广东省广雅中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题

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这是一份广东省广雅中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题，共13页。试卷主要包含了考生必须保持答题卡的整洁，下面命题正确的有，已知函数等内容，欢迎下载使用。

命题人：於洁毓黄淑珍审核人：何其峰
本试卷共5页，满分150分，考试用时120分钟．
注意事项：
1．开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、考号等信息填写在答题卡指定区域内．
2．选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，不得使用涂改液，不得使用计算器．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（）
A．B．C．D．
2．已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（）
A．B．C．2D．
3．哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一，即所谓的“”问题．1966年，我国数学家陈景润证明了“”成立．哥德巴赫猜想的内容是“每一个大于2的偶数都能写成两个质数之和”，则该猜想的否定为（）
A．每一个小于2的偶数都不能写成两个质数之和
B．存在一个小于2的偶数不能写成两个质数之和
C．每一个大于2的偶数都不能写成两个质数之和
D．存在一个大于2的偶数不能写成两个质数之和
4．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（）
A．B．
C．或D．
5．下面命题正确的有（）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
6．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（）
A．B．C．D．
7．若函数满足对任意的实数，都有成立，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
8．已知函数是上的奇函数，且当时，，函数，若，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列根式与分数指数幂的互化正确的是（）
A．B．
C．D．
10．已知函数（且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（）
A．B．C．D．
11．若正实数满足，则下列说法正确的是（）
A．有最小值9B．的最小值是
C．有最大值D．的最小值是
12．定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可以是（）
A．B．C．D．1
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．______．
14．已知函数的定义域为，则函数的定义域为______．
15．已知，则______．
16．定义区间的长度为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如：的长度，设，，其中表示不超过的最大整数，，若用表示不等式解集区间的长度，则当时，______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）设，命题，命题：．
（1）若命题是真命题，求的取值范围；
（2）若命题与至少有一个为假命题，求的取值范围．
18．（本小题满分12分）已知函数，其中．
（1）若的最小值为1，求的值；
（2）若存在，使成立，求的取值范围．
19．（本小题满分12分）设．
（1）若不等式有实数解，求实数的取值范围；
（2）解关于的不等式．
20．（本小题满分12分）天气转冷，宁波某暖手宝厂商为扩大销量，拟进行促销活动．根据前期调研，获得该产品的销售量万件与投入的促销费用万元满足关系式（为常数），而如果不搞促销活动，该产品的销售量为4万件．已知该产品每一万件需要投入成本20万元，厂家将每件产品的销售价格定为元，设该产品的利润为万元．（注：利润销售收入投入成本促销费用）
（1）求出的值，并将表示为的函数；
（2）促销费用为多少万元时，该产品的利润最大？此时最大利润为多少？
21．（本小题满分12分）（1）已知函数，若，都有，求证：为奇函数．
（2）设函数定义在上，证明：是偶函数，是奇函数．
（3）已知是定义在上的函数，设，，试判断与的奇偶性；根据与的关系，你能猜想出什么样的结论？
22．（本小题满分12分）恰逢135周年校庆之际，广东广雅中学计划于2023年11月12日在花都校区举行第五届“雅马跑”．为迎接本次盛会，有热心校友自发设计了纪念品．如图所示为纪念品的平面图，其中四边形为等腰梯形，在上，且的半径为，圆心到的距离为，．定义高径比，已知当时，纪念品的总体设计较为协调，符合大众审美．
（1）设梯形的高为，求关于的函数关系式；
（2）当梯形的面积取得最大值时，判断该纪念品是否符合大众审美．
2023学年第一学期高一年级期中考试试卷参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．B因为，所以，
2．A因为为幂函数，所以，解得，或，又的图象与坐标轴无公共点，故，所以，故，所以．
3．D根据全称量词命题的否定为存在量词命题，A，C错误；哥德巴赫猜想的否定为“存在一个大于2的偶数不能写成两个质数之和”．
4．B不等式的解集为，可得是方程的根，
所以，且，解得，由不等式可得，
由得，所以，解得，则不等式的解集为．
5．C对于，若，则，A错误；对于B，若，则，B错误；
对于C，若，则，
又，即，C正确；对于D，若，，则，此时，D错误．
6．D命题“”为真命题，则对恒成立，所以，故，所以命题“”为真命题的充分不必要条件需要满足是的真子集即可，由于是的真子集，故符合，
7．B由题意可知：对任意的实数，都有成立，是上的减函数，
，解得实数的取值范围是．故选：B．
8．D函数是上的奇函数，且当时，当时，
则，又，即，又当时，，则在
上单调递增，当时，在上单调递增，的图象如下所示：
函数在区间上单调递增，，
即．故选：D．
9．BD对A，当时，，故A错误；对B，
，故B正确；对C，，故C错误；对D，，故D正确．故选：BD
10．ABD由图象可知，函数（且）在上单调递增，则，且当时，，可得．对于A选项，，A对；对于B选项，
，B对；对于C选项，，C错；对于D选项，由题意可知，，则，所以，，D对．故选：ABD．
11．AB ，当且仅时等号成立，A对；，当且仅当，即时等号成立，B对；，则，当且仅当，即时等号成立，C错；由，则，而，所以，当且仅当时等号成立，D错．故选：AB
12．AD 令①，
当时，不等式可整理为，解得，故符合要求，
当时，不等式可整理为，解得，故，
所以不等式①的解为；
由上可得，不等式的解为或，
所以，
令，解得，令，解得或，
令，解得或，令，解得或，
所以区间的最小长度为1，最大长度为．故选：AD．
填空题
13．；14．；15．；16．2011．
13．解：
．故答案为：
14．（1，2）依题意，，解得，所以函数的定义域为．
15．令，则且，所以，
所以函数的解析式为．
16．2011 ，，，即，
当时，，上式可化为；当时，，上式可化为；当时，，上式可化为，而，；
当时，，上式可化为恒成立，在时的解集为，故．
解答题
17．（1）若命题是真命题时，，即
所以
（2）若命题为真时，则
解得，
若命题与至少有一个为假命题，即命题与不能同时为真，
若命题与同时为真时，则，解得
所以命题与不能同时为真时，或
18．（1）解：因为
当时，即当时，函数取得最小值，
即，解得．
（2）解：令，则，由可得，
令，函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，．
19．（1）依题意，有实数解，即不等式有实数解，
当时，有实数解，
当时，取，则成立，
当时，二次函数的图象开口向下，
要有解，当且仅当，从而得
综上，，所以实数的取值范围是
（2）不等式，
当时，
当时，不等式可化为，而，解得
当时，不等式可化为，
当，即时，，
当，即时，或
当，即时，或
综上，当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为
20．（1）由题知，时，，于是，，解得．
所以，．根据题意，
即
所以
（2）
当且仅当，即时，等号成立．
所以当促销费用为7万元时，该产品的利润最大，最大利润为123万元．
21．（1）令，则，所以
令，则，所以
又因为定义域关于原点对称，所以是奇函数．
（2）因为，所以，可见的定义域也是，
设，
则与的定义域也是，显然定义域是关于原点对称的．
因为
所以为偶函数，为奇函数，
即是偶函数，是奇函数．
（3）因为，
且的定义域为，关于原点对称
所以是偶函数，是奇函数．
由此可得一般结论：如果一个函数的定义域关于原点对称，
那么这个函数就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和．
22．（1）因为，所以是正三角形，
，梯形的高为，则
由
解得
（2）由（1）得．
则
因为，所以当时，取得最大值
此时
故该纪念品符合大众审美．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
D
B
C
D
B
D
BD
ABD
AB
AD