辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高二数学上学期期中试题（Word版附解析）

这是一份辽宁省大连市第二十四中学2023-2024学年高二数学上学期期中试题（Word版附解析），共30页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回， 已知，若共面，则实数的值为， 下列命题中是假命题的为， 圆和圆的交点为，则有等内容，欢迎下载使用。

1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 以下四个命题中，正确的是（ ）
A. 向量与向量平行
B. 已知，则
C.
D. 若为空间的一个基底，则，，构成空间的另一基底
2. 已知直线一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
4. 已知椭圆，直线，则与的位置关系为（ ）
A. 相交B. 相切C. 相离D. 以上选项都不对
5. 已知，若共面，则实数的值为（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
6. 已知是椭圆上一点，分别是椭圆的左､右焦点､若的周长为6，且椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为1，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知圆是圆上的两点，点，且，则的值为（ ）
A. B. 7C. D. 8
8. 如图，在正四面体中，点分别为和的重心，为线段上点，且平面，设，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分）
9. 下列命题中是假命题的为（ ）
A. 若非零向量与平面平行，则所在直线与平面也平行
B. 若平面的法向量分别为，则
C. 已知为直线的方向向量，为平面的法向量，则
D. 若两个空间非零向量满足，则
10. 圆和圆的交点为，则有（ ）
A. 公共弦所在直线方程为
B. 线段中垂线方程为
C. 公共弦的长为
D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为
11. 如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ）

A. 存在点，使得
B. 存在点，使得
C. 对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为
D. 对于任意点，都是钝角三角形
12. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过椭圆上一点和原点作直线交圆于两点，下列结论正确的是（ ）
A. 椭圆离心率的取值范围是
B 若，且，则
C. 若，则
D. 若，则
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则__________.
14. 已知圆，直线.当直线被圆截得弦长取得最小值时，直线方程为__________.
15. 已知点是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点.则的取值范围为__________.
16. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，为棱的中点，且为棱上的一点，若与平面所成角的正弦值为，则__________.
四､解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17. 已知圆心为的圆经过两点，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程：
（2）求过点且与圆相切的直线方程.
18. 如图，直二面角中，四边形是边长为2正方形，为上的点，且平面，
（1）求二面角的正弦值：
（2）求点到平面的距离.
19. 已知的顶点边上的高所在的直线方程为.
（1）求直线的方程；
（2）在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.
①角的平分线所在直线方程为；
②边上的中线所在的直线方程为.
若__________.求直线的方程.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
20. 已知椭圆的中心是坐标原点，它的短轴长为，一个焦点的坐标为，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，.
（1）求椭圆方程；
（2）若过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程.
21. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，为等边三角形，平面平面.
（1）求直线与平面所成角的正弦值.
（2）为线段上一点.若直线与平面所成的角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.
22. 已知椭圆经过点为椭圆的右焦点，为坐标原点，的面积为.
（1）求椭圆的标准方程：
（2）椭圆的左､右两个顶点分别为，过点的直线的斜率存在且不为0，设直线交椭圆于点，直线过点且与轴垂直，直线交直线于点，直线交直线于点，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
2023-2024学年度上学期期中考试高二年级数学科试卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 以下四个命题中，正确的是（ ）
A. 向量与向量平行
B. 已知，则
C.
D. 若为空间的一个基底，则，，构成空间的另一基底
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量共线的坐标表示判断A；求出向量的模长判断B；根据数量积的定义求解判断C；利用共面向量基本定理及基底的概念判断D.
【详解】因为，因此和不平行，A错误；
由，得，因此，B错误；
，当时，，C错误；
假设，，
因为为空间的一个基底，则，无解，
所以，，不共面，即，，构成空间的另一基底，D正确.
故选：D
2. 已知直线的一个方向向量为，且经过点，则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由直线的方向向量求出直线的斜率，再由点斜式求出直线方程.
【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率，
又直线经过点，所以直线的方程为，即.
故选：D
3. 如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值.
【详解】在直四棱柱中，四边形为正方形，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、，
所以，，，
所以，，
因此，异面直线与所成角的余弦值为.
故选：D.
4. 已知椭圆，直线，则与的位置关系为（ ）
A. 相交B. 相切C. 相离D. 以上选项都不对
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，联立方程并借助一元二次方程判别式判断得解.
【详解】由消去y并整理得：，显然，
因此方程组有两个不同的解，
所以与相交.
故选：A
5. 已知，若共面，则实数的值为（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】用向量，表示向量，利用共面向量定理构造方程组，求解方程组即得结果.
【详解】显然向量与不平行，而，，共面，
则存在实数，使，即，
于是，解得，所以实数的值为5.
故选：B
6. 已知是椭圆上一点，分别是椭圆的左､右焦点､若的周长为6，且椭圆上的点到椭圆焦点的最小距离为1，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆定义和性质列式求，进而可得离心率.
【详解】由题意可知：，解得，
所以椭圆的离心率.
故选：A.
7. 已知圆是圆上的两点，点，且，则的值为（ ）
A. B. 7C. D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，设出直线的方程，与圆的方程联立，借助韦达定理及向量数量积的坐标表示求解即得.
【详解】圆的圆心，半径，由，得点共线，

显然直线不垂直于坐标轴，设直线的方程为，且，
由消去x得：，设，
则，又，
所以.
故选：B
8. 如图，在正四面体中，点分别为和的重心，为线段上点，且平面，设，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正四面体的结构特征可知点为正四面体内切球的球心，利用等体积法运算求解.
【详解】在正四面体中，若平面，所以，
则点为正四面体内切球的球心，
设正四面体内切球的半径为，
因为，
所以，
解得，而，
所以，即.
故选：C.
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得2分）
9. 下列命题中是假命题的为（ ）
A. 若非零向量与平面平行，则所在直线与平面也平行
B. 若平面的法向量分别为，则
C. 已知为直线的方向向量，为平面的法向量，则
D. 若两个空间非零向量满足，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用空间位置关系向量证明判断ABC；利用空间向量共线的意义判断D.
【详解】若非零向量与平面平行，则所在直线可能与平面平行，也可能在平面内，A是假命题；
显然向量不共线，因此平面不平行，B为假命题；
由，得与平面平行，则或，C为假命题；
两个空间非零向量满足，即，则，为真命题．
故选：ABC
10. 圆和圆的交点为，则有（ ）
A. 公共弦所在直线方程为
B. 线段中垂线方程为
C. 公共弦的长为
D. 为圆上一动点，则到直线距离的最大值为
【答案】BD
【解析】
【分析】两圆方程作差后可得公共弦方程，从而可判断A；求出垂直平分线的方程判断B；利用垂径定理计算弦长判断C；求出圆到直线的距离的最大值判断D．
【详解】圆的圆心，半径，的圆心，
半径，显然，即圆与圆相交，
对于A，将方程与相减，
得公共弦AB所在直线的方程为，即，A错误；
对于B，由选项A知，直线的斜率，则线段AB中垂线的斜率为，
而线段中垂线过点，于是线段AB中垂线方程为，即，B正确；
对于C，点到直线的距离为，
因此，C错误；
对于D，P为圆上一动点，圆心到直线的距离为，
因此点P到直线AB距离的最大值为，D正确．
故选：BD
11. 如图，在棱长为1的正方体中，是棱上的动点，则下列说法正确的是（ ）

A. 存在点，使得
B. 存在点，使得
C. 对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为
D. 对于任意点，都是钝角三角形
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意，以为原点，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】由题知，在正方体中，是棱上的动点，
建立以为原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向的空间直角坐标系．

所以，，，设，其中，
所以，，
当，即，所以，显然方程组无解，
所以不存在使得，即不存在点，使得，故A项错误；
当时，解得，故B项正确；
因为，其中，
所以点到的距离为
，故C项正确；
因为，，其中，
所以，
所以三角形为直角三角形或钝角三角形，故D项错误．
故选：BC．
12. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过椭圆上一点和原点作直线交圆于两点，下列结论正确的是（ ）
A. 椭圆离心率的取值范围是
B. 若，且，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A：由椭圆的离心率的表达式及的范围，可得离心率的范围运算求解；对于B：由题意，可得在以为直径的圆上，再由，可得为的中点，由圆的半径可得，从而求出的值；对于C：由椭圆的定义，结合解三角形的相关知识运算求解；对于D：由余弦定理及椭圆的定义，可得的表达式，然后得到，的表达式，进而求出的值．
【详解】对于选项A：由椭圆的方程，可得椭圆的离心率，
因为，所以，所以，所以，
结合椭圆的离心率，可得，故A正确；
对于选项B：若，且，则在以为直径的圆上，如图所示：
所以，由题意可得，
即，所以，解得，故B错误；
对于选项C：设，由椭圆的定义可得，可知，
在中，由余弦定理可得：，
整理的，
所以，故C正确；
对于选项D：因为，所以，
在中，由余弦定理，可得，①
在中，由余弦定理，可得，②
而，，
①②，可得，
即，所以，
所以，故D正确．
故选：ACD．
三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用空间向量数量积的运算法则计算即得.
【详解】单位向量两两夹角均为，则，
所以
.
故答案为：
14. 已知圆，直线.当直线被圆截得弦长取得最小值时，直线的方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出直线所过的定点，再根据当直线时，直线l被圆C截得弦长取得最小值，求出直线的斜率，进而可得出答案.
【详解】在直线中，令，解得，即直线过定点，
圆的圆心，半径，
当直线时，直线l被圆C截得弦长取得最小值，直线斜率，此时直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
故答案为：
15. 已知点是椭圆的左焦点，是椭圆上任意一点.则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用椭圆的定义，把转化为到右焦点的距离，再借助线段和差的三角形不等式求解即得.
【详解】令是椭圆的右焦点，显然，长半轴长，，
由椭圆定义知，，
而，当且仅当共线时等号成立，
于是，因此当在之间时，取得最大值，
当在之间时，取得最小值，
所以的取值范围为.
故答案为：
16. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，为棱的中点，且为棱上的一点，若与平面所成角的正弦值为，则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据给定条件，证得平面，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即得.
【详解】过点作，交于点，由，为中点，得，
又，且，平面，则平面，
而平面，有，又是矩形，则两两垂直，
以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图：
由，，为中点，得，为的中点，
则点，，，，，
，,，，
令，，
设平面法向量为，则，令，得，
由与平面所成角的正弦值为，得，
解得，所以.
故答案为：
四､解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17. 已知圆心为的圆经过两点，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程：
（2）求过点且与圆相切的直线方程.
【答案】（1）；
（2）和.
【解析】
【分析】（1）求出线段的垂直平分线方程，与已知直线方程联立求出圆心坐标及半径，即得圆的方程.
（2）设出切线方程，借助点到直线距离公式即可求得切线方程.
【小问1详解】
设圆心
依题意，的中点为，直线的斜率，则线段的垂直平分线方程为，
显然圆心在线段的垂直平分线上，由，解得，
因此圆心的坐标是，圆的半径，
所以圆方程是．
【小问2详解】
依题意，过点且与圆相切的直线斜率存在，设该切线方程为，即，
于是，解得或，
所以所求切线方程为和.
18. 如图，直二面角中，四边形是边长为2的正方形，为上的点，且平面，
（1）求二面角的正弦值：
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）连接，连接，利用几何法求出二面角的正弦值.
（2）由（1）中信息，求出点到平面的距离即得点到平面的距离.
【小问1详解】
连接，连接，如图，
由四边形是边长为2的正方形，得，且为的中点，，
由平面，平面，得，而平面，
则平面，又平面，于是，因此是二面角的平面角，
由二面角为直二面角，得平面平面，而平面平面，
又，平面，则有平面，平面，
则，由平面，平面，得，平面，
于是平面，而平面，则，又，因此，
显然，从而，由平面，平面，得，
于是，则，
所以二面角的正弦值为.
【小问2详解】
由（1）知，，为线段的中点，即平面经过线段的中点，
因此点到平面的距离等于点到平面的距离，而平面，
即点到平面的距离为线段长，
所以点到平面的距离为.
19. 已知的顶点边上的高所在的直线方程为.
（1）求直线的方程；
（2）在两个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.
①角的平分线所在直线方程为；
②边上的中线所在的直线方程为.
若__________.求直线的方程.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据直线垂直，求得斜率，利用点斜式方程，可得答案.
（2）联立直线方程，求得点的坐标，选择条件①，②分别利用角平分线的对称或中线的对称，求解即得答案.
【小问1详解】
由边上的高所在的直线方程为，得直线的斜率，而的顶点，
所以直线的方程为：，即.
小问2详解】
选①，角的平分线所在直线方程为，令该直线与边交于点，
由，解得，即点A坐标为，
设点B关于的对称点为，
则，解得，即坐标为，
显然点在直线上，则直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
选②，边上的中线所在的直线方程为，
由，解得，即点A坐标为，
设点，则的中点在直线上，即，
整理得，又点在直线上，即，
由，解得，即点，直线的斜率，
所以直线的方程为，即.
20. 已知椭圆的中心是坐标原点，它的短轴长为，一个焦点的坐标为，过点且垂直于轴的直线与椭圆交于两点，.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据短轴长和通径求，即可得椭圆方程；
（2）设，利用“设而不求法”把转化为，求出斜率k，即可求出直线方程.
【小问1详解】
因为短轴长为，所以，
由题意可知：，解得，
所以椭圆方程为.
【小问2详解】
因为点在椭圆外，所以过该点的直线PQ的斜率必然存在，
可设直线PQ的方程为，，
联立方程，消去y得，
则，解得，
由根与系数的关系可知:，
可得.
由得，即，
解得:，符合，
所以直线PQ的方程为.
21. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，为等边三角形，平面平面.
（1）求直线与平面所成角的正弦值.
（2）为线段上一点.若直线与平面所成的角的正弦值为，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）取AD中点O，连接OB，OP.通过证明，可得，，由等体积法可求得点A到平面PBC的距离，进而可求线面夹角；
（2）建立以O为原点的空间直角坐标系，由直线AE与平面ABCD所成的角的正弦值为，可得.求得平面ADE的法向量后，利用空间向量可得平面ADE与平面夹角的余弦值.
【小问1详解】
取AD中点O，连接OB，OP，
因为为等边三角形，则，且，
又因为平面平面ABCD，平面平面，平面PAD，
所以平面ABC，
由平面ABCD，可得，
又因为，且，可得，
且，平面POB，平面POB，，
所以平面POB.
由平面POB，可知，则，，，
在中，可知，
由余弦定理可得，
设点A到平面PBC的距离为h，
则即，解得，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【小问2详解】
由（1）可知：分别以OA，OB，OP为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
可得，，，，
设，则，，
得，则，
因为平面ABC，则取平面ABCD的法向量.，
设AE与平面ABCD所成的角为，则
，解得，
则，
设平面ADE的法向量，则，
令，则取平面ADE的法向量，
设平面的法向量，则，
令，则取平面的法向量，
故平面ADE与平面夹角的余弦值为.
22. 已知椭圆经过点为椭圆的右焦点，为坐标原点，的面积为.
（1）求椭圆的标准方程：
（2）椭圆的左､右两个顶点分别为，过点的直线的斜率存在且不为0，设直线交椭圆于点，直线过点且与轴垂直，直线交直线于点，直线交直线于点，则是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）
（2）是定值，定值为1
【解析】
【分析】（1）根据已知条件列方程和代入法求得的方程.
（2）设出直线的方程并与曲线的方程联立，化简写出根与系数关系，求得两点的纵坐标，由此化简来求得正确答案.
【小问1详解】
由题意可得，解得，
所以椭圆的标准方程.
【小问2详解】
因为在椭圆内，则直线m与椭圆必相交，
且直线m的斜率存在且不为0，
设过点K的直线m的方程为，
联立方程，消去x得，
则，
可知，
又因为，直线，
直线AM的方程为，则，
同理可得，
所以，
其中，
所以（定值）.