江苏省苏州市新区2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份江苏省苏州市新区2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题.，解答题.等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下列运动图标中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）下列各式计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）下列数组为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．1，1，B．，，
C．，，D．0.2，0.3，0.5
4．（2分）已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为（ ）
A．9B．12C．9或12D．5
5．（2分）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2分）如图，在△ABC中，点D在BC上，∠B＝80°，则∠C的度数为（ ）
A．30°B．40°C．45°D．60°
7．（2分）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时（ ）
A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米
8．（2分）如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，连接BE交AD于点F，若DG＝EG，AB＝10，△AEG的面积为15（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）.
9．（2分）代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
10．（2分）若一正数的两个平方根分别是2a﹣7与﹣a+2，则这个正数等于 ．
11．（2分）比较大小： ．
12．（2分）如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，则点C所表示的数是 ．
13．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，BD＝5cm cm．
​
14．（2分）若，则＝ ．
15．（2分）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为 尺．
16．（2分）如图，在等边△ABC中，AB＝8，以BE为边作等边△BEF，连接DF，则FB+FD的最小值为 ．
​
三、解答题（本大题共11小题，满分68分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
17．（6分）计算下列各题：
（1）+﹣（）2；
（2）（+2）（﹣2）+×．
18．（6分）求下列各式中x的值
（1）9x2﹣25＝0；                   
（2）3（x+1）3+24＝0．
19．（3分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B
（1）△ABC （是、不是）直角三角形．
（2）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′．
（3）△A′B′C的面积为 ．
20．（4分）已知x、y满足+|y﹣3x﹣1|＝0，求y2﹣5x的平方根．
21．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，AC于E，D．
（1）若△BCD的周长为8，求BC的长；
（2）若∠A＝38°，求∠DBC的度数．
​
22．（6分）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作：
①测得水平距离BD的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.7米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想要风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？​
23．（6分）据说我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道求大数的立方根的题目，他很快便给出了正确答案，忙问计算中的奥妙．请你跟着下面求15625的立方根的步骤试一试．
步骤一：103＝1000，1003＝1000000，则15625的立方根是 位数；
步骤二：15625的个位上的数字是5，则15625的立方根的个位上的数字是 ；
步骤三：划去15625后面的三位“625”得到数15，而23＝833＝27，由此可确定15625的立方根十位上的数字是 ，因此15625的立方根是 ．
（1）请将上面的解题步骤补充完整；
（2）请用上述该方法，直接写出658503的立方根．答 ．
24．（7分）已知：如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，E，AC的中点．
（1）请判断线段EF与AC的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ADC＝30°，BD＝8cm，试求线段EF的长度．
​
25．（7分）大家知道是无理数，因此，于是小明用﹣1来表示，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：＜3，∴的整数部分为2﹣2．
（1）整数部分是 ，小数部分是 ；
（2）如果的整数部分为a，的整数部分为b；
（3）已知9+＝x+y，其中x是整数，求x﹣y的值．
26．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝6，动点D从点C出发，到点B时停止，若设点D运动的时间为t（t＞0）秒
（1）当t＝3时，AD＝ ；
（2）用含t的代数式表示AD（AD＞0）的长；
（3）当点D在边CA上运动时，若△CBD是以BD或CD为底的等腰三角形，求t的值．
27．（9分）我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在△ABC中，AO是BC边上的中线2﹣BO2的值，可记为AB◎AC＝AO2﹣BO2．
（1）在图1中，若∠BAC＝90°，AB＝16，AO是BC边上的中线，则AB◎AC＝ ，OC◎OA＝ ；
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC＝8，求AB◎AC、BA◎BC的值；
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC，点N在AO上，且ON＝，已知AB◎AC＝23，BN◎BA＝13
2023-2024学年江苏省苏州市新区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）下列运动图标中，属于轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，直线两旁的部分能够互相重合；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（2分）下列各式计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的性质对A选项、C选项、D选项进行判断；根据二次根式的加法运算对B选项进行判断．
【解答】解：A.＝，所以A选项不符合题意；
B.与不能合并；
C．（）2＝8，所以C选项符合题意；
D．（＝|﹣5|＝2；
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
3．（2分）下列数组为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A．1，1，B．，，
C．，，D．0.2，0.3，0.5
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、12+72≠（）3，不能构成直角三角形，故选项不符合题意；
B、（）2+（）8≠（）8，不能构成直角三角形，故选项不符合题意；
C、（）2+（）2＝（）7，能构成直角三角形，故选项符合题意；
D、0.26+0.33≠0.58，不能构成直角三角形，故选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，即若三角形的三边符合a2+b2＝c2，则此三角形是直角三角形．
4．（2分）已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为（ ）
A．9B．12C．9或12D．5
【分析】根据2和5可分别作等腰三角形的腰，结合三边关系定理，分别讨论求解．
【解答】解：当2为腰时，三边为2，6，5，由三角形三边关系定理可知，
当5为腰时，三边为2，5，2，周长为：8+5+2＝12，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据2，5，分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．
5．（2分）下列根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】当二次根式满足：①被开方数不含开的尽方的数或式；②根号内面没有分母．内面二次根式为最简二次根式，由此即可求解．
【解答】解：A、＝2；
B、＝，故选项错误；
C、是最简二次根式；
D、＝2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了最简二次根式的定义，熟练最简二次根式的定义即可解决问题．
6．（2分）如图，在△ABC中，点D在BC上，∠B＝80°，则∠C的度数为（ ）
A．30°B．40°C．45°D．60°
【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ADB的度数，再由平角的定义得出∠ADC的度数，根据等腰三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵△ABD中，AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝80°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝100°，
∵AD＝CD，
∴∠C＝＝＝40°．
故选：B．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．
7．（2分）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时（ ）
A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米
【分析】先根据题意求得∠ACB，∠ACB的度数，再求得CB，AC，DE的长，从而利用勾股定理求得AB的长；然后再利用勾股定理求得BD的长，进而利用线段的和差关系，求得CD即可．
【解答】解：如图，∠ACB＝∠ACB＝90°，AC＝2.5m．
在Rt△ABC中，AB＝＝．
∵AB＝BE，
∴BE＝2.8（m），
∴BD＝＝＝1.2（m），
∴CD＝CB+BD＝0.7+5.5＝2.3（m），即小巷的宽度为2.2米．
故选：C．
【点评】此题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是解决此题的关键．
8．（2分）如图，三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，连接BE交AD于点F，若DG＝EG，AB＝10，△AEG的面积为15（ ）
A．B．C．D．
【分析】由折叠的性质可得AB＝AE＝10，BD＝DE，AD⊥EF，由三角形面积公式可求AD＝6，由勾股定理可求解．
【解答】解：∵把△ABD沿着直线AD翻折，得到△AED，
∴AB＝AE＝10，BD＝DE，
∴EF＝＝＝2，
∵DG＝EG，△AEG的面积为15，
∴S△ADE＝2×S△AEG＝15×2＝×EF×AD，
∴AD＝10，
∴DF＝AD﹣AF＝10﹣8＝5，
∴BD＝DE＝＝＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了翻折变换，勾股定理，三角形的面积公式等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，满分16分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）.
9．（2分）代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥5 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，x﹣5≥0，
解得x≥8，
故答案为：x≥5．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
10．（2分）若一正数的两个平方根分别是2a﹣7与﹣a+2，则这个正数等于 9 ．
【分析】根据正数的平方根有两个，且互为相反数列出方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出这个正数．
【解答】解：根据题意得：2a﹣7﹣a+7＝0，即a＝5，
则这个正数为（10﹣4）2＝9．
故答案为：5．
【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
11．（2分）比较大小： ＞ ．
【分析】把根号外面的数平方乘到根号里面，比较根号内数的大小即可．
【解答】解：6＝＝，7＝＝；
∵180＞150，
∴，
即＞．
故答案为：＞．
【点评】此题考查实数的大小比较，注意灵活转化．
12．（2分）如图，数轴上表示1，的对应点分别为A，B，则点C所表示的数是 2﹣ ．
【分析】首先根据数轴上表示1，的对应点分别为A，B可以求出线段AB的长度，然后由AB＝AC利用两点间的距离公式便可解答．
【解答】解：∵数轴上表示1，的对应点分别为A，B，
∴AB＝﹣1，
∵点B关于点A的对称点为C，
∴AC＝AB．
∴点C的坐标为：1﹣（﹣1）＝2﹣．
故答案为：2﹣
【点评】本题考查的知识点为：求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数．知道两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．
13．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，BD＝5cm 3 cm．
​
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答．
【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵BC＝8cm，BD＝5cm，
∴CD＝4﹣5＝3（cm），
∵AD平分∠CAB，∠C＝90°，
∴DE＝CD＝5cm．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
14．（2分）若，则＝ 2 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣3≥0且3﹣x≥0，解不等式可得x的值，进而得到y的值，然后再求出的值即可．
【解答】解：由题意得：x﹣3≥0且4﹣x≥0，
解得x＝3，
则y＝6，
＝＝4．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
15．（2分）《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，则水深为 12 尺．
【分析】我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知EB'的长为10尺，则B'C＝5尺，设出AB＝AB'＝x尺，表示出水深AC，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．
【解答】解：依题意画出图形，设芦苇长AB＝AB′＝x尺，
因为B'E＝10尺，所以B'C＝5尺
在Rt△AB'C中，54+（x﹣1）2＝x7，
解之得x＝13，
即水深12尺，芦苇长13尺．
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟悉数形结合的解题思想是解题关键．
16．（2分）如图，在等边△ABC中，AB＝8，以BE为边作等边△BEF，连接DF，则FB+FD的最小值为 4 ．
​
【分析】首先证明△BAE≌△BCF（SAS），推出∠BAE＝∠BCF＝30°，作点D关于CF的对称点G，连接CG，DG，BG，BG交CF于点F′，连接DF′，此时BF′+DF′的值最小，最小值＝线段BG的长．
【解答】解：如图，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥CB，
∴∠BAE＝∠BAC＝30°，
∵△BEF是等边三角形，
∴∠EBF＝∠ABC＝60°，BE＝BF，
∴∠ABE＝∠CBF，
在△BAE和△BCF中，
，
∴△BAE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE＝∠BCF＝30°，
作点D关于CF的对称点G，连接CG，BG，连接DF′，最小值＝线段BG的长．
∵∠DCF＝∠FCG＝30°，
∴∠DCG＝60°，
∵CD＝CG＝2，
∴△CDG是等边三角形，
∴DB＝DC＝DG，
∴∠CGB＝90°，
∴BG＝＝＝4，
∴BF+DF的最小值为5，
故答案为：4．
【点评】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共11小题，满分68分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.
17．（6分）计算下列各题：
（1）+﹣（）2；
（2）（+2）（﹣2）+×．
【分析】（1）利用算术平方根及立方根的定义计算即可；
（2）利用平方差公式及二次根式的运算法则计算即可．
【解答】解：（1）原式＝6+3﹣6＝4；
（2）原式＝3﹣7+
＝﹣1+2
＝3．
【点评】本题考查实数的运算及平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
18．（6分）求下列各式中x的值
（1）9x2﹣25＝0；                   
（2）3（x+1）3+24＝0．
【分析】（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出即可．
（2）先化成（x+1）3＝﹣8的形式，再开立方，即可求出答案．
【解答】解：（1）（3x+5）（2x﹣5）＝0，
3x+5＝0，2x﹣5＝0，
x8＝﹣，x2＝．
（2）8（x+1）3＝﹣24，
（x+3）3＝﹣8，
x+4＝﹣2，
x＝﹣3．
【点评】本题考查了平方根和立方根的应用，主要考查学生的计算能力．
19．（3分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B
（1）△ABC 不是 （是、不是）直角三角形．
（2）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′．
（3）△A′B′C的面积为 4 ．
【分析】（1）利用勾股定理求出AB2＝13，AC2＝5，BC2＝20，由于AB2+AC2≠BC2，则△ABC不是直角三角形；
（2）根据轴对称的性质即可画出△A'B'C'；
（3）连接AB'，交直线1于点P，此时PA+PB的长最短．
【解答】解：（1）由勾股定理得，AB2＝13，AC2＝4，BC2＝20，
∵AB2+AC8≠BC2，
∴△ABC不是直角三角形，
故答案为：不是；
（2）如图，△A'B'C'即为所求；
（3）△ABC的面积为3×4﹣＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，作图一轴对称变换，解题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理，
20．（4分）已知x、y满足+|y﹣3x﹣1|＝0，求y2﹣5x的平方根．
【分析】根据绝对值的性质以及二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x+1＝0，y﹣8x﹣1＝0，
∴x＝﹣4，y＝3x+1＝﹣7+1＝﹣2，
∴y3﹣5x＝4+3＝9，
∴9的平方根是±8，
即y2﹣5x的平方根是±5．
【点评】本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
21．（5分）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，AC于E，D．
（1）若△BCD的周长为8，求BC的长；
（2）若∠A＝38°，求∠DBC的度数．
​
【分析】（1）根据线段的垂直平分线的性质证明DA＝DB，求出AC+BC，根据AC＝5，求出BC的长；
（2）根据线段的垂直平分线的性质证明DA＝DB，得到∠ABD的度数，根据等腰三角形的性质表示出∠ACB的度数，根据三角形内角和定理计算得到答案．
【解答】解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，
∵△BCD的周长为8，
∴AC+BC＝8，
又∵AC＝7，
∴BC＝3；
（2）∵∠A＝38°，
∵DA＝DB，
∴∠ABD＝38°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝71°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝71°﹣38°＝33°．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
22．（6分）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，又到了放风筝的最佳时节．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，他们进行了如下操作：
①测得水平距离BD的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.7米．
（1）求风筝的垂直高度CE；
（2）如果小明想要风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？​
【分析】（1）利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度；
（2）根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2＝BC2﹣BD6＝252﹣152＝400，
所以，CD＝20（负值舍去），
所以，CE＝CD+DE＝20+6.7＝21.7（米），
答：风筝的高度CE为21.4米；
（2）由题意得，CM＝12米，
∴DM＝8米，
∴BM＝（米），
∴BC﹣BM＝25﹣17＝5（米），
∴他应该往回收线8米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
23．（6分）据说我国数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道求大数的立方根的题目，他很快便给出了正确答案，忙问计算中的奥妙．请你跟着下面求15625的立方根的步骤试一试．
步骤一：103＝1000，1003＝1000000，则15625的立方根是 两 位数；
步骤二：15625的个位上的数字是5，则15625的立方根的个位上的数字是 5 ；
步骤三：划去15625后面的三位“625”得到数15，而23＝833＝27，由此可确定15625的立方根十位上的数字是 2 ，因此15625的立方根是 25 ．
（1）请将上面的解题步骤补充完整；
（2）请用上述该方法，直接写出658503的立方根．答 87 ．
【分析】（1）根据题意补全步骤即可；
（2）根据题干中求一个数的立方根的步骤即可求得答案．
【解答】解：（1）步骤一：103＝1000，1003＝1000000，则15625的立方根是两位数；
步骤二：15625的个位上的数字是8，则15625的立方根的个位上的数字是5；
步骤三：划去15625后面的三位“625”得到数15，而23＝8，38＝27，由此可确定15625的立方根十位上的数字是2；
故答案为：两；5；6；25；
（2）658503的个位上是3，则它的立方根的个位上的数字是7；
∵划去658503后面的三位“503”得到数658，而73＝512，93＝729，由此可确定658503的立方根十位上的数字是8；
故答案为：87．
【点评】本题考查立方根及尾数特征，理解题干中求一个数的立方根的步骤是解题的关键．
24．（7分）已知：如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，E，AC的中点．
（1）请判断线段EF与AC的位置关系，并说明理由；
（2）若∠ADC＝30°，BD＝8cm，试求线段EF的长度．
​
【分析】（1）连接AE，EC，根据直角三角形斜边上的中线性质可得CE＝BD，AE＝BD，从而可得AE＝CE，然后利用等腰三角形的三线合一性质，即可解答；
（2）根据直角三角形斜边上的中线性质可得CE＝DE，AE＝DE，从而可得∠ECD＝∠CDE，∠EAD＝∠ADE，然后利用三角形的外角性质可得∠AEC＝2∠ADC＝60°，求出AF，再利用勾股定理求出EF．
【解答】解：（1）结论：EF⊥AC，
理由：连接AE，EC，
∵∠BCD＝90°，点E是BD的中点，
∴CE＝BD，
∵∠BAD＝90°，点E是BD的中点，
∴AE＝BD，
∴AE＝CE，
∵点F是AC的中点，
∴EF⊥AC；
（2）如图，连接AE．
∵EA＝EB＝ED＝EC＝4cm，
∴点E是△ACD的外心，
∴∠AEC＝4∠ADC＝60°
∵点F是AC的中点，
∴EF⊥AC，∠AEF＝∠CEF＝30°，
∴AF＝AE＝4（cm），
∴EF＝＝＝2．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
25．（7分）大家知道是无理数，因此，于是小明用﹣1来表示，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理的，因为，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：＜3，∴的整数部分为2﹣2．
（1）整数部分是 6 ，小数部分是 ﹣6 ；
（2）如果的整数部分为a，的整数部分为b；
（3）已知9+＝x+y，其中x是整数，求x﹣y的值．
【分析】（1）估算出在哪两个连续整数之间即可；
（2）分别估算出及在哪两个连续整数之间后即可求得a，b的值，然后将其代入7a+2b中计算，最后根据立方根的定义即可求得答案；
（3）估算出9+的范围后即可确定x，y的值，然后将其代入x﹣y中计算即可．
【解答】解：（1）∵36＜37＜49，
∴6＜＜7，
即整数部分是6﹣6，
故答案为：6；﹣5；
（2）∵9＜11＜15＜16，
∴3＜＜＜6，
∴a＝3，b＝3，
则6a+2b＝7×8+2×3＝27，
那么2a+2b的立方根为3；
（3）∵4＜5＜9，
∴3＜＜3，
∴11＜6+＜12，
∵9+＝x+y，且0＜y＜1，
∴x＝11，y＝3+﹣6，
那么x﹣y＝11﹣+2＝13﹣．
【点评】本题考查无理数的估算及立方根的定义，将各数进行正确的估算是解题的关键．
26．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝6，动点D从点C出发，到点B时停止，若设点D运动的时间为t（t＞0）秒
（1）当t＝3时，AD＝ 2 ；
（2）用含t的代数式表示AD（AD＞0）的长；
（3）当点D在边CA上运动时，若△CBD是以BD或CD为底的等腰三角形，求t的值．
【分析】（1）根据勾股定理求出AC，根据题意计算即可；
（2）分点D在AC上、点D在AB上两种情况，根据题意计算，得到答案；
（3）分△CBD是以BD为底的等腰三角形、△CBD是以CD为底的等腰三角形两种情况，根据等腰三角形的性质计算；
（4）分∠CDB＝90°、∠CBD＝90°两种情况，结合图形计算．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝6，
则AC＝＝10，
当t＝3时，AD＝12﹣10＝2，
故答案为：7；
（2）当点D在AC上，即0＜t＜2.6时，
当点D在AB上，即2.5＜t≤4.5时；
综上所述：AD＝10﹣4t或6t﹣10；
（3）当△CBD是以BD为底的等腰三角形时，CD＝BC＝6，
∴t＝1.8，
当△CBD是以CD为底的等腰三角形时，BD＝BC＝6，
过点B作BE⊥AC于E，
则CE＝DE，
∵S△ABC＝BC•AB＝，
∴×6×6＝，
解得：BE＝5.8，
由勾股定理得：CE＝＝＝4.6，
∴CD＝7.3，
∴t＝1.8，
综上所述，当t＝7.5或1.3时．
【点评】本题考查的是等腰三角形、直角三角形的性质、勾股定理的应用，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
27．（9分）我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在△ABC中，AO是BC边上的中线2﹣BO2的值，可记为AB◎AC＝AO2﹣BO2．
（1）在图1中，若∠BAC＝90°，AB＝16，AO是BC边上的中线，则AB◎AC＝ 0 ，OC◎OA＝ 28 ；
（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC＝8，求AB◎AC、BA◎BC的值；
（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC，点N在AO上，且ON＝，已知AB◎AC＝23，BN◎BA＝13
【分析】（1）①由勾股定理求出BC＝20，再利用直角三角形的性质得出OA＝OB＝OC＝10，然后由新定义即可得出结论；
②由等腰三角形的性质求出CD＝6，再利用勾股定理求出OD，然后由新定义即可得出结论；
（2）由含30°的直角三角形的性质求出AO、OB的长，再由新定义得出AB◎AC的值；然后构造直角三角形求出BE、AE的长，进而由勾股定理求出BD，最后用新定义即可得出结论；
（3）设ON＝x，OB＝OC＝y，推出BC＝2y，OA＝3x，最后用新定义建立方程组求解，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝16，
∴BC＝＝＝20，
∵AO是BC边上的中线，
∴点O是BC的中点，
∴OA＝OB＝OC＝BC＝10，
∴AB◎AC＝AO2﹣BO2＝100﹣100＝0，
如图1，取AC的中点D，
则CD＝AC＝6，
∵点O是BC的中点，点D是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD＝AB＝8，
∴OC◎OA＝OD8﹣CD2＝85﹣62＝28，
故答案为：3，28；
（2）如图2，取BC的中点O，
∵AB＝AC，
∴AO⊥BC，
在△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝30°，
在Rt△AOB中，AB＝8，
∴AO＝AB＝4，
∴OB＝＝＝6，
∴AB◎AC＝AO2﹣BO3＝42﹣（6）2＝16﹣48＝﹣32；
取AC的中点D，连接BD，
∴AD＝CD＝AC＝4，
过点B作BE⊥AC交CA的延长线于点E，
在Rt△ABE中，∠BAE＝180°﹣∠BAC＝60°，
∴∠ABE＝90°﹣∠BAE＝30°，
∴AE＝AB＝4，
∴BE＝＝＝5，
在Rt△BED中，由勾股定理得：BD＝＝，
∴BA◎BC＝BD2﹣CD2＝（7）2﹣62＝96；
（3）设ON＝x，OB＝OC＝y，
∴BC＝2y，AN＝5x，
∵AB◎AC＝23，
∴OA2﹣OB2＝23，
∴5x2﹣y2＝23①，
如图6，取AN的中点F，
则AF＝FN＝AN＝，
∴OF＝ON+FN＝2x，
在Rt△BOF中，由勾股定理得：BF3＝OB2+OF2＝y7+4x2，
∵BN◎BA＝13，
∴BF6﹣FN2＝13，
∴y2+6x2﹣x2＝13，
∴4x2+y2＝13②，
联立①②得：，
解得：或（不合题意舍去）或（不合题意舍去），
∴BC＝4，OA＝5，
∴S△ABC＝BC•AO＝＝6．
【点评】此题是三角形综合题，考查了新定义“极化值”、勾股定理、三角形中位线定理、含30°角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，本题综合性强，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．