江苏省南京市第三中学2021-2022学年七年级下学期第一次月考数学试卷（含答案）

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这是一份江苏省南京市第三中学2021-2022学年七年级下学期第一次月考数学试卷（含答案），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列图案是一些汽车的车标，可以看作由“基本图案”平移得到的是( )
A. B.
C. D.
2. 如图所示，下列条件中能判定AB//CD是( )
A. ∠1=∠2
B. ∠ADC=∠B
C. ∠D+∠BCD=180°
D. ∠3=∠4
3. 若三角形的两边a、b的长分别为3和4，则其第三边c的取值范围是( )
A. 3B. 2≤c≤6
C. 1D. 1≤c≤7
4. 如图，已知直线AD//BC，BE平分∠ABC交直线DA于点E，若∠DAB=54°，则∠E等于( )
A. 25°B. 27°C. 29°D. 45°
5. 一把直尺和一块直角三角尺(含30°、60°角)如图所示摆放，直尺的一边与三角尺的两直角边BC、AC分别交于点D、点E，直尺的另一边过A点且与三角尺的直角边BC交于点F，若∠CAF=42°，则∠CDE度数为( )
A. 62°B. 48°C. 58°D. 72°
6. 给出下列4个命题：①相等的角是对顶角；②垂直于同一直线的两条直线平行；③两个锐角的和是钝角；④平行于同一直线的两条直线平行，其中真命题的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
7. 已知直线a//b，将一块含30°角的直角三角板(∠BAC=30°,∠ACB=90°)按如图所示的方式放置，并且顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1=22°.则∠2的度数是( )
A. 38°B. 45°C. 52°D. 58°
8. 如图，已知D、E分别为△ABC的边BC、AC的中点，连接AD、DE，AF为△ADE的中线．若四边形ABDF的面积为10，则△ABC的面积为( )
A. 12B. 16C. 18D. 20
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9. 命题“同位角相等”是______命题(填“真”或“假”)．
10. 如图，一条公路的两侧铺设了两条平行管道，如果公路一侧铺设的管道与纵向连通管道的角度为120°，那么，为了使管道能够顺利对接，另一侧铺设的纵向连通管道与公路的角度为______．
11. 已知一个等腰三角形的两边长分别是2和5，那么这个等腰三角形的周长为______．
12. “两直线平行，内错角相等”的逆命题是______．
13. 一个多边形的每个内角都为144°，那么该正多边形的边数为______．
14. 要说明命题“若a<1，则a2<1”是假命题，可以举的反例是a=______.(一个即可)
15. 已知△ABC中，∠A=30°，∠C=2∠B，则∠B=______°.
16. 如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点C、D分别到C′、D′的位置，D′E与BC相交于G，若∠1=40°，则∠2=______°.
17. 如图，在△ABC中，∠B=40°，∠C=60°，AD、AE分别是△ABC的高与角平分线，则∠DAE=______°.
18. 如图，∠EAD和∠DCF是四边形ABCD的外角，∠EAD的平分线AG和∠DCF的平分线CG相交于点G.若∠B=m°，∠D=n°，则∠G=______°.(用含m、n的代数式表示)
三、解答题（本大题共6小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上，将△ABC向右平移3单位，再向上平移2个单位得到三角形A1B1C1．
(1)在网格中画出三角形A1B1C1．
(2)A1B1与AB的位置关系______ ．
(3)三角形A1B1C1的面积为______ ．
20. (本小题6.0分)
把下面的证明过程补充完整．
已知：如图，∠1+∠2=180°，∠C=∠D
求证：∠A=∠F．
证明：∵∠1+∠2=180°(已知)
∴______(______)
∴∠C=∠ABD (______)
∵∠C=∠D(已知)
∴______(等量代换)
∴AC//DF (______)
∴∠A=∠F (______)
21. (本小题6.0分)
如图，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．
22. (本小题8.0分)
如图，AD是△ABC的角平分线，DF//AB，DE//AC．
(1)求证：∠ADE=∠ADF；
(2)若∠B+∠C=98°，则∠EDF=______°.
23. (本小题8.0分)
证明：三角形内角和180°(画图，写已知、求证，并完成证明)
已知：______
求证：______
证明：
24. (本小题12.0分)
已知如图，∠COD=90°，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE与射线AF交于点G．
(1)若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA=42°，则∠OGA= ______ ；
(2)若∠GOA=13∠BOA，∠GAD=13∠BAD，∠OBA=42°，则∠OGA= ______ ；
(3)将(2)中的“∠OBA=42°”改为“∠OBA=α”，其它条件不变，求∠OGA的度数.(用含α的代数式表示)
(4)若OE将∠BOA分成1：2两部分，AF平分∠BAD，∠ABO=α(30°<α<90°)，求∠OGA的度数.(用含α的代数式表示)
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、可以由一个“基本图案”旋转得到，不可以由一个“基本图案”平移得到，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是基本图案的组合图形，故本选项错误
C、可以由一个“基本图案”平移得到，故把本选项正确；
D、不可以由一个“基本图案”平移得到，故把本选项错误；
故选：C．
根据旋转变换，平移变换，轴对称变换对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题考查了利用平移设计图案，仔细观察各选项图形是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、∵∠1=∠2，
∴AD//BC(内错角相等，两直线平行)，故此选项不符合题意；
B、由∠ADC=∠B无法得到AB//CD，故此选项不符合题意；
C、∵∠D+∠BCD=180°，
∴AD//BC(同旁内角互补，两直线平行)，故此选项不符合题意；
D、∵∠3=∠4，
∴AB//CD(内错角相等，两直线平行)，故此选项符合题意．
故选：D．
根据内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别得出即可求解．
此题主要考查了平行线的判定，根据内错角相等两直线平行得出是解题关键．
3.【答案】C
【解析】解：根据三角形的三边关系可得：4−3解得：1故选：C．
根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出第三边c的取值范围．
本题考查了三角形的三边关系，熟记性质是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵AD//BC，
∴∠ABC=∠DAB=54°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBC=12∠ABC=27°，
∴∠E=27°．
故选：B．
根据两直线平行，内错角相等可求∠ABC=54°，再根据角平分线的性质可求∠EBC=27°，再根据两直线平行，内错角相等可求∠E．
本题考查了平行线的性质，角平分线，关键是求出∠EBC=27°．
5.【答案】B
【解析】解：∵DE//AF，∠CAF=42°，
∴∠CED=∠CAF=42°，
∵∠DCE=90°，∠CDE+∠CED+∠DCE=180°，
∴∠CDE=180°−∠CED−∠DCE=180°−42°−90°=48°，
故选：B．
先根据平行线的性质求出∠CED，再根据三角形的内角和等于180°即可求出∠CDE．
本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和等于180°，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等是解决问题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：①对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故①是假命题；
②同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，故②是假命题；
③两个锐角的和可能是锐角、直角或钝角，故③是假命题；
④根据平行公理的推论，平行于同一直线的两条直线平行，故④是真命题；
∴真命题的个数为1；
故选：A．
利用对顶角的定义，平行线的判定、角的运算依次判定每个命题的真假，即可得出正确答案．
本题考查真假命题的判定，需要用到对顶角的定义，平行线的判定，角的运算等知识，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：如图：

∵∠1=22°，∠BAC=30°，
∴∠DAC=∠1+∠BAC=52°，
∵直线a//b，
∴∠2=∠DAC=52°，
故选：C．
根据已知易得∠DAC=52°，然后利用平行线的性质即可解答．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：设S△AEF=x，
∵AF为△ABD的中线，
∴S△AEF=S△ADF=x，S△ADE=2x，
∵E为△ABC的边AC的中点，
∴S△ADE=S△CDE=2x，S△CDA=4x，
∵D为△ABC的边BC的中点，
∴S△CDA=S△BDA=4x，S△ABC=8x，
∴四边形ABDF的面积=2x+3x=5x=10，
∴x=2，
∴△ABC的面积=8x=16，
故选：B．
设S△AEF=x，根据等底同高的三角形的面积相等即可得到结论．
本题考查了三角形的面积，熟练掌握等底同高的三角形的面积相等是解题的关键．
9.【答案】假
【解析】解：两直线平行，同位角相等，
命题“同位角相等”是假命题，因为没有说明前提条件．
故答案为：假．
两直线平行，同位角相等，如果没有前提条件，并不能确定同位角相等，由此可作出判断．
本题考查了命题与定理的知识，属于基础题，同学们一定要注意一些定理成立的前提条件．
10.【答案】60°
【解析】解：两侧铺设的角属于同旁内角，根据两直线平行，同旁内角互补，可得另一侧的角度为180°−120°=60°，
故答案为：60°．
根据两直线平行，同旁内角互补定理，已知角为120°，那么它的补角即可求出．
本题主要考查了平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，熟练掌握平行线的性质是解答此题的关键．
11.【答案】12
【解析】
【分析】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
分两种情况讨论：①当三边是2，2，5时，②当三角形的三边是2，5，5时，分别验证是否能构成三角形，再根据三角形的周长公式进行计算，即可求解．
【解答】
解：分情况讨论：
①当三边是2，2，5时，2+2<5，不符合三角形的三边关系，应舍去；
②当三角形的三边是2，5，5时，符合三角形的三边关系，此时周长是12．
故答案为12．

12.【答案】两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行
【解析】解：“两直线平行，内错角相等”的条件是：两直线平行，结论是：内错角相等．
将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
故答案为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．
把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
13.【答案】10
【解析】解：∵正多边形的一个内角是144°，
∴该正多边形的一个外角为36°，
∵多边形的外角之和为360°，
∴边数=360°36∘=10，
∴这个正多边形的边数是10．
故答案为：10．
根据正多边形的一个内角是144°，则知该正多边形的一个外角为36°，再根据多边形的外角之和为360°，即可求出正多边形的边数．
本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是知道多边形的外角之和为360°，此题难度不大．
14.【答案】−2(答案不唯一)
【解析】解：由题意，当a=−2时，满足a<1，但不满足a2<1，
故答案为：−2(答案不唯一)．
要使得a2<1成立，则−1本题考查命题的判断，以及不等式的性质，理解命题的定义，能够根据命题适当的举出反例是解题关键．
15.【答案】50
【解析】解：∵在△ABC中，∠A=30°，∠C=2∠B，∠A+∠B+∠C=180°，
∴30°+3∠B=180°，
∴∠B=50°．
故答案是：50．
根据三角形内角和是180°列出等式∠A+∠B+∠C=180°，据此易求∠B的度数．
本题考查了三角形内角和定理，关键是掌握三角形内角和是180°．
16.【答案】140
【解析】解：∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC，
∵∠1=40°，
∴∠2=180°−∠1=140°，
故答案为：140．
先利用长方形的性质可得AD//BC，然后利用平行线的性质进行计算即可解答．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
17.【答案】10
【解析】解：∵∠B=40°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C
=80°．
∵AE是△ABC角平分线，
∴∠CAE=12∠BAC
=40°．
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°．
∴∠DAC=90°−60°
=10°．
∴∠EAD=∠EAC−∠DAC
=40°−30°
=10°．
故答案为：10．
利用三角形的内角和定理，求出∠BAC、∠DAC，再利用角平分线的性质求出∠EAC，最后利用角的和差求出∠EAD．
本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的性质等知识点，掌握三角形的内角和定理是解决本题的关键．
18.【答案】(12n−12m)
【解析】解：∵∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=360°，∠B=m°，∠D=n°，
∴∠DAB+∠BCD=360°−m°−n°，
∵∠DAB+∠DAE=180°，∠BCD+∠FCD=180°，
∴∠DAE+∠FCD=m°+n°，
∵∠EAD的平分线AG和∠DCF的平分线CG相交于点G，
∴∠GAD+∠GCD=12m°+12n°，
∴∠BAG+∠BCG=360°−m°−n°+12m°+12n°=360°−12m°−12n°，
∴∠G=360°−(∠BAG+∠BCG)−∠B=(12n−12m)°，
故答案为：(12n−12m)．
根据多边形内角和公式及角平分线的定义求解即可．
此题考查了多边形内角和，熟记多边形内角和公式是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求．
(2)平行；
(3) 92．
【解析】解：(1)见答案；
(2)由平移的性质知A1B1//AB，
故答案为：平行；
(3)三角形A1B1C1的面积为12×3×3=92，
故答案为：92．
(1)分别作出三个顶点平移后的对应点，再首尾顺次连接即可得；
(2)根据平移的性质可得；
(3)直接利用三角形的面积公式计算可得．
本题主要考查作图−平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．
20.【答案】BD//CE 同旁内角互补，两直线平行两直线平行，同位角相等 ∠D=∠ABD 内错角相等，两直线平行两直线平行，内错角相等
【解析】证明：∵∠1+∠2=180°(已知)
∴BD//CE(同旁内角互补，两直线平行)
∴∠C=∠ABD(两直线平行，同位角相等)
∵∠C=∠D(已知)，
∴∠D=∠ABD(等量代换)．
∴AC//DF(内错角相等，两直线平行)．
∴∠A=∠F(两直线平行，内错角相等)．
故答案为：BD//CE；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；∠D=∠ABD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
由∠1+∠2=180°根据同位角相等，两直线平行，易证得DB//EC，又由∠C=∠D，易证得AC//DF，继而证得结论．
此题考查了平行线的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
21.【答案】解：∵∠B=38°，∠C=62°，
∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−38°−62°=80°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD=12∠BAC=40°，
∴∠ADB=∠C+∠CAD=62°+40°=102°．
【解析】本题考查了三角形内角和定理和三角形的外角性质，能熟记三角形外角性质是解此题的关键，注意：①三角形的内角和等于180°，②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据角平分线的定义求出∠CAD，再根据三角形外角性质求出答案即可．
22.【答案】82
【解析】(1)证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD．
∵DE//AC，DE//AC，
∴∠CAD=∠EDA，∠BAD=∠ADF．
∴∠ADE=∠ADF．
(2)解：∵∠B+∠C=98°，∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠BAC=180°−(∠B+∠C)=82°，
由(1)得：∠CAD=∠EDA，∠BAD=∠ADF，
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠CAD+∠BAD=∠BAC=82°．
故答案为：82．
(1)由角平分线可得∠BAD=∠CAD，再由平行线的性质得∠CAD=∠EDA，∠BAD=∠ADF，从而得解；
(2)由三角形的内角和可求得∠BAC=82°，再结合(1)即可求解．
本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的性质，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
23.【答案】△ABC ∠A+∠B+∠ACB=180°
【解析】已知：△ABC，如图，
求证：∠A+∠B+∠ACB=180°，
证明：过点C作CD//AB，点E为BC的延长线上一点，如图，
∵CD//AB，
∴∠1=∠A，∠2=∠B，
∵∠ACB+∠1+∠2=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°．
先写出已知、证明，过点C作CD//AB，点E为BC的延长线上一点，利用平行线的性质得到∠1=∠A，∠2=∠B，然后根据平角的定义进行证明．
本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°.本题的关键是把三角形三个角的和转化为一个平角，同时注意文字题证明的步骤书写．
24.【答案】21° 14°
【解析】解：(1)∵∠BOA=90°，∠OBA=42°，
∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=132°，
∵AF平分∠BAD，OE平分∠BOA，∠BOA=90°，
∴∠GAD=12∠BAD=66°，∠EOA=12∠BOA=45°，
∴∠OGA=∠GAD−∠EOA=66°−45°=21°；
故答案为：21°；
(2)∵∠BOA=90°，∠OBA=42°，
∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=132°，
∵∠BOA=90°，∠GOA=13∠BOA，∠GAD=13∠BAD，
∴∠GAD=44°，∠EOA=30°，
∴∠OGA=∠GAD−∠EOA=44°−30°=14°；
故答案为14°；
(3)∵∠BOA=90°，∠OBA=α，
∴∠BAD=∠BOA+∠ABO=90°+α，
∵∠BOA=90°，∠GOA=13∠BOA，∠GAD=13∠BAD，
∴∠GAD=30°+13α，∠EOA=30°，
∴∠OGA=∠GAD−∠EOA=13α；
(4)当∠EOD：∠COE=1：2时，∠EOD=30°，
∵∠BAD=∠ABO+∠BOA=α+90°，而AF平分∠BAD，
∴∠FAD=12∠BAD=12(α+90°)，
∵∠FAD=∠EOD+∠OGA，
∴30°+∠OGA=12(α+90°)，
解得∠OGA=12α+15°；
当∠EOD：∠COE=2：1时，∠EOD=60°，
同理可得∠OGA=12α−15°；
综上所述，∠OGA的度数为12α+15°或12α−15°．
(1)根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，再根据三角形外角性质进行计算即可；
(2)根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，再根据三角形外角性质进行计算即可；
(3)根据三角形外角的性质求出∠BAD，求出∠GOA和∠GAD，再根据三角形外角性质进行计算即可；
(4)分两种讨论：∠EOD：∠COE=1：2，∠EOD：∠COE=2：1，分别运用上述方法即可得到∠OGA的度数．
本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义以及三角形外角性质．解题时注意：三角形内角和为180°，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
题号
一
二
三
总分
得分