广西南宁市西乡塘区第三十一中学2023-2024学年九年级上学期数学期中试题

这是一份广西南宁市西乡塘区第三十一中学2023-2024学年九年级上学期数学期中试题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(本大题共 12题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.)
1.下列学生喜欢的手机应用软件图标中，是中心对称图形的是( )
2. 下列函数属于二次函数的是( )
A. y=3x- 1 B.y=2x²−1 C.y=x³−2x−1 D. y=4x
3. 下列图形中的角是圆周角的是( )
4. 下列说法正确的是( )
A. 优弧一定大于劣弧 B. 平分弦的直径垂直于弦
C. 直径是圆的对称轴 D. 等弧所对的圆周角相等
5. 如图, 在⊙O中, ∠ABC=60° , 则∠AOC的大小是
A. 30° B. 120° C. 135° D. 150°
6. 方程 x²−3x+1=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 只有一个实数根
7. 关于抛物线 y=x²−4x−4, 下列说法正确的是( )
A. 顶点坐标是(-2, 0) B. 对称轴是直线x=-2
C. 抛物线有最高点 D. 抛物线与 x轴有两个交点
8. 将抛物线 y=3x²向左平移2个单位，得到抛物线的解析式是( )
A. y=3 (x+2)² B.y=3x²
C.y=3x²−2 D.y=3x²+2
9. 如图, ⊙O半径OB为4, OC⊥AB于点D, ∠BAC=30°, 则OD的长是( )
A. 2 B. 2 C. 3 D. 3
10. 如图, 将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 110°后, 得到△ADE ,若点 D 在线段 BC 的延长线上,则∠B的大小是 ( )
A. 40° B. 35° C. 30° D. 45°
11、 一个小组有若干人， 新年互相发送1条祝福信息， 已知全组共发送306条信息， 则这个小组有多少人?设这个小组有x人，根据题意可列方程( )
A. x(x+1)= 306 B.12xx+1=306 C. x (x-1)= 306 D.12xx−1=306
12 在同一坐标系下、一次函数 y=ax+b与二次函数 y=ax²+bx+1的图象人数可能是( )
二、填空题(本大题共6小题，每小题 2分，共 12分. )
13. 点 P(3,4)关于原点对称的点的坐标是 ▲ .
14、抛物线 y=−x−3²+6的顶点坐标为 ▲
15 . 如图、 在⊙O中, AB=AC. 且∠A=40°, 则∠B= ▲ °.
16. 如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形, ∠A=50°, 则∠C= ▲ °.
17.如图是二次函数 y=ax²+bx+c图像的一部分, 其对称轴为x=-1, 且过点(-3, 0).下列说法: ①abc<0; ②2a+b<0; ③4a-2b+c>0;④若 −5 y1,52 y2是抛物线上两点.则 y₁>y₂；⑤b²−4ac>0 正确的序号有 ▲ 。
18.如图，将抛物线 y=12x−22+1沿y轴向上平移一段距离后，得到一条新的抛物线，其中点A(1, m), B(4, n)平移后的对应点分别为A′ , B′.若曲线段AB扫过部分(阴影部分)的面积为9，则新的抛物线对应的函数解析式为 ▲ 。
三、解答题(本大题共8题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. )
19. (本题满分 6 分) 计算: −9+−52×25−−3
20、(本题满分6分) 解一元二次方程： x²+10x+16=0
21.(本题满分 10分) 如图, 在平面直角坐标系中, A(-1,4), B(-4,0), C(-1,0)
(1)画出与△ABC 关于原点O成中心对称的△A₁B₁C₁,
(2)画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°得到的△A₂B₂C₃.
(3)直接写出线段A₁A₂的长 .
22.(本题满分 10分) 已知关于 x的一元二次方程 k−2x²+2x+1=0 有两个实数根.
(1)求 k 的取值范围;
(2)k取最大整数时求方程的根.
23.(本题满分10分)如图,已知AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,点M在⊙O上,且BC∥DM.
(1)求证: ∠M = ∠D;
(2)若BE = 3, AE = 9, 求线段CD的长;
24.(本题满分 10分)在国庆期间， 大润发商场新上市了一款童装， 进价每件60元， 现以每件 100元销售，每天可售出20件.在试销售阶段发现，若每件童装降价1元，那么每天就可多售 2件， 设每件童装单价降价了 x元.
(1)若销售单价降低5元，则该款童装每天的销售量为 件，每天利润是 元；
(2)请写出每天销售该款童装的利润y(元)与每件童装降价x(元)之间的函数关系式；
(3)当每件童装销售单价定为多少元时，商场每天可获得最大利润?最大利润是多少元?
25.(本题满分10分)【探索发现】如图①,四边形ABCD是正方形, M, N分别在边CD、BC 上, 且 ∠MAN=45°， 我们把这种模型称为“半角模型”， 在解决“半角模型”问题时， 旋转是一种常用的方法，如图①，将△ADM 绕点A 顺时针旋转90°，点D与点B 重合，得到△ABE, 连接AM、 AN、 MN.
(1) 试判断 DM、 BN, MN 之间的数量关系, 并写出证明过程.
(2) 如图②、 点M、N分别在正方形ABCD的边BC、 CD的延长线上, ∠MAN=45°，连接MN、请写出MN、DM、BN之间的数量关系，并写出证明过程.
26.(本题满分 10 分) 如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax²+bx+ca≠0 的顶点坐标为C(3,6),并与y轴交于点B(0,3), 点A 是对称轴与x轴的交点.
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 如图①所示，P 是抛物线上的一个动点，且位于第一象限，连接BP，AP， 求 △ABP的面积的最大值；
(3)如图②所示， 在对称轴AC的右侧作∠ACD=30°交抛物线于点D， 求出D点的坐标；并探究：在y轴上是否存在点Q，使 ∠CQD=60°? 若存在， 求点Q的坐标； 若不存在， 请说明理由