2024届天津市南开中学高三上学期第一次月考数学试题含答案

这是一份2024届天津市南开中学高三上学期第一次月考数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据补集、交集的定义计算可得.
【详解】由，即，解得或，
所以或，
所以，
又，所以.
故选：B
2．“”是“”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分性和必要性的定义结合同角三角函数的关系即可得出结论.
【详解】解：因为，根据三角函数的基本关系式，可得，
反之：若，根据三角函数的基本关系式，可得，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：C.
3．函数的部分图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据是奇函数，排除B，再取特殊值验证.
【详解】因为
所以是奇函数，排除B，由，排除A，由，排除D．
故选：C．
【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.
4．下列函数中，是奇函数且在上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据奇偶性定义、对数函数、指数函数单调性，结合复合函数的单调性依次判断各个选项即可.
【详解】A选项：，不是奇函数，故A选项错误；
B选项：，不是奇函数，故B选项错误；
C选项：因为的定义域为，
且，∴是奇函数．设，
因为在上单调递减，在上单调递增，
由复合函数单调性知，在上单调递减，故C选项正确；
D选项：，因为在上都单调递增，所以在上单调递增，故D选项错误，
故选：C．
5．计算：的值（ ）
A．0B．C．2D．3
【答案】B
【分析】根据指数及对数的运算法则计算可得；
【详解】.
故选：B
6．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】化简得，构造函数，通过导数可证得，可得，而，从而可得答案．
【详解】.
设，则有，单调递减，
从而，所以，故，即，
而，故有．
故选：A．
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换化简已知条件，结合诱导公式、二倍角公式求得正确答案.
【详解】，
，
.
.
故选：A
8．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为，有下列命题：
①函数的图象关于直线对称
②函数的图象关于点对称
③函数在上单调递增
④函数在上恰有5个极值点
其中正确的命题个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据函数图象平移变换的特点，利用正弦弦函数的对称性、单调性、最值，结合函数的极值点定义逐项判断即可求解.
【详解】函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为，
对于①，当时，，不是函数的最值，故①错误；
对于②，当时，，故②正确；
对于③，当时，，故函数在该区间上单调递增，故③正确；
对于④，令，解得，当时，，在上有4个极值点，故④错误．
故选：B.
9．设函数有7个不同的零点，则正实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分段函数分段处理，在，各有1个零点，所以有5个零点，利用三角函数求出所有的零点，保证之间有5个零点即可.
【详解】由题，当时，，显然在上单调递增，且，，此时在在有一个零点；
当时，，，所以在上单调递减，
，此时在上只有一个零点；
所有当时，有5个零点，令，则，即，或，Z，
解得，或，Z，
当时，；当时，；
当时，；
由题可得区间内的5个零点，即，
解得，即.
故选：C.
【点睛】分段函数的零点问题点睛：根据函数的特点分别考虑函数在每段区间上的单调性，结合零点存在性定理，得到每一段区间上的零点的个数，从而得出函数在定义域内的零点个数.
二、填空题
10．已知是虚数单位，化简的结果为 ．
【答案】
【分析】运用复数运算法则计算即可.
【详解】.
故答案为：.
11．在代数式的展开式中，常数项为 ．
【答案】-5
【分析】写出二项式定理的通项，化简后，使得的指数幂为0，即可求得的值.
【详解】的展开式的通项为：
令，解得，所以，的展开式中的常数项为.
故答案为：-5
12．函数的部分图象如图所示，则 ．
【答案】
【分析】根据函数的图像结合正弦函数的图像及性质，求得函数的解析式，再代入求值即可.
【详解】由函数的图像可知，，则，.
把代入，则，，
所以，
所以.
故答案为：.
13．在亚运会女子十米跳台决赛颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排点和最后一排点的距离为米（如图所示），则旗杆的高度为 米．
【答案】27
【分析】根据已知可得，在中由正弦定理可得，再利用中计算可得答案.
【详解】由图可得，
在中，由正弦定理可得，
即，
在中，，可得米.
故答案为：.
14．已知定义在上的函数，当时，，且对任意的实数（），都有，若函数有且仅有五个零点，则的取值范围 .
【答案】
【分析】写出的解析式并画出的图象，结合已知条件将问题转化为图象与图象在上有且仅有5个交点，结合图象分析即可求得结果.
【详解】当，，
当时，，此时，则，
当时，，此时，则，
当时，，此时，则，
……
因为有且仅有5个零点，
所以图象与图象在上有且仅有5个交点，
如图所示，
由图可知，当经过点时，两函数图象有4个交点，经过点时，两函数图象有6个交点，
所以当图象与图象在上有且仅有5个交点时，则
，解得.
故答案为：.
15．记（）在区间（为正数）上的最大值为，若，则实数的最大值为 .
【答案】/
【分析】由函数单调性性质及图象变换可画出的图象，进而可得，结合已知条件可知只需，即，由可得，联立两者进而可求得结果.
【详解】设，（），定义域为，
由单调性性质可知，在上单调递增，
当趋近于时，趋近于；当趋近于时，趋近于，
设，则的图象如图所示，

所以的图象如图所示，

则由图象可知，，
所以，
如图所示，

当时，有，
则，①
又因为，
所以，即，
所以，②
由①②得，
整理得，即，
所以.
故的最大值为.
故答案为：
【点睛】恒成立问题解题方法指导：
方法1：分离参数法求最值.
(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
(2)恒成立⇔；
恒成立⇔；
能成立⇔；
能成立⇔.
方法2：根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．
三、解答题
16．已知函数.
(1)求的最小正周期及对称轴方程；
(2)当时，求的最大值和最小值.
【答案】(1)，
(2)，.
【分析】（1）根据诱导公式以及二倍角公式化简，再根据周期公式、对称轴公式进行求解；
（2）由的取值范围求出整体角的取值范围，再结合正弦型函数图像及性质得出结果.
【详解】（1）
，
故周期为，
令，解得，
对称轴方程，
（2）
∵，∴，
当时，即时，，此时，
当时，即时，，此时.
17．在中，角所对的边分别为，其中，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理边化角或余弦定理化简原式，根据，所以或，化简即可得出，即可得出答案；
（1）根据余弦定理结合第一问得出的角的大小得出，结合已知，得出，根据基本不等式得出即，即可由三角形面积公式得出答案；或将化简为，由三角形面积公式结合基本不等式得出的面积，即可得出答案.
【详解】（1）方法一：由根据正弦定理边化角得：，
即，
所以，
因为，所以，
又，所以，
又，所以.
方法二：由根据余弦定理：
得，
即，
因为，所以，
所以，又，得.
（2）方法一：由（1）及余弦定理知，
所以，
因为，
所以，化简得，
因为，
所以，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以的面积，
所以面积的最大值为.
方法二：由（1）及余弦定理知，
所以.
因为，
所以，化简得，即，
所以的面积，
当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为，
18．如图，在四棱锥中，底面，，，，，为棱的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行；
（2）求出平面的一个法向量，再由向量法求解；
（3）求出平面的法向量，再由向量法求解.
【详解】（1）解：以点为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.
可得，，，，由为棱的中点，得，
向量，，
故，又为平面的一个法向量，
又面，
所以平面.
（2）向量，，.
设为平面的法向量，则，即，
令，得为平面的一个法向量，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）向量，设平面的法向量，
，即，令，得为平面的一个法向量，
则.
19．已知椭圆的离心率为，短轴长为.
(1)求C的方程；
(2)如图，经过椭圆左顶点A且斜率为的直线l与C交于A，B两点，交y轴于点E，点P为线段AB的中点，若点E关于x轴的对称点为H，过点E作OP（O为坐标原点）垂直的直线交直线AH于点M，且面积为，求k的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得出的值，进而可得结果；
（2）设直线l的方程为，将其与椭圆方程联立，得出斜率，联立方程组得出点的坐标，利用点到直线距离公式式，结合韦达定理以及三角形面积公式将面积表示为关于的方程，解出即可得结果.
【详解】（1）由题意可得，解得，，，
∴椭圆C的方程为.
（2）易知椭圆左顶点，
设直线l的方程为，则，，
由，消y可得，
设，，，∴，
则有，，
∴，，∴，
∴直线EM的斜率，
∴直线EM的方程为，直线AH的方程为，
∴点，
∴点M到直线的距离，
∴，
∴，
∴，解得.
20．已知函数.
（Ⅰ）设函数，当时，证明：当时，；
（Ⅱ）若恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅲ）若使有两个不同的零点，证明：.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析.
【分析】（Ⅰ）当时对求导，证明时，即可.
（Ⅱ）设函数，根据函数的单调性判断与的关系，根据恒成立，确定的取值范围；
（Ⅲ）根据函数的单调性求出，得到
，证明结论成立即可.
【详解】（Ⅰ）
当时，
，
当时，，
所以在上为单调递增函数，
因为，所以，
（Ⅱ）设函数，则，
令，
当时，当时，，
当时，，得，
所以当时，在上为单调递增函数，且，
所以有，可得．
当时，有，
此时有两个零点，设为，且.
又因为，，
所以，
在上，为单调递减函数，
所以此时有，即，得，
此时不恒成立，
综上．
（Ⅲ）若有两个不同的零点，不妨设，
则为的两个零点，且，，
由（Ⅱ）知此时，并且在，为单调递增函数，
在上为单调递减函数，且，
所以，，
因为，，，
且图象连续不断，
所以，，
所以，
因为，
综上得:.
【点睛】方法点睛：求不等式恒成立问题的方法
（1）分离参数法
若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.
（2）数形结合法
结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于轴）求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.
（3）主参换位法
把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.