2022-2023学年高二上学期期中模拟卷01（基础卷）（解析版）

这是一份2022-2023学年高二上学期期中模拟卷01（基础卷）（解析版），共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本卷共22题，满分150分，考试时间120分钟。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．空间四边形中,点在上,且, 为中点,则等于( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】按照向量运算律计算即可
【详解】因为,所以
因为为BC中点,所以
所以
故选：B
2．已知直线的方向向量分别为，若，则（ ）
A．1B．2C．0D．3
【答案】D
【分析】由线线垂直可知其方向向量垂直，再利用空间向量垂直的坐标表示即可求得答案.
【详解】因为，所以，故，
所以，则.
故选：D.
3．已知两点所在直线的倾斜角为，则实数的值为（ ）
A．-7B．-5C．-2D．2
【答案】A
【分析】根据两点坐标，列出斜率表达式，然后根据倾斜角得到斜率，列出方程求解即可.
【详解】因为两点所在直线的倾斜角为，
则，即
故选:A.
4．若三条直线，，能围成一个三角形，则的值可能是（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】先求出不能构成三角形的情况，就可选出答案.
【详解】由 得 所以两条直线交于点，
当也过时，，
解得，此时三条线交于同一点，不能构成三角形，
当与平行时，有，则，也不能构成三角形，
当与平行时，由，则，也不能构成三角形，
所以，
故选：B
5．已知斜率为的直线l被圆截得的弦长为，则直线l的方程为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】D
【分析】因为圆的半径为，且直线l被圆截得的弦长为，即可以通过垂径定理求得圆心到直线l的距离，还可以通过圆心到直线l的距离公式，列出方程，从而求出直线方程.
【详解】圆：，故半径为，又因为直线l被圆截得的弦长为，所以圆心到直线l的距离为
设直线l的方程为，
则，则或
所以或.
故选：D
6．双曲线的左右焦点分别为，，点P在双曲线C上且，则等于（ ）
A．14B．26C．14或26D．16或24
【答案】C
【分析】根据双曲线的方程可得，由即可求解.
【详解】由双曲线的方程可得，故.
因为，故，解得或26.
故选:C.
7．已知是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则点P到y轴的距离为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】C
【分析】先根据题意得到，然后利用余弦定理求得，接着求，最后利用三角形面积公式即可得到答案
【详解】由椭圆可得，
所以，，所以，
所以在中，，
因为，且，
所以，
设的坐标为，且，
所以， 所以点P到y轴的距离为，
故选：C
8．直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】底边为定值，求出点P到距离的范围即可求出面积的取值范围.
【详解】圆心到直线距离，所以点P到距离即高的范围，又可求得，所以面积的取值范围为.
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）
A．若可以作为空间的一个基底，与共线，，则也可以作为空间的一个基底
B．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一个基底
C．己知A，B，M，N是空间中的四点，若不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面
D．己知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底
【答案】ABCD
【分析】直接利用向量的基底的定义，向量的共线，共面向量的充要条件判定、、、的结果．
【详解】对于选项：，，可以作为空间的一个基底，，，不共面，与共线，，，，不共面，故正确．
对于选项：向量，，与任何向量都共面，，与任何向量都不能构成空间的一个基底，故正确．
对于选项：，，不能构成空间的一个基底，，，共面，，，，共面，故正确．
对于选项：，，是空间的一个基底，，，不共面，，，，不共面，，，也是空间的一个基底，故正确．
故选：．
10．已知直线，其中，则（ ）
A．若直线与直线平行，则
B．当时，直线与直线垂直
C．直线过定点
D．当时，直线在两坐标轴上的截距相等
【答案】BC
【分析】由两直线平行可求得实数的值，可判断A选项；利用直线垂直与斜率的关系可判断B选项；求出直线所过定点的坐标，可判断C选项；当时，求出直线的截距式方程，可判断D选项.
【详解】直线的斜率为.
对于A选项，若直线与直线平行，且直线的斜率为，
则，解得或，A错；
对于B选项，当时，直线的方程为，直线的斜率为，
直线的斜率为，
所以，当时，直线与直线垂直，B对；
对于C选项，对于直线，由，可得，则直线过定点，C对；
对于D选项，当时，直线的方程为，即，
所以，当时，直线在两坐标轴上的截距相反，D错.
故选：BC.
11．已知圆和轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为，则圆的方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】设圆心坐标为，半径为，根据圆与轴相切，得到圆的半径等于圆心横坐标的绝对值，把圆心坐标代入直线得到关于与的方程 , 再由垂径定理得到的一个关系式，三者联立即可求出 及的值，从而确定出圆的方程.
【详解】设所求圆的方程为 ，则圆心到直线的距离为， 所以，即.
因为所求圆与轴相切，所以
又因为所求圆的圆心在直线上，
所以，
所以 或
故所求圆的方程为 或.
故选：BD
12．已知为坐标原点，，是抛物线上的一点，为其焦点，若与双曲线的右焦点重合，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则点的横坐标为B．该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为
C．若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为D．周长的最小值为
【答案】ACD
【分析】由双曲线方程可确定焦点坐标，进而得到抛物线方程；利用抛物线焦半径公式可求得A正确；将准线方程与双曲线方程联立可得交点纵坐标，由此可得线段长度，知B错误；根据外心的横坐标为且圆与准线相切可得圆的半径，由此可知C正确；结合抛物线定义可知，由此可求得周长的最小值，知D正确.
【详解】由双曲线方程知：，抛物线，
对于A，设，则，解得：，A正确；
对于B，抛物线准线方程为：，由得：，
准线被双曲线截得的线段长度为，B错误；
对于C，外接圆圆心在线段的中垂线上，则其横坐标为，
又该圆与抛物线准线相切，该圆的半径，
该圆的面积，C正确；
对于D，设和在准线上的投影分别为，
由抛物线定义知：，
则（当且仅当三点共线时取等号，此时重合），
又，，
周长的最小值为，D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，则___________.
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则，，，，
所以，，
所以，，，
所以；
故答案为：
14．已知圆与圆，则圆与圆的公切线方程是___________________．
【答案】
【分析】先判断两个圆的位置关系，然后根据切点和斜率求得公切线方程.
【详解】圆，即，圆心为，半径.
圆，即，圆心为，半径.
圆心角，所以两圆相内切.
由解得，
所以两圆切点的坐标为，
，所以公切线的斜率为，
所以公切线的方程为.
故答案为：
15．已知椭圆C：，对于C上的任意一点P，圆O：上均存在点M，N使得，则C的离心率的取值范围是______．
【答案】
【分析】当P为椭圆的上下顶点时，可得存在点M，N使得；
当P不为椭圆的上下顶点时，将点M，N位置特殊化，从而得到直线PA，PB分别与圆O切于A，B点，因为，所以，并通过，，得到，从而计算出，的不等关系以及椭圆的离心率.
【详解】连接OP，当P不为椭圆的上下顶点时，设直线PA，PB分别与圆O切于A，B点，设，
因为存在点M，N使得，所以，
所以，所以，
可得，而，即，可得，
所以椭圆的离心率，
当点P位于椭圆的上下顶点，点M、N位于圆O与x轴的左右交点时，
所以此时在圆O上存在点M，N使得．
所以椭圆C的离心率的取值范围是．
故答案为：
16．已知点为双曲线在第一象限上一点，点为双曲线的右焦点，为坐标原点，，则双曲线的离心率为 ___；若，分别交双曲线于，两点，记直线与的斜率分别为，，则___.
【答案】 4 15
【分析】设，由已知条件可得，从而可得点横坐标，由勾股定理可得，将代入双曲线方程结合可得关于的齐次方程，即可求离心率；由题意知：，由可得，再计算即可求解.
【详解】设， 因为， 所以，
由可得，
＝，即，
把代入双曲线方程，可得，
即，
又，代入上式可得，
即，解得或
所以双曲线的离心率；
设，则，
因为，所以，，
所以，
把、的坐标分别代入双曲线方程，可得
两式作差可得，
即，
∴
故答案为：；.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）在平行四边形ABCD中，，，，点E是线段BC的中点．
(1)求直线CD的方程；
(2)求过点A且与直线DE垂直的直线．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，求出点D的坐标，再求出直线CD的方程作答.
（2）求出点E坐标及直线DE的斜率，再利用垂直关系求出直线方程作答.
【详解】（1）在平行四边形ABCD中，，，，则，则点，
直线CD的斜率，则有，即，
所以直线CD的方程是.
（2）依题意，点，则直线DE的斜率，
因此过点A且与直线DE垂直的直线斜率为，方程为，即，
所以所求方程是.
18．（12分）已知空间向量.
(1)若与互相垂直，求；
(2)记，且，求点的坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的坐标运算结合运算求解；（2）根据理解可得，结合向量的坐标运算，整理求解.
【详解】（1）由题意可得：，
因为与互相垂直，所以，
即，所以.
（2），
因为，所以
又因为，设为坐标原点，
所以，即.
19．（12分）已知椭圆的中心在原点，一个焦点为，且长轴长与短轴长的比是.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点，点是椭圆上任意一点，求的最大值.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）根据题意结合列式求解；（2）由两点间距离结合椭圆方程整理可得，再根据二次函数求最值.
【详解】（1）由题意得，解得，
所以椭圆方程为.
（2）设，则，即
，
因为的对称轴为，所以在为减函数，
所以当时，的最大值为的最大值为.
20．（12分）如图，已知正三棱柱中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱，的中点.
(1)求与平面AEF所成角的正弦值；
(2)过A、E、F三点作一个平面，则平面AEF与平面有且只有一条公共直线，在图中作出这条公共直线，简略写清作图过程，并求这条公共直线在正三棱柱底面内部的线段长度.
【答案】(1)；(2)作图见解析，.
【分析】（1）取AC中点O，连接OB，OF，以O为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答.
（2）延长交延长线于点M，经过点F，M画直线FM，再借助余弦定理计算作答.
【详解】（1）正三棱柱中，取AC中点O，连接OB，OF，而F为的中点，则，
四边形是平行四边形，即，又平面，则有平面，即OA，OB，OF两两垂直，
以O为原点，射线OA，OB，OF分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，，
设平面AEF的一个法向量为，则，令，得，
设与平面AEF所成角为，则，
所以与平面AEF所成角的正弦值为.
（2）如图，延长交延长线于点M，经过点F，M画直线FM，则直线FM即为所作，
因点直线，而平面，则点平面，同理点平面，
而点平面，点平面，因此直线FM是平面AEF与平面的公共直线，
令，因是中点，则且，即是的一条中位线，
因此是中点，又是中点，则是的重心，，
在中，，由余弦定理得：，
所以这条公共直线在正三棱柱底面内部的线段长度为.
21．（12分）已知过原点的两条直线相互垂直，且的倾斜角小于的倾斜角．
(1)若与关于直线对称，求和的倾斜角
(2)若都不过点，过分别作为垂足，当的面积最大时．求的方程．
【答案】(1)，的倾斜角分别为和
(2)．
【分析】(1)先求直线的倾斜角，结合图形及倾斜角的定义求出，的倾斜角的倾斜角；(2) 设，，根据基本不等式证明的面积最大时，结合点到直线距离公式求的斜率，由此可求其方程.
【详解】（1）直线的倾斜角为60°．
∵，关于直线对称，且，
∴，与直线的夹角均为，
∴，的倾斜角分别为和．
（2）∵，，，∴四边形为矩形．
设，，则，
，当且仅当时取等号．
若的斜率不存在，则的倾斜角为，由直线相互垂直可得的倾斜角为0，与已知矛盾，所以的斜率存在，设，则点到的距离为，
令，得（负值舍去）．
∴当的面积最大时，的方程为．
22．（12分）已知双曲线C：与双曲线W：的渐近线相同，且经过点．
(1)求C的方程；
(2)已知C的上、下顶点分别为A，B，直线与C交于不同的两点M，N，直线与直线BM交于点G．证明：A，G，N三点共线．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）由题意可得，再将点代入即可求出，即可得解；
（2）设，联立方程，利用韦达定理求得，求出直线的方程，令可得点的坐标，证明即可.
【详解】（1）解：因为双曲线C：与双曲线W：的渐近线相同，
所以，即，
又双曲线C经过点，
则，即，
所以，
所以C的方程为；
（2）证明：，
设，
联立，消得，
则，所以，
则，
因为直线过定点且斜率存在，
所以直线不与轴重合，
，则直线的方程为，
令，则，故，
则，，
，
所以，
又点A为公共点，
所以A，G，N三点共线．