2024年高考数学第一轮复习精品导学案第29讲 三角函数的图像与性质（学生版）+教师版

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(1)“五点法”作图原理：
在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是： ．
在余弦函数y＝cs x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是： .
(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．
2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质
1、（2023年全国1卷）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是________．
2、【2022年北京】已知函数f(x)=cs2x-sin2x，则（ ）
A．f(x)在-π2,-π6上单调递减B．f(x)在-π4,π12上单调递增
C．f(x)在0,π3上单调递减D．f(x)在π4,7π12上单调递增
1、y＝|cs x|的一个单调递增区间是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))) B．[0，π]
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))
2、函数f(x)＝eq \r(2sin \f(π,2)x－1)的定义域为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋4kπ，\f(5π,3)＋4kπ))(k∈Z) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＋4k，\f(5,3)＋4k))(k∈Z)
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋4kπ，\f(5π,6)＋4kπ))(k∈Z) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,6)＋4k，\f(5,6)＋4k))(k∈Z)
3、（2022·河北邯郸·二模）函数在上的值域为（ ）
A． B．
C．D．
4、（2022·湖北·荆州中学模拟预测）已知函数在单调递减，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5、（多选）（2022·苏锡常镇一模）下列函数中，最大值是1的函数有( )
A. y＝|sin x|＋|cs x|
B. y＝sin2x－cs2x
C. y＝4sin2x cs2x
D. y＝ eq \f(tan x tan 2x,tan 2x－tan x)
考向一 三角函数的定义域
例1 (1)函数y＝eq \f(1,tan x－1)的定义域为________．
（2）函数y＝eq \r(sin x－cs x)的定义域为________．
变式、函数y＝lg(sin 2x)＋eq \r(9－x2)的定义域为________．
方法总结：三角函数定义域的求法
(1)以正切函数为例，应用正切函数y＝tan x的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式．
(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式．
2．简单三角不等式的解法
(1)利用三角函数线求解．
(2)利用三角函数的图象求解．
考向二 三角函数的值域(最值)
例2、已知a>0，函数f(x)＝－2a sin （2x＋ eq \f(π,6)）＋2a＋b，f(x)在R上的值域是 [－5，1]，求a的值．
变式1、 已知a>0，函数f(x)＝－2a sin （2x＋ eq \f(π,6)）＋2a＋b.当x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)的值域是[－5，1]，求a的值．
变式2、 求下列函数的值域：
(1) y＝ eq \f(sin x－2,sin x－1)；
(2) y＝ eq \f(sin x cs x,sin x－cs x＋1)(0方法总结：1. 直接法：直接利用sin x和cs x的值域求解．
2. 化一法：将所给三角函数化为y＝A sin (ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数的单调性写出函数的值域．
3. 换元法：将sin x，cs x，sin x cs x或 sin x±cs x换成t，转化为二次函数来求解．
考向三 三角函数的单调性
例3、求函数 y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的单调增区间．
变式1、 求下列函数的单调增区间．
(1) y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，x∈[0，π]；
(2) y＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2x＋\f(π,3)))；
(3) y＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3))))).
变式2、设ω>0，若函数y＝4sin ωx在区间[－ eq \f(π,3)， eq \f(π,4)]上单调递增，求ω的取值范围．
方法总结：本题考查三角函数的单调性．首先化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再把ωx＋φ看作整体代入y＝sinx的相应单调区间内求x的范围即可．对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解．考查运算求解能力，整体代换及转化与化归的思想．
考向四 三角函数的奇偶性、周期性及对称性
例4、（2022年湖北省荆州市高三模拟试卷）（多选题）已知函数，给出下列四个命题，其中正确的是（ ）
A. 的最小正周期为B. 的图象关于点中心对称
C. 在区间上单调递增D. 的值域为
变式1、（2022年广东普宁市高三模拟试卷）（多选题）对于函数，下列结论正确得是（ ）
A. 的值域为B. 在单调递增
C. 的图象关于直线对称D. 的最小正周期为
变式2、（2022年福建莆田市模拟试卷）（多选题）已知函数， 则（ ）
A. 函数的最小正周期为B. 为函数的一条对称轴
C. 函数的最小值为1，最大值为 2D. 函数在上单调递减
变式3、（2022年福建上杭县高三模拟试卷）写出一个同时满足下列三个性质的函数：______.
①为奇函数；②为偶函数；③在上的最大值为2.
方法总结：本题考查三角函数的奇偶性与对称性．求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝eq \f(π,2)＋kπ(k∈Z)，求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可．奇偶性可以用定义判断，也可以通过诱导公式将y＝Asin(ωx＋φ)转化为y＝Asinωx或y＝Acsωx.考查运算求解能力，整体代换及转化与化归的思想．
1、（2022年福建上杭县模拟试卷）“函数的图象关于中心对称”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
2、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）若函数在区间上的最大值为，则常数的值为（ ）
A．B．C．D．
3、（2022年湖南常德市模拟试卷）设函数，若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
4、（2022年福建诏安县高三模拟试卷） 下列可能为函数的图象的是（ ）
A. B.
C. D.
5、（2022年河北承德市高三模拟试卷）（多选题）函数的定义域为，值域为，则的值可能是（ ）
A. B. C. D.
函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图象
定
义
域
值域
奇偶
性
单
调
性

周
期
性
对
称
性