江苏省苏州市苏州高新区第一初级中学校2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试卷

这是一份江苏省苏州市苏州高新区第一初级中学校2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试卷，共5页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下列四个手机APP图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ）
A．9B．7C．12D．9或12
3．（2分）等腰三角形的两个底角相等，顶角的度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
4．（2分）如图所示，共有等腰三角形（ ）
A．4个B．5个C．3个D．2个
5．（2分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则△ABC的面积为（ ）
A．12B．24C．10D．20
6．（2分）如图，△ABC中，AC＝8，E分别在BC，AC上，EF＝EC，则EF的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．（2分）如图，线段AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点O．若∠DOE＝44°，则∠AOC＝（ ）
A．92°B．88°C．46°D．86°
8．（2分）如图，在△ABC中，∠BAC＝∠ABC＝48°，点E是CD上一点，将△ACE沿着AE翻折得到△AFE，若E，F，B三点恰好在同一条直线上（ ）
A．72°B．78°C．80°D．84°
二.填空题（16分）
9．（2分）已知等腰三角形的一个内角为110°，则等腰三角形的底角的度数为 ．
10．（2分）如图，在△ABC中，AC＝BC，DE⊥AC于点E，FD⊥AB于点D ．​
11．（2分）如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上一点
14，PA＝4，则线段AB的长为 ．
12．（2分）如图所示，已知△ABC的周长是20，OB，OD⊥BC于D，且OD＝3 ．
13．（2分）定义：如果一个三角形的一条边是另一条边长度的两倍，则称这个三角形为倍长三角形．若等腰△ABC是倍长三角形，且一边长为6 ．
14．（2分）如图，在△ABC中，D为边AC上一点，过A作AE⊥BD于点E．若∠ABC＝64°，∠C＝29°，BC＝10，则AE＝ ．
15．（2分）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BC＝5，则AB2+CD2＝ ．
16．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AB的中点，点E在边AC上一动点，使点A落在点A′处，当A′E∥BC时 ．
三.解答题（68分）
17．（4分）如图，在正方形网格中，已知△ABC的三个顶点在格点上．
（1）画出△ABC关于直线DE的轴对称图形△A1B1C1；
（2）若正方形网格的单位长度为1，求△A1B1C1的面积．
18．（5分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点△AEF＝AB+AC．
19．（6分）如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，且P到OA，OB两条公路的距离相等．
20．（5分）如图，在Rt△ABC中，已知∠A＝90°，DE⊥BC交AB于点E，连接CE，BD＝5，求△ACE的周长．
21．（6分）如图，点P在∠AOB内部，点P关于OA、OB对称的点分别为C、D，连接PD交OB于点T，连接CD，交OB于点N，连接PM、PN．
​（1）若CD＝18cm，求△PMN的周长；
（2）若∠C＝15°，∠D＝17°，求∠MPN的度数．
22．（6分）意大利著名画家达•芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中图1的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组成，图2的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2．
（1）请用含a，b，c的代数式分别表示S1，S2；
（2）请利用达•芬奇的方法证明勾股定理．
23．（6分）如图，折叠等腰三角形纸片ABC，使点C落在AB边上的F处，FD⊥BC．
（1）求证：∠AFE＝90°．
（2）AF＝4，BF＝6，求AE．
24．（7分）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发
（1）当点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当Q到达点C时，设运动时间为t（s），当t＝2时，并说明理由；
（2）当它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动（s），则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
25．（7分）定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60° ；
（2）若△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．
①如图，若AD是∠BAC的平分线，请判断△ABD是否为“准互余三角形”？并说明理由．
②点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，若∠ABC＝24° ．
26．（8分）【问题】
已知：如图，在△ABC中，点D为BC边上一点，交AC于点E，交BC于点F，∠BAF＝90°时，求∠DAC的度数．
【探究】
若把“问题”中的条件“∠B＝30°”去掉，其它条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？请说明理由．
【拓展】
若把“问题”中的条件“∠B＝30°”去掉，再将“∠BAF＝90°”改为“∠BAF＝α”，其余条件不变 ．
27．（8分）如图，∠CAB和∠CBA的角平分线AF，BD相交点P
（1）直接写出∠APB＝ °；
（2）求证PD＝PF；
（3）若∠ABC＝80°，求证AP＝BC．
2023-2024学年江苏省苏州市高新一中八年级（上）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（16分）
1．（2分）下列四个手机APP图标中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形；
B、是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、不是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2．（2分）若等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（ ）
A．9B．7C．12D．9或12
【答案】C
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：（1）若2为腰长，5为底边长，
由于8+2＜5，则三角形不存在；
（2）若2为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为5+5+2＝12．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
3．（2分）等腰三角形的两个底角相等，顶角的度数比一个底角度数的2倍多20°，则这个底角的度数是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】B
【分析】设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，根据三角形内角和是180°列出方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：设底角的度数是x°，则顶角的度数为（2x+20）°，
根据题意得：x+x+2x+20＝180，
解得：x＝40，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，考查了方程思想，掌握等腰三角形两个底角相等是解题的关键．
4．（2分）如图所示，共有等腰三角形（ ）
A．4个B．5个C．3个D．2个
【答案】B
【分析】由已知条件，根据三角形内角和定理，求出图形中未知度数的角，即可根据等角对等边求得等腰三角形的个数．
【解答】解：根据三角形的内角和定理，得：∠ABO＝∠DCO＝36°，
根据三角形的外角的性质，得
∠AOB＝∠COD＝72°．
再根据等角对等边，得
等腰三角形有△AOB，△COD，△CBD和△BOC．
故选：B．
【点评】此题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质以及等腰三角形的判定方法．得到各角的度数是正确解答本题的关键．
5．（2分）在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，则△ABC的面积为（ ）
A．12B．24C．10D．20
【答案】A
【分析】首先画出图形，利用勾股定理求出三角形ABC以BC为底边的高，再利用三角形的面积公式求出答案．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BD＝CD＝BC＝，
在△ABD中，
∵AD2+BD2＝AB7，
∴AD＝＝＝4，
∴S△ABC＝BC•AD＝，
故选：A．
【点评】本题主要考查了勾股定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是利用勾股定理求出三角形的高，此题难度一般．
6．（2分）如图，△ABC中，AC＝8，E分别在BC，AC上，EF＝EC，则EF的长是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根据已知想到等腰三角形的三线合一，所以连接AF，可得AF⊥BD，再利用等角的余角相等，证明∠EAF＝∠EFA，从而得EA＝EF，即可解答．
【解答】解：连接AF，
∵AB＝AD，F是BD的中点，
∴AF⊥BD，
∴∠AFD＝90°，
∴∠EAF+∠C＝90°，∠AFE+∠EFC＝90°，
∵EF＝EC，
∴∠EFC＝∠C，
∴∠EAF＝∠AFE，
∴EA＝EF，
∴EF＝EA＝EC＝AC＝5，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的三线合一，添加辅助线是解题的关键．
7．（2分）如图，线段AB，BC的垂直平分线l1、l2相交于点O．若∠DOE＝44°，则∠AOC＝（ ）
A．92°B．88°C．46°D．86°
【答案】B
【分析】连接BO，并延长BO到P，根据线段的垂直平分线的性质得AO＝OB＝OC和∠BDO＝∠BEO＝90°，根据四边形的内角和为360°得∠DOE+∠ABC＝180°，根据外角的性质得∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，相加可得结论．
【解答】解：连接BO，并延长BO到P，
∵∠DOE＝∠1＝44°，
∵线段AB，BC的垂直平分线l1、l3相交于点O，
∴AO＝OB＝OC，∠BFO＝∠BDO＝90°，
∴∠DOF+∠ABC＝180°，
∵∠DOF+∠1＝180°，
∴∠ABC＝∠1＝44°，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，
∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，
∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝5×44°＝88°．
故选：B．
【点评】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
8．（2分）如图，在△ABC中，∠BAC＝∠ABC＝48°，点E是CD上一点，将△ACE沿着AE翻折得到△AFE，若E，F，B三点恰好在同一条直线上（ ）
A．72°B．78°C．80°D．84°
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质可得CD是AB的垂直平分线，可得AE＝BE，∠AED＝∠BED，所以∠AEC＝∠BEC，由翻折的性质可得∠AEC＝∠BEC＝∠AEB，所以∠BEC＝120°，进而可以解决问题．
【解答】解：在△ABC中，∠BAC＝∠ABC＝48°，
∵CD⊥AB，
∴CD是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，∠AED＝∠BED，
∴∠AEC＝∠BEC，
由翻折可知：∠AEC＝∠AEB，CE＝FE，
∴∠AEC＝∠BEC＝∠AEB，
∴∠BEC＝120°，
∵CE＝FE，
∴∠EFC＝∠ECF＝（180°﹣120°）÷2＝30°，
∵∠BAC＝48°，
∴∠ACE＝90°﹣48°＝42°，
由翻折可知：∠AFE＝∠ACE＝42°，
∴∠CFA＝∠EFC+∠AFE＝30°+42°＝72°．
故选：A．
【点评】本题考查了翻折变换，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握翻折的性质．
二.填空题（16分）
9．（2分）已知等腰三角形的一个内角为110°，则等腰三角形的底角的度数为 35° ．
【答案】35°．
【分析】根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵等腰三角形的一个内角是110°，
∴等腰三角形的顶角为110°，
∴等腰三角形的底角为35°，
故答案为：35°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10．（2分）如图，在△ABC中，AC＝BC，DE⊥AC于点E，FD⊥AB于点D 65° ．​
【答案】65°．
【分析】根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出∠A＝∠B＝65°，再根据同角的余角相等可求得∠EDF的度数．
【解答】解：∵∠A＝∠B，∠C＝50°，
∴∠A＝∠B＝（180°﹣50°）＝65°，
∵DE⊥AC于点E，FD⊥AB于点D，
∴∠AED＝∠FDA＝90°，
∴∠EDF＝90°﹣∠EDA＝∠A＝65°．
故答案为：65°．
【点评】本题综合考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，余角的性质等知识．一般是利用等腰三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数．
11．（2分）如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上一点
14，PA＝4，则线段AB的长为 6 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由直线CD是线段AB的垂直平分线，可得PA＝PB＝4，又由△PAB的周长为14，即可求得答案．
【解答】解：直线CD是线段AB的垂直平分线，PA＝4，
∴PA＝PB＝4，
∵△PAB的周长为14，
∴PA+PB+AB＝14，
∴7+4+AB＝14，
∴AB＝6．
故答案为：5．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
12．（2分）如图所示，已知△ABC的周长是20，OB，OD⊥BC于D，且OD＝3 30 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等，从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以OD，然后列式进行计算即可求解．
【解答】解：如图，连接OA，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴点O到AB、AC，
∵△ABC的周长是20，OD⊥BC于D，
∴S△ABC＝×20×8＝30．
故答案为：30．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质及判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键．
13．（2分）定义：如果一个三角形的一条边是另一条边长度的两倍，则称这个三角形为倍长三角形．若等腰△ABC是倍长三角形，且一边长为6 3或6 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】由倍长三角形的定义，分两种情况讨论，即可求解．
【解答】解：∵等腰△ABC是倍长三角形，
∴腰长＝底边长的2倍或底边长＝腰长的2倍，
如果腰长是8，底边长是3或12，
∵6+6＝12，
∴此时不能构成三角形，
∴底边长是3，腰长是6；
如果底边长是6，腰长是12或3，
3+4＝6，
∴此时不能构成三角形，
∴底边长是6，腰长是12，
∴△ABC的底边长是5或6．
故答案为：3或7．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握倍长三角形的定义，并分两种情况讨论．
14．（2分）如图，在△ABC中，D为边AC上一点，过A作AE⊥BD于点E．若∠ABC＝64°，∠C＝29°，BC＝10，则AE＝ 3 ．
【答案】3．
【分析】延长AE交BC于点F，证明△ABE≌△FBE（ASA），得出AE＝EF，AB＝BF＝4，∠BAF＝∠BFA＝58°，根据∠C＝29°，得出∠CAF＝∠C，则AF＝CF，进而即可求解．
【解答】解：如图，延长AE交BC于点F．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠FBE．
在△ABE和△FBE中，
，
∴△ABE≌△FBE（ASA），
∴AE＝EF，AB＝BF＝4，
∴．
∵∠C＝29°，
∴∠CAF＝∠AFB﹣∠C＝29°，
∴∠CAF＝∠C，
∴AF＝CF．
∵BC＝10，
∴CF＝BC﹣BF＝6，
∴AF＝6，
∴AE＝6．
故答案为：3．
【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，等角对等边，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
15．（2分）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BC＝5，则AB2+CD2＝ 29 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先利用勾股定理求出OA2+OD2＝AD2＝4，OB2+OC2＝BC2＝25，可得OA2+OD2+OB2+OC2＝29，然后由OA2+OB2＝AB2，OC2+OD2＝CD2得出答案．
【解答】解：由题意知BD⊥AC，
∴∠COB＝∠AOB＝∠AOD＝∠COD＝90°，
根据勾股定理得，OA2+OD2＝AD5＝22＝8，OB2+OC2＝BC3＝52＝25，
∴OA3+OD2+OB2+OC7＝4+25＝29，
根据勾股定理得，OA2+OB7＝AB2，OC2+OD7＝CD2，
∴AB2+CD5＝29，
故答案为：29．
【点评】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
16．（2分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AB的中点，点E在边AC上一动点，使点A落在点A′处，当A′E∥BC时 115°或25° ．
【答案】115°或25°．
【分析】当A′E∥BC时，∠A′EA＝∠C＝90°，根据翻折可得∠A′ED＝∠AED＝45°，再根据三角形内角和定理，分两种情况画图，即可解决问题．
【解答】解：如图，当A′E∥BC时，
∴∠A′EA＝∠C＝90°，
∵∠ABC＝70°，
∴∠A＝90°﹣70°＝20°，
由翻折可知：∠A′ED＝∠AED＝A′EA＝45°，
∴∠ADE＝180°﹣∠A﹣∠AED＝180°﹣20°﹣45°＝115°．
或者：由翻折可知：∠A′ED＝∠AED＝135°
∴∠DEC＝45°，
∴∠ADE＝∠DEC﹣∠A＝45°﹣20°＝25°．
故答案为：115°或25°．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），解决本题的关键是掌握翻折的性质．
三.解答题（68分）
17．（4分）如图，在正方形网格中，已知△ABC的三个顶点在格点上．
（1）画出△ABC关于直线DE的轴对称图形△A1B1C1；
（2）若正方形网格的单位长度为1，求△A1B1C1的面积．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用网格特点和对称轴的性质，分别画出点A、B、C关于直线DE的对称点A1、B1、C1即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC的面积．
【解答】解：（1 ） 如图1B2C1为所作；
（2）△ABC的面积＝3×6﹣×8×1﹣×6×1＝3.6．
【点评】本题考查了轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
18．（5分）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点△AEF＝AB+AC．
【答案】证明过程见解答．
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证△EBD和△FDC是等腰三角形，从而可得EB＝ED，FD＝FC，然后利用三角形的周长公式以及等量代换即可解答．
【解答】证明：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠ABD＝∠DBC，∠ACD＝∠DCB，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，
∴∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，
∴EB＝ED，FD＝FC，
∴C△AEF＝AE+EF+AF
＝AE+ED+DF+AF
＝AE+EB+CF+AF
＝AB+AC．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键．
19．（6分）如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，且P到OA，OB两条公路的距离相等．
【答案】见试题解答内容
【分析】作∠AOB的角平分线和线段CD的垂直平分线，它们的交点为P点．
【解答】解：如图，点P为所作．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了线段垂直平分线的性质．
20．（5分）如图，在Rt△ABC中，已知∠A＝90°，DE⊥BC交AB于点E，连接CE，BD＝5，求△ACE的周长．
【答案】14．
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理得AB的长度，结合线段垂直平分线的性质即可求解．
【解答】解：∵D是斜边BC的中点，BD＝5，
∴BC＝2BD＝10．
在Rt△ABC中，由勾股定理得，
∴AB＝BE+AE＝8．
又∵BE＝CE，
∴CE+AE＝8，
∴△ACE的周长为CE+AE+AC＝8+6＝14．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题关键．
21．（6分）如图，点P在∠AOB内部，点P关于OA、OB对称的点分别为C、D，连接PD交OB于点T，连接CD，交OB于点N，连接PM、PN．
​（1）若CD＝18cm，求△PMN的周长；
（2）若∠C＝15°，∠D＝17°，求∠MPN的度数．
【答案】（1）18cm；
（2）116°．
【分析】（1）根据轴对称的性质和三角形周长的定义可知．
（2）根据轴对称的性质和三角形的内角和定理解答．
【解答】解：（1）根据题意点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，
故有MP＝MC，NP＝ND；
则CD＝CM+MN+ND＝PM+MN+PN＝18cm．
∴△PMN的周长＝18cm；
（2）根据题意点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，
∴∠C＝∠MPC＝15°，∠D＝∠NPT＝17°，
∵∠C＝15°，∠D＝17°，
∴∠CPD＝180°﹣15°﹣17°＝148°，
∴∠MPN＝∠CPD﹣∠MPC﹣∠NPT＝148°﹣15°﹣17°＝116°．
【点评】本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
22．（6分）意大利著名画家达•芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中图1的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组成，图2的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2．
（1）请用含a，b，c的代数式分别表示S1，S2；
（2）请利用达•芬奇的方法证明勾股定理．
【答案】（1），；
（2）见解析．
【分析】（1）根据正方形和三角形的面积公式即可得到结论；
（2）根据题意列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）根据题意得，图1中空白部分的面积，
图2中空白部分的面积；
（2）由S1＝S3得a2+b2+ab＝c5+ab，
∴a2+b2＝c2．
【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
23．（6分）如图，折叠等腰三角形纸片ABC，使点C落在AB边上的F处，FD⊥BC．
（1）求证：∠AFE＝90°．
（2）AF＝4，BF＝6，求AE．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）根据折叠性质和等腰三角形性质得出∠B＝∠C＝∠EFD，再根据直角三角形的两锐角互余解答即可；
（2）根据折叠性质和勾股定理解答即可．
【解答】（1）证明：由折叠性质，∠C＝∠EFD，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝∠EFD，
∵FD⊥BC，
∴∠B+∠BFD＝90°，
∴∠EFD+∠BFD＝90°，
∴∠AFE＝180°﹣∠EFD﹣∠BFD＝90°；
（2）解：∵AF＝4，BF＝6，
∴AC＝AB＝5+6＝10，
∴EF＝CE＝AC﹣AE＝10﹣AE，
在Rt△AFE中，AF2+EF7＝AE2，
∴46+（10﹣AE）2＝AE2，
解得：．
【点评】本题考查折叠性质、等腰三角形的性质、直角三角形的两锐角互余、勾股定理，熟练掌握折叠性质和等腰三角形的性质，利用勾股定理建立方程思想是解答的关键．
24．（7分）如图，△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发
（1）当点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是2cm/s，当Q到达点C时，设运动时间为t（s），当t＝2时，并说明理由；
（2）当它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动（s），则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
【答案】（1）△BPQ是等边三角形；
（2）当t＝2s或t＝4s时，△PBQ是直角三角形．
【分析】（1）先根据等边三角形的性质得：AB＝6cm，∠B＝60°，当t＝2时，计算BP和BQ的长，根据等边三角形的判定可得结论；
（2）若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，根据直角三角形含30度角的性质列方程可解答．
【解答】解：（1）如图，根据题意得：AP＝tcm，
当t＝2时，AP＝2cm，
∵△ABC是边长为3cm的等边三角形，
∴AB＝6cm，∠B＝60°，
∴BP＝4cm，
∴BP＝BQ，
∴△BPQ是等边三角形；
（2）△PBQ中，BP＝7﹣t，
若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°，
①当∠BQP＝90°时，∠B＝60°，
∴∠BPQ＝30°，
∴BQ＝BP，
解得：t＝3；
②当∠BPQ＝90°时，同理得：BP＝，
即7﹣t＝t，解得：t＝4，
答：当t＝2s或t＝4s时，△PBQ是直角三角形．
【点评】本题主要考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握直角三角形含30度角的性质是关键．
25．（7分）定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A＝60° 15° ；
（2）若△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．
①如图，若AD是∠BAC的平分线，请判断△ABD是否为“准互余三角形”？并说明理由．
②点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，若∠ABC＝24° 123°或114° ．
【答案】（1）15°；
（2）①△ABD是“准互余三角形”，理由见解答；
②33°或24°．
【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义，由于三角形内角和是180°，∠C＞90°，∠A＝60°，只能是∠A+2∠B＝90°；
（2）①由题意可得∠ADB＞90°，所以只要证明∠B与∠BAD满足2α+β＝90°，即可解答，
②由题意可得∠AEB＞90°，所以分两种情况，∠B+2∠BAE＝90°，2∠B+∠BAE＝90°．
【解答】解：（1）∵△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，
∴∠A+2∠B＝90°，
∴∠B＝15°，
故答案为：15°；
（2）①△ABD是“准互余三角形”，
理由：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAC＝2∠BAD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠B＝90°，
∴3∠BAD+∠B＝90°，
∴△ABD是“准互余三角形”，
②∵△ABE是“准互余三角形”
∴2∠EAB+∠ABC＝90°或∠EAB+2∠ABC＝90°，
∵∠ABC＝24°，
∴∠EAB＝42°或∠EAB＝33°，
当∠EAB＝42°，∠ABC＝24°时，
∴∠EAC＝90°﹣∠ABC﹣∠BAE＝24°
当∠EAB＝33°，∠ABC＝24°时，
∴∠EAC＝90°﹣∠ABC﹣∠BAE＝33°，
∴∠EAC＝33°或24°．
故答案为：33°或24°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，余角和补角，理解“准互余三角形”的定义是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
26．（8分）【问题】
已知：如图，在△ABC中，点D为BC边上一点，交AC于点E，交BC于点F，∠BAF＝90°时，求∠DAC的度数．
【探究】
若把“问题”中的条件“∠B＝30°”去掉，其它条件不变，那么∠DAC的度数会改变吗？请说明理由．
【拓展】
若把“问题”中的条件“∠B＝30°”去掉，再将“∠BAF＝90°”改为“∠BAF＝α”，其余条件不变 ．
【答案】（1）45°；
（2）45°；
（3）．
【分析】【问题】
连接AD，AF，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可求解∠BAD的度数，利用线段垂直平分线的性质可得∠CAF＝∠C，结合三角形的内角和定理可求得∠AFB及∠C的度数，进而可求解；
【探究】
类比【问题】的解法可求解；
【拓展】
类比【问题】的解法可求解．
【解答】解：【问题】
连接AD，AF，
∵AB＝BD，∠B＝30°，
∴∠BAD＝∠BDA＝，
∵EF垂直平分AC，
∴∠CAF＝∠C，
∵∠B+∠AFB+∠BAF＝180°，∠BAF＝90°，
∴∠AFB＝90°﹣30°＝60°，
∵∠AFB＝∠C+∠CAF＝2∠C，
∴∠C＝∠CAF＝30°，
∴∠CAD＝∠ADB﹣∠C＝75°﹣30°＝45°；
【探究】
连接AD，AF，
∵AB＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA＝＝，
∵EF垂直平分AC，
∴∠CAF＝∠C，
∵∠B+∠AFB+∠BAF＝180°，∠BAF＝90°，
∴∠AFB＝90°﹣∠B，
∵∠AFB＝∠C+∠CAF＝7∠C，
∴∠C＝∠CAF＝45°﹣，
∴∠CAD＝∠ADB﹣∠C＝﹣（45°﹣；
【拓展】
连接AD，AF，
∵AB＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA＝＝，
∵EF垂直平分AC，
∴∠CAF＝∠C，
∵∠B+∠AFB+∠BAF＝180°，∠BAF＝α，
∴∠AFB＝180°﹣α﹣∠B，
∵∠AFB＝∠C+∠CAF＝2∠C，
∴∠C＝∠CAF＝90°﹣﹣，
∴∠CAD＝∠ADB﹣∠C＝﹣（90°﹣﹣．
故答案为：．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，利用类比推理求解是解题的关键．
27．（8分）如图，∠CAB和∠CBA的角平分线AF，BD相交点P
（1）直接写出∠APB＝ 120 °；
（2）求证PD＝PF；
（3）若∠ABC＝80°，求证AP＝BC．
【答案】（1）120；
（2）见解析；
（3）见解析．
【分析】（1）根据角平分线的定义得到，，再利用三角形内角和定理计算即可；
（2）过P作PE⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，根据角平分线的性质得到PE＝PG，PE＝PH，可得PH＝PG，再证明△PDG≌△PFH（AAS），即可证明结论；
（3）作∠CBD的平分线交AC于点N，则，先分别求出∠CAB，∠CBD，∠ABD，∠CAF，∠BDC，∠CBN，∠DBN，∠ANB的度数，得到AD＝BD，∠ANB＝∠BDC＝80°，BD＝BN，再根据AAS证明△APD≌△CBN即可证明结论．
【解答】（1）解：∵AF，BD分别平分∠CAB和∠CBA，
∴，，
∴∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）
＝
＝
＝120°．
故答案为：120；
（2）证明：过P作PE⊥AB，PG⊥AC，
∵AF，BD分别平分∠CAB和∠CBA，
∴PE＝PG，PE＝PH，
∴PH＝PG，
∵PH⊥BC，PG⊥AC，
∴∠PGC＝∠PHC＝90°，
∴∠GPH＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，
∴∠GPH＝∠APB＝120°＝∠DPF，
∴∠DPG＝∠FPH，
在△PDG和△PFH中，
，
∴△PDG≌△PFH（AAS），
∴PD＝PF；
（3）证明：如图，作∠CBD的平分线交AC于点N，则，
∵∠ABC＝80°，∠C＝60°，
∴∠CAB＝180°﹣60°﹣80°＝40°，，
∴，∠CAB＝∠ABD＝40°，
∴AD＝BD，∠BDC＝∠CAB+∠ABD＝80°，
∴，
∴∠ANB＝∠C+∠CBN＝60°+20°＝80°，∴∠ANB＝∠BDC＝80°，
∴BD＝BN，
∴AD＝BN，
在△APD和△BCN中，
，
∴△APD≌△CBN（AAS），
∴AP＝BC．
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的内角和，证明三角形全等是解题的关键．