设CD与x轴交于点M，求△OMC的面积；
（2）如图2，C是OB的中点，过点B作BF⊥AC于点E，求证：∠AFB＝∠OFC．
【分析】（1）①由“AAS”可证△ACB≌△CDH，可得BC＝HD＝1，AB＝CH＝4，可求OH＝1，即可求解；
②由面积关系可求解；
（2）由“ASA”可证△ABC≌△BON，可得BC＝ON，由“SAS”可证△OFN≌△OFC，可得∠CFO＝∠OFN，可求解．
【解答】（1）解：①如图1，过点D作DH⊥y轴于H，MH，
∵点A（4，6），
∴AB＝BO＝4，
∴∠AOB＝45°，
∵点C的坐标为（0，5），
∴OC＝3，
∴BC＝1，
∵CD⊥AC，
∴∠ACD＝∠ABC＝∠CHD＝90°，
∴∠ACB+∠BAC＝90°＝∠ACB+∠DCH，
∴∠BAC＝∠DCH，
又∵AC＝CD，
∴△ACB≌△CDH（AAS），
∴BC＝HD＝5，AB＝CH＝4，
∴OH＝1，
∴点D（5，﹣1）；
②∵OH＝1，HD＝8，
∴S△OHD＝×7×1＝，
∵OM∥HD，
∴S△OHM＝，
∵OC＝6OH，
∴S△OCM＝；
（2）证明：如图7，延长BF交x轴于点N，
∵BF⊥AC，
∴∠ABE+∠BAE＝90°＝∠ABE+∠OBN，
∴∠OBN＝∠BAE，
又∵AB＝BO，∠ABC＝∠BON＝90°，
∴△ABC≌△BON（ASA），
∴BC＝ON，
∵点C是BO的中点，
∴CO＝BC，
∴CO＝ON，
又∵∠COF＝∠NOF＝45°，
∴△OFN≌△OFC（SAS），
∴∠CFO＝∠OFN，
∴∠CFO＝∠OFN＝∠AFB．
【点评】本题是三角形综合题，考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，添加恰当辅助线构造全等是解题的关键．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC，将BC绕点B逆时针旋转β至BD，点C的对应点为点D，CD，其中2α+β＝180°．
（1）求证：∠ABD＝∠ACD；
（2）如备用图，延长CD至点M，使得CM＝BC．求证：
①AD平分∠BDM；
②A，M，B三点共线．
【分析】（1）根据题意可得BC＝BD，∠CBD＝β，所以∠BDC＝∠BCD；在△BCD中，∠BDC+∠BCD+∠CBD＝180°，所以2∠BDC+β＝180°，由2α+β＝180°，可得∠BDC＝α；在△ABC和△BCD中，利用三角形内角和可知，∠ABC+∠ACB＝∠DBC+∠DCB，所以∠ABD+∠DBC+∠ACB＝∠DBC+∠ACB+∠ACD，则∠ABD＝∠ACD；
（2）①如图1，过点A作AH⊥CM，AK⊥BD，垂足分别为H，K，所以∠AKB＝∠AHC＝90°，可证△ABK≌△ACH（AAS），所以AK＝AH，由角平分线的判定可知，AD平分∠BDM；
②如图2，连接AM，设AC与BD交于点G，可证△ABD≌△ACM（SAS），所以∠BAD＝∠CAM，所以∠BAC＝∠DAM＝α，由等腰三角形的性质可知，∠BCG＝90﹣α；由（1）知∠BDC＝α，且AD平分∠BDM，所以∠ADG＝90°﹣α，因为∠AGB＝∠CAD+∠ADG，∠AGB＝∠CBD+∠BCG，所以∠CAD＝∠CBD＝β，所以∠BAC+∠DAM+∠CAD＝2α+β＝180°，则A，M，B三点共线．
【解答】证明：（1）根据题意可得BC＝BD，∠CBD＝β，
∴∠BDC＝∠BCD，
在△BCD中，∠BDC+∠BCD+∠CBD＝180°，
∴2∠BDC+β＝180°，
∵2α+β＝180°，
∴∠BDC＝α，
在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180﹣α，
在△BCD中，∠DBC+∠DCB＝180﹣α，
∴∠ABC+∠ACB＝∠DBC+∠DCB，
∴∠ABD+∠DBC+∠ACB＝∠DBC+∠ACB+∠ACD，
∴∠ABD＝∠ACD；
（2）①如图7，过点A作AH⊥CM，垂足分别为H，K，
∴∠AKB＝∠AHC＝90°，
在△ABK和△ACH中，
，
∴△ABK≌△ACH（AAS），
∴AK＝AH，
∵AH⊥CM，AK⊥BD，
∴AD平分∠BDM；
②如图2，连接AM，
在△ABD和△ACM中，
，
∴△ABD≌△ACM（SAS），
∴∠BAD＝∠CAM，
∴∠BAC＝∠DAM＝α，
∵AB＝AC，
∴∠BCG＝90﹣α，
由（1）知∠BDC＝α，且AD平分∠BDM，
∴∠ADG＝90°﹣α，
∵∠AGB＝∠CAD+∠ADG，∠AGB＝∠CBD+∠BCG，
∴∠CAD＝∠CBD＝β，
∴∠BAC+∠DAM+∠CAD＝7α+β＝180°，
∴A，M，B三点共线．
【点评】本题侧重考查旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键．