2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测第40讲直线、平面平行的判定与性质（达标检测）（Word版附解析）

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A．内有无数条直线与平行
B．内有两条相交直线与平行
C．内有无数个点到的距离相等
D．，垂直于同一平面
【分析】根据平面平行的判定定理，即可得出正确的结论．
【解答】解：对于，内有无数条直线与平行，如两个相交平面，可以找出无数条平行于交线的直线，所以错误；
对于，内有两条相交直线与平行，根据两平面平行的判定定理知，，所以正确；
对于，内有无数个点到的距离相等，如两个相交平面，可以找出无数条直线平行于平面，所以也能得出无数个点到平面的距离相等，错误；
对于，当、垂直于同一个平面时，与也可以相交，所以错误．
故选：．
2．（2020春•东湖区校级期末）有下列四个条件：①，，； ②，；③，，； ④、是异面直线，，，．其中能保证直线平面的条件是
A．①②B．①③C．①④D．②④
【分析】根据直线与平面平行的判定定理进行判断．
【解答】解：①若，，，则直线平面，故符合题意；
②若，时，则或直线平面，故不符合题意；
③若，，时，则或直线平面，故不符合题意；
④、是异面直线，，，，则直线平面，故符合题意．
综上所述，符合题意的条件是①④．
故选：．
3．（2020春•房山区期末）如图，在三棱锥中，，分别为，的中点，过的平面截三棱锥得到的截面为．则下列结论中不一定成立的是
A．B．C．平面D．平面
【分析】对于，推导出，，从而；对于，过的平面截三棱锥得到的截面为，平面平面，从而；对于，由，得平面；对于，与平面有可能相交．
【解答】解：对于，，分别为，的中点，，
过的平面截三棱锥得到的截面为，平面平面，
，，故正确；
对于，过的平面截三棱锥得到的截面为，平面平面，
，故正确；
对于，，平面，平面，平面，故正确；
对于，的位置不确定，与平面有可能相交，故错误．
故选：．
4．（2020春•凉山州期末）如图所示的四个正方体中，，是正方体的两个顶点，，，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号为
A．①②B．②③C．③④D．①②③
【分析】首先由线面平行的判定可知①正确，由此排除选项，再根据面面平行的性质，由此排除，即可得到正确答案．
【解答】解：对①，连接交于点，则，易知平面，即①正确，故排除；
对③，由正方体的性质可知，平面平面，又在平面内，故平面，即③正确，故排除．
故选：．
5．（2020•武汉模拟）设、、为平面，、为直线，给出下列条件：
①、，，；
②，；
③，；
④，，．
其中能使成立的条件是
A．①②B．②③C．②④D．③④
【分析】①由面面平行的判断定理与定义可得：可能或者与相交．②由平面与平面平行的传递性可得：．③由平面与平面的位置关系可得：可能或者与相交．④由线面垂直的定义可得：，又因为，所以．
【解答】解：①若、，，，由面面平行的判断定理与定义可得：可能或者与相交．所以①错误．
②若，，由平面与平面平行的传递性可得：．所以②正确．
③若，，则由平面与平面的位置关系可得：可能或者与相交．所以③错误．
④若，，由线面垂直的定义可得：，又因为，所以．所以④正确．
故选：．
6．（2020春•徐州期中）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，点在棱上，，若平面，则的值为
A．1B．C．3D．2
【分析】连结，交于，连结，则，再由点在棱上，，平面，能求出，
【解答】解：连结，交于，连结，
四棱锥的底面是平行四边形，，
点在棱上，，平面，
，
．
故选：．
7．（2020•重庆模拟）如图，四棱柱中，为平行四边形，，分别在线段，上，且，在上且平面平面，则
A．B．C．D．
【分析】推导出，平面平面，由在上且平面平面，得，从而．
【解答】解：四棱柱中，为平行四边形，
，分别在线段，上，且，
，平面平面，
在上，平面，且平面平面，
，
．
故选：．
8．（2020•开封三模）在棱长为1的正方体中，点，分别是棱，的中点，是上底面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【分析】分别取棱、的中点、，连接，可证平面平面，得点在线段上．由此可判断当在的中点时，最小；当与或重合时，最大．然后求解直角三角形得答案．
【解答】解：如下图所示：
分别取棱、的中点、，连接，连接，
、、、为所在棱的中点，，，
，又平面，平面，
平面；
连接，由，，，，
可得，，则四边形为平行四边形，
则，而平面，平面，则平面．
又，平面平面．
又是上底面内一点，且平面，
点在线段上．
在△中，，
同理，在△中，求得，则为等腰三角形．
当在的中点时，最小为，
当与或重合时，最大为．
线段长度的取值范围是，．
故选：．
9．（多选）（2020春•宝应县期中）如图所示，为矩形所在平面外一点，矩形对角线交点为，为的中点，下列结论正确的是
A．B．平面C．平面D．平面
【分析】通过直线与平面平行的判定定理，即可判断正确；由线面的位置关系，即可得到直线在平面内，故错误．
【解答】解：对于，由于为的中点，为的中点，则，故正确；
对于，由于，平面，平面，则平面，故正确；
对于，由于，平面，平面，则平面，故正确；
对于，由于平面，故错误．
故选：．
10．（多选）（2020春•芝罘区校级期末）下列四个正方体图形中，、为正方体的两个顶点，、、分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形是
A．B．
C．D．
【分析】根据线面平行的判定定理和性质定理分别进行判断即可．
【解答】解：在中，连接，则，由正方体性质得到平面平面，
平面，故成立；
若下底面中心为，则，面，
与面不平行，故不成立；
过作，则是中点，
则与平面相交，则与平面相交，
与面不平行，故不成立；
连接，则，，则，平面，故成立．
故选：．
11．（2020•贵州模拟）已知三个互不重合的平面，，，且直线，不重合，由下列条件：
①，；②，；③，，；
能推得的条件是 ．
【分析】根据线面，线线，面面平行的性质和判定定理，判断出即可．
【解答】解：①，；可能；
②，；面面平行的性质得出成立；
③，，；若与相交，可能与相交，
故答案为：②
12．（2019秋•包河区校级月考）平面平面，，，点，，直线，相交于，已知，，，则 ．
【分析】用面面平行的性质，可得，根据比例关系即可求出．
【解答】解：平面，，，，，直线与交于点，
，共面，且，
①若点在平面，的外部，
，
，，，
，解得，
．
②点在平面，的之间，
则，即，解得，
则，
故答案为：2或34．
13．（2020春•海淀区校级期末）如图，在直三棱柱中，，，的中点为，点在棱上，平面，则的值为 ．
【分析】取 的中点， 的中点，连接，，证明平面平面，得平面，由此可得的值．
【解答】解：如图，
取 的中点， 的中点，
连接，，
由，，分别为，， 的中点，
得，．
平面，平面，
平面；
平面，平面，
平面，
又，平面平面，
则平面．
由为 的中点，可知的值为．
故答案为：．
14．（2020春•湖北期末）如图所示，在四棱锥中，平面，，底面为梯形，，，，点在棱上，若平面，则 ．
【分析】连接交于点，连接，先由线面垂直的性质定理可知，再结合线面垂直的判定定理得面，从而有．结合为等腰△以及，可推出也为等腰△，，于是，最后根据线面平行的性质定理可证得，，从而得解．
【解答】解：如图所示，连接交于点，连接，
平面，面，，
，，、面，面，
面，．
，，，，
又，，为等腰直角三角形，，
．
平面，面，且平面平面，
，
．
故答案为：2．
15．（2020春•昌吉市期末）如图，在三棱柱中，，分别为和的中点，，分别为和的中点．求证：
（1）平面；
（2）平面．
【分析】（1）推导出，由此能证明平面．
（2）取的中点，连接，．推导出四边形是平行四边形，从而，由此能证明平面．
【解答】证明：（1）、分别是和中点．
，
又平面，平面，
平面．
（2）如图，取的中点，连接，．
为中点，为中点，
且，
在三棱柱中，侧面是平行四边形，
且，是的中点，且，
且，四边形是平行四边形，，
又平面，平面，
平面．
16．（2020春•顺义区期末）如图，在四棱锥中，已知底面为平行四边形，点为棱的中点，
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）设平面平面，点在上，求证：为的中点．
【分析】（Ⅰ）由底面为平行四边形，得到，由此能证明平面．
（Ⅱ）由平面平面，平面，得到，由点为棱的中点，能证明为的中点．
【解答】证明：（Ⅰ）底面为平行四边形，，
平面，平面，
平面．
（Ⅱ）平面平面，点在上，
平面，平面，
，
点为棱的中点，为的中点．
17．（2019秋•汉中期末）如图，在正方体中，、分别是平面、平面的中心，证明：
（Ⅰ）平面；
（Ⅱ）平面平面．
【分析】（Ⅰ）推导出，由此能证明平面．
（Ⅱ）推导出，得平面，由平面，能证明平面平面．
【解答】证明：（Ⅰ）由是正方体，可知，
平面，平面，
平面．
（Ⅱ）由是正方体，，
平面，平面，
平面，
由（Ⅰ）知，平面，
又，平面平面．
18．（2019秋•咸阳期末）如图，在三棱柱中，、分别是棱，的中点，求证：
（1）平面；
（2）平面平面．
【分析】（1）设与的交点为，连结，证明，再由线面平行的判定可得平面；
（2）由为线段的中点，点是的中点，证得四边形为平行四边形，得到，进一步得到平面．再由平面，结合面面平行的判定可得平面平面．
【解答】证明：（1）设与的交点为，连结，
四边形为平行四边形，为中点，
又是的中点，是三角形的中位线，则，
又平面，平面，
平面；
（2）为线段的中点，点是的中点，
且，则四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
平面．
又平面，，且平面，平面，
平面平面．
19．（2020•桃城区校级一模）如图，四棱锥的底面为平行四边形，，分别为，的中点．
（1）求证：平面．
（2）在线段上是否存在一点使得，，，四点共面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）取的中点，连接，，证明四边形为平行四边形，可得，由直线与平面平行的判定可得平面；
（2）取的中点，连接交于，在上取点，使，连接，，则，，，四点共面，然后证明即可．
【解答】解：（1）证明：如图，取的中点，连接，，
，分别为，的中点，，，
又四边形是平行四边形，，，
为的中点，，．
，，则四边形为平行四边形，
．
平面，平面，
平面；
（2）存在点符合题目条件，且此时．
取的中点，连接交于，在上取点，使，
连接，，则，，，四点共面．
证明如下：在平行四边形中，，分别为，的中点，
，又是的中点，
是的重心，且．
又，，
，，
与确定一个平面，而直线，
，则，，，四点共面．
故在线段上存在一点，使得，，，四点共面．
20．（2020•浙江模拟）如图，四边形与均为平行四边形，，，分别是，，的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
【分析】（1）由面面平行推出线面平行即可；（2）由线线平行推出面面平行即可．
【解答】证明：（1）如图，连接，则必过与的交点，
连接，则为的中位线，所以，
又平面，平面，所以平面．
（2）因为，分别为平行四边形的边，的中点，所以，
又平面，平面，所以平面．
又为中点，所以为的中位线，所以，
又平面，平面，所以平面，
又与为平面内的两条相交直线，
所以平面平面．
[B组]—强基必备
1．（2020春•道里区校级期末）空间四边形的两条对角线、所成角为，设，．则过的中点且平行于、的截面四边形的面积为 ．
【分析】根据三角形的中位线定理知，、的长为其第三边的一半，根据平行四边形的面积公式即得结论．
【解答】解：设截面四边形为，、、分别是、、的中点，
则四边形为平行四边形，
，，或
截面四边形的面积为．
过的中点且平行于、的截面四边形的面积为6．
故答案为：6．
2．（2020•韶关二模）已知长方体中，，，，，，分别是棱，，的中点，是该长方体底面上的动点，若平面，则面积的取值范围是 ．
【分析】补全所给截面后，易得两个平行截面，从而确定点所在线段，再分析何时最大，何时最小即可得解．
【解答】解：：补全截面为截面如图，设，
直线与平面不存在公共点，
平面，
易知平面平面，
，
且当与重合时，最短，此时的面积最小；
由等积法：，
即：；
，
又平面，，为直角三角形，
的面积为：，
当与重合时，最长为4，此时的面积最大；
最大值为：；
故答案为：，．
3．（2020春•诸暨市校级期中）如图，在正方体中，是的中点，在上，且，点是侧面（包括边界）上一动点，且平面，则的取值范围为 ．
【分析】作出平面平面，推导出的轨迹是线段，在处，取最小值，在处，取最大值，由此能求出的取值范围．
【解答】解：如图所示，作出平面平面，
则，，
平面，的轨迹是线段，
在处，取最小值，
在处，取最大值．
的取值范围为．
故答案为：．