河南省开封市龙亭区金明中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份河南省开封市龙亭区金明中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共23页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列长度四根木棒中，能与长为4，9的两根木棒围成一个三角形的是（ ）
A．4B．5C．9D．14
4．（3分）图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
5．（3分）如果n边形的内角和是它外角和的3倍，则n等于（ ）
A．6B．7C．8D．9
6．（3分）点M（3，﹣4）关于x轴的对称点M′的坐标是（ ）
A．（3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（﹣3，4）D．（﹣4，3）
7．（3分）如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF（ ）
A．∠B＝∠EB．∠BCA＝∠FC．BC∥EFD．∠A＝∠EDF
8．（3分）如图，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，BO与CO交于点O，交AC于点E，已知AB＝6，则△ADE的周长是（ ）
A．8B．10C．12D．11
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，连接BD，则∠ABD＝（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
10．（3分）如图，把长方形纸片ABCD沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，有下列说法：①△EBD是等腰三角形，EB＝ED；
②折叠后∠ABE和∠CBD一定相等；
③折叠后得到的图形是轴对称图形；
④△EBA和△EDC一定是全等三角形．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）在Rt△ABC中，锐角∠A＝50°，则另一个锐角∠B＝ ．
12．（3分）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3＝32°，那么∠1+∠2＝ 度．
13．（3分）如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小 ．
14．（3分）如图，直角坐标系中，点A（﹣2，2）（0，1），点P在x轴上，且△PAB是等腰三角形  个．
15．（3分）如图，∠AOB＝30°，P是∠AOB内一点，Q，R分别是OA、OB上的动点，则△PQR周长的最小值为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共55分）
16．（6分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD
17．（8分）（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1（其中A1，B1，C1分别是A，B，C的对应点）；
（2）直接写出△A1B1C1三点的坐标：A1 ，B1 ，C1 ．
（3）直接写出△ABC的面积是 ．
18．（8分）如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB＝AC
19．（8分）已知，如图，AD是△ABC的角平分线
求证：AD垂直平分EF．
20．（8分）已知：如图，△ABC，射线AM平分∠BAC．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）作BC的中垂线，与AM相交于点G
（2）在（1）的条件下，∠BAC和∠BGC的等量关系为 ，证明你的结论．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12cm．动点P从点A出发，沿AB向点B运动，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）t为多少时，△PBQ是等边三角形？
（2）P、Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t为多少时
22．（9分）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，易证AB＝AC+CD．
（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，请直接写出你的猜想：
（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想
2023-2024学年河南省开封市龙亭区金明中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的.
1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、B、C不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形，
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）下列图形中，具有稳定性的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性．
【解答】解：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形．
显然B选项符合．
故选：B．
【点评】此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，注意根据三角形的稳定性进行判断．
3．（3分）下列长度四根木棒中，能与长为4，9的两根木棒围成一个三角形的是（ ）
A．4B．5C．9D．14
【分析】由三角形的三边关系易得第三边的取值范围，看选项中哪个在范围内即可．
【解答】解：设第三边为c，则9﹣4＜c＜7+4．只有9符合要求．
故选：C．
【点评】本题考查三角形三边关系，解题的关键是理解：已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
4．（3分）图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．50°B．55°C．60°D．65°
【分析】由全等三角形的对应角相等可求得答案．
【解答】解：
∵两三角形全等，
∴a、c两边的夹角相等，
∴α＝180°﹣60°﹣65°＝55°，
故选：B．
【点评】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
5．（3分）如果n边形的内角和是它外角和的3倍，则n等于（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】根据多边形内角和公式180°（n﹣2）和外角和为360°可得方程180（n﹣2）＝360×3，再解方程即可．
【解答】解：由题意得：180（n﹣2）＝360×3，
解得：n＝7，
故选：C．
【点评】此题主要考查了多边形内角和与外角和，要结合多边形的内角和公式与外角和的关系来寻求等量关系，构建方程即可求解．
6．（3分）点M（3，﹣4）关于x轴的对称点M′的坐标是（ ）
A．（3，4）B．（﹣3，﹣4）C．（﹣3，4）D．（﹣4，3）
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
【解答】解：点M（3，﹣4）关于x轴的对称点M′的坐标是（5．
故选：A．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
7．（3分）如图，已知点A，D，C，F在同一条直线上，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF（ ）
A．∠B＝∠EB．∠BCA＝∠FC．BC∥EFD．∠A＝∠EDF
【分析】根据已知AB＝DE，BC＝EF，可知还需要添加的一个条件可以为三角形的第三边相等，或两边的夹角相等，即可解答．
【解答】解：A、∵AB＝DE，∠B＝∠E，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故A符合题意；
B、∵AB＝DE，∠BCA＝∠F，
∴不能使△ABC≌△DEF，
故B不符合题意；
C∵BC∥EF，
∴∠BCA＝∠F，
∵AB＝DE，BC＝EF，
∴不能使△ABC≌△DEF，
故C不符合题意；
D、∵AB＝DE，∠A＝∠EDF，
∴不能使△ABC≌△DEF，
故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
8．（3分）如图，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，BO与CO交于点O，交AC于点E，已知AB＝6，则△ADE的周长是（ ）
A．8B．10C．12D．11
【分析】根据两直线平行，内错角相等，以及根据角平分线性质，可得△OBD、△EOC均为等腰三角形，由此把△ADE的周长转化为AC+AB．
【解答】解：∵DE∥BC
∴∠DOB＝∠OBC，
又∵BO是∠ABC的角平分线，
∴∠DBO＝∠OBC，
∴∠DBO＝∠DOB，
∴BD＝OD，
同理：OE＝EC，
∴△ADE的周长＝AD+OD+OE+AE＝AD+BD+AE+EC＝AB+AC＝10．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线的性质和等腰三角形的判定及性质，正确证明△OBD、△EOC均为等腰三角形是关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以B为圆心，BC的长为半径圆弧，连接BD，则∠ABD＝（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC＝∠ACB，再求出∠CBD，然后根据∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD计算即可得解．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝，
∵以B为圆心，BC的长为半径圆弧，
∴BC＝BD，
∴∠CBD＝180°﹣2∠ACB＝180°﹣5×75°＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝75°﹣30°＝45°．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．
10．（3分）如图，把长方形纸片ABCD沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，有下列说法：①△EBD是等腰三角形，EB＝ED；
②折叠后∠ABE和∠CBD一定相等；
③折叠后得到的图形是轴对称图形；
④△EBA和△EDC一定是全等三角形．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】图形的折叠过程中注意出现的全等图象．
【解答】解：①△EBD是等腰三角形，EB＝ED；
②折叠后∠ABE+2∠CBD＝90°，∠ABE和∠CBD不一定相等（除非都是30°）；
③折叠后得到的图形是轴对称图形，正确；
④△EBA和△EDC一定是全等三角形，正确．
故选：C．
【点评】正确找出折叠时出现的全等三角形，找出图中相等的线段，相等的角是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）在Rt△ABC中，锐角∠A＝50°，则另一个锐角∠B＝ 40° ．
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，即可求得∠B的度数．
【解答】解：∵Rt△ABC中，锐角∠A＝50°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝40°．
故答案为：40°．
【点评】本题主要考查直角三角形的性质，解答的关键是明确直角三角形的两个锐角互余．
12．（3分）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3＝32°，那么∠1+∠2＝ 70 度．
【分析】分别根据正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数及平角的定义进行解答即可．
【解答】解：∵∠3＝32°，正三角形的内角是60°，正五边形的内角是108°，
∴∠4＝180°﹣60°﹣32°＝88°，
∴∠6+∠6＝180°﹣88°＝92°，
∴∠5＝180°﹣∠7﹣108°       ①，
∠6＝180°﹣90°﹣∠1＝90°﹣∠4 ②，
∴①+②得，180°﹣∠2﹣108°+90°﹣∠1＝92°，
即∠8+∠2＝70°．
故答案为：70°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键．
13．（3分）如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小 2 ．
【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为F点．此时PD+PE＝BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE＝AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．
【解答】解：连接BD，与AC交于点F．
∵点B与D关于AC对称，
∴PD＝PB，
∴PD+PE＝PB+PE＝BE最小．
∵正方形ABCD的面积为12，
∴AB＝2．
又∵△ABE是等边三角形，
∴BE＝AB＝4．
故所求最小值为2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题．
14．（3分）如图，直角坐标系中，点A（﹣2，2）（0，1），点P在x轴上，且△PAB是等腰三角形 4  个．
【分析】由AB＝AP，可得以A为圆心，AB为半径画圆，交x轴有二点P1（﹣1，0），P2（﹣3，0）；
由BP＝AB，可得以B为圆心，BA为半径画圆，交x轴有二点P3（﹣2，0），（2，0）不能组成△ABP，
由AP＝BP，可得AB的垂直平分线交x轴一点P4（PA＝PB）．
【解答】解：如图，点A（﹣2、B（0，
①以A为圆心，AB为半径画圆6（﹣1，0），P6（﹣3，0）；
②以B为圆心，BA为半径画圆5（﹣2，0），4）不能组成△ABP，此时（BP＝AB）；
③AB的垂直平分线交x轴一点P4（PA＝PB），此时（AP＝BP）；
设此时P4（x，7），
则（x+2）2+8＝x2+1，
解得：x＝﹣，
∴P4（﹣，0）．
∴符合条件的点有6个．
故答案为4．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定．此题那难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
15．（3分）如图，∠AOB＝30°，P是∠AOB内一点，Q，R分别是OA、OB上的动点，则△PQR周长的最小值为 10 ．
【分析】设点P关于OA、OB对称点分别为M、N，当点R、Q在MN上时，△PQR周长为PR+RQ+QP＝MN，此时周长最小．
【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点M、N、ON，MN交OA、R，连接PR，此时△PQR周长的最小值等于MN．
由轴对称性质可得，OM＝ON＝OP＝10，∠NOB＝∠POB，
则∠MON＝2∠AOB＝2×30°＝60°，
在△MON中，MN＝OM＝ON＝10．
即△PQR周长的最小值等于10，
故答案为：10
【点评】本题考查了轴对称﹣﹣最短路线的问题，综合应用了轴对称、等腰直角三角形以及勾股定理的有关知识．
三、解答题（本大题共8个小题，共55分）
16．（6分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD
【分析】先连接AC，由于AB＝AD，CB＝CD，AC＝AC，利用SSS可证△ABC≌△ADC，于是∠B＝∠D．
【解答】证明：连接AC，
在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠B＝∠D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是连接AC，构造全等三角形．
17．（8分）（1）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1（其中A1，B1，C1分别是A，B，C的对应点）；
（2）直接写出△A1B1C1三点的坐标：A1 （2，2） ，B1 （3，0） ，C1 （﹣1，﹣3） ．
（3）直接写出△ABC的面积是 5.5 ．
【分析】（1）首先确定A、B、C三点关于y轴的对称点位置，然后再连接即可；
（2）利用坐标写出各点坐标即可；
（3）利用矩形面积减去周围多余三角形的面积即可•
【解答】解：（1）如图所示；
（2）A1（2，2），B1（3，6），C1（﹣1，﹣5），
故答案为：（2，2），6），﹣3）；
（3）△ABC的面积：4×3﹣×3×1﹣×4×3＝5.3．
故答案为：5.5．
【点评】此题主要考查了作图﹣﹣轴对称变换，关键是正确确定组成图形的关键点位置．
18．（8分）如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB＝AC
【分析】要证明线段相等，只要过点A作BC的垂线，利用三线合一得到P为DE及BC的中点，线段相减即可得证．
【解答】证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．
∵AB＝AC，
∴BP＝PC；
∵AD＝AE，
∴DP＝PE，
∴BP﹣DP＝PC﹣PE，
∴BD＝CE．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，做题时，两次用到三线合一的性质，由等量减去等量得到差相等是解答本题的关键．
19．（8分）已知，如图，AD是△ABC的角平分线
求证：AD垂直平分EF．
【分析】根据三角形的角平分线的性质定理和垂直平分线的性质定理解答．
【解答】证明：设AD、EF的交点为K，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，
∴DE＝DF．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF．
∵AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥EF，EK＝KF，
∴AD是线段EF的垂直平分线．
【点评】此题考查角平分线的性质和垂直平分线的判定，关键是找到Rt△AED和Rt△ADF，通过两个三角形全等，找到各量之间的关系，即可证明．
20．（8分）已知：如图，△ABC，射线AM平分∠BAC．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）作BC的中垂线，与AM相交于点G
（2）在（1）的条件下，∠BAC和∠BGC的等量关系为 互补 ，证明你的结论．
【分析】（1）以C、B为圆心，大于BC为半径作弧，两弧交于F、E，作直线FE即为BC的垂直平分线．
（2）作GD⊥AB，GK⊥AC，利用角平分线的性质和垂直平分线的性质证全等即可．
【解答】解：（1）如图1；
（2）互补．
证明：作GD⊥AB，GK⊥AC，
∵AG为∠BAC的平分线，
∴GD＝GK，
∵EF为BC的垂直平分线，
∴GB＝GC，
在△GBD与△GCK中，
，
∴△GBD≌△GCK（HL），
∴∠BGC＝∠DGK，
∵∠DGK+∠BAC＝180°，
∴∠BGC+∠BAC＝180°，
∴∠BAC和∠BGC互补．
故答案为：互补．
【点评】本题考查了作图﹣﹣基本作图，要熟悉垂直平分线的性质和角平分线的性质．
21．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12cm．动点P从点A出发，沿AB向点B运动，沿BC向点C运动，如果动点P以2cm/s，设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）t为多少时，△PBQ是等边三角形？
（2）P、Q在运动过程中，△PBQ的形状不断发生变化，当t为多少时
【分析】（1）根据等边三角形的性质解答即可；
（2）分两种情况利用直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：（1）要使△PBQ是等边三角形，即可得：PB＝BQ，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12cm．
∴AB＝24cm，
可得：PB＝（24﹣2t）cm，BQ＝tcm，
即24﹣2t＝t，
解得：t＝3，
故答案为：8；
（2）当t为6s或s时，
理由如下：
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝12×2＝24（cm），
∵动点P以7cm/s，Q以1cm/s的速度出发，
∴BP＝AB﹣AP＝（24﹣2t）cm，BQ＝tcm，
∵△PBQ是直角三角形，
∴BP＝8BQ或BQ＝2BP，
当BP＝2BQ时，
24﹣6t＝2t，
解得t＝6；
当BQ＝6BP时，
t＝2（24﹣2t），
解得t＝．
所以，当t为6s或，△PBQ是直角三角形．
【点评】此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的性质解答．
22．（9分）在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，易证AB＝AC+CD．
（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，请直接写出你的猜想：
（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想
【分析】（1）首先在AB上截取AE＝AC，连接DE，易证△ADE≌△ADC（SAS），则可得∠AED＝∠C，ED＝CD，又由∠AED＝∠ACB，∠ACB＝2∠B，所以∠AED＝2∠B，即∠B＝∠BDE，易证DE＝CD，则可求得AB＝AC+CD；
（2）首先在BA的延长线上截取AE＝AC，连接ED，易证△EAD≌△CAD，可得ED＝CD，∠AED＝∠ACD，又由∠ACB＝2∠B，易证DE＝EB，则可求得AC+AB＝CD．
【解答】解：（1）猜想：AB＝AC+CD．
证明：如图②，在AB上截取AE＝AC，
∵AD为∠BAC的角平分线时，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AD＝AD，
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴∠AED＝∠C，ED＝CD，
∵∠ACB＝2∠B，
∴∠AED＝2∠B，
∵∠AED＝∠B+∠EDB，
∴∠B＝∠EDB，
∴EB＝ED，
∴EB＝CD，
∴AB＝AE+DE＝AC+CD．
（2）猜想：AB+AC＝CD．
证明：在BA的延长线上截取AE＝AC，连接ED．
∵AD平分∠FAC，
∴∠EAD＝∠CAD．
在△EAD与△CAD中，
AE＝AC，∠EAD＝∠CAD，
∴△EAD≌△CAD（SAS）．
∴ED＝CD，∠AED＝∠ACD．
∴∠FED＝∠ACB，
又∵∠ACB＝3∠B
∴∠FED＝2∠B，∠FED＝∠B+∠EDB，
∴∠EDB＝∠B，
∴EB＝ED．
∴EA+AB＝EB＝ED＝CD．
∴AC+AB＝CD．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定定理．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．