广东省肇庆市封开县广信中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题

这是一份广东省肇庆市封开县广信中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．命题：“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知函数（）在上的最大值为1，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．若不等式的解集为，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
6．若函数在上是增函数，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．如果函数在区间上是增函数，且函数在区间上是减函数，那么称函数是区间上的“缓增函数”，区间叫做“缓增区间”.若函数是区间上的“缓增函数”，则“缓增区间”为（ ）
A．B．C．D．
8．定义在上的奇函数,,且对任意不等的正实数,都满足,则不等式的解集为
A． B． C． D．
二、多选题
9．函数的图象如图所示（图中曲线与直线无限接近，但永不相交），则下列选项正确的有（ ）
A．函数的值域为
B．函数的定义域为
C．对，都有两个不同的值与之对应
D．当函数（为常数）与函数的图象只有一个交点时，的取值范围为
10．若、、，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则 B．若，则
C．若且，则 D．
11．已知是幂函数图像上的任意两点，则以下结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．已知函数的定义域为，若对于任意的、，都有，则称为上的凸函数，由此可得在下列函数中为凸函数有（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
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三、填空题
13．函数的增区间为 .
14．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则在上的解析式为 .
15．记表示，，中的最大者，设函数，若，则实数的取值范围 .
16．某小区要建一座八边形的休闲公园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字型地域，计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元，再在四个空角(图中四个三角形)上铺草坪，造价为80元.设总造价为(单位：元)，长为(单位：).的最小值是 ，此时的值是 .
四、解答题
17．（1）已知，求函数的最小值；
（2）已知0求函数的最大值.
18．已知幂函数为偶函数.
(1)求的解析式；
(2)若在上不是单调函数，求实数的取值范围.
19．已知函数.
(1)若，求在区间上的值域；
(2)解关于的不等式.
20．已知函数.
(1)判断函数在上的单调性并证明；
(2)判断并证明函数的奇偶性，并求在区间上的最大值与最小值.
21．2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海举行，经过三年发展，进博会让展品变商品，让展商变投资商，交流创意和理念，联通中国和世界，国际采购、投资促进、人文交流，开放合作四大平台作用不断凸显，成为全球共享的国际公共产品.在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为150万元，每生产1万台需另投入380万元.设该企业一年内生产该产品万台且全部售完，每万台的销售收入为万元，且.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润 = 销售收入—成本）
(2)当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大？并求出最大年利润.
22．已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立．
(1)讨论函数的奇偶性；
(2)证明函数是上的单调函数；
(3)若，求的取值范围．
2023-2024学年度高一数学期中考试参考答案
1．D【详解】因为，，所以.
2．B全称命题的否定是特称命题，命题：“，”的否定是：，．
3．A【详解】当时，，当且仅当时，即时，等号成立，
所以当时，是成立的，即充分性成立；反之：时，是成立的，但此时不成立，即必要不成立，所以“”是“”的充分不必要条件.
4．B当时，函数在上单调递减，所以函数（）在处取得最大值，最大值为，解得．
5．A由不等式的解集为，得是方程的二根，且，
于是，且，解得，不等式为，即，解得，所以不等式的解集是.
6．A要使函数在上是增函数，只需，解得：.
即a的取值范围是.
7．B由二次函数的性质可得的增区间为，∵，∴，令，得或，（或用对勾函数的单调性得单调区间）
即函数的减区间为和，综上可得:函数的“缓增区间”为，
8．A∵对任意不等的正实数,都满足,
∴函数在(0,+∞)上单调递增,，∵定义在R上的奇函数,
∴在(−∞,0)上单调递增。∴不等式等价为,即.∵，∴.作出函数的草图,由图像可知,不等式等价为或,即或,即不等式的解集为.
9．AC对A，由图象可知，函数的值域为，A正确；对B，由图象可知，函数的定义域为，B错误；对C，由图象可知，对，都有两个不同的值与之对应，C正确；对D，由图象可知，当函数（为常数）与函数的图象只有一个交点时，
的取值范围为，D错误；
10．BD对于A选项，若且，取，，则，A错；对于B选项，若，则，B对；对于C选项，若且，则，则，故，C错；对于D选项，，当且仅当时，等号成立，故，D对.
11．ACD幂函数的定义域为，，，
∵函数在单调递增，，∴，即，故A正确；
，，∵函数在单调递减，，即，∴，即，故B错误；∵幂函数在上单调递增，，∴，，即，∴，故C正确；
，∵，
∴，即，故D正确.
12．AD对于A选项，作出函数的图象如下图所示：由图可知，函数满足凸函数的定义；对于B选项，取，，则，，，此时，函数不满足凸函数的定义；对于C选项，取，，则，，，则，所以，，函数不满足凸函数的定义；对于D选项，作出函数的图象如下图所示：由图可知，函数满足凸函数的定义.
13． 任取，，
因为，，当时，，，
此时，，为增函数，所以函数的增区间为.
14． 因为函数是定义在上的奇函数，则，当时，则，可得，所以.
15．或或解：如图，作出函数，根据图像，等价于或或，解不等式得或或，所以实数的取值范围或或
16． 118000 【详解】由题意，，又，有
，
当且仅当，即时，等号成立所以当，最小且最小值为
17．【详解】（1） ，，当且仅当 ，即时“＝”成立．的最小值为.
（2），
当且仅当 ，即时“＝”成立，的最大值为.
18．解】（1）由题意 ,解得: 或 3 ,若 是偶函数,则，故 ;
（2）, 的对称轴是 ,
若 在上不是单调函数,则 , 解得: .所以实数的取值范围为.
19．解】（1）当时，，函数图象的对称轴，当时，取最小值，因为，则当时，取最大值，所以在区间上的值域为.
（2）由，得，即，当时，或；
当时，或；当时，，
所以当时，的解集为或；当时，的解集为或；
当时，的解集为.
20．（1）解：任取，，，
，，，，即在单调递减；
（2）因为的定义域为，关于原点对称，
又，所以为奇函数，又由（1）知在单调递减，所以在也单调递减，所以，.
21．解】（1）当时，，
当时，，
所以年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式为
（2）当时，，
所以函数在上单调递增，所以当时， 取得最大值1450，
当时，，
当且仅当，即时取等号，此时取得最大值1490，因为，
所以当年产量为25万台时，该企业获得的年利润最大，最大为1490万元
22．解】（1）由得，即，又由，令，得，所以可得，又函数的定义域为，其定义域关于原点对称，即函数是奇函数．
（2）证明：设，则可得
，又当时，恒成立，所以，因此，函数是上的减函数．
（3）解法一：由得，又是奇函数，即，又在上是减函数，所以，解得或．
故的取值范围是．法二：由且及，得，
又在上是减函数，所以，解得或．故的取值范围是．