2021-2022学年江苏省泰州中学高二下学期期中数学试题含解析

2021-2022学年江苏省泰州中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知空间向量，，若，则（       ）

A．4 B．5 C． D．

【答案】C

【分析】先由，求得的坐标，再根据模的运算公式求得.

【详解】∵，∴，∴

∴，，

故选：C.

2．中国文字博物馆荟萃历代中国文字样本精华，用详尽的资料向世界展示了中华民族一脉相承的文字和辉煌灿烂的文明．该博物馆馆藏的重要藏品主要分为铜器、碑碣、钱币、陶器、玉石器、甲骨、竹木、纸质、瓷器共九类．小明去该馆任意选取类重要藏品参观，则在碑碣、甲骨、瓷器三类中至少参观一类的不同选择方案的种数是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用间接法可求得结果.

【详解】从铜器、碑碣、钱币、陶器、玉石器、甲骨、竹木、纸质、瓷器这九类中任取类重要藏品参观，

不同的选法种数为，

其中碑碣、甲骨、瓷器三类都不选的选法种数为，

因此，满足条件的不同选法种数为.

故答案为：A.

3．若点，，在同一条直线上，则（       ）

A．21 B．4 C．4 D．10

【答案】C

【分析】若∥，则．

【详解】，

∵点，，在同一条直线上

∴∥则

解得

∴

故选：C．

4．医生按照某流行病检验指标将人群分为感染者和正常者，针对该病的快速检验试剂有阴性和阳性2种结果．根据前期研究数据，该试剂将感染者判为阳性的概率是80%，将正常者判为阳性的概率是10%．专家预测，某小区有5%的人口感染了该病，则在单次检验的结果为阴性的人群中，感染者的概率是（       ）

A． B． C．1% D．10%

【答案】A

【分析】在单次检验的结果为阴性的人群中，感染者的概率是感染者为阴性除以正常人为阴性与感染者为阴性的和.

【详解】由题意知，某小区感染了该病的人有，未感染的人有

该试剂将感染者判为阳性的概率是，则试剂将感染者判为阴性的概率是

将正常者判为阳性的概率是，则将正常者判为阴性的概率是

则在单次检验的结果为阴性的人群中，感染者的概率为

故选：A.

5．的展开式中常数项是（       ）

A．120 B．240 C．400 D．480

【答案】C

【分析】首先原式变形为，再分布求两部分的常数项，即可求解.

【详解】原式，

其中中，常数项是，的常数项，即中含项的系数，即，所以的常数项是，

所以的展开式中常数项是.

故选：C

6．在四棱柱中，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据题意利用空间向量基本定理求解即可

【详解】因为，所以，

所以

，

所以A错误

因为，所以，

所以

,

故选：D

7．已知随机变量，，那么（       ）

A．0.2 B．0.6 C．0.4 D．0.8

【答案】B

【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．

【详解】因为随机变量，，

由正态分布的对称性可知，，

所以.

故选：B.

8．已知（为常数），若，则（       ）

A．  B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据二项式定理写出通项公式对比所给条件得出等式后，再化简求出，结合二项分布的均值与方差公式即可求出答案.

【详解】由已知得，的第项为，

令，得到，

令，得到，

又因为，

对比可知，，化简得，

解得，所以，

所以.

故选：C

二、多选题

9．下列四个命题，其中真命题是（       ）

A．若与共面，则存在实数，使得

B．若存在实数，使得，则与共面

C．若存在实数，使，则点共面

D．若点共面，则存在实数，使

【答案】BC

【分析】利用反例可说明AD错误；利用空间向量共面定理知B正确；由知共面，由此可得四点共面，知C正确.

【详解】对于A，若，，则不存在实数，使得，A错误；

对于B，由空间向量共面定理可知：若存在实数，使得，则与共面，B正确；

对于C，若存在实数，使，则共面，四点共面，C正确；

对于D，若，，则不存在实数，使，D错误.

故选：BC.

10．抛掷一红一绿两枚质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数．用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果．定义事件：事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，事件为“为奇数”，则下列结论正确的是（       ）

A．与互斥 B．与对立 C． D．与相互独立

【答案】ACD

【分析】利用互斥事件、对立事件、独立事件的定义并结合已知条件判断选项A，B，D；列出表格计算概率判断选项C即可.

【详解】对于A，若为奇数，则和一个为奇数，一个为偶数；若为奇数，则和都为奇数，所以事件与事件不可能同时发生，所以事件与事件互斥，故A正确；

对于B，虽然事件与事件不可能同时发生，但事件与事件也可能同时不发生，例如，所以事件与事件不对立，故B错误；

对于C，的所有可能结果如下表：

显然，,,所以，故C正确；

对于D，由表可知，，，，

所以，所以与相互独立，故D正确.

故选：ACD

11．若，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】ABD

【分析】利用赋值法，判断A；观察二项展开式中的奇数次幂的特征，即可判断选项；对二项式两边求导，再赋值，即可判断C；将二项式变形为，比较两边的系数，即可判断选项.

【详解】A.当时，，故A正确；

B. 的展开式中，不存在次数为奇次幂的项，所以，故B正确；

C. ，

求导得，

时，，

，故C错误；

D.

比较两边的系数

，D正确．

故选：ABD

12．若l1，l2，l3是三条互相平行的直线，l1与l2之间距离为1，l1与l3之间距离为1，l2与l3之间距离为，A，B是直线l1上的点，且，C，D分别是直线l2，l3上的点，则（       ）

A．的面积是定值 B．面积的最小值是

C．三棱锥的体积是 D．

【答案】ABD

【分析】构造直三棱柱中，使得且，则可以看做所在直线，可以看做所在直线，可以看做所在直线，如图所示建立空间直角坐标系，根据面积公式及锥体的体积公式判断A、B、C，再根据空间向量的坐标运算判断D；

【详解】解：如图所示直三棱柱中，且，

则可以看做所在直线，可以看做所在直线，可以看做所在直线，

如图建立空间直角坐标系，设，，，，

则，，

对于A：因为，且，即到的距离均为，所以为定值，故A正确；

依题意即为在底面的投影，所以，

即面积的最小值是，故B正确；

因为点到平面的距离，所以，故C错误；

所以，，

所以，

故D正确；

故选：ABD

三、填空题

13．若的展开式中第6项的二项式系数最大，写出一个符合条件的n的值是____．（写出一个满足条件的n的值即可）

【答案】9（答案不唯一，9，10，11均可）

【分析】分为奇数和偶数两种情形，结合二项式系数的特征即可得结果.

【详解】当为偶数时，若，第六项二次项系数最大；

当为奇数时，若，第五、六项二次项系数最大，合乎题意；

若，第六、七项二次项系数最大，合乎题意；

故的值为：9，10，11，

故答案为：9（答案不唯一，9，10，11均可）

14．根据下列数据：

求得关于x的关系，则时，y的估计值为____．

【答案】

【分析】求出样本中心点，代入，求出，再将代入可得结果.

【详解】，，

所以，得，

所以，

当时，.

故答案为：.

15．某班5名同学去参加3个社团，每人只参加1个社团，每个社团都有人参加，则满足上述要求的不同方案共有____种.

【答案】150

【分析】先将5名同学分成3组，在将三组全排列即可．

【详解】将5名同学分成3组，根据每组人数不同有两种情况：{113}、{122}，

则分组的方法有种，

分组后将三组同学分派到三个不同社团有种方法，

故满足要求的不同方案共有25×6=150种．

故答案为：150．

四、双空题

16．在矩形中，，．沿把折起，点移动至，使得二面角为直二面角，则____．若三棱锥的顶点均在球上，则球的表面积是____．

【答案】         

【分析】根据立体几何中面面垂直的性质对题意转化求解即可得到长度；若棱锥的顶点均在球上，则棱锥顶点到球的圆心距离都相等，由此找到圆心求出半径即可计算球的表面积.

【详解】对于第一空，如图1，

在平面中，作，连接，在中，，

代入数据得，，

在中，由勾股定理得，,

在中，，

在中，由余弦定理得，，

代入数据得，，

因为二面角为直二面角，平面平面，，平面，

所以平面，又因为平面，所以，

所以.

对于第二空，在矩形中，设与交于点，

由矩形性质可知，所以在图2中，点是球的球心，

，

所以.

故答案为：；

【点睛】对于立体几何中的问题，要善于运用数形结合的方法，通过转化与化归，求出问题答案；对于外接球问题，要善于找到所求外接球的圆心，从而计算半径，得到答案.

五、解答题

17．为了鉴定新疫苗的效力，将60只豚鼠随机地平均分为两组，其中在一组接种疫苗后，两组都注射了病源菌，结果接种疫苗的豚鼠中没发病的占比90%，发病的豚鼠中接种疫苗的占比15%．其结果列于下表：

(1)求a，b，c，d的值；

(2)问：能否有99%的把握认为疫苗有效?

参考公式：，参考数据：

【答案】(1)，，，

(2)有99%的把握认为疫苗有效

【分析】（1）根据题意所占相应得比例可得，，，；

（2）补全列联表，把数据代入计算，并与临界值6.635比较分析．

【详解】(1)（1），

则，

∴，，，.

(2)补全列联表得：

根据列联表，计算，所以有99%的把握认为疫苗有效.

18．如图，正四棱锥P－ABCD中，，点M，N分别是PA，BD的中点．

(1)求证：平面PBC；

(2)求二面角D－PA－B的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用三角形的中位线定理及线面平行的判定定理即可证明；

（2）根据已知条件建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，然后求出平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式及同角三角函数的平方关系即可求解.

【详解】(1)连接，因为正四棱锥，所以底面ABCD是正方形，

因为N是BD的中点，所以N是AC的中点，又因为点M是PA的中点，

所以，又因为平面，平面，

所以平面.

(2)以N为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示

则，，，，

所以，，.

设为平面PAB一个的法向量，则

，即，令，则，

所以为平面PAB的一个法向量，

设为平面PAD一个的法向量，则

，即，令，则，

所以为平面PAD的一个法向量.

设二面角的平面角为，

所以，

所以.

所以二面角的正弦值为.

19．幸福农场生产的某批次20件产品中含有件次品，从中一次任取10件，其中次品恰有X件．

(1)若，求取出的产品中次品不超过1件的概率；

(2)记，则当n为何值时，取得最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】由题意可知随机变量X服从超几何分布，

（1）取出的产品中次品不超过1件即和；

（2），利用作商法判断的大小变化．

【详解】(1)记“取出的产品中次品不超过1件”为事件A，则.

因为，，

所以.

则取出的产品中次品不超过1件的概率是.

(2)因为，则.

若，解得

∵则

故当时，；当时，；

所以当时，取得最大值.

20．如图所示，在正方体中，，点M，N分别在和DB上，且，．

(1)求线段MN的长；

(2)求直线和平面DMN所成角的大小．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据已知将求出，再求其模长即可；

（2）将与平面DMN的法向量求出，利用向量法求解线面所成角即可.

【详解】(1)以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，.因为点M在上，

设，

所以.因为点N在DB上，

设，所以，

因为，，所以，

，解得，，所以，

所以.

(2)设为平面DMN的法向量，因为，，

由，，得，，

取，所以为平面DMN的一个法向量.

记直线和平面DMN所成角为，

因为，所以，

所以直线和平面DMN所成角为.

21．某地质量检测部门从一企业的产品中随机抽取100件产品，测量这批产品的某项技术指标值，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)估计这100件产品的技术指标值的中位数；

(2)根据大量的测试数据，可以认为这批产品的技术指标值X近似地服从正态分布.根据上表计算出样本平均数，样本方差，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，从该企业这批产品中购买50件，设这50件产品中技术指标值恰好在98.32与194.32之间的数量为Y，求；

(3)如果产品的技术指标值在与之间为合格品，其他技术指标值为次品，每抽取100件产品中的合格品和次品件数分别是多少（精确到个位数）？计算从100件产品中任取3件，恰好取到1件次品的概率.

参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，，.

【答案】(1)130.375

(2)

(3)

【分析】（1）设中位数为，由频率分布直方图计算中位数的方法计算即可；

（2）由正态分布的性质得出质量指标值恰好在98.32与194.32之间的概率，再根据二项分布得出；

（3）根据正态分布的性质得出，进而得出次品件数，再由概率公式计算即可.

【详解】(1)设中位数为.

因为，

所以，解得.

所以估计这100件产品的技术指标值的中位数为130.375.

(2)依题意，得，所以

.

所以从这批产品中任取一件其质量指标值恰好在98.32与194.32之间的概率为0.8185.

这50件产品中质量指标值恰好在98.32与194.32之间的数量为Y，则Y服从二项分布，

.所以.

(3)依题意，产品的技术指标值在与之间为合格品，其概率为

，

所以每抽取100件产品中合格品件数为95件，次品件数为5件.

所以从100件产品中任取3件，恰好取到1件次品的概率为

.

22．在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，右焦点到右准线的距离为．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)已知过点且与轴不重合的直线交椭圆于，，若直线与交于，直线与交于，证明：以为直径的圆与直线相切．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据题意易知，设椭圆C的焦距为2c，根据椭圆右焦点到右准线的距离为列出关系式，即可求出，再根据，即可求出结果；

（2）设直线的方程为，将其与椭圆方程联立，设，，根据韦达定理可知，，再分别求出两点的坐标，写出以为直径的圆的方程，将韦达定理带入化简整理，可知所以以PQ为直径的圆过点和，再根据直线与圆的位置关系判断，即可证明结果.

【详解】(1)解：由题意得.

设椭圆C的焦距为2c，则，所以，

所以，所以椭圆C的标准方程.

(2)证明：设直线的方程为：.

由，得，

设，，则，.

因为直线的方程为：，

令，得，所以，同理可得.

以为直径的圆的方程为：，

即.

因为，，，

所以，

所以以PQ为直径的圆的方程为：.

令，得，解得或.

所以以PQ为直径的圆过点和.

因为，

所以PQ的中点，所以.

当时，易得以PQ为直径的圆与直线相切.

又因为当时，直线MN的斜率为，所以，

所以以PQ为直径的圆与直线MN相切.