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江苏省南通市启东中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题（含解析）
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这是一份江苏省南通市启东中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题（含解析），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题(本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)
1. 等差数列 SKIPIF 1 < 0 为递增数列， SKIPIF 1 < 0 为其前 SKIPIF 1 < 0 项和，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据等差数列通项公式基本量运算公式计算出公差，进而利用求和公式计算出答案.
【详解】设数列的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，又因为数列递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
2. 椭圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 有相同的焦点，则 SKIPIF 1 < 0 的值为( )
A. 1B. SKIPIF 1 < 0 C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
由双曲线方程知 SKIPIF 1 < 0 ，结合椭圆方程及共焦点有 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，即可求 SKIPIF 1 < 0 值.
【详解】由双曲线 SKIPIF 1 < 0 知： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
而其与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有相同焦点，
∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
3. 已知椭圆： SKIPIF 1 < 0 ，左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 的最大值为5，则 SKIPIF 1 < 0 的值是
A. 1B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值即可．
【详解】由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，
∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，
则|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8
∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|．
当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，
此时|AB|＝b2，则5＝8﹣b2，
解得b SKIPIF 1 < 0 ，
故选D．
【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，考查椭圆的通径公式，考查计算能力，属于中档题．
4. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 为非零常数 SKIPIF 1 < 0 则下列结论中正确的是( )
A. 数列 SKIPIF 1 < 0 不是等比数列B. SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0
C. 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 ，利用数列通项和前n项和的关系求解，再逐项判断.
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以p为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，故A错误；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 故D错误，
故选：C
5. 以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】先由双曲线方程，得到右顶点坐标，设所求抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，进而可求出结果.
【详解】由双曲线的方程 SKIPIF 1 < 0 可得：右顶点为： SKIPIF 1 < 0 ，
设所求抛物线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
因为其以 SKIPIF 1 < 0 为焦点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ；
故抛物线方程为： SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
【点睛】本题主要考查由焦点坐标求抛物线方程，熟记双曲线的性质以及抛物线的标准方程即可，属于基础题型.
6. 给出下列说法：
①方程 SKIPIF 1 < 0 表示一个圆；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，则方程 SKIPIF 1 < 0 表示焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的椭圆；
③已知点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是双曲线的右支；
④以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切.
其中正确说法的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】对于①，由配方法整理方程，结合圆的标准方程，可得答案；
对于②，根据椭圆的标准方程，可得答案；
对于③，根据双曲线的定义，可得答案；
对于④，根据抛物线定义，结合圆与直线的位置关系，可得答案.
【详解】方程 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 不表示圆，故①错；
若m>n>0，则方程 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以表示焦点在y轴上的椭圆，故②对；
已知点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，所以动点P的轨迹是一条射线，故③错；
设过抛物线焦点的直线与抛物线的交点为A,B，线段AB的中点为M,由抛物线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 即为AB两点到准线的距离和，即为M点到准线距离的两倍，所以以AB为直径的圆与准线相切，故④对；
故选：B.
7. 以下四个命题表述错误的是( )
A. 圆 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有 SKIPIF 1 < 0 个点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离都等于 SKIPIF 1 < 0
B. 曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 ，恰有四条公切线，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
C. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上一动点，过点 SKIPIF 1 < 0 向圆 SKIPIF 1 < 0 引一条切线 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为切点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
D. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上一动点，过点 SKIPIF 1 < 0 向圆 SKIPIF 1 < 0 引两条切线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为切点，则直线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】选项A根据圆心到直线的距离与半径的关系来确定所求点的个数；选项B根据两曲线有四条公切线，确定曲线类型为圆，再由两圆外离列不等式求解；选项C利用圆心与切点的连线垂直切线列等式，转化为求圆心到直线上的点的距离的最小值问题；选项D，设点 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上一点，求出切线 SKIPIF 1 < 0 的方程即可判断．
【详解】解：选项A：圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有 SKIPIF 1 < 0 个点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离都等于 SKIPIF 1 < 0 ，
故选项A正确；
选项B：方程 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，故曲线 SKIPIF 1 < 0 表示圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 的圆，
方程 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 有四条公切线，
所以曲线 SKIPIF 1 < 0 也为圆，且圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
同时两圆的位置关系为外离，有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
选项C：圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线与圆相离，由切线的性质知， SKIPIF 1 < 0 为直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直时等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项C正确；
选项D：设点 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上一点，则以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ，两圆的方程相减得到直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，D正确．
故选：B．
8. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用 SKIPIF 1 < 0 表示解下 SKIPIF 1 < 0 个圆环所需的移动最少次数，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则解下 SKIPIF 1 < 0 个环所需的最少移动次数为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据数列 SKIPIF 1 < 0 的递推公式逐项计算可得出 SKIPIF 1 < 0 ，即为所求.
【详解】数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以解下 SKIPIF 1 < 0 个环所需的最少移动次数为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
二、多选题(本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求)
9. 下列四个命题中，假命题的是( )
A. 要唯一确定抛物线，只需给出抛物线的准线和焦点
B. 要唯一确定以坐标原点为中心的椭圆，只需给出一个焦点和椭圆的上一点
C. 要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出双曲线上的两点
D. 要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出一条渐近线方程和离心率
【答案】CD
【解析】
【分析】对于四个选项，分别根据圆锥曲线的定义逐项进行判断即可．
【详解】A：选项中给出抛物线上的焦点和准线，由拋物线定义可确定抛物线的焦点到准线的距离，所以能唯一确定抛物线，故A正确；
B：选项中以坐标原点为中心，给出椭圆的一个焦点，则另一个焦点能确定，再给出椭圆上一点，则可确定椭圆上点到两个焦点的距离和，由椭圆定义可知，能唯一确定椭圆，所以B选项正确；
C：选项中以坐标原点为中心，若给出的双曲线上的两点关于双曲线的对称轴对称，则无法确定双曲线，所以C选项不正确；
D：选项给出双曲线的一条渐近线方程和离心率，但无法确定焦点的位置，所以无法唯一确定双曲线，所以D选项不正确．
故选：CD．
10. 已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 任作一直线交抛物线于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 为抛物线的准线，则( )
A. 以线段 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆与直线 SKIPIF 1 < 0 相离
B. SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 为定值
D. 当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不重合时，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴，直线 SKIPIF 1 < 0 三线交于同一点
【答案】ABCD
【解析】
【分析】设出点的坐标和 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的方程， SKIPIF 1 < 0 方程与抛物线联立，利用韦达定理，利用已知条件，对选项逐个判断即可．
【详解】解：设 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，则点 SKIPIF 1 < 0 到准线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
于是以线段 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆与直线 SKIPIF 1 < 0 一定相切，进而与直线 SKIPIF 1 < 0 一定相离，A正确；
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立直线与抛物线方程可得， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
于是 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 为定值，故C对；
SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，恰为准线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点，故D正确．
故选：ABCD．
11. 已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为1，公差 SKIPIF 1 < 0 ，前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论成立的有
A. 数列 SKIPIF 1 < 0 的前10项和为100
B. 若 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 成等比数列，则 SKIPIF 1 < 0
C. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则n的最小值为6
D. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【解析】
【分析】
由已知可得: SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列通过公式即可求得前10项和;通过等比中项可验证B选项;因为 SKIPIF 1 < 0 ,通过裂项求和可求得 SKIPIF 1 < 0 ;由等差的性质可知 SKIPIF 1 < 0 利用基本不等式可验证选项D错误.
【详解】由已知可得: SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,则数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列,则前10项和为 SKIPIF 1 < 0 .所以A正确;
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 成等比数列,则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 故B正确;
因为 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为7,故选项C错误;等差的性质可知 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时,即 SKIPIF 1 < 0 时取等号,因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 不成立,故选项D错误.
故选:AB
【点睛】本题考查等差数列的性质,考查裂项求和,等比中项,和基本不等式求最值,难度一般.
12. 已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，若圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线相切，则( )
A. 双曲线 SKIPIF 1 < 0 的实轴长为 SKIPIF 1 < 0
B. 双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0
C. 点 SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，若点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线的距离分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D. 直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 为弦 SKIPIF 1 < 0 的中点，若 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为坐标原点)的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线与圆相切求出 SKIPIF 1 < 0 的值，结合离心率公式可判断AB选项的正误；设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，结合点到直线的距离公式可判断C选项的正误；利用点差法可判断D选项的正误.
【详解】解：由题意知 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的实轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，两式作差得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，D对.
故选：BCD.
三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)
13. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】利用 SKIPIF 1 < 0 求解即可.
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
两式做差可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是从第二项开始，以3为公比的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
14. 过点 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切的直线方程为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、所求直线的斜率不存在，则直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，验证是否与圆相切，②、所求直线的斜率存在，设其方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由直线与圆的位置关系可得 SKIPIF 1 < 0 的值，即可得此时直线的方程，综合2种情况即可得答案．
【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：
①、所求直线的斜率不存在，则直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，符合题意；
②、所求直线的斜率存在，设其方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
要求直线与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则有 SKIPIF 1 < 0 ，解可得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时要求直线的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
综上可得：所求直线的方程为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
故答案为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题考查圆的切线方程的计算，注意分析直线的斜率是否存在，属于基础题．
15. 过抛物线C： SKIPIF 1 < 0 的焦点F作互相垂直的弦AB，CD，则四边形ACBD面积的最小值为____．
【答案】32
【解析】
【分析】设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，将直线 SKIPIF 1 < 0 的方程代入抛物线的方程，列出韦达定理，利用抛物线的定义得出 SKIPIF 1 < 0 ，同理得出 SKIPIF 1 < 0 ，由面积公式 SKIPIF 1 < 0 结合基本不等式可得出四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值．
【详解】如下图所示，显然焦点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，所以，可设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
将直线 SKIPIF 1 < 0 的方程代入抛物线的方程并整理得
SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由基本不等式可知，四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，因此，四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积的最小值为32．
【点睛】
本题主要考查直线与抛物线的位置关系应用，弦长的求法，基本不等式的应用，意在考查学生数学运算能力．
16. 2021年是中国传统的“牛”年，可以在平面坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 在第一象限的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 在第一象限的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______； SKIPIF 1 < 0 周长的取值范围为______．
【答案】 ①. 2 ②. SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】联立圆与抛物线的方程即可求得m，然后由 SKIPIF 1 < 0 分别与抛物线，与圆的方程联立求得A，B的坐标，再结合抛物线的定义求解.
【详解】如图所示：
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由抛物线的定义得：
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 周长 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
故答案为：2， SKIPIF 1 < 0 ．
四、解答题(本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. 已知各项均为正数的等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为Sn，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 N SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)证明数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，并求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和Tn．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)证明见解析， SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
(1)由 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别表示出等式中的 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，解方程组求出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，再由等比数列的通项公式表示出 SKIPIF 1 < 0 即可；
(2) SKIPIF 1 < 0 时，求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的关系得到 SKIPIF 1 < 0 ，进而求出 SKIPIF 1 < 0 ，用定义证明数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列即可，分别求出数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，从而求出 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】(1)由题意，设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由题意，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，
数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题主要考查求等比数列和等差数列的通项公式和前 SKIPIF 1 < 0 项和公式，考查分组求和的计算方法，属于中档题.
18. 如图，圆M： SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为直线l： SKIPIF 1 < 0 上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A、B.
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求切线所在直线方程；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
【答案】(1)切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)设出切线方程，根据圆心到直线的距离等于半径求解；
(2)将弦长 SKIPIF 1 < 0 构造成角度的函数，求函数的最小值即可.
【详解】(1)由题意，切线斜率存在，
可设切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
则圆心M到切线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故所求切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(2)连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于点N，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题考查圆的切线方程的求解，以及圆中弦长的最值问题，属综合题；第二问的难点在于如何构造函数，本题以角度入手，值得总结.
19. 在①离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，且经过点 SKIPIF 1 < 0 ；②半长轴的平方与半焦距之比等于常数 SKIPIF 1 < 0 ，且焦距为 SKIPIF 1 < 0 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的直线 SKIPIF 1 < 0 存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的方程；若问题中的直线 SKIPIF 1 < 0 不存在，说明理由.
问题：已知曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，______，是否存在过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 ，与曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点？
注：若选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】选条件 SKIPIF 1 < 0 ：可得曲线 SKIPIF 1 < 0 为焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的双曲线，根据条件求出双曲线方程，根据直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率是否存在分别讨论，斜率不存在时易得直线方程，验证是否满足题意即可；斜率存在时，联立直线与双曲线方程，由韦达定理验证是否满足题意；
选条件 SKIPIF 1 < 0 ：可得曲线 SKIPIF 1 < 0 为焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的椭圆，根据条件求出椭圆方程，根据直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率是否存在分别讨论，斜率不存在时易得直线方程，验证是否满足题意即可；斜率存在时，联立直线与椭圆方程，由韦达定理验证是否满足题意.
【详解】选条件 SKIPIF 1 < 0 ：由题设得曲线 SKIPIF 1 < 0 为焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的双曲线，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题设得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与曲线 SKIPIF 1 < 0 有且仅有一个交点 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意；
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，方程 SKIPIF 1 < 0 有且仅有一解，不符合题意；
若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，其判别式 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不同实数解时， SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 矛盾，
所以，不存在直线 SKIPIF 1 < 0 ，与曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 中点．
选条件 SKIPIF 1 < 0 ：由题设得曲线 SKIPIF 1 < 0 为焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的椭圆，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题设得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，不符合题意；
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
其判别式 SKIPIF 1 < 0 ，
于 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，与曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点．
【点睛】方法点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
20. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和是 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和是 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．再从三个条件：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ，中任选一组作为已知条件，完成下面问题的解答．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)定义： SKIPIF 1 < 0 ．记 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项的和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】选择见解析；(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】(1)根据已知条件可知数列 SKIPIF 1 < 0 是公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，根据 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 的值，可求得等比数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
选①，由 SKIPIF 1 < 0 可求得数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
选②，推导出数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，结合 SKIPIF 1 < 0 可求得数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
选③，由 SKIPIF 1 < 0 的通项公式结合对数运算可得出数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求出数列 SKIPIF 1 < 0 的表达式，进而可求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】(1)由已知得， SKIPIF 1 < 0 为等比数列，公比为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 .
选择①，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ；
选择②， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列， SKIPIF 1 < 0 ；
选择③， SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，
则数列 SKIPIF 1 < 0 为单调递增数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】方法点睛：已知 SKIPIF 1 < 0 求 SKIPIF 1 < 0 ：若已知数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系，求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项，可用公式 SKIPIF 1 < 0 求解，但需要注意对初始项是否满足通项进行检验.
21. 已知平面内一动点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离比到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离大 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，在 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，请求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)存在， SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)由动点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离比到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离大 SKIPIF 1 < 0 ，可得点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离等于 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离，从而可得点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为以 SKIPIF 1 < 0 为焦点的抛物线，即可求得轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，由根与系数的关系可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，计算可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，即可得结论．
【小问1详解】
SKIPIF 1 < 0 动点 SKIPIF 1 < 0 到定点 SKIPIF 1 < 0 的距离比到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离大 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离等于 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离，
SKIPIF 1 < 0 动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为以 SKIPIF 1 < 0 为焦点的抛物线，
SKIPIF 1 < 0 轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 设直线 SKIPIF 1 < 0 方程： SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 ， 可得 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
得 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
故在 SKIPIF 1 < 0 轴上存在点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0
22. 如图，已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 与等轴双曲线 SKIPIF 1 < 0 共顶点 SKIPIF 1 < 0 ，过椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 作两直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于相异的两点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角互补．直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴相交，分别记交点为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 和双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右两支分别交于 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】(1)解方程 SKIPIF 1 < 0 即得椭圆方程和双曲线的方程；
(2)联立直线和椭圆方程求出点 SKIPIF 1 < 0 坐标，即得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 的值即得解；
(3)先求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 的范围求解.
【详解】【解】(1)由题得 SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0
等轴双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(2) SKIPIF 1 < 0
消去 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，并求出 SKIPIF 1 < 0
将 SKIPIF 1 < 0 换成 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，则可得 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，所以得： SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
一、单选题(本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)
1. 等差数列 SKIPIF 1 < 0 为递增数列， SKIPIF 1 < 0 为其前 SKIPIF 1 < 0 项和，已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据等差数列通项公式基本量运算公式计算出公差，进而利用求和公式计算出答案.
【详解】设数列的公差为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，又因为数列递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
2. 椭圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 有相同的焦点，则 SKIPIF 1 < 0 的值为( )
A. 1B. SKIPIF 1 < 0 C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】
由双曲线方程知 SKIPIF 1 < 0 ，结合椭圆方程及共焦点有 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，即可求 SKIPIF 1 < 0 值.
【详解】由双曲线 SKIPIF 1 < 0 知： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
而其与椭圆 SKIPIF 1 < 0 有相同焦点，
∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
3. 已知椭圆： SKIPIF 1 < 0 ，左、右焦点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 交椭圆于 SKIPIF 1 < 0 两点，若 SKIPIF 1 < 0 的最大值为5，则 SKIPIF 1 < 0 的值是
A. 1B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值即可．
【详解】由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，
∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，
则|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8
∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|．
当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，
此时|AB|＝b2，则5＝8﹣b2，
解得b SKIPIF 1 < 0 ，
故选D．
【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，考查椭圆的通径公式，考查计算能力，属于中档题．
4. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 为非零常数 SKIPIF 1 < 0 则下列结论中正确的是( )
A. 数列 SKIPIF 1 < 0 不是等比数列B. SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0
C. 当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据 SKIPIF 1 < 0 ，利用数列通项和前n项和的关系求解，再逐项判断.
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
两式相减得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以p为首项，以 SKIPIF 1 < 0 为公比的等比数列，故A错误；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 故D错误，
故选：C
5. 以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】先由双曲线方程，得到右顶点坐标，设所求抛物线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，进而可求出结果.
【详解】由双曲线的方程 SKIPIF 1 < 0 可得：右顶点为： SKIPIF 1 < 0 ，
设所求抛物线方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
因为其以 SKIPIF 1 < 0 为焦点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ；
故抛物线方程为： SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
【点睛】本题主要考查由焦点坐标求抛物线方程，熟记双曲线的性质以及抛物线的标准方程即可，属于基础题型.
6. 给出下列说法：
①方程 SKIPIF 1 < 0 表示一个圆；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，则方程 SKIPIF 1 < 0 表示焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的椭圆；
③已知点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹是双曲线的右支；
④以过抛物线焦点的弦为直径的圆与该抛物线的准线相切.
其中正确说法的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】对于①，由配方法整理方程，结合圆的标准方程，可得答案；
对于②，根据椭圆的标准方程，可得答案；
对于③，根据双曲线的定义，可得答案；
对于④，根据抛物线定义，结合圆与直线的位置关系，可得答案.
【详解】方程 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 不表示圆，故①错；
若m>n>0，则方程 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以表示焦点在y轴上的椭圆，故②对；
已知点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，所以动点P的轨迹是一条射线，故③错；
设过抛物线焦点的直线与抛物线的交点为A,B，线段AB的中点为M,由抛物线的定义可得 SKIPIF 1 < 0 即为AB两点到准线的距离和，即为M点到准线距离的两倍，所以以AB为直径的圆与准线相切，故④对；
故选：B.
7. 以下四个命题表述错误的是( )
A. 圆 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有 SKIPIF 1 < 0 个点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离都等于 SKIPIF 1 < 0
B. 曲线 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 ，恰有四条公切线，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
C. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上一动点，过点 SKIPIF 1 < 0 向圆 SKIPIF 1 < 0 引一条切线 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为切点，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
D. 已知圆 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上一动点，过点 SKIPIF 1 < 0 向圆 SKIPIF 1 < 0 引两条切线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为切点，则直线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【分析】选项A根据圆心到直线的距离与半径的关系来确定所求点的个数；选项B根据两曲线有四条公切线，确定曲线类型为圆，再由两圆外离列不等式求解；选项C利用圆心与切点的连线垂直切线列等式，转化为求圆心到直线上的点的距离的最小值问题；选项D，设点 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上一点，求出切线 SKIPIF 1 < 0 的方程即可判断．
【详解】解：选项A：圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆 SKIPIF 1 < 0 上有且仅有 SKIPIF 1 < 0 个点到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离都等于 SKIPIF 1 < 0 ，
故选项A正确；
选项B：方程 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，故曲线 SKIPIF 1 < 0 表示圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 的圆，
方程 SKIPIF 1 < 0 可化为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为圆 SKIPIF 1 < 0 与曲线 SKIPIF 1 < 0 有四条公切线，
所以曲线 SKIPIF 1 < 0 也为圆，且圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
同时两圆的位置关系为外离，有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
选项C：圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径 SKIPIF 1 < 0 ，
圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线与圆相离，由切线的性质知， SKIPIF 1 < 0 为直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 垂直时等号成立，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，故选项C正确；
选项D：设点 SKIPIF 1 < 0 为直线 SKIPIF 1 < 0 上一点，则以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为直径的圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即： SKIPIF 1 < 0 ，两圆的方程相减得到直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以直线 SKIPIF 1 < 0 过定点 SKIPIF 1 < 0 ，D正确．
故选：B．
8. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”．在某种玩法中，用 SKIPIF 1 < 0 表示解下 SKIPIF 1 < 0 个圆环所需的移动最少次数，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则解下 SKIPIF 1 < 0 个环所需的最少移动次数为( )
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据数列 SKIPIF 1 < 0 的递推公式逐项计算可得出 SKIPIF 1 < 0 ，即为所求.
【详解】数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ．且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以解下 SKIPIF 1 < 0 个环所需的最少移动次数为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
二、多选题(本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求)
9. 下列四个命题中，假命题的是( )
A. 要唯一确定抛物线，只需给出抛物线的准线和焦点
B. 要唯一确定以坐标原点为中心的椭圆，只需给出一个焦点和椭圆的上一点
C. 要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出双曲线上的两点
D. 要唯一确定以坐标原点为中心的双曲线，只需给出一条渐近线方程和离心率
【答案】CD
【解析】
【分析】对于四个选项，分别根据圆锥曲线的定义逐项进行判断即可．
【详解】A：选项中给出抛物线上的焦点和准线，由拋物线定义可确定抛物线的焦点到准线的距离，所以能唯一确定抛物线，故A正确；
B：选项中以坐标原点为中心，给出椭圆的一个焦点，则另一个焦点能确定，再给出椭圆上一点，则可确定椭圆上点到两个焦点的距离和，由椭圆定义可知，能唯一确定椭圆，所以B选项正确；
C：选项中以坐标原点为中心，若给出的双曲线上的两点关于双曲线的对称轴对称，则无法确定双曲线，所以C选项不正确；
D：选项给出双曲线的一条渐近线方程和离心率，但无法确定焦点的位置，所以无法唯一确定双曲线，所以D选项不正确．
故选：CD．
10. 已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 任作一直线交抛物线于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴的对称点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 为抛物线的准线，则( )
A. 以线段 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆与直线 SKIPIF 1 < 0 相离
B. SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 为定值
D. 当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不重合时，直线 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴，直线 SKIPIF 1 < 0 三线交于同一点
【答案】ABCD
【解析】
【分析】设出点的坐标和 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的方程， SKIPIF 1 < 0 方程与抛物线联立，利用韦达定理，利用已知条件，对选项逐个判断即可．
【详解】解：设 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，则点 SKIPIF 1 < 0 到准线 SKIPIF 1 < 0 的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
于是以线段 SKIPIF 1 < 0 为直径的圆与直线 SKIPIF 1 < 0 一定相切，进而与直线 SKIPIF 1 < 0 一定相离，A正确；
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
联立直线与抛物线方程可得， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
于是 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 为定值，故C对；
SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，恰为准线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点，故D正确．
故选：ABCD．
11. 已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 的首项为1，公差 SKIPIF 1 < 0 ，前n项和为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论成立的有
A. 数列 SKIPIF 1 < 0 的前10项和为100
B. 若 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 成等比数列，则 SKIPIF 1 < 0
C. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则n的最小值为6
D. 若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【解析】
【分析】
由已知可得: SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列通过公式即可求得前10项和;通过等比中项可验证B选项;因为 SKIPIF 1 < 0 ,通过裂项求和可求得 SKIPIF 1 < 0 ;由等差的性质可知 SKIPIF 1 < 0 利用基本不等式可验证选项D错误.
【详解】由已知可得: SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 ,则数列 SKIPIF 1 < 0 为等差数列,则前10项和为 SKIPIF 1 < 0 .所以A正确;
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 成等比数列,则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 故B正确;
因为 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 ,故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为7,故选项C错误;等差的性质可知 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ,当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时,即 SKIPIF 1 < 0 时取等号,因为 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 不成立,故选项D错误.
故选:AB
【点睛】本题考查等差数列的性质,考查裂项求和,等比中项,和基本不等式求最值,难度一般.
12. 已知双曲线 SKIPIF 1 < 0 ，若圆 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线相切，则( )
A. 双曲线 SKIPIF 1 < 0 的实轴长为 SKIPIF 1 < 0
B. 双曲线 SKIPIF 1 < 0 的离心率 SKIPIF 1 < 0
C. 点 SKIPIF 1 < 0 为双曲线 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，若点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的两条渐近线的距离分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D. 直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 为弦 SKIPIF 1 < 0 的中点，若 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 为坐标原点)的斜率为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用双曲线 SKIPIF 1 < 0 的渐近线与圆相切求出 SKIPIF 1 < 0 的值，结合离心率公式可判断AB选项的正误；设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，结合点到直线的距离公式可判断C选项的正误；利用点差法可判断D选项的正误.
【详解】解：由题意知 SKIPIF 1 < 0 的渐近线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以双曲线 SKIPIF 1 < 0 的实轴长为 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
设 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，两式作差得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，D对.
故选：BCD.
三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)
13. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】利用 SKIPIF 1 < 0 求解即可.
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时可得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
两式做差可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是从第二项开始，以3为公比的等比数列，
所以 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
14. 过点 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切的直线方程为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据题意，分2种情况讨论：①、所求直线的斜率不存在，则直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，验证是否与圆相切，②、所求直线的斜率存在，设其方程为 SKIPIF 1 < 0 ，由直线与圆的位置关系可得 SKIPIF 1 < 0 的值，即可得此时直线的方程，综合2种情况即可得答案．
【详解】解：根据题意，分2种情况讨论：
①、所求直线的斜率不存在，则直线的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，符合题意；
②、所求直线的斜率存在，设其方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
要求直线与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则有 SKIPIF 1 < 0 ，解可得 SKIPIF 1 < 0 ，
此时要求直线的方程为： SKIPIF 1 < 0 ，
综上可得：所求直线的方程为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
故答案为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题考查圆的切线方程的计算，注意分析直线的斜率是否存在，属于基础题．
15. 过抛物线C： SKIPIF 1 < 0 的焦点F作互相垂直的弦AB，CD，则四边形ACBD面积的最小值为____．
【答案】32
【解析】
【分析】设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，将直线 SKIPIF 1 < 0 的方程代入抛物线的方程，列出韦达定理，利用抛物线的定义得出 SKIPIF 1 < 0 ，同理得出 SKIPIF 1 < 0 ，由面积公式 SKIPIF 1 < 0 结合基本不等式可得出四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值．
【详解】如下图所示，显然焦点 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，所以，可设直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
将直线 SKIPIF 1 < 0 的方程代入抛物线的方程并整理得
SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由基本不等式可知，四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积为
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，因此，四边形 SKIPIF 1 < 0 的面积的最小值为32．
【点睛】
本题主要考查直线与抛物线的位置关系应用，弦长的求法，基本不等式的应用，意在考查学生数学运算能力．
16. 2021年是中国传统的“牛”年，可以在平面坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象．已知抛物线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，圆 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 在第一象限的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 与抛物线 SKIPIF 1 < 0 的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 在第一象限的交点为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______； SKIPIF 1 < 0 周长的取值范围为______．
【答案】 ①. 2 ②. SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】联立圆与抛物线的方程即可求得m，然后由 SKIPIF 1 < 0 分别与抛物线，与圆的方程联立求得A，B的坐标，再结合抛物线的定义求解.
【详解】如图所示：
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由抛物线的定义得：
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 周长 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
故答案为：2， SKIPIF 1 < 0 ．
四、解答题(本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. 已知各项均为正数的等比数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和为Sn，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 N SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)证明数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列，并求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和Tn．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2)证明见解析， SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】
(1)由 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别表示出等式中的 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，解方程组求出 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，再由等比数列的通项公式表示出 SKIPIF 1 < 0 即可；
(2) SKIPIF 1 < 0 时，求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的关系得到 SKIPIF 1 < 0 ，进而求出 SKIPIF 1 < 0 ，用定义证明数列 SKIPIF 1 < 0 是等差数列即可，分别求出数列 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，从而求出 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】(1)由题意，设等比数列 SKIPIF 1 < 0 的公比为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
(2)由题意，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 是以首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，
数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题主要考查求等比数列和等差数列的通项公式和前 SKIPIF 1 < 0 项和公式，考查分组求和的计算方法，属于中档题.
18. 如图，圆M： SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为直线l： SKIPIF 1 < 0 上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A、B.
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求切线所在直线方程；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 的最小值；
【答案】(1)切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)设出切线方程，根据圆心到直线的距离等于半径求解；
(2)将弦长 SKIPIF 1 < 0 构造成角度的函数，求函数的最小值即可.
【详解】(1)由题意，切线斜率存在，
可设切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
则圆心M到切线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故所求切线方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
(2)连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交于点N，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题考查圆的切线方程的求解，以及圆中弦长的最值问题，属综合题；第二问的难点在于如何构造函数，本题以角度入手，值得总结.
19. 在①离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，且经过点 SKIPIF 1 < 0 ；②半长轴的平方与半焦距之比等于常数 SKIPIF 1 < 0 ，且焦距为 SKIPIF 1 < 0 这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的直线 SKIPIF 1 < 0 存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的方程；若问题中的直线 SKIPIF 1 < 0 不存在，说明理由.
问题：已知曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上，______，是否存在过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 ，与曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点？
注：若选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【答案】答案见解析
【解析】
【分析】选条件 SKIPIF 1 < 0 ：可得曲线 SKIPIF 1 < 0 为焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的双曲线，根据条件求出双曲线方程，根据直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率是否存在分别讨论，斜率不存在时易得直线方程，验证是否满足题意即可；斜率存在时，联立直线与双曲线方程，由韦达定理验证是否满足题意；
选条件 SKIPIF 1 < 0 ：可得曲线 SKIPIF 1 < 0 为焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的椭圆，根据条件求出椭圆方程，根据直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率是否存在分别讨论，斜率不存在时易得直线方程，验证是否满足题意即可；斜率存在时，联立直线与椭圆方程，由韦达定理验证是否满足题意.
【详解】选条件 SKIPIF 1 < 0 ：由题设得曲线 SKIPIF 1 < 0 为焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的双曲线，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题设得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，与曲线 SKIPIF 1 < 0 有且仅有一个交点 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意；
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，方程 SKIPIF 1 < 0 有且仅有一解，不符合题意；
若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，其判别式 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不同实数解时， SKIPIF 1 < 0 ，
于是 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 矛盾，
所以，不存在直线 SKIPIF 1 < 0 ，与曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 中点．
选条件 SKIPIF 1 < 0 ：由题设得曲线 SKIPIF 1 < 0 为焦点在 SKIPIF 1 < 0 轴上的椭圆，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
由题设得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率不存在时，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，不符合题意；
当直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率存在时，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
其判别式 SKIPIF 1 < 0 ，
于 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以存在直线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，与曲线 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，且 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 的中点．
【点睛】方法点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
20. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和是 SKIPIF 1 < 0 ，数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和是 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．再从三个条件：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ，中任选一组作为已知条件，完成下面问题的解答．
(1)求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)定义： SKIPIF 1 < 0 ．记 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项的和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】选择见解析；(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】(1)根据已知条件可知数列 SKIPIF 1 < 0 是公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，根据 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 的值，可求得等比数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式.
选①，由 SKIPIF 1 < 0 可求得数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
选②，推导出数列 SKIPIF 1 < 0 是公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列，结合 SKIPIF 1 < 0 可求得数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
选③，由 SKIPIF 1 < 0 的通项公式结合对数运算可得出数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
(2)求出数列 SKIPIF 1 < 0 的表达式，进而可求得 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】(1)由已知得， SKIPIF 1 < 0 为等比数列，公比为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 .
选择①，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ；
选择②， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是首项为 SKIPIF 1 < 0 ，公差为 SKIPIF 1 < 0 的等差数列， SKIPIF 1 < 0 ；
选择③， SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 时，令 SKIPIF 1 < 0 ，
则数列 SKIPIF 1 < 0 为单调递增数列，且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】方法点睛：已知 SKIPIF 1 < 0 求 SKIPIF 1 < 0 ：若已知数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系，求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项，可用公式 SKIPIF 1 < 0 求解，但需要注意对初始项是否满足通项进行检验.
21. 已知平面内一动点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离比到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离大 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)过点 SKIPIF 1 < 0 的直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点，在 SKIPIF 1 < 0 轴上是否存在点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，请求出点 SKIPIF 1 < 0 的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2)存在， SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】(1)由动点 SKIPIF 1 < 0 到点 SKIPIF 1 < 0 的距离比到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离大 SKIPIF 1 < 0 ，可得点 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离等于 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离，从而可得点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为以 SKIPIF 1 < 0 为焦点的抛物线，即可求得轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程；(2)设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，由根与系数的关系可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，计算可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，即可得结论．
【小问1详解】
SKIPIF 1 < 0 动点 SKIPIF 1 < 0 到定点 SKIPIF 1 < 0 的距离比到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离大 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离等于 SKIPIF 1 < 0 到直线 SKIPIF 1 < 0 的距离，
SKIPIF 1 < 0 动点 SKIPIF 1 < 0 的轨迹为以 SKIPIF 1 < 0 为焦点的抛物线，
SKIPIF 1 < 0 轨迹 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 设直线 SKIPIF 1 < 0 方程： SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 ， 可得 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
得 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
得 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
故在 SKIPIF 1 < 0 轴上存在点 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0
22. 如图，已知椭圆 SKIPIF 1 < 0 与等轴双曲线 SKIPIF 1 < 0 共顶点 SKIPIF 1 < 0 ，过椭圆 SKIPIF 1 < 0 上一点 SKIPIF 1 < 0 作两直线与椭圆 SKIPIF 1 < 0 相交于相异的两点 SKIPIF 1 < 0 ，直线 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角互补．直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 轴正半轴相交，分别记交点为 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)求椭圆 SKIPIF 1 < 0 和双曲线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 ，求直线 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(3)若 SKIPIF 1 < 0 与双曲线 SKIPIF 1 < 0 的左、右两支分别交于 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ；(3) SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】(1)解方程 SKIPIF 1 < 0 即得椭圆方程和双曲线的方程；
(2)联立直线和椭圆方程求出点 SKIPIF 1 < 0 坐标，即得 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，根据 SKIPIF 1 < 0 的面积为 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 的值即得解；
(3)先求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根据 SKIPIF 1 < 0 的范围求解.
【详解】【解】(1)由题得 SKIPIF 1 < 0 ，所以椭圆的方程为 SKIPIF 1 < 0
等轴双曲线的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
(2) SKIPIF 1 < 0
消去 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，并求出 SKIPIF 1 < 0
将 SKIPIF 1 < 0 换成 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，则可得 SKIPIF 1 < 0
设 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，所以得： SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0 ，消去 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ．
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