广西专版2023_2024学年新教材高中物理第7章万有引力与宇宙航行习题课三万有引力定律在天体运动中的应用课后训练新人教版必修第二册

习题课三　万有引力定律在天体运动中的应用

课后·训练提升

合格考过关检验

一、选择题(第1~4题为单选题,第5~6题为多选题)

1.北京时间2022年11月30日,神舟十五号载人飞船入轨后,成功对接于空间站天和核心舱前向端口。已知空间站绕地球飞行的轨道可视为圆轨道,轨道离地面的高度约为地球半径的,地球同步卫星轨道离地面的高度约为地球半径的6倍,下列说法正确的是(　　)

A.航天员在空间站可以通过举重来锻炼肩部和背部肌肉

B.航天员在空间站可以通过弹簧拉力器锻炼肩部和背部肌肉

C.航天员将水从水袋中挤出后水会在空中显现水球,是因为水不受万有引力作用

D.中国空间站在轨道上的运行周期大于同步卫星的运行周期

答案:B

解析:重物在空间站里处于完全失重状态,所以航天员在空间站不可以通过举重来锻炼肩部和背部肌肉,选项A错误。弹簧弹力是由弹簧形变产生的,航天员在空间站可以通过弹簧拉力器锻炼肩部和背部肌肉,选项B正确。航天员将水从水袋中挤出后水会在空中显现水球,是因为水球所受万有引力全部用来提供做圆周运动的向心力而处于完全失重状态,选项C错误。根据G=mr,解得T=2π,结合题意可知中国空间站在轨道上运行周期小于同步卫星的运行周期,选项D错误。

2.地球和火星的公转视为匀速圆周运动,忽略行星自转影响,根据下表,火星和地球相比(　　)

A.火星的公转周期较小

B.火星做圆周运动的加速度较小

C.火星表面的重力加速度较大

D.火星的第一宇宙速度较大

答案:B

解析:火星和地球都绕太阳做匀速圆周运动,万有引力提供向心力,因r火>r地,由=mr=ma知,T=2π,故T火>T地,选项A错误。向心加速度a=,则a火<a地,故选项B正确。地球表面的重力加速度g地=,火星表面的重力加速度g火=,代入数据比较知g火<g地,选项C错误。地球和火星上的第一宇宙速度v地=,v火=,代入数据比较知v地>v火,选项D错误。

3.2021年7月9日,我国成功将“钟子号卫星星座02组卫星”(用卫星A表示)送入预定轨道。地球半径为R,卫星B距地面的高度为3R,运行周期为T,如图所示,某时刻两颗卫星相距最近,经时间t两颗卫星再次相距最近。则卫星A的轨道半径为(　　)

A.3R B.4R

C.4R D.4R

答案:B

解析:卫星A的运行周期为T0,由题意可得t=2π,解得T0=,由开普勒第三定律得,解得r=4R,选项B正确。

4.如图所示,利用霍曼转移轨道可以将航天器从地球发送到火星。若地球和火星绕太阳公转的轨道都是圆形,则霍曼轨道就是一个近日点P和远日点Q都与这两个行星轨道相切的椭圆。当天问一号火星探测器到达地球轨道的P点时,瞬时点火后天问一号进入霍曼轨道,当天问一号运动到火星轨道的Q点时,再次瞬时点火后天问一号进入火星轨道。下列说法正确的是(　　)

A.天问一号在地球轨道上的线速度小于在火星轨道上的线速度

B.在P点瞬时点火后,天问一号的速度需要达到第二宇宙速度

C.在Q点再次瞬时点火,是为了增大太阳对天问一号的引力

D.天问一号沿霍曼轨道运行时在P点的速度最小

答案:B

解析:由万有引力提供向心力可知G=m,解得v=,由于天问一号在地球轨道上的半径小于在火星轨道上的半径,则根据上式可知天问一号在地球轨道上的线速度大于在火星轨道上的线速度,选项A错误。在P点瞬时点火后,天问一号需要克服地球引力离开地球,进入霍曼转移轨道绕太阳做椭圆运动,所以此时天问一号的速度需要达到第二宇宙速度,选项B正确。在Q点再次瞬时点火,天问一号所受引力不变,速度增大,从而使其所受引力不足以提供向心力而做离心运动,进而变至较高的火星轨道,选项C错误。根据开普勒第二定律可知天问一号沿霍曼轨道运行时在P点的速度最大,选项D错误。

5.组成星球的物质是靠引力吸引在一起的,这样的星球有一个最大的自转速率,如果超出了该速率,星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体随星球做圆周运动。假设地球可视为质量均匀分布的星球,地球半径为R,地球北极表面附近的重力加速度为g,引力常量为G,地球质量为m0,则地球的最大自转角速度ω为(　　)

A.2π B.

C. D.2π

答案:BC

解析:设地球赤道上有一质量为m的物体,要维持该物体随地球一起以最大角速度ω转动,则物体与地球之间的万有引力等于向心力,有G=mω2R,解得ω=,选项A错误,B正确。在地球北极表面附近有Gm0=gR2,代入上式可得ω=,选项C正确,D错误。

6.有a、b、c、d四颗地球卫星,卫星a还未发射,在地球赤道上随地球表面一起转动,卫星b处于地面附近近地轨道上正常运动,c是地球同步卫星,d是高空探测卫星,各卫星排列位置如图所示,则下列说法正确的是(　　)

A.a的向心加速度小于重力加速度g

B.b在相同时间内转过的弧长最长

C.c在4 h内转过的圆心角是

D.d的运动周期有可能是23 h

答案:ABC

解析:a受万有引力和支持力作用,两个力的合力提供向心力,即G-FN=ma,G=mg,向心加速度小于重力加速度g,选项A正确。根据G=m得v=,由于rb<rc<rd,则vb>vc>vd,a、c的角速度相等,根据v=ωr知,c的线速度大于a的线速度,可知b的线速度最大,则相同时间内转过的弧长最长,选项B正确。c为同步卫星,周期为24h,4h内转过的圆心角θ=×2π=,选项C正确。根据G=mr得T=,d的轨道半径大于c的轨道半径,则d的周期大于c的周期,可知d的周期一定大于24h,选项D错误。

二、计算题

7.假设某星球的半径R=4 500 km,在该星球表面有一倾角为30°的固定斜面,一质量为1 kg的小物块在力F的作用下由静止开始沿斜面向上运动,力F始终与斜面平行。已知小物块和斜面间的动摩擦因数μ=,力F随时间变化的规律如图所示,取沿斜面向上为正方向,2 s末小物块的速度恰好为0,引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2。

(1)求该星球表面的重力加速度。

(2)求该星球的平均密度。

(3)若在该星球表面上水平抛出一个物体,使该物体不再落回该星球表面,则物体至少需要多大的初速度?

答案:(1)8 m/s2　(2)6.4×103 kg/m3　(3)6 km/s

解析:(1)假设该星球表面的重力加速度为g,小物块在力F1=20N作用的过程中,有F1-mgsinθ-μmgcosθ=ma1,小物块1s末的速度v=a1t1,小物块在力F2=-4N作用的过程中,有F2-mgsinθ-μmgcosθ=ma2,且有0=v+a2t2,联立解得g=8m/s2。

(2)由G=mg,星球体积V=πR3,星球的平均密度ρ=,代入数据得ρ=6.4×103kg/m3。

(3)要使抛出的物体不再落回该星球表面,物体的最小初速度v1要满足mg=m,解得v1==6×103m/s=6km/s。

等级考素养提升

一、选择题(第1~4题为单选题,第5~6题为多选题)

1.宇宙飞船和空间站在同一轨道上运动。若飞船想与前方的空间站对接,飞船为了追上空间站,可采取的方法是(　　)

A.加速直到追上空间站,完成对接

B.从原轨道减速至一个较低轨道,再加速追上空间站完成对接

C.加速至一个较高轨道,再减速追上空间站,完成对接

D.无论飞船采取何种措施,均不能与空间站对接

答案:B

解析:飞船在轨道上正常运行时,有G=m。当飞船直接加速时,所需向心力增大,故飞船做离心运动,轨道半径增大,将导致不在同一轨道上,选项A错误。飞船若先减速,它的轨道半径将减小,但运行速度增大,故在低轨道上飞船可接近空间站,当飞船运动到合适的位置再加速,回到原轨道,即可追上空间站,选项B正确,D错误。若飞船先加速,它的轨道半径将增大,但运行速度减小,再减速不会追上空间站,选项C错误。

2.关于我国自行研制的北斗卫星导航系统中的倾斜地球同步轨道卫星,下列说法正确的是(　　)

A.已知它的质量是m,若将它的质量增为2m,其同步轨道半径变为原来的2倍

B.它的运行速度为7.9 km/s

C.它可以绕过北京的正上方

D.它距地面的高度约为地球半径的5倍,向心加速度约为其下方地面上物体的重力加速度的

答案:D

解析:同步卫星的轨道是一定的,和同步卫星的质量没有关系,选项A错误。同步卫星的速度小于第一宇宙速度7.9km/s,选项B错误。同步卫星只能在赤道的上方,不能绕过北京的正上方,选项C错误。根据=ma得a=,a同∶a地=∶1=,选项D正确。

3.神舟十一号与天宫二号的对接过程如图所示,AC是椭圆轨道Ⅱ的长轴,神舟十一号从圆轨道Ⅰ先变轨到椭圆轨道Ⅱ,再变轨到圆轨道Ⅲ,与在圆轨道Ⅲ运行的天宫二号实施对接,下列说法正确的是(　　)

A.神舟十一号两次变轨过程中均需要点火减速

B.神舟十一号在椭圆轨道上运行的周期小于天宫二号运行的周期

C.神舟十一号在椭圆轨道上经过C点处的速率大于天宫二号经过C点处的速率

D.神舟十一号在椭圆轨道上C点处的加速度大于天宫二号在C点处的加速度

答案:B

解析:卫星从低轨道变轨到高轨道需要在变轨处点火加速,故神舟十一号两次变轨过程中均需要点火加速,选项A错误。根据开普勒第三定律=k,由于神舟十一号在椭圆轨道上运行的半长轴小于天宫二号圆轨道半径,可知神舟十一号在椭圆轨道上运行的周期小于天宫二号运行的周期,选项B正确。神舟十一号从椭圆轨道Ⅱ变轨到圆轨道Ⅲ需要在C点处点火加速,故神舟十一号在椭圆轨道上经过C点处的速率小于天宫二号经过C点处的速率,选项C错误。根据牛顿第二定律可得=ma,解得a=,可知神舟十一号在椭圆轨道上C点处的加速度等于天宫二号在C点处的加速度,选项D错误。

4.地球位于太阳和行星之间且三者几乎排成一条直线的现象,天文学上称为“行星冲日”。火星与地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳近似做匀速圆周运动。不考虑火星与地球的自转,且假设火星和地球的轨道平面在同一个平面上,相关数据见下表。则根据提供的数据可知(　　)

A.在火星表面附近发射飞行器的速度至少为7.9 km/s

B.理论上计算可知,相邻两次“火星冲日”的时间间隔大约为1年

C.火星表面的重力加速度与地球表面的重力加速度之比约为2∶5

D.火星运行的加速度比地球运行的加速度大

答案:C

解析:设行星的质量为m0,卫星在行星表面做匀速圆周运动时,根据,解得v=,则<1,v火<v地=7.9km/s,即在火星表面附近发射飞行器的最小速度小于7.9km/s,选项A错误。根据开普勒第三定律,可得T火=1.84T地=1.84年,相邻两次“火星冲日”的时间间隔为t,则t-t=2π,解得t=2.2年,选项B错误。行星对表面物体的万有引力等于物体在行星表面时受到的重力,则有=m1g,解得g=,选项C正确。太阳对行星的万有引力充当行星做圆周运动的向心力,即=m0a,解得a=<1,可知火星运行的加速度比地球运行的加速度小,选项D错误。

5.天问一号火星探测器现正在火星地面上进行各项研究探测活动。下图是天问一号发射轨迹示意图,已知火星的公转周期为1.8年,下列说法正确的是(　　)

A.从火星与地球相距最近至下一次相距最近所需时间约为2.25年

B.天问一号在地球轨道上的发射速度大于7.9 km/s小于11.2 km/s

C.天问一号在绕地球的轨道上需要减速才能进入霍曼转移轨道

D.天问一号选择在海南文昌发射场发射,是为了利用地球自转线速度的影响

答案:AD

解析:T火=1.8年,T地=1年,根据(ω地-ω火)t=2π,ω=得,从火星与地球相距最近至下一次相距最近所需时间t==2.25年,选项A正确。第一宇宙速度是最小的发射速度,第二宇宙速度是脱离地球引力的速度,因此是以大于第二宇宙速度的速度发射的,选项B错误。天问一号在绕地球的轨道上进入霍曼转移轨道时做离心运动,需要加速,选项C错误。海南文昌距离赤道较近,选择在海南文昌发射场发射,是为了利用地球自转线速度的影响,选项D正确。

6.北斗卫星导航系统是中国着眼于国家安全和经济社会发展需要,自主建设、独立运行的卫星导航系统,是为全球用户提供全天候、全天时、高精度的定位、导航和授时服务的国家重要空间基础设施。其中第41颗卫星为地球静止轨道卫星,第49颗卫星为倾斜地球同步轨道卫星,它们的轨道半径约为4.2×107 m。运行周期都等于地球的自转周期24 h。倾斜地球同步轨道平面与地球赤道平面成一定夹角,如图所示。已知引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2,下列说法正确的是(　　)

A.根据题目数据可估算出地球的质量约为5.87×1024 kg

B.地球静止轨道卫星不可能经过长沙上空,而倾斜地球同步轨道卫星有可能经过长沙上空

C.倾斜地球同步轨道卫星的运行速度大于第一宇宙速度

D.倾斜地球同步轨道卫星一天内经过赤道正上方同一位置2次

答案:ABD

解析:由万有引力提供向心力可得G=mr,代入数据可得,地球质量约为m0==5.87×1024kg,选项A正确。地球静止轨道卫星的轨道平面为赤道,故不可能经过长沙上空,倾斜地球同步轨道卫星的轨道与赤道平面有夹角,由于地球自转,故有可能经过长沙上空,选项B正确。所有做圆周运动的人造卫星运行速度均小于第一宇宙速度,选项C错误。倾斜地球同步轨道卫星周期为1天,地球自转周期也为1天,故1天内经过赤道同一位置2次,选项D正确。

二、计算题

7.某卫星A在赤道平面内绕地球做圆周运动,运行方向与地球自转方向相同,赤道上有一卫星测控站B,已知卫星距地面的高度为R,地球的半径为R,自转周期为T0,地球表面的重力加速度为g。求:

(1)卫星A做圆周运动的周期T;

(2)卫星A和测控站B能连续直接通信的最长时间t。(卫星信号传输时间可忽略)

答案:(1)4π　(2)

解析:(1)设地球质量为m0,卫星A的质量为m,根据万有引力提供向心力,

有G=m·2R,m'g=G,解得T=4π。

(2)如图所示,卫星的通信信号视为沿直线传播,由于地球遮挡,使卫星A和测控站B不能一直保持直接通讯。设无遮挡时间为t,则它们转过的角度之差最多为2θ时就不能通讯。

cosθ=t-t=2θ,解得t=。