2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期中数学试卷，共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）函数f（x）的定义域是（ ）
A．RB．[﹣1，+∞）
C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．[﹣1，0）∪（0，+∞）
2．（3分）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，4，6}，集合B＝{1，5}，则A∩（∁UB）＝（ ）
A．{2，4}B．{2，4，6}C．{2，3，4，5}D．{1，2，3，4，5}
3．（3分）已知函数若f（x0）＝5，则x0的取值集合是（ ）
A．{﹣2}B．C．{﹣2，2}D．
4．（3分）函数f（x）为R上奇函数，且，则当x＜0时，f（x）＝（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）下列命题中为假命题的是（ ）
A．∃x∈R，x2＜1
B．a2＝b2是a＝b的必要不充分条件
C．集合{（x，y）|y＝x2}与集合{y|y＝x2}表示同一集合
D．设全集为R，若A⊆B，则（∁RB）⊆（∁RA）
6．（3分）函数y＝x的值域是（ ）
A．[0，+∞）B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．[，+∞）
7．（3分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，则对任意实数a、b，“|a|＞|b|”是“f（a）＞f（b）”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．（3分）已知a＞0，且a2﹣b+4＝0，则（ ）
A．有最大值B．有最大值
C．有最小值D．有最小值
二、多选题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分．在每小题给出的四个项中，有多项符合要求，全部选对得3分，选对但不全的得1分，有选错的得0分．
（多选）9．（3分）下列函数中为奇函数的有（ ）
A．f（x）＝x2+1B．C．f（x）＝2xD．f（x）＝|x|
（多选）10．（3分）小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b（a＜b），其全程的平均速度为v，则（ ）
A．B．C．D．
（多选）11．（3分）函数f（x）＝ax2+2x+1与函数g（x）＝xa在同一个坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
（多选）12．（3分）定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为P（A），用n（A）表示有限集A的元素个数，则下列命题中正确的是（ ）
A．对于任意集合A，都有A∈P（A）
B．若n（A）﹣n（B）＝1，则n（P（A））＝2×n（P（B））
C．若A∩B＝∅，则P（A）∩P（B）＝∅
D．若A⊆B，则P（A）⊆P（B）
三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分．
13．（3分）函数f（x）＝3﹣x2的单调减区间是 ．
14．（3分）函数f（x）在区间[2，4]上的最小值为 ．
15．（3分）已知幂函数f（x）＝x2m+1过点（3，27），若f（k2+3）+f（9﹣8k）＜0，则实数k的取值范围是 ．
16．（3分）若区间[a，b]满足：①函数f（x）在[a，b]上有定义且单调；②函数f（x）在[a，b]上的值域也为[a，b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的共鸣区间．请完成：
（1）写出函数的一个共鸣区间 ；
（2）若函数存在共鸣区间，则实数k的取值范围是 ．
四、解答题：本大共6小题，满分52分．解答应写出文字记明、证明过程或演算过程．
17．（8分）（1）化简；
（2）若，求x2+x﹣2的值．
18．（8分）已知集合M＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，N＝{x|x﹣a＞0}．
（1）当a＝2时，求M∩N，M∪N；
（2）若x∈N是x∈M的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
19．（8分）已知函数．
（1）求f（1），f（2）的值；
（2）设a＞b＞1，试比较f（a），f（b）的大小，并说明理由；
（3）若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围．
20．（8分）已知二次函数f（x）＝x2﹣mx+m﹣1（m∈R）．
（1）若f（x）是偶函数，求m的值；
（2）函数在区间[﹣1，1]上的最小值记为g（m），求g（m）的最大值．
21．（10分）提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度v（单位：千米/小时）和车流密度x（单位：辆/千米）满足关系式：．
研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时．
（1）若车流速度v不小于40千米/小时，求车流密度x的取值范围；
（2）隧道内的车流量y（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y＝x⋅v，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．
22．（10分）设函数y＝f（x）与函数y＝f（f（x））的定义域的交集为D，集合M是由所有具有性质：“对任意的x∈D，都有f（f（x））＝x”的函数f（x）组成的集合．
（1）判断函数f（x）＝3x﹣2，g（x）是不是集合M中的元素？并说明理由；
（2）设函数h（x）＝kx+a（k≠1），φ（x）＝x，且h（x）∈M，若对任意x1∈（﹣∞，1]，总存在x2∈[1，+∞），使h（x1）＝φ（x2）成立，求实数a的取值范围．
2021-2022学年广东省广州市华南师大附中高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本大共8小，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．（3分）函数f（x）的定义域是（ ）
A．RB．[﹣1，+∞）
C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．[﹣1，0）∪（0，+∞）
【解答】解：函数f（x）中，
令，
解得，
所以函数f（x）的定义域是[﹣1，0）∪（0，+∞）．
故选：D．
2．（3分）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，4，6}，集合B＝{1，5}，则A∩（∁UB）＝（ ）
A．{2，4}B．{2，4，6}C．{2，3，4，5}D．{1，2，3，4，5}
【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，4，6}，集合B＝{1，5}，
∴∁UB＝{2，3，4，6}，
则A∩（∁UB）＝{2，4，6}．
故选：B．
3．（3分）已知函数若f（x0）＝5，则x0的取值集合是（ ）
A．{﹣2}B．C．{﹣2，2}D．
【解答】解：根据题意，函数若f（x0）＝5，
当x0≤0时，则f（x0）＝（x0）2+1＝5，解可得x0＝±2，
又由x0≤0，则x0＝﹣2，
当x0＞0时，则f（x0）＝﹣2x0＝5，解可得x0，
综合可得：x0＝﹣2，则x0的取值集合是{﹣2}；
故选：A．
4．（3分）函数f（x）为R上奇函数，且，则当x＜0时，f（x）＝（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：函数f（x）为R上奇函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x），
又，
则当x＜0时，﹣x＞0，
f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（1）1．
即x＜0时，f（x）1．
故选：B．
5．（3分）下列命题中为假命题的是（ ）
A．∃x∈R，x2＜1
B．a2＝b2是a＝b的必要不充分条件
C．集合{（x，y）|y＝x2}与集合{y|y＝x2}表示同一集合
D．设全集为R，若A⊆B，则（∁RB）⊆（∁RA）
【解答】解：A．∃x∈R，取x，则x21，因此是真命题；
B．由a＝b⇒a2＝b2，反之不成立，例如取a＝1，b＝﹣1，满足a2＝b2，但是a≠b，因此a2＝b2是a＝b的必要不充分条件，因此是真命题；
C．集合{（x，y）|y＝x2}表示点的集合，而集合{y|y＝x2}表示数的集合，它们不表示表示同一集合，因此是假命题；
D．全集为R，若A⊆B，则（∁RB）⊆（∁RA），是真命题．
故选：C．
6．（3分）函数y＝x的值域是（ ）
A．[0，+∞）B．[2，+∞）C．[4，+∞）D．[，+∞）
【解答】解：函数的定义域为[2，+∞），
又函数为单调增函数，
当x＝2时，取得最小值为2．
∴值域是[2，+∞）．
故选：B．
7．（3分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，则对任意实数a、b，“|a|＞|b|”是“f（a）＞f（b）”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，则对任意实数a、b，“|a|＞|b|”是“f（a）＞f（b）”的充要条件，
故选：C．
8．（3分）已知a＞0，且a2﹣b+4＝0，则（ ）
A．有最大值B．有最大值
C．有最小值D．有最小值
【解答】解：由a2﹣b+4＝0，得b＝a2+4，则a+b＝a2+a+4，即，
又a＞0，所以33333，
当且仅当a，即a＝2，b＝8时等号成立，所以有最小值，无最大值，
故选：D．
二、多选题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分．在每小题给出的四个项中，有多项符合要求，全部选对得3分，选对但不全的得1分，有选错的得0分．
（多选）9．（3分）下列函数中为奇函数的有（ ）
A．f（x）＝x2+1B．C．f（x）＝2xD．f（x）＝|x|
【解答】解：由f（x）＝x2+1为偶函数，故A不符题意；
由f（x）为奇函数，故B符合题意；
由f（x）＝2x为奇函数，故C符合题意；
由f（x）＝|x|为偶函数，故D不符题意．
故选：BC．
（多选）10．（3分）小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b（a＜b），其全程的平均速度为v，则（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根据题意，设甲、乙两地之间的距离为s，则全程所需的时间为，
则全程的平均速度，D正确，
又由b＞a＞0，由基本不等式可得，则，
同时，v＞a，
则，A正确，
故选：AD．
（多选）11．（3分）函数f（x）＝ax2+2x+1与函数g（x）＝xa在同一个坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：对于A选项，函数y＝xa正确，可得出a＜0，此时二次函数图象开口向下，对称轴x0，所给图象符合这一特征，故可能是A；不可能是B；
对于选项C，函数y＝xa正确，可得出a＞0，此时二次函数图象开口向上，对称轴x0，所给图象符合这一特征，故可能是C；
对于选项D，函数y＝xa正确，可得出a＞0，此时二次函数图象开口向上，对称轴x0，所给图象符合这一特征，故可能是D；
故选：ACD．
（多选）12．（3分）定义一个集合A的所有子集组成的集合叫做集合A的幂集，记为P（A），用n（A）表示有限集A的元素个数，则下列命题中正确的是（ ）
A．对于任意集合A，都有A∈P（A）
B．若n（A）﹣n（B）＝1，则n（P（A））＝2×n（P（B））
C．若A∩B＝∅，则P（A）∩P（B）＝∅
D．若A⊆B，则P（A）⊆P（B）
【解答】解：由P（A）的定义可知A正确，D正确，
若A∩B＝∅，则P（A）∩P（B）＝{∅}，故C错误，
若n（A）﹣n（B）＝1，即A中元素比B中元素多1个，则n（P（A））＝2n（P（B）），故B正确，
故选：ABD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，满分12分．
13．（3分）函数f（x）＝3﹣x2的单调减区间是 （0，+∞） ．
【解答】解：根据二次函数的性质可知，f（x）＝3﹣x2的单调减区间[0，+∞）．
故答案为：[0，+∞）．
14．（3分）函数f（x）在区间[2，4]上的最小值为 1 ．
【解答】解：∵f（x），
∴函数f（x）在[2，4]上单调递增，
则函数f（x）在区间[2，4]上的最小值为f（2）．
故答案为：1．
15．（3分）已知幂函数f（x）＝x2m+1过点（3，27），若f（k2+3）+f（9﹣8k）＜0，则实数k的取值范围是 （2，6） ．
【解答】解：∵幂函数f（x）＝x2m+1过点（3，27），∴32m+1＝33，
∴m＝1，
幂函数f（x）＝x3，显然f（x）是奇函数，且在R上单调递增．
若f（k2+3）+f（9﹣8k）＜0，则不等式即 f（k2+3）＜f（8k﹣9），
∴k2+3＜8k﹣9，∴2＜k＜6，
故答案为：（2，6）．
16．（3分）若区间[a，b]满足：①函数f（x）在[a，b]上有定义且单调；②函数f（x）在[a，b]上的值域也为[a，b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的共鸣区间．请完成：
（1）写出函数的一个共鸣区间 [0，1] ；
（2）若函数存在共鸣区间，则实数k的取值范围是 [1，2） ．
【解答】解：（1）∵，
∴f（0）＝0，f（1）＝1，且函数f（x）在[0，1]上单调递增，
故函数的一个共鸣区间为[0，1]；
（2）函数在其定义域[﹣1，+∞）是单调递增，
∵函数存在共鸣区间，
∴2k＝x在[﹣1，+∞）有两个不同的解，
即（1）2＝2﹣k在[﹣1，+∞）有两个不同的解，
故1或1，
故01，
故1≤k＜2；
故答案为：（1）[0，1]，（2）[1，2）．
四、解答题：本大共6小题，满分52分．解答应写出文字记明、证明过程或演算过程．
17．（8分）（1）化简；
（2）若，求x2+x﹣2的值．
【解答】解：（1）原式11．
（2）∵，
∴x+2+x﹣1＝6，∴x+x﹣1＝4，
∴（x+x﹣1）2＝x2+2+x﹣2＝16，
∴x2+x﹣2＝14．
18．（8分）已知集合M＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，N＝{x|x﹣a＞0}．
（1）当a＝2时，求M∩N，M∪N；
（2）若x∈N是x∈M的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【解答】解：M＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|（x+2）（x﹣3）＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，N＝{x|x＞a}，
（1）当a＝2时，N＝{x|x﹣2＞0}＝{x|x＞2}，
则M∩N＝{x|2＜x＜3}，M∪N＝{x|x＞﹣2}；
（2）因为x∈N是x∈M的必要不充分条件，所以M⫋N，则a≤﹣2．
19．（8分）已知函数．
（1）求f（1），f（2）的值；
（2）设a＞b＞1，试比较f（a），f（b）的大小，并说明理由；
（3）若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）函数，
所以f（1）＝1+2＝3，f（2）＝4+1＝5；
（2）f（a）﹣f（b）（a﹣b）（a+b），
因为a＞b＞1，
则a﹣b＞0，a+b＞2，，
所以，
则f（a）﹣f（b）＞0，
所以f（a）＞f（b）；
（3）因为f（x﹣1），
所以不等式恒成立，
等价于m恒成立，
整理可得x2﹣4x+3﹣m≥0恒成立，
所以Δ＝（﹣4）2﹣4（3﹣m）≤0，解得m≤﹣1，
所以实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．
20．（8分）已知二次函数f（x）＝x2﹣mx+m﹣1（m∈R）．
（1）若f（x）是偶函数，求m的值；
（2）函数在区间[﹣1，1]上的最小值记为g（m），求g（m）的最大值．
【解答】解：（1）二次函数f（x）＝x2﹣mx+m﹣1（m∈R），
若f（x）是偶函数，可得f（x）的对称轴为y轴，
即有0，解得m＝0；
（2）f（x）的对称轴为x，
当1，即m≤﹣2时，f（x）在[﹣1，1]上递增，可得g（m）＝f（﹣1）＝2m；
当﹣11，即﹣2＜m＜2时，f（x）的最小值为g（m）＝f（）＝m﹣1；
当1，即m≥2时，f（x）在[﹣1，1]上递减，可得g（m）＝f（1）＝0．
所以g（m），
当m≤﹣2时，g（m）≤﹣4；当﹣2＜m＜2时，g（m）∈（﹣4，0）；
当m≥2时，g（m）＝0．
综上可得，g（m）的最大值为0．
21．（10分）提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度v（单位：千米/小时）和车流密度x（单位：辆/千米）满足关系式：．
研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时．
（1）若车流速度v不小于40千米/小时，求车流密度x的取值范围；
（2）隧道内的车流量y（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足y＝x⋅v，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）．
【解答】解：（1）由题意，当x＝120（辆/千米）时，v＝0（千米/小时），
代入，得0＝60，解得k＝1200．
∴，
当0＜x≤20时，v＝50≥40，符合题意；
当20＜x≤120时，令6040，解得x≤80，
∴20＜x≤80．
综上，0＜x≤80．
故车流速度v不小于40千米/小时，车流密度x的取值范围为（0，80]；
（2）由题意得，，
当0＜x≤20时，y＝50x为增函数，
∴y≤20×50＝1000，等号当且仅当x＝20时成立；
当20＜x≤120时，
y

3250．
当且仅当140﹣x，即x＝140﹣2087∈（20，120]时成立，
综上，y的最大值约为3250，此时x约为87．
故隧道内车流量的最大值为3250辆/小时，车流量最大时的车流密度87辆/千米．
22．（10分）设函数y＝f（x）与函数y＝f（f（x））的定义域的交集为D，集合M是由所有具有性质：“对任意的x∈D，都有f（f（x））＝x”的函数f（x）组成的集合．
（1）判断函数f（x）＝3x﹣2，g（x）是不是集合M中的元素？并说明理由；
（2）设函数h（x）＝kx+a（k≠1），φ（x）＝x，且h（x）∈M，若对任意x1∈（﹣∞，1]，总存在x2∈[1，+∞），使h（x1）＝φ（x2）成立，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）f（x）不是集合M的元素，g（x）是集合M的元素．理由如下：
因为对任意的x∈R，f（f（x））＝3（3x﹣2）﹣2＝9x﹣8≠x，
所以f（x）＝3x﹣2∉M；
因为对于任意的x∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），g（g（x）），
所以g（x）∈M．
（2）因为h（x）∈M，且h（x）＝kx+a（k≠1），
则h（h（x））＝k（kx+a）+a＝x，
即，解得k＝1，a＝0（舍）或k＝﹣1，a∈R，
故h（x）＝﹣x+a，
当x≤1时，h（x）≥a﹣1，则h（x），
则函数h（x）的值域为[，+∞），
因为对任意x1∈（﹣∞，1]，总存在x2∈[1，+∞），使h（x1）＝φ（x2）成立，、
则[，+∞）为φ（x）在[1，+∞）上值域的子集，
φ（x）＝x，
当a≤1时，φ（x）在[1，+∞）上单调递增，
所以φ（x）≥a+1，即φ（x）在[1，+∞）上的值域为[a+1，+∞），
所以[，+∞）⊆[a+1，+∞），
故，解得a≤﹣3；
当a＞1时，φ（x）在[1，]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，
所以φ（x）≥φ（）＝2，
则φ（x）在[1，+∞）上的值域为[2，+∞），
所以[，+∞）⊆[2，+∞），
故，解得．
综上所述，实数a的取值范围为．
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