湖北省黄冈市2023—2024学年九年级上学期数学期中 试卷

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九年级期中质量检测数学参考答案
选择题：
填空题：
9．x1＝1，x2＝0 10. 2 11. -1 12. （0，-2）
13. 60° 14. 18 15. （，） 16. 174
三．解答题：
17. 解：（1）x2﹣6x﹣4＝0，
x2﹣6x＝4，
x2﹣6x+9＝4+9，即（x﹣3）2＝13，
∴x﹣3＝±，
∴x1＝3+，x2＝3﹣；…………….4分
（2）3x（x﹣2）＝2x﹣4，
3x（x﹣2）＝2（x﹣2），
3x（x﹣2）﹣2（x﹣2）＝0，
∴（3x﹣2）（x﹣2）＝0，
∴x1＝，x2＝2．………………………..4分
18. 解：方程（m﹣1）x2﹣2x+3＝0有一个正根，一个负根的条件为：
x1•x2＝＜0且Δ＝（﹣2）2﹣4×（m﹣1）×3＞0，……………2分
解得m＜1， …………….5分
根据两根之和公式可得x1+x2＝，
又∵m＜1，
∴＜0，
即此时负根的绝对值大．…………….8分
19. 解：（1）设抛物线的解析式为：y1 =a(x-1)2+4
∵与x轴交于点A（3,0），
∴0 =a (3-1)2+4
解得a=-1
∴ y1 =-(x-1)2+4 …………….2分
（2）在y1 =-(x-1)2+4中，令x=0,解得y=3
∴B(0,3)
结合图像可得，当y1＞ y2时，x的取值范围0＜x＜3…………….4分
（3）根据图像可知：
当3≥x≥0时，y1的取值范围是：4≥y1≥0 …………….6分
（4）在y1 =-(x-1)2+4中，令y=0,即-(x-1)2+4=0
解得: x1＝-1，x2＝3．
根据图像可知：抛物线开口向下
∴当y1＞0，x的取值范围-1＜x＜3…………….8分
20. 解：（1）∵四边形ACDF是矩形，
∴AC＝DF，AF＝CD，
∴AC＝＝（17﹣x）（m），
故答案为：（17﹣x）； …………….2分
（2）由题意得：（17﹣x）x＝60，
解得：x1＝5，x2＝12， …………….5分
当x＝5时，x＜8，不合题意，舍去，
∴x＝12，
答：x的值为12．…………….7分
21. 解：（1）△ABC是等腰直角三角形，…………….1分
证明过程如下：
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，…………….2分
∵∠ADB＝∠CDB，
∴，
∴AB＝BC，…………….3分
又∵∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．…………….5分
（2）在Rt△ABC中，AB＝BC＝，
∴AC＝2， …………….6分
在Rt△ADC中，AD＝1，AC＝2，
∴CD＝．
即CD的长为：．…………….8分
22. 解：（1）根据题意，有：W＝y×（x﹣10）＝（﹣10x+400）×（x﹣10），
化简，得：W＝﹣10x2+500x﹣4000，
即函数关系为：W＝﹣10x2+500x﹣4000；…………….3分
（2）令W＝1250，可得：﹣10x2+500x﹣4000＝1250，
解得：x＝15，或者x＝35， …………….5分
当x＝15时，销量：y＝﹣10x+400＝250（件）；
当x＝35时，销量：y＝﹣10x+400＝50（件）；
销量越高，越有利于减少库存，
即为了减少库存，将销售单价应定为15元；…………….6分
（3）根据题意有：，解得：28≤x≤35，…………….7分
将W＝﹣10x2+500x﹣4000化为顶点式为：W＝﹣10（x﹣25）2+2250，
∵﹣10＜0，
∴当x＞25时，函数值随着x的增大而减小，…………8分
∵28≤x≤35，
∴当x＝28时，函数值最大，最大为：W＝﹣10（28﹣25）2+2250＝2160．
∴W的最大值为2160元． …………10分
23. 解：（1）由旋转知，AM＝AN，∠BAC＝∠NAM，
∴∠BAC﹣∠BAM＝∠NAM﹣∠BAM，
即：∠MAC＝∠NAB
∵AB＝AC，
∴△CAM≌△BAN（SAS），
∴MC＝NB，
故答案为∠NAB＝∠MAC，MC＝NB；…………2分
（2）（1）中结论仍然成立，…………3分
理由：由旋转知，AM＝AN，∠BAC＝∠NAM，
∴∠BAC﹣∠BAM＝∠NAM﹣∠BAM，
即：∠MAC＝∠NAB，…………4分
∵AB＝AC，
∴△CAM≌△BAN（SAS），…………5分
∴MC＝NB； …………6分
（3）如图3，取A1C1的中点O，则C1O＝A1O＝A1C1，
在Rt△A1B1C1中，∠C1＝30°，
∴A1B1＝A1C1，∠B1A1C1＝90°﹣∠C1＝60°，
∴C1O＝A1O＝A1B1＝8， …………7分
由旋转知，A1P＝A1Q，∠QA1P＝60°，
∴∠B1A1C1＝∠QA1P，
∴∠PA1C1＝∠B1A1Q，
∴△PA1O≌△QA1B1（SAS），
∴OP＝B1Q， …………8分
要线段B1Q长度的最小，则线段OP长度最小，
而点O是定点，则OP⊥B1C1时，OP最小，…………9分
在Rt△OPC1中，∠C1＝30°，OC1＝8，
∴OP＝OC1＝4，
即：线段B1Q长度的最小值为4．…………11分
24. 解：（1）∵OC＝2，
∴点C的坐标为（0，﹣2），
由题意得：，解得：，
∴抛物线的解析式为； …………3分
令y＝0，则，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴B（4，0）， …………4分
（2）过点P作PE⊥x轴交BC于点E，如图：
设BC的解析式为y＝kx+b，把C（0，﹣2），B（4，0）代入得：
解得，
∴BC的解析式为， …………5分
设点，则点，
∴，
∴S∆BCP=12×-12a2+2a×4=-a2+4a , …………6分
∵﹣1＜0，
∴当a＝2时，S△BCP取最大值，最大值为4；…………7分
P
此时12a2-32a-2=-3,∴点P坐标为（2，-3）…………8分
（3）当点P在AB上方时，如图：设直线AC解析式为y＝kx+b，
由点C、A的坐标得，直线AC解析式为y=-2x-2，
∵∠PBA＝∠BAC，
∴AC∥BP，
设直线BP解析式为y=-2x+b1，
由点B的坐标得，直线BP解析式为y=-2x+8，
联立解析式得，y=-2x+8
解得：x1=-5y1=18或，x2=4y2=0
∴点P坐标为(-5,18). …………10分
当点P’在AB下方时，设BP、BP’与y轴分别交于点E、F,如图
P
P’
F
E
则点E（0,8）．
∵∠PBA＝∠BAC=∠P’BA
又OB=OB ∠EOB＝∠FOB
∴△BOE≌△BOF
∴OE=OF=8
F(0,-8)
设直线BF解析式为y=k2x+b2，
由点B、F的坐标得，直线BF解析式为y=2x-8，
联立解析式得，，y=2x-8
解得：x1=3y1=-2或，x2=4y2=0
∴点P’坐标为(3,-2)．
综上所述：当点P坐标为(-5,18)或（3，-2）时，∠PBA＝∠BAC. …………12分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
B
C
A
B
C