江苏省常州市钟楼区明德实验中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份江苏省常州市钟楼区明德实验中学2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷，共2页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2分）一元二次方程x2﹣2x+3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根
D．没有实数根
3．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，连接AC．若∠DAB＝40°，则∠D的度数为（ ）
A．70°B．120°C．140°D．110°
4．（2分）下列说法中，正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．三角形的外心是三角形角平分线的交点
C．等弧所对的圆心角相等
D．在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等
5．（2分）已知一个三角形的两边长是方程x2﹣8x+15＝0的根，则第三边y长的取值范围是（ ）
A．y＜8B．2＜y＜8C．3＜y＜5D．无法确定
6．（2分）两个连续奇数的积为323，求这两个数．若设较小的奇数为x，则根据题意列出的方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝323B．x（x+2）＝323
C．x（x﹣2）＝323D．（2x+1）（2x﹣1）＝323
7．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m可取的正整数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．（2分）如图，Rt△ABC的直角顶点C在⊙O上滑动，且各边与⊙O分别交于点D，E，F，G，若，，，BE＝BF，则∠A的度数为（ ）
A．30°B．32°C．34°D．36°
二、填空题：（每题2分，共20分）
9．（2分）一元二次方程4x2﹣81＝0的解是 ．
10．（2分）若关于x的方程x2+x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为 ．
11．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，则其外接圆的半径为 ．
12．（2分）已知圆锥的侧面积为15π，底面半径为3，则圆锥的高为 ．
13．（2分）某商店今年7月份的销售额是5万元，9月份的销售额是7.2万元，从7月份到9月份 ．
14．（2分）一个扇形的面积是3π cm2，圆心角是120°，则此扇形的半径是 cm．
15．（2分）已知m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0一个根，则2022﹣m2+3m的值为 ．
16．（2分）如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E，则∠EOB的度数为 ．
17．（2分）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC交AB于点D．若∠BDC＝68°，则∠ABC的度数为 °．
18．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3．点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAC＝∠PCB ．
三、解答题：（共64分，其中第19题16分，第20-24题每题6分，第25题8分，26题10分）
19．（16分）解方程：
（1）（x+5）2＝25；
（2）x2﹣6x+2＝0；
（3）3x（x﹣1）＝2（x﹣1）；
（4）（3x﹣2）2＝（2x﹣3）2．
20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程有一个根为x＝1，求m的值及另一个根．
21．（6分）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B
（1）画出△ABC的外接圆⊙O；
（2）连接AC，在（1）中的⊙O上画出点P，使得△PAC是直角三角形；
（3）求⊙O半径的长．
22．（6分）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建一个矩形场地，设矩形的边长AB为x米，矩形场地的总面积为y平方米．
（1）请用含有x的式子表示y（不要求写出x的取值范围）；
（2）当x为何值时，矩形场地的总面积为400平方米？
23．（6分）如图，AB，CD都是圆中的弦，BD，且AC＝BD
24．（6分）某商店销售一款口罩，进货单价为每盒50元，若按每盒60元出售，经市场调研发现：每盒每提价1元，销量就会减少2盒，物价部门规定，该款口罩的每盒售价不得高于72元．设该口罩售价为每盒x（x＞60）
（1）用含x的代数式表示提价后平均每天的销售量为 盒；
（2）现在预算要获得1200元利润，应按每盒多少元销售？
25．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AD为直径作⊙O交AB于点E，连接CE
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若CD＝2，AB＝4，求⊙O的半径．
26．（10分）[学习心得]
（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且AD＝AC，AB长为半径作辅助圆⊙A，则C、D两点必在⊙A上，则∠BDC＝ °．
[初步运用]
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，则∠BAC＝ ；
[方法迁移]
（3）如图3，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P（不写作法，保留作图痕迹）：
[问题拓展]
（4）①如图4①，已知矩形ABCD，AB＝4，M为边CD上的点，若满足∠AMB＝45°的点M恰好有两个 ．
②如图4②，在△ABC中，∠BAC＝45°，且BD＝3，CD＝1
2022-2023学年江苏省常州市钟楼区明德实验中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每题2分，共16分）
1．（2分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称和中心对称的定义得出结论即可．
【解答】解：由题意知，A选项中图形既不是轴对称图形，故A选项不符合题意；
B选项中图形既是轴对称图形，又是中心对称图形；
C选项中图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
D选项中图形是中心对称图形，不是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题主要考查轴对称和中心对称的知识，熟练掌握轴对称和中心对称的定义是解题的关键．
2．（2分）一元二次方程x2﹣2x+3＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根
D．没有实数根
【分析】代入一元二次方程中的系数求出根的判别式Δ＝﹣8＜0，由此即可得出结论．
【解答】解：在方程x2﹣2x+6＝0中，
Δ＝（﹣2）3﹣4×1×5＝﹣8＜0，
∴该方程没有实数根．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是代入数据求出△的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的判别式的符号判断出方程根的个数是关键．
3．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，连接AC．若∠DAB＝40°，则∠D的度数为（ ）
A．70°B．120°C．140°D．110°
【分析】根据圆周角定理求出∠BAC，根据圆内接四边形的性质计算即可．
【解答】解：∵BC＝CD，
∴＝，
∵∠DAB＝40°，
∴∠BAC＝∠DAB＝20°，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠B＝90°﹣∠BAC＝70°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D＝180°﹣∠B＝110°，
故选：D．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
4．（2分）下列说法中，正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．三角形的外心是三角形角平分线的交点
C．等弧所对的圆心角相等
D．在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等
【分析】根据确定圆的条件对A进行判断；根据三角形外心的性质对B进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对C进行判断；根据圆周角定理和圆内接四边形的性质对D进行判断．
【解答】解：A、不共线的三点确定一个圆；
B、三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点；
C、等弧所对的圆心角相等；
D、在同圆或等圆中，所以D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆心角、弧、弦的关系和圆周角定理．
5．（2分）已知一个三角形的两边长是方程x2﹣8x+15＝0的根，则第三边y长的取值范围是（ ）
A．y＜8B．2＜y＜8C．3＜y＜5D．无法确定
【分析】首先由方程求得三角形的两边，再根据已知两边的长，得第三边应该大于两边的差，而小于两边的和．
【解答】解：由方程x2﹣8x+15＝7，得x＝3或5．
则三角形的两边条的长是7和5，
根据三角形的三边关系，得5﹣3＜y＜5+3，
即8＜y＜8．故选：B．
【点评】已知三角形的两边长如何确定第三边的范围，与解一元二次方程的问题相结合，是一个比较典型的问题．
6．（2分）两个连续奇数的积为323，求这两个数．若设较小的奇数为x，则根据题意列出的方程正确的是（ ）
A．x（x+1）＝323B．x（x+2）＝323
C．x（x﹣2）＝323D．（2x+1）（2x﹣1）＝323
【分析】两个连续的奇数相差2，则较大的数为x+2，再根据两数的积为323即可得出答案．
【解答】解：依题意得：较大的数为x+2，
则有：x（x+2）＝323．
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，得到两个奇数的代数式是解决本题的突破点；根据两个数的积得到等量关系是解决本题的关键．
7．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m可取的正整数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】先根据根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）＞0，再解不等式得到m的范围，然后在此范围内找出正整数即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣3（m﹣1）＞0，
解得m＜7，
正整数m的值为1．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
8．（2分）如图，Rt△ABC的直角顶点C在⊙O上滑动，且各边与⊙O分别交于点D，E，F，G，若，，，BE＝BF，则∠A的度数为（ ）
A．30°B．32°C．34°D．36°
【分析】连接FG，DG，EF，利用90°的圆周角所对的弦是直径可得，，的和为半圆，利用已知条件可得三条弧的度数，利用圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半可求∠DGF的度数；利用圆内接四边形的外角等于它的内对角可得∠BEF的度数；利用等腰三角形的两个底角相等和三角形的内角和定理求得∠B的度数，再利用直角三角形的两个锐角互余即可求得结论．
【解答】解：连接FG，DG，如图，
∵∠ACB＝90°，点C在⊙O上，
∴FG为⊙O的直径．
∴，，的和为半圆．
设，，的度数为2x，5x，
∴5x+3x+5x＝180°．
∴x＝18°．
∴，，的度数为36°，90°．
∴∠DGF＝（90°+36°）＝63°．
∵∠BEF为圆内接四边形EFGD的外角，
∴∠BEF＝∠DGF＝63°，
∵BE＝BF，
∴∠BFE＝∠BEF＝63°，
∴∠B＝180°﹣∠BFE﹣∠BEF＝54°．
∴∠A＝90°﹣∠B＝36°．
故选：D．
【点评】本题主要考查了圆周角定理及其推论，圆周角的度数与它所对的弧的度数的关系，连接FG，利用90°的圆周角所对的弧是半圆是解题的关键．
二、填空题：（每题2分，共20分）
9．（2分）一元二次方程4x2﹣81＝0的解是 ．
【分析】先移项，再将二次项系数化为1，继而两边开方即可．
【解答】解：∵4x2﹣81＝6，
∴4x2＝81，
∴x3＝，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
10．（2分）若关于x的方程x2+x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为 ．
【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝0，建立关于c的方程，求出c的值即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x+c＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b8﹣4ac＝18﹣4c＝0，
解得c＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
11．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，则其外接圆的半径为 7.5 ．
【分析】首先利用勾股定理得出AB的长，再利用直角三角形外接圆直径是斜边长度得出即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，
∴AB＝＝15，
∴其外接圆的直径为15，半径为：5.5．
故答案为：7.7．
【点评】此题主要考查了勾股定理以及直角三角形外接圆的性质，得出直角三角形外接圆直径是斜边长度是解题关键．
12．（2分）已知圆锥的侧面积为15π，底面半径为3，则圆锥的高为 4 ．
【分析】设圆锥的母线长为l，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到•2π•3•l＝15π，然后求出l后利用勾股定理计算圆锥的高．
【解答】解：设圆锥的母线长为l，
根据题意得•6π•3•l＝15π，
所以圆锥的高＝＝3．
故答案为4．
【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
13．（2分）某商店今年7月份的销售额是5万元，9月份的销售额是7.2万元，从7月份到9月份 20% ．
【分析】设该店销售额平均每月的增长率为x，根据该店7月份及9月份的销售额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设该店销售额平均每月的增长率为x，
依题意，得：5（1+x）4＝7.2，
解得：x2＝0.2＝20%，x8＝﹣1.2（不合题意，舍去）．
故答案为：20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．（2分）一个扇形的面积是3π cm2，圆心角是120°，则此扇形的半径是 3 cm．
【分析】设此扇形的半径为rcm，利用扇形的面积公式得到＝3π，然后解关于r的方程即可．
【解答】解：设此扇形的半径为rcm，
根据题意得＝3π，
解得r＝4．
即此扇形的半径为3cm．
故答案为3．
【点评】本题考查了扇形面积的计算：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）．
15．（2分）已知m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0一个根，则2022﹣m2+3m的值为 2023 ．
【分析】根据题意可得：把x＝m代入方程x2﹣3x+1＝0中得：m2﹣3m+1＝0，从而可得m2﹣3m＝﹣1，然后代入式子中进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：把x＝m代入方程x2﹣3x+3＝0中得：m2﹣5m+1＝0，
∴m7﹣3m＝﹣1，
∴2022﹣m5+3m＝2022﹣（m2﹣3m）＝2022﹣（﹣1）＝2022+1＝2023，
故答案为：2023．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16．（2分）如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E，则∠EOB的度数为 69° ．
【分析】根据CD＝OD求出∠DOC＝∠C＝23°，根据三角形的外角性质求出∠EDO＝∠C+∠DOC＝46°，根据等腰三角形的性质求出∠E＝∠EDO＝46°，根据三角形的内角和定理求出∠DOE即可．
【解答】解：∵CD＝OA，OA＝OD，
∴CD＝OD，
∵∠C＝23°，
∴∠DOC＝∠C＝23°，
∴∠EDO＝∠C+∠DOC＝46°，
∵OD＝OE，
∴∠E＝∠EDO＝46°，
∴∠DOE＝180°﹣∠E﹣∠EDO＝88°，
∵∠DOC＝23°，
∴∠EOB＝180°﹣∠DOC﹣∠DOE＝180°﹣23°﹣88°＝69°，
故答案为：69°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点，能求出∠DOE的度数是解此题的关键．
17．（2分）如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，OC交AB于点D．若∠BDC＝68°，则∠ABC的度数为 68 °．
【分析】根据切线的性质得∠OBC＝90°，则利用OC⊥OA得到∠AOC＝90°，则可计算出∠OAD＝22°，由于∠DBA＝∠DAB＝22°，则可利用互余计算出∠ABC的度数．
【解答】解：连接OB，
∵BC为切线，
∴OB⊥OB，
∴∠OBC＝90°，
∵OC⊥OA，
∴∠AOC＝90°，
∵∠ODA＝∠BCC＝68°，
∴∠OAD＝90°﹣68°＝22°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB＝22°，
∴∠ABC＝90°﹣∠OBA＝90°﹣22°＝68°．
故答案为：68．
【点评】本题考查了切线的性质，熟练掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
18．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3．点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAC＝∠PCB ﹣2 ．
【分析】首先证明点P在以AC为直径的⊙O上，连接OB与⊙O交于点P，此时PB最小，利用勾股定理求出OB即可解决问题．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACP+∠PCB＝90°，
∵∠PAC＝∠PCB
∴∠CAP+∠ACP＝90°，
∴∠APC＝90°，
∴点P在以AC为直径的⊙O上，连接OB交⊙O于点P，
在Rt△CBO中，∠OCB＝90°，OC＝2，
∴OB＝＝＝，
∴PB＝OB﹣OP＝﹣2．
∴BP最小值为﹣5．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离，属于中考常考题型．
三、解答题：（共64分，其中第19题16分，第20-24题每题6分，第25题8分，26题10分）
19．（16分）解方程：
（1）（x+5）2＝25；
（2）x2﹣6x+2＝0；
（3）3x（x﹣1）＝2（x﹣1）；
（4）（3x﹣2）2＝（2x﹣3）2．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法进行计算，即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答；
（3）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答；
（4）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）（x+5）2＝25，
x+5＝±5，
x+5＝7或x+5＝﹣5，
x6＝0，x2＝﹣10；
（2）x7﹣6x+2＝8，
x2﹣6x＝﹣6，
x2﹣6x+7＝﹣2+9，
（x﹣6）2＝7，
x﹣6＝±，
x﹣3＝或x﹣3＝﹣，
x2＝3+，x4＝3﹣；
（3）3x（x﹣1）＝2（x﹣4），
3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，
（x﹣7）（3x﹣2）＝7，
x﹣1＝0或8x﹣2＝0，
x5＝1，x2＝；
（4）（3x﹣8）2＝（2x﹣6）2，
（3x﹣2）2﹣（2x﹣8）2＝0，
[（3x﹣2）+（2x﹣6）][（3x﹣2）﹣（5x﹣3）]＝0，
（4x﹣2+2x﹣7）（3x﹣2﹣8x+3）＝0，
（2x﹣5）（x+1）＝7，
5x﹣5＝4或x+1＝0，
x8＝1，x2＝﹣8．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，配方法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣2）＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程有一个根为x＝1，求m的值及另一个根．
【分析】（1）由方程有实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
（2）将x＝1代入原方程求出m值，再将m的值代入原方程利用十字相乘法解一元二次不等式即可得出方程的另一个根．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x﹣（m﹣6）＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣6ac＝22﹣5×1×[﹣（m﹣2）]＝6m﹣4≥0，
解得：m≥6．
（2）将x＝1代入原方程，1+8﹣（m﹣2）＝0，
解得：m＝7，
∴原方程为x2+2x﹣5＝（x﹣1）（x+3）＝3，
解得：x1＝1，x3＝﹣3．
∴m的值为5，方程的另一个根为x＝﹣2．
【点评】本题考查了根的判别式、一元二次方程的解以及十字相乘法解一元二次不等式，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0”是解题的关键．
21．（6分）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B
（1）画出△ABC的外接圆⊙O；
（2）连接AC，在（1）中的⊙O上画出点P，使得△PAC是直角三角形；
（3）求⊙O半径的长．
【分析】（1）作出线段AB，BC的垂直平分线的交点O，以O为圆心，OA为半径作⊙O即可；
（2）利用圆周角定理作出直径AP，CP′即可；
（3）利用勾股定理求出OA即可．
【解答】解：（1）如图，⊙O即为所求；
（2）如图，△PAC；
（3）⊙O的半径＝OA＝＝．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，勾股定理，垂径定理，圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
22．（6分）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建一个矩形场地，设矩形的边长AB为x米，矩形场地的总面积为y平方米．
（1）请用含有x的式子表示y（不要求写出x的取值范围）；
（2）当x为何值时，矩形场地的总面积为400平方米？
【分析】（1）设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；
（2）根据矩形的面积公式列出方程．
【解答】解：（1）依题意得，BC＝100﹣4x．
则y＝（100﹣4x）x．
（2）设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣7x）米．
根据题意得 （100﹣4x）x＝400，
解得 x1＝20，x8＝5．
则100﹣4x＝20或100﹣7x＝80．
∵80＞25，
∴x2＝5，舍去．
即AB＝20，BC＝20．
答：当x的值为20时，矩形场地的总面积为400平方米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
23．（6分）如图，AB，CD都是圆中的弦，BD，且AC＝BD
【分析】连接AD，根据圆心角、弧、弦之间的关系得出＝，根据圆周角定理求出∠ADC＝∠BAD，再根据等腰三角形的判定得出即可．
【解答】证明：连接AD，
∵AC＝BD，
∴＝，
∴∠ADC＝∠BAD，
∴AE＝DE．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆周角定理和等腰三角形的判定等，能根据圆心角、弧、弦之间的关系求出＝是解此题的关键．
24．（6分）某商店销售一款口罩，进货单价为每盒50元，若按每盒60元出售，经市场调研发现：每盒每提价1元，销量就会减少2盒，物价部门规定，该款口罩的每盒售价不得高于72元．设该口罩售价为每盒x（x＞60）
（1）用含x的代数式表示提价后平均每天的销售量为 （200﹣2x） 盒；
（2）现在预算要获得1200元利润，应按每盒多少元销售？
【分析】（1）利用平均每天的销售量＝80﹣2×提高的价格，即可用含x的代数式表示出提价后平均每天的销售量；
（2）根据每天的销售利润＝每箱的销售利润×销售数量，即可列出关于x的一元二次方程，解方程即可求出x的值，在结合每盒售价不得高于72元，即可确定x的值．
【解答】解：（1）根据题意，提价后平均每天的销售量为：80﹣2（x﹣60）＝（200﹣2x）（盒）．
故答案为：（200﹣3x）；
（2）根据题意得：（x﹣50）（200﹣2x）＝1200，
整理得：x2﹣150x+5600＝6．
解得：x1＝70，x2＝80，
∵该款口罩的每盒售价不得高于72元，
∴x＝80不合题意，舍去．
答：要获得1200元利润，应按每盒70元销售．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AD为直径作⊙O交AB于点E，连接CE
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若CD＝2，AB＝4，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接OE，DE，根据等腰三角形的性质和直径所对圆周角是直角得∠OEC＝90°，于是得到结论；
（2）设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，OC＝r+2，AC＝2r+2，由AC2+BC2＝AB2，OE2+CE2＝OC2得到关于r 的方程，即可求出半径．
【解答】（1）证明：如图，连接OE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED＝∠DEB＝90°，
∴∠DEC+∠CEB＝90°，
∵CE＝BC，
∴∠B＝∠CEB，
∴∠A＝∠DEC，
∵OE＝OD，
∴∠OED＝∠ODE，
∵∠A+∠ADE＝90°，
∴∠DEC+∠OED＝90°，即∠OEC＝90°，
∴OE⊥CE．
∵OE是⊙O的半径，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，
设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，AC＝7r+2，
∴AC2+BC8＝AB2，
∴（2r+2）2+BC2＝（7）2，
在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，
∴OE3+CE2＝OC2，
∴r7+BC2＝（r+2）4，
∴BC2＝（r+2）7﹣r2，
∴（2r+5）2+（r+2）4﹣r2＝（4）2，
解得r＝3，或r＝﹣3（舍去）．
∴⊙O的半径为3．
【点评】本题考查的是切线的判定、等腰三角形的判定和性质、勾股定理，掌握切线的判定定理、勾股定理是解题的关键．
26．（10分）[学习心得]
（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决
例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且AD＝AC，AB长为半径作辅助圆⊙A，则C、D两点必在⊙A上，则∠BDC＝ 45 °．
[初步运用]
（2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，则∠BAC＝ 25° ；
[方法迁移]
（3）如图3，已知线段AB和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P（不写作法，保留作图痕迹）：
[问题拓展]
（4）①如图4①，已知矩形ABCD，AB＝4，M为边CD上的点，若满足∠AMB＝45°的点M恰好有两个 4≤m＜2+2 ．
②如图4②，在△ABC中，∠BAC＝45°，且BD＝3，CD＝1
【分析】（1）由圆周角定理可得出答案；
（2）取BD的中点O，连接AO、CO．由直角三角形的性质证明点A、B、C、D共圆，由圆的性质得出∠BDC＝∠BAC，则可得出答案；
（3）作出等边三角形OAB，由圆周角定理作出图形即可；
（4）①在BC上截取BF＝BA＝2，连接AF，以AF为直径⊙O，由图形可知BF≤m＜BQ，由勾股定理求出BF和BQ的长，则可得出答案；
②作△ABC的外接圆，过圆心O作OE⊥BC于点E，作OF⊥AD于点F，连接OA、OB、OC．由圆周角定理及勾股定理可得出答案．
【解答】解：（1）∵∠BAC是⊙A的圆心角，∠BDC是⊙A的圆周角，
∴∠BDC＝∠BAC＝45°；
故答案为：45；
（2）如图6，取BD的中点O、CO．
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴OA＝BDBD，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴点A、B、C、D共圆，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠BDC＝25°，
∴∠BAC＝25°，
故答案为：25°；
（3）作图如下：
由图知，∠AP1B＝∠AOB＝30°；同理∠AP7B＝30°．
（4）①≤m＜．
在BC上截取BF＝BA＝4，连接AF，⊙O交AD于E，连接EF，过G作⊙O的切线KQ交AD于K交BC于Q
∵BA＝BF＝4，
∴AF＝4，
∴⊙O的半径为2，即OF＝OG＝2，
∵OG⊥EF，
∴FH＝2，
∴OH＝7，
∴GH＝2﹣4，
∴BF≤m＜BQ，
∴4≤m＜4+3﹣2，
故答案为：4≤m＜2+8；
②如图，作△ABC的外接圆，作OF⊥AD于点F、OB．
∵∠BAC＝45°，
∴∠BOC＝90°．
在Rt△BOC中，BC＝3+4＝4，
∴BO＝CO＝2．
∵OE⊥BC，O为圆心，
∴BE＝CE＝BC＝8，
∴DE＝OF＝1．
在Rt△BOE中，BO＝2，
∴OE＝DF＝2．
在Rt△AOF中，AO＝2，
∴AF＝＝
∴AD＝+2．
【点评】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质、圆周角定理、作图、勾股定理、等腰直角三角形的性质、垂径定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键．