广东外语外贸大学实验中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份广东外语外贸大学实验中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题（解析版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
试卷说明：
本测试分为试题卷和答题卷两部分．试卷共4页，答题卷共2页．试题卷全卷四大题共22小题，满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
本测试答题卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．必须在在答题卷上的答题区域作答，在试卷上作答或非答题区域上作答无效．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，设，则的值为（ ）
A. 1B. 0C. -1D. -2
【答案】B
【解析】
【分析】由正方体的性质可知两两垂直，从而对化简可得答案
【详解】由题意可得,
所以，所以，
所以，
故选：B
2. 已知圆O：，直线与圆O相切，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由于直线与圆相切，所以圆心O（0，0）到直线：的距离等于半径2，利用点到直线的距离公式列方程可得结果
【详解】解：直线l与圆O相切，则圆心O（0，0）到直线：的距离等于半径2，
所以，得．
故选：C．
【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题
3. 如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点为线段上一点，且，若记，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用空间向量的基本定理求解.
详解】解:
,
故选:A
4. 设x，，向量，，，且，，（ ）
A. B. 3C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据，可得，即可求得x，根据，可得对应坐标成比例，即可求得y，即可得坐标，代入公式，即可得答案.
【详解】因为，所以，解得，所以，
因为，所以，解得，所以，
所以，
所以.
故选：B
5. =（2，﹣1，3），=（﹣1，4，﹣2），=（3，2，λ），若三向量共面，则实数等于（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】由三向量共面，则存在唯一的实数对，使得，即，从而可得答案.
【详解】解：因为三向量共面，
所以存在唯一的实数对，使得，
即，
，解得，
所以.
故选：C.
6. 如图，平面四边形的顶点都在坐标轴上，直线的斜率为，直线的斜率为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用两角差的正切公式可求得的值.
【详解】三角形的外角公式可得，
所以，.
故选：C.
7. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由向量在向量上的投影向量为，计算即可求出答案．
【详解】解：向量，
则，，，
所以向量在向量上的投影向量为．
故选：．
8. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，且．若，则C的离心率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意延长交椭圆另一交点为，由条件结合椭圆性质可知，
再通过通径的性质有即可得解.
【详解】由点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，
延长交椭圆另一交点，
由再结合椭圆的对称性，
易知，
所以，
由椭圆过焦点的弦通径最短，
所以当垂直 轴时，最短，
所以，
所以，
解得.
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9. 设直线与圆，则下列结论正确的为（ ）
A. 与可能相离
B. 不可能将的周长平分
C. 当时，被截得的弦长为
D. 被截得的最短弦长为
【答案】BD
【解析】
【分析】求出直线所过定点的坐标，可判断A选项的正误；假设假设法可判断B选项的正误；利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【详解】对于A选项，直线过定点，且点在圆内，则直线与圆必相交，A选项错误；
对于B选项，若直线将圆平分，则直线过原点，此时直线的斜率不存在，B选项正确；
对于C选项，当时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，
所以，直线被截得的弦长为，C选项错误；
对于D选项，圆心到直线的距离为，
所以，直线被截得的弦长为，D选项正确.
故选：BD.
【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法
（1）几何法：求圆的半径为，弦心距为，弦长为，则；
（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式.
10. 下列命题中，不正确的命题有（ ）
A. 是共线的充要条件
B. 若，则存在唯一的实数，使得
C. 若A，B，C不共线，且，则P，A，B、C四点共面
D. 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底
【答案】AB
【解析】
【分析】利用向量的模相等关系，结合充要条件判断A的正误；利用平面向量的基本定理判断B；利用共线向量定理判断；利用空间向量的基底的概念和反证法判断D的正误即可．
【详解】对于A，当时，，共线成立，但当，同向共线时，，
所以是，共线的充分不必要条件，故A不正确;
对于B，当时，，不存在唯一的实数，使得，故B不正确;
对于C，由于，而，根据共面向量定理知，，，，四点共面，故C正确;
对于D，若，，为空间的一个基底，则，，不共面，利用反证法证明，，不共面，假设，，共面，则,所以，所以，，共面，与已知矛盾.所以，，不共面，则，，构成空间的另一个基底，故D正确．
故选：AB
11. 正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则（ ）
A. 直线与直线垂直
B. 平面截正方体所得的截面面积为
C. 三棱锥的体积为
D. 点与点到平面的距离相等
【答案】BD
【解析】
【分析】A.建立空间直角坐标系，由是否为零判断；B.根据，由平面的基本性质得到截面是等腰梯形 求解判断； C.由求解判断；D. 根据平面，即平面判断.
【详解】如图所示：
A.建立如图所示空间直角坐标系，则，而，所以直线与直线不垂直，故错误；
B.如图所示：因为，所以截面为等腰梯形 ，所以截面面积为,故正确；
C.，故错误；
D. 因为，平面，即平面,所以点与点到平面的距离相等，故正确；
故选：BD
【点睛】方法点睛：画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置．
12. 椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，则以下说法正确的是（ ）
A. 过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为8
B. 椭圆上存在点，使得
C. 椭圆的离心率为
D. 为椭圆上一点，为圆上一点，则点，的最大距离为3
【答案】ABD
【解析】
【分析】结合椭圆定义判断A选项的正确性，结合向量数量积的坐标运算判断B选项的正确性，直接法求得椭圆的离心率，由此判断C选项的正确性，结合两点间距离公式判断D选项的正确性.
【详解】对于选项：由椭圆定义可得：，因此的周长为，所以选项正确；
对于选项：设，则，且，又，，
所以，，
因此，
解得，，故选项正确；
对于选项：因为，，所以，即，所以离心率，所以选项错误；
对于选项：设，，则点到圆的圆心的距离为，
因为，所以，
所以选项正确，
故选：ABD．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若点关于轴的对称点为，且，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】求出点的坐标，利用可求得实数的值.
【详解】点关于轴的对称点为，则，解得.
故答案为：.
14. 已知直线与圆相交于，两点，且线段的中点坐标为，则直线的方程为________.
【答案】.
【解析】
【分析】由圆的方程，得到圆心的坐标，由圆的特征可得： ，从而可求出直线的斜率，再由直线过点，即可得出直线方程.
【详解】因为圆的圆心坐标为，又点坐标为，
所以直线的斜率为；
又因为是圆的一条弦，为的中点，
所以，故，即直线的斜率为，
因此，直线的方程为，即.
故答案为
【点睛】本题主要考查直线与圆位置关系，以及由弦中点坐标，求弦所在直线方程的问题，属于常考题型.
15. 设为椭圆的两个焦点，为上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则的坐标为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据椭圆的定义分别求出，设出的坐标，结合三角形面积可求出的坐标.
【详解】由已知可得，
．∴．
设点的坐标为，则，
又，解得，
，解得（舍去），
的坐标为．
【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
16. 在棱长为的正方体中，、、分别为棱、、上一点，，且平面．当三棱锥的体积取得最大值时，三棱锥的侧面积为_________；与所成角的余弦值为__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】设，则，则，可得出，利用基本不等式可求得面积的最大值，可得出三棱锥体积的最大值，利用等号成立的条件求出的值，然后以点A为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可确定点的位置，然后利用空间向量法可求得与所成角的余弦值.
详解】设，则，则，由题意得，可得，
所以，，
当且仅当时，等号成立，
则，
此时三棱锥的侧面积为.
以点A为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，设点，
，，设平面的法向量为，
由，取，可得，且，
因为平面，则，解得，
所以，，，
所以，与所成角的余弦值为.
故答案为：；.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知点A（2，3），B（4，1），△ABC是以AB为底边的等腰三角形，点C在直线l：x-2y+2=0上.
（1）求AB边上的高CE所在直线的方程；
（2）求△ABC的面积.
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）由题意可知，为的中点，，利用斜率计算公式、点斜式即可得出．
（2）由 得，利用两点之间的距离公式、三角形面积计算公式即可得出．
【小问1详解】
解：由题意可知，为的中点，因为，，所以，，所以，
所在直线方程为，即．
【小问2详解】
解：由 解得，所以，所以平行于轴，平行于轴，即，
，
．
18. 已知空间三点，设．
（1）若，求；
（2）求夹角的余弦值；
（3）若与的夹角是钝角，求k的取值范围．
【答案】（1）或；
（2）
（3）
【解析】
【分析】(1)设出的坐标，根据模的公式和向量共线的坐标表示，列出方程，解方程即可；
(2)利用向量数量积的运算性质、向量夹角公式计算即可；
(3)根据向量夹角为钝角可推出夹角的余弦值小于0且不等于-1，结合向量数量积的定义，列出不等式组，解之即可.
【小问1详解】
设，则，则，
因，则，即，
所以，解得，
则或；
【小问2详解】
由于，
则，
所以；
【小问3详解】
设与的夹角为，则为钝角，所以且，
即且，
又，
，，
所以，
解得且
即k的取值范围为
19. 如图，在底面为矩形的四棱锥中，为棱上一点，底面．
（1）证明：；
（2）若，，求二面角的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）证明出平面，利用线面垂直的性质可证得；
（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的大小．
【详解】（1）因为四边形为矩形，则，
平面，平面，则，
，平面，
平面，因此，；
（2）平面，不妨以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
、、、，
设平面的法向量为，，，
由，取，可得，
设平面的法向量为，，
由，取，可得，
所以，，
由图可知，二面角的平面角为钝角，
因此，二面角的大小为.
20. 已知过点且斜率为k的直线l与圆交于M，N两点．
（1）求k的取值范围；
（2）若，其中O为坐标原点，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据直线与圆的位置关系，利用圆心到直线的距离公式，即可求解；
（2）直线与圆的方程联立，利用韦达定理表示，求得，可知圆心在直线上，即为直径长．
【小问1详解】
圆，圆心，半径
设直线的方程为，即
因为直线与圆交于两点，所以，解得．
所以的取值范围为．
【小问2详解】
设，．
联立，整理得，
所以，，
所以．
由题设得，解得，
所以直线方程为，所以圆心在直线上，
所以．
21. 设椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为B.已知（为原点）.
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程.
【答案】（I）；（II）.
【解析】
【分析】（I）根据题意得到，结合椭圆中的关系，得到，化简得出，从而求得其离心率；
（II）结合（I）的结论，设出椭圆的方程，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得，从而得到椭圆的方程.
【详解】（I）解：设椭圆的半焦距为，由已知有，
又由，消去得，解得，
所以，椭圆的离心率为.
（II）解：由（I）知，，故椭圆方程为，
由题意，，则直线的方程为，
点的坐标满足，消去并化简，得到，
解得，
代入到的方程，解得，
因为点在轴的上方，所以，
由圆心在直线上，可设，因为，
且由（I）知，故，解得，
因为圆与轴相切，所以圆的半径为2，
又由圆与相切，得，解得，
所以椭圆的方程为：.
【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.
22. 如图，在直四棱柱中，，，，，点和分别在侧棱、上，且．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】（1）分别取、的中点、，证明四边形、为平行四边形，可得出，，利用平行线的传递性结合线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）以点为坐标原点，为轴，平面内垂直于的直线为轴，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】（1）分别取、的中点、，连接、、，如图所示：
、分别为、的中点，则为梯形的中位线，
所以，，且有，
，，所以，，且，
所以，四边形为平行四边形，故，
为的中点，则，因为，则，
所以，四边形为平行四边形，则，故，
平面，平面，因此，平面；
（2）以点为坐标原点，为轴，平面内垂直于的直线为轴，为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
设平面的法向量为，，，，
由，可得，令，则，
，
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.