北京市丰台第八中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份北京市丰台第八中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共26页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）当x＝1时，下列分式没有意义的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）小明用长度分别为5，a，9的三根木棒首尾相接组成一个三角形，则a可能的值是（ ）
A．4B．6C．14D．15
3．（3分）画△ABC的高BE，以下画图正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）一个凸多边形的内角和是540°，那么这个多边形的对角线的条数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x+x2＝x3B．x2•x3＝x6C．（x3）2＝x6D．x9÷x3＝x3
6．（3分）图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．65°B．60°C．55°D．50°
7．（3分）在课堂上，张老师布置了一道画图题：
画一个Rt△ABC，使∠B＝90°，它的两条边分别等于两条已知线段．小刘和小赵同学先画出了∠MBN＝90°之后
那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是（ ）
A．SAS，HLB．HL，SASC．SAS，AASD．AAS，HL
8．（3分）“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一（a+b）n（n＝1，2，3，4，5，6）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如，2，1，恰好对应着（a+b）2的展开式a2+2ab+b2中各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3的展开式a3+3a2b+3ab2+b3中各项的系数，等等．当n是大于6的自然数时，上述规律仍然成立（a﹣）9的展开式中a7的系数是（ ）
A．9B．﹣9C．36D．﹣36
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．（3分）计算（3﹣π）0＝ ．
10．（3分）一个正n边形的每个外角都为60°，则边数n为 ．
11．（3分）数学活动课上，小明将一副三角板按如图方式叠放，则∠α等于 ．
12．（3分）如图1，在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，拼成如图2所示的长方形．根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可以列出的等式为 ．
13．（3分）如图，AE＝DF，∠A＝∠D，需要添加条件 ，证明全等的理由是 ．
14．（3分）已知xa＝7，xb＝3，则xa+b＝ ．
15．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，下列结论：①AE＝CE；②BE＝DE；④四边形ABCD的面积等于AC×BD．其中正确的有 ．（填序号）
16．（3分）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中∠ABC＝∠C．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为 °．
三、解答题（共52分，17题6分，18题6分，19-21题，每题5分，22-24题，每题6分，
17．（6分）因式分解：
（1）x3﹣25x；
（2）3x2+6xy+3y2．
18．（6分）计算：
（1）（x+2y）（3x﹣y）；
（2）（9x3﹣12x2+6x）÷3x．
19．（5分）已知2a2+3a﹣4＝0，求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．
20．（5分）如图，点A，B，C，D在一条直线上，AE＝DF，AB＝CD．
（1）求证：△AEC≌△DFB．
（2）若∠A＝40，∠ECD＝145°，求∠F的度数．
21．（5分）下面是小东设计的尺规作图过程．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
求作：点D，使点D在BC边上，且到AB和AC的距离相等．
作法：①如图，以点A为圆心，任意长为半径画弧，AC于点M、N；
②分别以点M，N为圆心，大于，两弧交于点P；
③画射线AP，交BC于点D．
所以点D即为所求．
根据小东设计的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：过点D作DE⊥AC于点E，连接MP，NP．
在△AMP与△ANP中，
∵AM＝AN，MP＝NP，AP＝AP，
∴△AMP≌△ANP（SSS）．
∴∠ ＝∠ ．
∵∠ABC＝90°，
∴DB⊥AB．
又∵DE⊥AC，
∴DB＝DE（ ）（填推理的依据）
22．（6分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DF⊥AC，垂足分别是E，F
23．（6分）阅读下列材料，回答问题：
“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等，例如：分解因式x2+2x﹣3，我们可以进行以下操作：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4，再利用平方差公式可得x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1）；再如：求代数式2x2+4x﹣6的最小值，我们可以将代数式进行如下变形：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8，于是由平方的非负性可知，当x＝﹣1时2+4x﹣6有最小值﹣8．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
（1）若多项式x2﹣4x+k是一个完全平方式，则常数k＝ ．
（2）分解因式：x2﹣4x﹣12＝ ，代数式2x2﹣8x﹣24的最小值为 ．
（3）试判断代数式a2+2b2+11与2ab+2a+4b的大小，并说明理由．
24．（6分）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边的中点时，S△ABD：S△ACD＝ ；
（2）如图2，当AD平分∠BAC时，若AB＝m，求S△ABD：S△ACD的值（用含m、n的式子表示）；
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E．使得AD＝DE，若AC＝3，AB＝5，S△BDE＝10，求S△ABC的值．
25．（7分）如图，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，点A，B分别在坐标轴上．
（1）如图①，若点C的横坐标为﹣3，点B的坐标为 ；
（2）如图②，若x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于点M，试猜想线段CD与AM的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，OB＝BF，∠OBF＝90°，点B在y轴的正半轴上运动时，△BPC与△AOB的面积比是否变化？若不变，若变化，直接写出取值范围．
2023-2024学年北京市丰台八中八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共24分，每题3分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．（3分）当x＝1时，下列分式没有意义的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：A、，当x＝1时；
B、，当x＝1时，分式无意义符合题意；
C、，当x＝7时；
D、，当x＝1时；
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
2．（3分）小明用长度分别为5，a，9的三根木棒首尾相接组成一个三角形，则a可能的值是（ ）
A．4B．6C．14D．15
【分析】根据三角形的三边关系：三角形任何两边之和都大于第三边，任何两边之差都小于第三边，可判定求解．
【解答】解：由题意得9﹣5＜a＜6+5，
解得4＜a＜14，
故a可能的值是8，
故选：B．
【点评】本题主要考查三角形的三边关系，掌握三角形的三边关系是解题的关键．
3．（3分）画△ABC的高BE，以下画图正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】画ABC的高BE，即过B点作AC所在直线的垂线段，垂足为E．
【解答】解：画△ABC的高BE，即过点B作对边AC所在直线的垂线段BE，
故选：D．
【点评】本题主要考查作图﹣基本作图，掌握三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，连接顶点与垂足之间的线段是解题的关键．
4．（3分）一个凸多边形的内角和是540°，那么这个多边形的对角线的条数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【分析】先根据多边形的内角和公式求出凸多边形的边数，再根据多边形的对角线的条数与边数的关系求解．
【解答】解：设所求正n边形边数为n，
则（n﹣2）•180°＝540°，
解得n＝5，
∴这个多边形的对角线的条数＝＝5．
故选：A．
【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式及多边形的对角线的条数与边数的关系，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
5．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．x+x2＝x3B．x2•x3＝x6C．（x3）2＝x6D．x9÷x3＝x3
【分析】A、原式不能合并，错误；
B、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；
C、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；
D、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：A、原式不能合并；
B、原式＝x5，错误；
C、原式＝x6，正确；
D、原式＝x6，错误．
故选：C．
【点评】此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
6．（3分）图中的两个三角形全等，则∠α等于（ ）
A．65°B．60°C．55°D．50°
【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应角，进而得出答案．
【解答】解：∵图中的两个三角形全等，
∴∠α＝180°﹣60°﹣65°＝55°．
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，得出对应角是解题关键．
7．（3分）在课堂上，张老师布置了一道画图题：
画一个Rt△ABC，使∠B＝90°，它的两条边分别等于两条已知线段．小刘和小赵同学先画出了∠MBN＝90°之后
那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是（ ）
A．SAS，HLB．HL，SASC．SAS，AASD．AAS，HL
【分析】分别根据全等三角形的判定定理进行解答即可．
【解答】解：∵小刘同学先确定的是直角三角形的两条直角边，
∴确定依据是SAS定理；
∵小赵同学先确定的是直角三角形的一条直角边和斜边，
∴确定依据是HL定理．
故选：A．
【点评】本题考查的是作图﹣复杂作图，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键．
8．（3分）“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一（a+b）n（n＝1，2，3，4，5，6）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如，2，1，恰好对应着（a+b）2的展开式a2+2ab+b2中各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3的展开式a3+3a2b+3ab2+b3中各项的系数，等等．当n是大于6的自然数时，上述规律仍然成立（a﹣）9的展开式中a7的系数是（ ）
A．9B．﹣9C．36D．﹣36
【分析】由（a+b）n计算规律可得，（a﹣）9的展开式中字母部分因式依次为a9，a7，a5，…，所以含a7的为第二项，又由“杨辉三角”可知，（a+b）n的展开式中第二项的系数为n，所以（a﹣）9的展开式中a7的系数是﹣9．
【解答】解：由（a+b）n计算规律可得，（a﹣）9的展开式中字母部分因式依次为a2，a7，a5，…，
∴含a3的为第二项，
又由“杨辉三角”可知，（a+b）n的展开式中第二项的系数为n，
∴（a﹣）9的展开式中含a6的项为﹣9a7，
故选：B．
【点评】此题考查了杨辉三角的应用能力，关键是能发现完全平方公式与杨辉三角的规律解决问题．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
9．（3分）计算（3﹣π）0＝ 1 ．
【分析】直接利用零指数幂：a0＝1（a≠0）求解可得．
【解答】解：（3﹣π）0＝4，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查零指数幂，解题的关键是掌握零指数幂：a0＝1（a≠0）．
10．（3分）一个正n边形的每个外角都为60°，则边数n为 6 ．
【分析】根据多边形的外角和定理可直接求解．
【解答】解：根据题意得：
n＝360°÷60°＝6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查多边形的外角，掌握多边形的外角和定理是解题的关键．
11．（3分）数学活动课上，小明将一副三角板按如图方式叠放，则∠α等于 75° ．
【分析】根据三角形的外角性质计算即可．
【解答】解：∵图形是一副三角板叠放而成，
∴∠α＝45°+30°＝75°，
故答案为：75°．
【点评】本题考查的是三角形的外角性质，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
12．（3分）如图1，在边长为a的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，拼成如图2所示的长方形．根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可以列出的等式为 a2﹣9＝（a+3）（a﹣3） ．
【分析】用代数式分别表示图1、图2中阴影部分的面积即可．
【解答】解：图1中阴影部分的面积可以看作是两个正方形的面积差，即a2﹣5，
图2拼成的是长为a+3，宽为a﹣5的长方形，
因此有a2﹣9＝（a+5）（a﹣3），
故答案为：a2﹣3＝（a+3）（a﹣3）．
【点评】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
13．（3分）如图，AE＝DF，∠A＝∠D，需要添加条件 ∠E＝∠F或∠ECA＝∠FBD或AB＝CD ，证明全等的理由是 ASA或AAS或SAS ．
【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题．
【解答】解：①∠E＝∠F  两角及夹边对应相等的两个三角形全等
②∠ECA＝∠FBD 两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等
③AB＝CD，AC＝BD
故答案为∠E＝∠F或∠ECA＝∠FBD或AB＝CD；ASA或AAS或SAS．
【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14．（3分）已知xa＝7，xb＝3，则xa+b＝ 21 ．
【分析】根据逆用同底数幂的乘法进行计算即可求解．
【解答】解：当xa＝7，xb＝3时，
xa+b
＝xa⋅xb
＝5×3
＝21．
故答案为：21．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，掌握同底数幂的乘法运算法则是解题的关键．
15．（3分）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，下列结论：①AE＝CE；②BE＝DE；④四边形ABCD的面积等于AC×BD．其中正确的有 ①③④ ．（填序号）
【分析】先证明△ABD≌△DBD，得∠ADB＝∠CDB，根据等腰三角形的“三线合一”得AE＝CE，BD⊥AC，可判断①正确、③正确；
若BE＝DE，则AC垂直平分BD，得AD＝AB，与已知条件不符，可知BE与DE不一定相等，可判断②错误；
由S四边形ABCD＝S△ABD+S△CBD，可求得S四边形ABCD＝AE•BD+CE•BD＝AC•BD，可判断④正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：在△ABD和△DBD中，
，
∴△ABD≌△DBD（SSS），
∴∠ADB＝∠CDB，
∴AE＝CE，BD⊥AC，
故①正确、③正确；
若BE＝DE，则AC垂直平分BD，
∴AD＝AB，与已知条件不符，
∴BE与DE不一定相等，
故②错误；
∵S△ABD＝AE•BD，S△CBD＝CE•BD，
∴S△ABD+S△CBD＝AE•BD+AC•BD，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△CBD＝AC•BD，
故④正确，
故答案为：①③④．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰直角形的性质等知识，证明△ABD≌△DBD是解题的关键．
16．（3分）已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中∠ABC＝∠C．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合（如图丙）．原三角形纸片ABC中，∠ABC的大小为 72 °．
【分析】先设∠ABC＝∠C＝2α，然后用含有α的式子表示∠A，∠ADE，∠BED，进而得到∠AED，最后利用三角形的外角性质列出方程求得α，即可求得∠ABC的大小．
【解答】解：设∠ABC＝∠C＝2α，则∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣4α，
由折叠得，∠BED＝∠C＝8α，
∵∠BED是△AED的外角，
∴∠BED＝∠A+∠ADE，
∴2α＝180°﹣4α+180°﹣4α，
解得：α＝36°，
∴∠ABC＝72°，
故答案为：72．
【点评】本题考查了折叠的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质，解题的关键是学会利用折叠的性质将其他角的度数用代数式表示．
三、解答题（共52分，17题6分，18题6分，19-21题，每题5分，22-24题，每题6分，
17．（6分）因式分解：
（1）x3﹣25x；
（2）3x2+6xy+3y2．
【分析】（1）直接提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式即可；
（2）直接提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）原式＝x（x2﹣25）
＝x（x+5）（x﹣6）；
（2）原式＝3（x2+2xy+y2）
＝3（x+y）6．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键．
18．（6分）计算：
（1）（x+2y）（3x﹣y）；
（2）（9x3﹣12x2+6x）÷3x．
【分析】（1）运用整数的乘法运算即可；
（2）运用多项式的除法运算即可．
【解答】解：（1）（x+2y）（3x﹣y）
＝5x2﹣xy+6xy﹣5y2
＝3x4+5xy﹣2y5；
（2）（9x3﹣12x5+6x）÷3x
＝5x3÷3x﹣12x2÷3x+6x÷7x
＝3x2﹣3x+2．
【点评】本题考查整式的除法，多项式除单项式，解题的关键是掌握相关运算法则．
19．（5分）已知2a2+3a﹣4＝0，求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．
【分析】根据单项式乘多项式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后根据2a2+3a﹣4＝0，即可得到化简后式子的值．
【解答】解：3a（2a+5）﹣（2a+1）（8a﹣1）
＝6a5+3a﹣4a3+1
＝2a3+3a+1，
∵4a2+3a﹣6＝0，
∴2a5+3a＝4，
∴原式＝3+1＝5．
【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．
20．（5分）如图，点A，B，C，D在一条直线上，AE＝DF，AB＝CD．
（1）求证：△AEC≌△DFB．
（2）若∠A＝40，∠ECD＝145°，求∠F的度数．
【分析】（1）由“SAS”可证△AEC≌△DFB；
（2）由全等三角形的性质和三角形内角和定理可求解．
【解答】（1）证明：∵AE∥DF，
∴∠A＝∠D，
∵AB＝CD，
∴AC＝DB，
在△AEC和△DFB中，
，
∴△AEC≌△DFB（SAS），
（2）解：∵∠ECD＝145°，∠A＝40，
∴∠E＝105，
∵△AEC≌△DFB，
∴∠F＝∠E＝105．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
21．（5分）下面是小东设计的尺规作图过程．
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，
求作：点D，使点D在BC边上，且到AB和AC的距离相等．
作法：①如图，以点A为圆心，任意长为半径画弧，AC于点M、N；
②分别以点M，N为圆心，大于，两弧交于点P；
③画射线AP，交BC于点D．
所以点D即为所求．
根据小东设计的尺规作图过程：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：过点D作DE⊥AC于点E，连接MP，NP．
在△AMP与△ANP中，
∵AM＝AN，MP＝NP，AP＝AP，
∴△AMP≌△ANP（SSS）．
∴∠ PAM ＝∠ PAN ．
∵∠ABC＝90°，
∴DB⊥AB．
又∵DE⊥AC，
∴DB＝DE（ 角平分线上的点到角的两边的距离相等 ）（填推理的依据）
【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；
（2）根据全等三角形的性质和角平分线的性质即可完成证明．
【解答】解：（1）如图，即为补全的图形；
（2）证明：过点D作DE⊥AC于点E，连接MP．
在△AMP与△ANP中，
∵AM＝AN，MP＝NP，
∴△AMP≌△ANP（SSS）．
∴∠PAM＝∠PAN．
∵∠ABC＝90°，
∴DB⊥AB．
又∵DE⊥AC，
∴DB＝DE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．
故答案为：PAM，PAN．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．
22．（6分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，DF⊥AC，垂足分别是E，F
【分析】首先可证明Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）再根据三角形角平分线的逆定理求得AD是角平分线即可．
【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴Rt△BDE和Rt△CDF是直角三角形．
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴∠DAE＝∠DAF，
∴AD是△ABC的角平分线．
【点评】此题主要考查了角平分线的逆定理，综合运用了直角三角形全等的判定．由三角形全等得到DE＝DF是正确解答本题的关键．
23．（6分）阅读下列材料，回答问题：
“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等，例如：分解因式x2+2x﹣3，我们可以进行以下操作：x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4，再利用平方差公式可得x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1）；再如：求代数式2x2+4x﹣6的最小值，我们可以将代数式进行如下变形：2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8，于是由平方的非负性可知，当x＝﹣1时2+4x﹣6有最小值﹣8．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
（1）若多项式x2﹣4x+k是一个完全平方式，则常数k＝ 4 ．
（2）分解因式：x2﹣4x﹣12＝ （x﹣2）（x﹣6） ，代数式2x2﹣8x﹣24的最小值为 ﹣32 ．
（3）试判断代数式a2+2b2+11与2ab+2a+4b的大小，并说明理由．
【分析】（1）设x2﹣4x+k＝（x+m）2，再根据多项式恒等性质列出方程组解答便可；
（2）仿样例进行解答便可；
（3）用差值解答便可．
【解答】解：（1）设x2﹣4x+k＝（x+m）8，则x2﹣4x+k＝x8+2mx+m2，
∴，
解得，
故答案为：4；
（2）x8﹣4x﹣12＝（x2﹣3x+4）﹣4﹣12＝（x﹣8）2﹣48＝（x﹣2+4）（x﹣8﹣4）＝（x﹣2）（x﹣4），
2x2﹣7x﹣24＝2（x2﹣2x﹣12）＝2（x2﹣6x+4﹣4﹣12）＝4（x﹣2）2﹣32，
由平方的非负性可知，当x＝3时2﹣8x﹣24有最小值﹣32，
故答案为：（x﹣5）（x﹣6）；﹣32；
（3）a2+7b2+11＞2ab+3a+4b．理由如下：
∵（a2+2b2+11）﹣（2ab+2a+4b）
＝a2+8b2+11﹣2ab﹣7a﹣4b
＝[（a2﹣4ab+b2）+（﹣2a﹣6b）+1]+（b2﹣2b+9）+1
＝[（a﹣b）8﹣2（a﹣b）+1]+（b﹣7）2+1
＝（a﹣b﹣7）2+（b﹣3）5+1＞0，
∴a4+2b2+11＞7ab+2a+4b．
【点评】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，将多项式配方，再利用非负数的性质解答是解题的关键．
24．（6分）在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边的中点时，S△ABD：S△ACD＝ 1：1 ；
（2）如图2，当AD平分∠BAC时，若AB＝m，求S△ABD：S△ACD的值（用含m、n的式子表示）；
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E．使得AD＝DE，若AC＝3，AB＝5，S△BDE＝10，求S△ABC的值．
【分析】（1）过A作AE⊥BC于E，根据三角形面积公式求出即可；
（2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线性质求出DE＝DF，根据三角形面积公式求出即可；
（3）根据已知和（1）（2）的结论求出△ABD和△ACD的面积，即可求出答案．
【解答】解：（1）
过A作AE⊥BC于E，
∵点D是BC边上的中点，
∴BD＝DC，
∴SABD：S△ACD＝（BD•AE）：（，
故答案为：1：5；
（2）
过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴DE＝DF，
∵AB＝m，AC＝n，
∴SABD：S△ACD＝（AB•DE）：（；
（3）
∵AD＝DE，
∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：6，
∵S△BDE＝10，
∴S△ABD＝10，
∵AC＝3，AB＝5，
∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝2：3，
∴S△ACD＝6，
∴S△ABC＝10+5＝16，
故答案为：16．
【点评】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键．
25．（7分）如图，在三角形ABC中，∠ABC＝90°，点A，B分别在坐标轴上．
（1）如图①，若点C的横坐标为﹣3，点B的坐标为 （0，3） ；
（2）如图②，若x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于点M，试猜想线段CD与AM的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，OB＝BF，∠OBF＝90°，点B在y轴的正半轴上运动时，△BPC与△AOB的面积比是否变化？若不变，若变化，直接写出取值范围．
【分析】（1）过点C作CH⊥y轴于H，由“AAS”可证△ABO≌△BCH，可得CH＝BO＝3，可求解；
（2）延长AB，CD交于点N，由“ASA”可证△ADN≌△ADC，可得CD＝DN，由“ASA”可证△ABM≌△CBN，可得AM＝CN，可得结论；
（3）如图③，作EG⊥y轴于G，由“AAS”可证△BAO≌△CBG，可得BG＝AO，CG＝OB，由“AAS”可证△CGP≌△FBP，可得PB＝PG，可得PB＝BG＝AO，由三角形面积公式可求解．
【解答】解：（1）如图①，过点C作CH⊥y轴于H，
∴∠BHC＝90°＝∠ABC，
∴∠BCH+∠CBH＝∠ABH+∠CBH＝90°，
∴∠BCH＝∠ABH，
∵点C的横坐标为﹣3，
∴CH＝3，
在△ABO和△BCH中，
，
∴△ABO≌△BCH（AAS），
∴CH＝BO＝8，
∴点B（0，3）；
故答案为：（3，3）；
（2）AM＝2CD，
如图②，延长AB，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ADN和△ADC中，
，
∴△ADN≌△ADC（ASA），
∴CD＝DN，
∴CN＝4CD，
∵∠N+∠BAD＝90°，∠N+∠BCN＝90°，
∴∠BAD＝∠BCN，
在△ABM和△CBN中，
，
∴△ABM≌△CBN（ASA），
∴AM＝CN，
∴AM＝2CD；
（3）△BPC与△AOB的面积比不会变化，
理由：如图③，作EG⊥y轴于G，
∵∠BAO+∠OBA＝90°，∠OBA+∠CBG＝90°，
∴∠BAO＝∠CBG，
在△BAO和△CBG中，
，
∴△BAO≌△CBG（AAS），
∴BG＝AO，CG＝OB，
∵OB＝BF，
∴BF＝GC，
在△CGP和△FBP中，
，
∴△CGP≌△FBP（AAS），
∴PB＝PG，
∴PB＝BG＝，
∵S△AOB＝×OB×OA，S△PBC＝×PB×GC＝×，
∴S△PBC：S△AOB＝．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
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