2022-2023学年江苏省无锡市市北高级中学高一（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年江苏省无锡市市北高级中学高一（上）期中数学试卷，共15页。试卷主要包含了单选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知R是实数集，集合A＝{x∈Z||x|＜2}，B＝{x|2x﹣1≥0}，则A∩（∁RB）＝（ ）
A．B．{1}C．{﹣1，0}D．
2．（5分）已知x≠0，则“”是“x＞2022”的（ ）条件
A．必要不充分B．充分不必要
C．充分且必要D．既不充分也不必要
3．（5分）已知a，b为非零实数，且a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A．a﹣c＞b﹣cB．ac2＞bc2C．a2＞b2D．
4．（5分）若偶函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（5分）若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．b＞c＞aD．c＞b＞a
6．（5分）已知关于x的不等式kx2﹣6kx+k+8＞0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是（ ）
A．0≤k≤1B．0≤k＜1C．k＜0或k＞1D．k≤0或k＞1
7．（5分）函数f（x）的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[﹣0.5]＝﹣1，[1.5]＝1，已知函数（0＜x＜2），则函数y＝[f（x）]的值域为（ ）
A．B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{0，1，2}
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知点在幂函数f（x）＝（a﹣1）xb的图象上，则函数f（x）是（ ）
A．奇函数B．偶函数
C．（0，+∞）上的增函数D．（0，+∞）上的减函数
（多选）10．（5分）下列选项中p是q的充分不必要条件的是（ ）
A．p：1＜x＜2，q：1≤x≤2
B．p：xy＞1，q：x＞1，y＞1
C．，q：x＜1
D．p：两直线平行，q：内错角相等
（多选）11．（5分）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．f（﹣2）＝4B．若f（m）＝9，则m＝±3
C．f（x）是偶函数D．f（x）在R上单调递减
（多选）12．（5分）下列选项正确的是（ ）
A．对的最小值为1
B．若ab＜0，则的最大值为﹣2
C．若a＞0，b＞0，则
D．若正实数x，y满足x+2y＝1，则的最小值为8
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）若命题p：∃x∈R，x2﹣2x≥﹣1，则p的否定为 ．
14．（5分） ．
15．（5分）若在区间（1，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是 ．
16．（5分）已知x＞0，y＞0且1，若x+y＞m2+8m恒成立，则实数m的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．
17．（10分）在①A∩B＝A，②A∩（∁RB）＝A，③A∩B＝∅，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题：
已知集合A＝{x|a﹣1＜x＜2a+3}，B＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}．
（1）当a＝2时，求A∪B；
（2）若_____，求实数a的取值范围．
18．（12分）（1）已知x＞3，求的最小值，并求取到最小值时x的值；
（2）已知0＜x＜1，求x（4﹣3x）的最大值．
19．（12分）已知关于x的不等式ax2+（a﹣1）x﹣1＞0．
（1）若此不等式的解集为，求实数a的值；
（2）若a∈R，解这个关于x的不等式；
20．（12分）已知函数y＝f（x）（x∈R）是偶函数．当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间[a，a+2]上单调，求实数a的取值范围；
（3）当a＞﹣1时，记f（x）在区间[a，a+2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式．
21．（12分）“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进，把二氧化碳化为某种化工产品，经测算，该处理成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为y＝x2﹣40x+1600，30≤x≤50，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品．
（1）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？
（2）判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？
22．（12分）已知函数是定义域上的奇函数，且f（﹣1）＝﹣2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）＝m在（0，+∞）上有两个不同的根，求实数m的取值范围；
（3）令，若对都有，求实数t的取值范围．
2022-2023学年江苏省无锡市市北高级中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．
1．（5分）已知R是实数集，集合A＝{x∈Z||x|＜2}，B＝{x|2x﹣1≥0}，则A∩（∁RB）＝（ ）
A．B．{1}C．{﹣1，0}D．
【解答】解：由题可知：A＝{﹣1，0，1}，
∴，即A∩（∁RB）＝{﹣1，0}．
故选：C．
2．（5分）已知x≠0，则“”是“x＞2022”的（ ）条件
A．必要不充分B．充分不必要
C．充分且必要D．既不充分也不必要
【解答】解：“”⇔x＜0或x，
当x＞2022时，成立
故“”是“x＞2022”的必要不充分条件，
故选：A．
3．（5分）已知a，b为非零实数，且a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A．a﹣c＞b﹣cB．ac2＞bc2C．a2＞b2D．
【解答】解：a，b为非零实数，且a＞b，
对于A：a﹣c＞b﹣c，故A正确；
对于B：若c＝0，则ac2＝bc2，故B错误；
对于CD：令a＝1，b＝﹣2，显然不成立，故CD错误；
故选：A．
4．（5分）若偶函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵偶函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上是增函数，
∴函数f（x）在[1，+∞）上是减函数，
则f（2）＜f（）＜f（1），
即f（2）＜f（）＜f（﹣1），
故选：A．
5．（5分）若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．b＞c＞aD．c＞b＞a
【解答】解：∵y在R上是减函数，
∴，
又∵，
∴，
即b＞c＞a，
故选：C．
6．（5分）已知关于x的不等式kx2﹣6kx+k+8＞0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是（ ）
A．0≤k≤1B．0≤k＜1C．k＜0或k＞1D．k≤0或k＞1
【解答】解：关于x的不等式kx2﹣6kx+k+8＞0对任意x∈R恒成立，
当k＝0时，8＞0恒成立；
当k＜0时，由y＝kx2﹣6kx+k+8的开口向下，不等式不恒成立；
当k＞0时，只需Δ＜0，即（﹣6k）2﹣4k（k+8）＜0，解得0＜k＜1．
所以k的取值范围是[0，1）．
故选：B．
7．（5分）函数f（x）的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：f（﹣x）f（x），则f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，C，
当x＞0时，f（x）x为增函数，排除A，
故选：D．
8．（5分）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[﹣0.5]＝﹣1，[1.5]＝1，已知函数（0＜x＜2），则函数y＝[f（x）]的值域为（ ）
A．B．{﹣1，0，1}C．{﹣1，0，1，2}D．{0，1，2}
【解答】解：令t＝2x∈（1，4），则，
由二次函数的图象及性质可知，当t∈（1，4）时，，
∴[f（t）]∈{﹣1，0，1}．
故选：B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知点在幂函数f（x）＝（a﹣1）xb的图象上，则函数f（x）是（ ）
A．奇函数B．偶函数
C．（0，+∞）上的增函数D．（0，+∞）上的减函数
【解答】解：由函数f（x）＝（a﹣1）xb为幂函数可知，a﹣1＝1，则a＝2，所以点为，
代入f（x）＝xb得，，所以b＝﹣1，即．
故函数f（x）为奇函数，且在（0，+∞）上递减．
故选：AD．
（多选）10．（5分）下列选项中p是q的充分不必要条件的是（ ）
A．p：1＜x＜2，q：1≤x≤2
B．p：xy＞1，q：x＞1，y＞1
C．，q：x＜1
D．p：两直线平行，q：内错角相等
【解答】解：对于A，集合（1，2）是集合[1，2]的真子集，所以p是q的充分不必要条件，A正确；
对于B，当x，y＝4时，xy，故由p不能推出q，
反之，由x＞1，y＞1必定可得到xy＞1，所以p是q的必要不充分条件，B不正确．
对于C，由，可得0＜x＜1，集合（0，1）是集合（﹣∞，1）的真子集，
所以p是q的充分不必要条件，C正确；
对于D，根据平面几何中两条直线平行的判定定理和性质定理，
可知”两直线平行“是”内错角相等“的充要条件，D不正确．
故选：AC．
（多选）11．（5分）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．f（﹣2）＝4B．若f（m）＝9，则m＝±3
C．f（x）是偶函数D．f（x）在R上单调递减
【解答】解：∵，
∴f（﹣2）＝4，故A正确；
若f（m）＝9，则m2＝9且m≤0，解得m＝﹣3，故B错误；
作出f（x）的图象如下：
由图可知，f（x）的图象不关于y轴对称，不是偶函数，且在R上单调递减，故C错误，D正确；
故选：AD．
（多选）12．（5分）下列选项正确的是（ ）
A．对的最小值为1
B．若ab＜0，则的最大值为﹣2
C．若a＞0，b＞0，则
D．若正实数x，y满足x+2y＝1，则的最小值为8
【解答】解：对于A，若x＜﹣1，则x+1＜0，所以x0，所以x的最小值不是1，故A错误，
对于B，∵ab＜0，∴0，0，
∴[（）+（）]2，当且仅当，即a＝﹣b时，等号成立，故B正确，
对于C，∵a＞0，b＞0，∴，当且仅当a＝b时，等号成立，故C错误，
对于D，∵x＞0，y＞0，且x+2y＝1，
∴（x+2y）（）＝44+28，当且仅当，即x，y时，等号成立，
∴的最小值为8，故D正确，
故选：BD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）若命题p：∃x∈R，x2﹣2x≥﹣1，则p的否定为 ∀x∈R，x2﹣2x＜﹣1 ．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题p：∃x∈R，x2﹣2x≥﹣1，则p的否定为：∀x∈R，x2﹣2x＜﹣1．
故答案为：∀x∈R，x2﹣2x＜﹣1．
14．（5分） 18 ．
【解答】解：．
故答案为：18．
15．（5分）若在区间（1，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是 （﹣∞，﹣1） ．
【解答】解：f（x）a，
∵在区间（1，+∞）上是增函数，
∴a+1＜0，
∴a＜﹣1，
即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．
故答案为：（﹣∞，﹣1）．
16．（5分）已知x＞0，y＞0且1，若x+y＞m2+8m恒成立，则实数m的取值范围是 （﹣9，1） ．
【解答】解：因为x＞0，y＞0，且1，
所以x+y＝（x+y）（）＝59，当且仅当y＝2x时取等号，
要使x+y＞m2+8m恒成立，即9＞m2+8m恒成立，
解得﹣9＜m＜1，
即实数m的取值范围是（﹣9，1），
故答案为：（﹣9，1）．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤．
17．（10分）在①A∩B＝A，②A∩（∁RB）＝A，③A∩B＝∅，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求解下列问题：
已知集合A＝{x|a﹣1＜x＜2a+3}，B＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}．
（1）当a＝2时，求A∪B；
（2）若_____，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝2时，集合A＝{x|1＜x＜7}，集合B＝{x|﹣2≤x≤4}，
所以A∪B＝{x|﹣2≤x＜7}；
（2）选择①：则A⊆B，当A＝∅时，a﹣1≥2a+3，解得a≤﹣4，
当A≠∅时，只需，解得﹣1，
综上可得实数a的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪．
选择②：A∩（∁RB）＝A，则A∩B＝∅，
所以当A＝∅时，a﹣1≥2a+3，解得a≤﹣4，
当A≠∅时，a﹣1＜2a+3，则a＞﹣4，
要使A∩B＝∅，只需a﹣1≥4或2a+3≤﹣3，解得a≥5或﹣4＜a≤﹣3，
综上可得实数a的取值范围为[5，+∞）∪（﹣∞，﹣3]．
选择③：解题过程同选择②相同．
18．（12分）（1）已知x＞3，求的最小值，并求取到最小值时x的值；
（2）已知0＜x＜1，求x（4﹣3x）的最大值．
【解答】解：（1）因为x＞3，所以x﹣3＞0，
故：，
当且仅当即x＝5时等号成立，
故当x＝5时，y的最小值为7．
（2）因为0＜x＜1，故4﹣3x＞0，
所以，
当且仅当3x＝4﹣3x即时取等号，此时x（4﹣3x）取得最大值．
19．（12分）已知关于x的不等式ax2+（a﹣1）x﹣1＞0．
（1）若此不等式的解集为，求实数a的值；
（2）若a∈R，解这个关于x的不等式；
【解答】解：（1）不等式ax2+（a﹣1）x﹣1＞0可化为（ax﹣1）（x+1）＞0，
因为不等式的解集为，
可得﹣1，为方程（ax﹣1）（x+1）＝0（a＜0）的两根，
可得，解得：a＝﹣2．
（2）当a＝0时，原不等式即为x+1＜0，解得x＜﹣1，解集为{x|x＜﹣1}；
当a＞0时，原不等式化为，解集为；
当a＜0时，原不等式化为，
①若a＝﹣1，可得（x+1）2＜0，解集为∅；
②若a＜﹣1，，可得解集为；
③若﹣1＜a＜0，，可得解集为．
故：a＝0时，解集为{x|x＜﹣1}；
a＞0时，解集为；
a＝﹣1时，解集为∅；
a＜﹣1时，解集为；
﹣1＜a＜0时，解集为．
20．（12分）已知函数y＝f（x）（x∈R）是偶函数．当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间[a，a+2]上单调，求实数a的取值范围；
（3）当a＞﹣1时，记f（x）在区间[a，a+2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式．
【解答】解：（1）设x＜0，则﹣x＞0，
因为x≥0时，f（x）＝x2﹣2x，且f（x）为偶函数，
所以f（﹣x）＝（﹣x）2﹣2（﹣x）＝x2+2x＝f（x），
所以f（x）；
（2）由（1）可得其图象如图所示，
因为f（x）在区间[a，a+2]上单调，
由图象可知，a+2≤﹣1或a≥1，
所以a的取值范围（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）；
（3）当﹣1＜a≤1时，1＜a+2≤3，此时g（a）＝f（x）min＝f（1）＝12﹣2×1＝﹣1，
当a＞1时，f（x）在区间[a，a+2]上单调递增，此时g（a）＝f（x）min＝f（a）＝a2﹣2a，
所以g（a）．
21．（12分）“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进，把二氧化碳化为某种化工产品，经测算，该处理成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似表示为y＝x2﹣40x+1600，30≤x≤50，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品．
（1）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？
（2）判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？
【解答】解：（1）由题意可得，二氧化碳的平均处理成本P（x），30≤x≤50，
当30≤x≤50时，P（x） ，
当且仅当，即x＝40等号成立，
故P（x）取得最小值为P（40）＝40，
故当处理量为40吨时，每吨的平均处理成本最少．
（2）当30≤x≤50时，
该工厂获利S，
则S＝20x﹣（x2﹣40x+1600）＝﹣（x﹣30）2﹣700，
当30≤x≤50时，Smax＝﹣700＜0，
故该工厂不会获利，国家至少需要补贴700万元，该工厂不会亏损．
22．（12分）已知函数是定义域上的奇函数，且f（﹣1）＝﹣2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若方程f（x）＝m在（0，+∞）上有两个不同的根，求实数m的取值范围；
（3）令，若对都有，求实数t的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（﹣1）＝﹣2，又f（x）是奇函数，
∴f（1）＝2，即，解得，
∴，
经验证，函数满足定义域{x|x≠0}，成立，
∴；
（2）方程f（x）＝m在（0，+∞）上有两个不同的根，
即x2﹣mx+1＝0在（0，+∞）上有两个不相等的实数根，
需满足，解得m＞2．
∴实数m的取值范围为（2，+∞）；
（3）有题意知，
令，
因为函数在上单调递减，在[1，2]上单调递增，
∴，
∵函数y＝z2﹣2tz﹣2的对称轴为z＝t＜0，
∴函数y＝z2﹣2tz﹣2在上单调递增．
当z＝2时，ymin＝﹣4t+2；当时，；
即h（x）min＝﹣4t+2，，
又∵对都有恒成立，
∴，
即，
解得，又∵t＜0，
∴t的取值范围是[，0）．
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