江苏省南通市2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题（Word版附解析）

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注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效.
3.本卷满分为150分，考试时间为120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. 4D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间共线向量的坐标表示建立方程组，解之即可求解.
【详解】由，知，使得，
即，所以，
解得，所以.
故选：B
2. 记函数的导函数为.若，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】求导，再令即可得解.
【详解】，
所以.
故选：D.
3. 某产品的广告费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下关系：
已知与的线性回归方程为，则等于（ ）
A. 68B. 69C. 70D. 71
【答案】C
【解析】
【分析】根据线性回归方程过样本中心点求解即可．
【详解】由题意可知，，
因为线性回归方程过样本中心点，
所以，
所以，
解得．
故选：C．
4. 已知函数，则的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】易得函数在上是增函数，再利用导数求出函数在上的单调区间，即可得解.
【详解】函数的定义域为，
当时，，
因为函数在上都是增函数，
所以函数在上是增函数，
当时，，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
综上所述，的增区间为，减区间为，
则A选项符合题意.
故选：A.
5. 在的展开式中，含项的系数为（ ）
A. 16B. -16C. 8D. -8
【答案】B
【解析】
【分析】
利用多项式乘法法则，需求的展开式中和的系数．
【详解】由题意所求系数为：．
故选：B．
【点睛】本题考查二项式定理，考查二项展开式系数，根据二项式展开式通项公式可得各项系数．本题需要用多项式乘法法则计算．
6. 甲､乙两人投篮命中率分别为和，并且他们投篮互不影响.现每人分别投篮2次，则甲与乙进球数相同的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合相互独立事件的概率乘法公式，以及互斥事件概率和公式，即可求解.
【详解】甲与乙两个进球数都为0的概率为：，
甲与乙两个进球数都为1的概率为：，
甲与乙两个进球数都为2的概率为：，
所以甲与乙进球数相同的概率，
故选：C
7. 今年春节，《热辣滚汤》､《飞驰人生2》､《熊出没之逆转时空》､《第二十条》引爆了电影市场，小帅和他的同学一行四人决定去看电影.若小帅要看《飞驰人生2》，其他同学任选一部，则恰有两人看同一部影片的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】对观看《飞驰人生2》的人数进行分类讨论，利用排列组合知识，结合古典概型的概率公式求解.
【详解】分两种情况讨论：
(1) 小帅和其中一个同学同时看《飞驰人生2》，另外两个看剩余三部电影中的两部，此时所求概率为：；
(2)观看《飞驰人生2》只有小帅一人，只需要将剩余三人分成两组，再将这两组人分配给两部电影，此时所求概率为：；
综上，恰有两人看同一部影片的概率；
故选：B
8. 已知函数，若对任意正数，，都有恒成立，则实数a的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据恒成立，得到在单调递增求解.
【详解】解：不妨令，
则，
即在单调递增，
因为，
则在上恒成立，
即，在上恒成立，
则，
又，
∴．
故选：C
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 有3名学生和2名教师排成一排，则下列说法正确的是（ ）
A. 共有120种不同的排法
B. 当2名教师相邻时，共有24种不同的排法
C. 当2名教师不相邻时，共有72种不同的排法
D. 当2名教师不排在两端时，共有48种不同的排法
【答案】AC
【解析】
【分析】利用全排列即可判断A；利用捆绑法即可判断B；利用插空法即可判断C；先排两端，其余再排，即可判断D.
【详解】对于A，共有种不同的排法，故A正确；
对于B，共有种不同的排法，故B错误；
对于C，共有种不同的排法，故C正确；
对于D，共有种不同的排法，故D错误.
故选：AC.
10. 已知，则（ ）
A. 展开式各项的二项式系数的和为
B. 展开式各项的系数的和为
C.
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定条件，利用二项式定理及性质逐项判断即可得解.
【详解】对于A，的展开式各项的二项式系数的和为，A正确；
对于B，令，得，即的展开式各项的系数的和为1，B错误；
对于C，令，得，则，
，即有，C正确；
对于D，对两边求导，
得，
令，得，D错误.
故选：AC
11. 如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，，，是上的动点．则（ ）
A. 平面平面
B. 为的中点时，
C. 存在点，使得直线与的距离为
D. 存在点，使得直线与平面所成的角为
【答案】AB
【解析】
【分析】选项，由，，可得平面，再由面面垂直的判定定理可作出判断；选项B，取的中点，连接，，可证，，从而作出判断；选项C，先证平面，从而将原问题转化为求点到平面的距离，再以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到面的距离，即可作出判断；选项D，利用向量法求线面角，即可得解．
【详解】对于选项A，由题意知，，平面，
因为平面，所以，
又，、平面，
所以平面，
因为平面，所以平面平面，即选项A正确；
对于选项B，当为的中点时，取的中点，连接，，
则，，所以四边形是平行四边形，
所以，
因为和都是等腰直角三角形，所以，
所以，所以，即选项B正确；
对于选项C，因为，且平面，平面，
所以平面，
所以直线与的距离等价于直线到平面的距离，
也等价于点到平面的距离，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
设点，其中，，
由射影定理知，，即，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
若直线与的距离为，则点到平面的距离为，
而点到平面的距离，
所以不存在点，使得直线与的距离为，即选项C错误；
对于选项D，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
若直线与平面所成的角为，
则，
由，知，
代入上式整理得，此方程无解，
所以不存在点，使得直线与平面所成的角为，即选项D错误．
故选：AB．
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量，且，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据正态分布的对称性求解即可.
【详解】因为随机变量，且，
所以.
故答案为：.
13. 已知事件相互独立.若，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据条件概率公式和相互独立事件的概率公式即可得解.
【详解】因为事件相互独立，
所以事件相互独立，
所以，
所以.
故答案为：.
14. 若函数有绝对值不大于1的零点，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】令，得，由题意可得方程有绝对值不大于1的解，构造函数，利用导数求出函数的值域即可得解.
【详解】令，得，
因为函数有绝对值不大于1的零点，
所以方程有绝对值不大于1的解，
令，则，
令，得，令，得或，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，
所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求在上的最值.
【答案】（1）；
（2），.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）求出函数在上的单调区间，再求出最值.
【小问1详解】
函数，求导得，则，而，
所以曲线在处的切线方程为，即.
【小问2详解】
由（1）知，当时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，而，
所以当时，函数取得最大值，
当时，函数取得最小值，
16. 如图，在直四棱柱中，底面是梯形，，且是的中点.
（1）求点到平面的距离；
（2）求二面角的正弦值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面法向量，再由点到平面距离的向量求法求解.
（2）求出平面的法向量，结合（1），利用面面角的向量求法求解即得.
【小问1详解】
在直四棱柱中，，则直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
而，且是的中点，
则，
，
设平面的法向量，则，令，得，
所以点到平面的距离.
【小问2详解】
设平面的法向量，则，令，得，
设二面角的大小为，则，
所以二面角的正弦值
17. “五一”假期期间是旅游的旺季，某旅游景区为了解不同年龄游客对景区的总体满意度，随机抽取了“五一”当天进入景区的青､老年游客各120名进行调查，得到下表：
（1）依据小概率值独立性检验，能否认为“是否满意”与“游客年龄”有关联；
（2）若用频率估计概率，从“五一”当天进入景区的所有游客中任取3人，记其中对景区不满意的人数为，求的分布列与数学期望.
附：，其中.
【答案】（1）能认为有关
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）求出，再对照临界值表即可得出结论；
（2）先求出任抽取人不满意的概率，由题意可得服从二项分布，再根据二项分布求分布列和期望即可.
【小问1详解】
零假设“是否满意”与“游客年龄”没有关联，
，
所以依据小概率值的独立性检验，可以推断零假设不成立，
即能认为“是否满意”与“游客年龄”有关联；
【小问2详解】
由题意，任抽取人不满意的概率为，
则，
所以，
，
，
，
所以的分布列为：
所以.
18.
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明：；
（3）若函数有两个极值点，求的取值范围.
【答案】（1）答案见解析；
（2）证明见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，再按分类讨论导函数值大于0、小于0的解集.
（2）由（1）的信息，求出的最小值，再证明，构造函数并利用导数证明不等式.
（3）求出函数的导数，由极值点的意义求得，再计算并整理，构造函数，借助导数探讨单调性即得.
【小问1详解】
函数的定义域为，
求导得，
当时，，函数在上单调递减，
当时，由，得，由，得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数的递减区间是，无递增区间；
当时，函数的递减区间是，递增区间是.
【小问2详解】
由（1）知，当时，函数在取得最小值，
要证，只需证明，
令，求导得，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，，
所以当时，，即成立.
【小问3详解】
函数的定义域为，求导得，
由函数有两个极值点，得方程在上有两个不等实根，
设，对称轴为，，
则，且，，
即；
，
令，由，得，即，解得，
令，求导得，
因此函数上单调递减，，即，
所以的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：导数问题往往涉及到分类讨论，分类讨论标准的确定是关键，一般依据导数是否有零点、零点存在时零点是否在给定的范围内及零点在给定范围内时两个零点的大小关系来分层讨论.
19. 现有外表相同，编号依次为的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球.随机选择其中一个袋子，并从中依次不放回取出三个球.
（1）当时，
①假设已知选中的恰为2号袋子，求第三次取出的是白球的概率；
②求在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3号袋子的概率；
（2）记第三次取到白球的概率为，证明：.
【答案】（1）①；②
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）①时，第三次取出为白球的情况有：红红白，红白白，白红白，利用相互独立事件概率乘法公式，互斥事件概率加法公式能求出第三次取出为白球的概率；
②先求出第三次取出的是白球的种数，再求出在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，选到第个袋子的概率为，由此能求出第三次取出的是白球的概率，再结合条件概率即可得解；
（2）先求出第三次取出的是白球的种数，再求出在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，选到第个袋子的概率为，由此能求出第三次取出的是白球的概率，进而得证．
【小问1详解】
①时，第二个袋中有2白2红，共4个球，
从中连续取出三个球（每个取后不放回），
第三次取出为白球的情况有：红红白，红白白，白红白，
∴第三次取出为白球的概率为；
②设选出的是第个袋，连续三次取球的方法数为，
第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：
（白，白，白），若则，取法数为，
若或或，取法数为，也满足关系，
故取（白，白，白）的取法可表示为，
同理（白，红，白），取法数为，
（红，白，白），取法数为，
（红，红，白），取法数为，
从而第三次取出的是白球的种数为：
，
则在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，
则在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，
而选到第个袋子的概率为，故所求概率为：
，
所以在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3号袋子的概率为；
【小问2详解】
设选出的是第个袋，连续三次取球的方法数为，
第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：
（白，白，白），取法数为，
（白，红，白），取法数为，
（红，白，白），取法数为，
（红，红，白），取法数为，
从而第三次取出是白球的种数为：
，
则在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，
而选到第个袋子的概率为，
所以．
【点睛】思路点睛：本题为无放回型概率问题：根据题意首先分类讨论不同值情况下抽取总数(可直接用值表示一般情况)，再列出符合题意得情况(此处涉及排列组合中先分类再分组得思想)，最后即可计算得出含的概率一般式，累加即可，累加过程中注意式中与的关系可简化累加步骤.2
4
5
6
8
30
40
50
60
满意
不满意
青年
80
40
老年
100
20
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828