第06讲 事件的相互独立性、条件概率、全概率及贝叶斯公式（5类核心考点精讲精练）-备战2024年高考数学一轮复习（新教材新高考）

2024高考数学一轮复习
第06讲 事件的相互独立性、条件概率、全概率及贝叶斯公式（核心考点精讲精练）

1. 4年真题考点分布
4年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2023年新I卷，第21题,12分
利用全概率公式求概率
求离散型随机变量的均值
2023年新Ⅱ卷，第12题,5分
独立事件的乘法公式
独立重复试验的概率问题
利用互斥事件的概率公式求概率
2023年全国甲卷（理），
第6题,5分
计算条件概率
无
2022年新I卷，第20题,12分
计算条件概率
独立性检验解决实际问题
2022年新Ⅱ卷，第19题,12分
计算条件概率
频率分布直方图的实际应用
由频率分布直方图估计平均数
利用对立事件的概率公式求概率
2021年新I卷，第8题,5分
独立事件的判断
无
2020年全国甲卷（理），
第19题,12分
独立事件的实际应用及概率
无

2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度中等或偏难，分值为5-12分
【备考策略】1.理解、掌握事件的相互独立性关系及其辨析
2.会独立事件的乘法公式计算
3.会条件概率的计算
4.会全概率及贝叶斯概率的计算
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般结合条件概率、全概率及贝叶斯概率综合考查，需重点强化复习




知识讲解
1. 事件的相互独立性
(1)定义：设A，B为两个事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
(2)性质：
①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)．
②如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立．
互斥事件强调两事件不可能同时发生，即P(AB)＝0，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．　

2. 条件概率
条件概率的定义
条件概率的性质
已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)．
当P(B)>0时，我们有P(A|B)＝.(其中，A∩B也可以记成AB)
类似地，当P(A)>0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A)＝
(1)0≤P(B|A)≤1，
(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)
P(B|A)与P(A|B)易混淆为等同
前者是在A发生的条件下B发生的概率，后者是在B发生的条件下A发生的概率．　

3. 条件概率的三种求法
定义法
先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A)
基本事件法
借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝
缩样法
缩小样本空间的方法，就是去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解，它能化繁为简


4. 全概率公式
一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝
，此公式为全概率公式.
（1）计算条件概率除了应用公式P(B|A)＝外，还可以利用缩减公式法，即P(B|A)＝，其中n(A)为事件A包含的样本点数，n(AB)为事件AB包含的样本点数.
（2）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率的求解问题，转化为了在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题.

5. 贝叶斯公式
一般地,设是一组两两互斥的事件,有且,则对任意的事件有


考点一、独立事件的判断

1．（2023·全国·高三专题练习）某家庭有三个孩子，假定生男孩和生女孩是等可能且相互独立的．记事件A：该家庭既有男孩又有女孩；事件：该家庭最多有一个男孩；事件：该家庭最多有一个女孩；则下列说法中正确的是（    ）
A．事件与事件互斥但不对立 B．事件A与事件互斥且对立
C．事件与事件相互独立 D．事件A与事件相互独立
【答案】D
【分析】先列出生3个小孩包含的基本事件数及事件A，事件B，事件C，包含的基本事件数，再利用互斥，对立和独立事件所满足的关系，对四个选项一一作出判断.
【详解】生3个小孩的总事件包含（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女），共8个基本事件，
事件A包含（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），共6个基本事件，
事件B包含（男，女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女），共4个基本事件，
事件C包含（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），共4个基本事件，
A选项，因为，，所以事件与事件互斥且对立，A错误；
B选项，因为，所以事件A与事件B不互斥，不对立，B错误；
C选项，因为，所以，又，故，故事件与事件不独立，C错误；
D选项，因为有3个基本事件，所以，又，
所以，D正确.
故选：D
2．（2023秋·河南·高三校联考阶段练习）现有同副牌中的5张数字不同的扑克牌，其中红桃1张、黑桃2张、梅花2张，从中任取一张，看后放回，再任取一张．甲表示事件“第一次取得黑桃扑克牌”，乙表示事件“第二次取得梅花扑克牌”，丙表示事件“两次取得相同花色的扑克牌”，丁表示事件“两次取得不同花色的扑克牌”，则（    ）
A．乙与丙相互独立 B．乙与丁相互独立
C．甲与丙相互独立 D．甲与乙相互独立
【答案】D
【分析】根据题意，求得事件甲、乙、丙、丁的概率，结合相互独立事件的概念及判定方法，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意得，事件甲的概率，事件乙的概率，
有放回地取扑克牌两次的试验的基本事件总数是，显然事件丙与丁是对立事件，
两次取出的扑克牌花色相同包含的基本事件数为，
则事件丙的概率，所以事件丁的概率，
对于A中，事件乙与丙同时发生所包含的基本事件数为，其概率，
所以乙与丙不相互独立，所以A错误；
对于B中，事件乙与丁同时发生所包含的基本事件数为，其概率，
所以乙与丁不相互独立，所以B错误；
对于C中，事件甲与丙同时发生所包含的基本事件数为，其概率，
所以甲与丙不相互独立，所以C错误；
对于D中，事件甲与乙同时发生所包含的基本事件数为，其概率，
所以甲与乙相互独立，D正确．
故选：D．
3．（2023春·广东深圳·高三深圳市福田区福田中学校考阶段练习）（多选）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件 “第一次出现2点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为奇数”，“两次点数之和为9”，则下列说法正确的有（    ）
A．与不互斥且相互独立 B．与互斥且不相互独立
C．与互斥且不相互独立 D．与不互斥且相互独立
【答案】ABD
【分析】根据事件的互斥与独立的定义对选项一一验证即可.
【详解】对于A：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次与第二次的结果互不影响，即与相互独立；
第一次出现2点，第二次的点数小于5点可以同时发生，与不互斥；故A正确；
对于B：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果会影响两次点数之和，即与不相互独立；
第一次出现2点，则两次点数之和最大为8，即与不能同时发生，即与互斥，故B正确；
对于C：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第二次的结果会影响两次点数之和，即与不相互独立；
若第一次的点数为5，第二次的点数4点，则两次点数之和为9，即与可以同时发生，即与不互斥，故C错误；
对于D：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果不会影响两次点数之和的奇偶，即与相互独立；
若第一次的点数为2，第二次的点数3点，则两次点数之和为5是奇数，即与可以同时发生，即与不互斥，故D正确.
故选：ABD.
4．（2023·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）（多选）口袋里装有2红，2白共4个形状相同的小球，从中不放回的依次取出两个球，事件“取出的两球同色”，事件“第一次取出的是红球”，事件“第二次取出的是红球”，事件“取出的两球不同色”，下列判断中正确的（    ）
A．与互为对立 B．与互斥
C．与相互独立 D．与相互独立
【答案】ACD
【分析】根据对立事件、互斥事件、相互独立事件的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】先编号：红球为，白球为，
不放回依次取出两个，基本事件有，共种，
事件“”；
事件“”；
事件“”；
事件“”.
A选项，，所以与互为对立事件；
B选项，，所以与不是互斥事件；
C选项，事件“”，
所以，
所以与相互独立，所以C选项正确.
D选项，事件“”，
，
所以与相互独立，所以D选项正确.
故选：ACD


1．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）有6个大小相同的小球，其中1个黑色，2个蓝色，3个红色．采用放回方式从中随机取2次球，每次取1个球，甲表示事件“第一次取红球”，乙表示事件“第二次取蓝球”，丙表示事件“两次取出不同颜色的球”，丁表示事件“与两次取出相同颜色的球”，则（    ）
A．甲与乙相互独立 B．甲与丙相互独立
C．乙与丙相互独立 D．乙与丁相互独立
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出事件甲、乙、丙、丁的概率，再利用相互独立事件的定义判断作答.
【详解】依题意，事件甲的概率，事件乙的概率，有放回取球两次的试验的基本事件总数是，
显然事件丙与丁是对立事件，两次取出的球颜色相同含有的基本事件数为，
事件丙的概率，事件丁的概率，
对于A，事件甲与乙同时发生所含的基本事件数为6，其概率，甲与乙相互独立，A正确；
对于B，事件甲与丙同时发生所含的基本事件数为9，其概率，甲与丙不独立，B错误；
对于C，事件乙与丙同时发生所含的基本事件数为8，其概率，乙与丙不独立，C错误；
对于D，事件乙与丁同时发生所含的基本事件数为4，其概率，乙与丁不独立，D错误.
故选：A
2．（2023·安徽·合肥一中校联考模拟预测）已知A，B，C是三个随机事件，“A，B，C两两独立”是“”的（    ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】D
【分析】举特例验证即可.
【详解】解析：一方面，考虑含有等可能的样本点，.
则，故两两独立，但，故此时，不成立.
另一方面，考虑含有等可能的样本点，.
则
，故不独立，也即两两独立不成立.
综上，“两两独立”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
3．（2023·云南·高三校联考阶段练习）一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，A表示事件“第一次向上一面的数字是1”，B表示事件“第二次向上一面的数字是2”，C表示事件“两次向上一面的数字之和是7”，D表示事件“两次向上一面的数字之和是8”，则（    ）
A．C与D相互独立 B．A与D相互独立
C．B与D相互独立 D．A与C相互独立
【答案】D
【分析】根据事件相互独立的定义判断.
【详解】由题意知，
，所以C与D不相互独立，
，所以A与D不相互独立，
，所以B与D不相互独立，
，所以A与C相互独立，
故选：D
【点睛】方法点睛：判断事件A与B是否相互独立，根据事件相互独立的定义关键看是否成立.

4．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）（多选）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，事件A表示“第一次取出的球的数字是1”，事件B表示“第二次取出的球的数字是偶数”，事件C表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，事件D表示“两次取出的球的数字之和是奇数”，则（    ）
A．A与B互斥 B．C与D对立
C．B与C相互独立 D．B与D相互独立
【答案】BCD
【分析】利用列举法列出所有可能结果，再根据互斥事件及相互独立事件的概念判断即可.
【详解】设采用不放回方式从中任意摸球两次，每次摸出一个球，
全部的基本事件有：，，，，，，，，，
，，共个，
事件发生包含的基本事件有：，，有个，
事件发生包含的基本事件有：，，，，，有个，
事件发生包含的基本事件：，，，有个，
事件发生包含的基本事件：，，，，，，，有个，
显然当出现，时事件、同时发生，故事件与不互斥，故A错误；
事件与不可能同时发生，即事件与互斥，又事件与包含所有的结果，
所以C与D对立，故B正确；
又，，，所以，
所以事件与相互独立，故C正确；
又，，，所以，
所以事件与相互独立，故D正确.
故选：BCD.

考点二、独立事件的乘法公式

1．（2023·全国·模拟预测）某老师为了奖励考试成绩优异的同学，在微信群里发了一个拼手气红包.已知甲、乙、丙三人抢到的红包金额超过1元的概率分别为，则这三人中至少有两人抢到的红包超过1元的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据互斥事件的概率加法公式结合独立事件的概率除法公式分析运算.
【详解】三人抢到的红包都超过1元的概率为，
三人中仅有两人抢到的红包超过1元的概率为，
所以三人中至少有两人抢到的红包超过1元的概率为.
故选：A.
2．（2023·江苏镇江·江苏省镇江第一中学校考模拟预测）甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，则甲获得冠军的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】讨论甲获胜时比赛的场次，结合独立事件的概率乘法公式运算求解.
【详解】若比赛两场甲获胜，则概率为；
若比赛三场甲获胜，则概率为；
甲获得冠军的概率.
故选：D.
3．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）甲箱中有2个白球和1个黑球，乙箱中有1个白球和2个黑球．现从甲箱中随机取两个球放入乙箱，然后再从乙箱中任意取出两个球．假设事件“从乙箱中取出的两球都是白球”， “从乙箱中取出的两球都是黑球”， “从乙箱中取出的两球一个是白球一个是黑球”，其对应的概率分别为，，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合独立事件的概率乘法公式，以及互斥事件概率加法和组合数的计算公式，分类讨论，分别求得，结合选项，即可求解.
【详解】当从甲箱子中取出2球为白球时，再从乙箱中任意取出两个白球，可得，
当从甲箱子中取出2球为1个白球和一个黑球时，再从乙箱中任意取出两个白球，
可得，所以；
当从甲箱子中取出2球为白球时，再从乙箱中任意取出两个黑球，可得，
当从甲箱子中取出2球为1个白球和一个黑球时，再从乙箱中任意取出两个黑球，
可得，所以；
当从甲箱子中取出2球为白球时，再从乙箱中任意取出一白一黑球，可得，
当从甲箱子中取出2球为1个白球和一个黑球时，再从乙箱中任意取出一白一黑球，
可得，所以，
综上可得，.
故选：C.
4．（2022·全国·高三专题练习）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（    ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【答案】D
【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率.并对三者进行比较即可解决
【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为，
则此时连胜两盘的概率为
则
；
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为，
则
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为
则
则

即，，
则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；
与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.
故选：D
5．（2023·全国·高三专题练习）（多选）对于一个事件E，用表示事件E中样本点的个数．在一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，D中，，，则（    ）
A．A与D不互斥 B．A与B互为对立 C．A与C相互独立 D．B与C相互独立
【答案】BCD
【分析】利用古典概型相关知识，以及互斥事件，对立事件概率计算公式即可求解.
【详解】对于A：，，
，
与互斥，故A错误；
对于B：
A与B互为对立，故B正确；
对于C：，，
，
，
A与C相互独立，故C正确；
对于D：
,
，
，
又，，
，
B与C相互独立，故D正确；
故选：BCD.
6．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）若三个元件、、按照如图的方式连接成一个系统，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响，当元件正常工作且、中至少有一个正常工作时，系统就正常工作，若元件、正常工作的概率依次为、，且这个系统正常工作的概率为，则元件正常工作的概率为 .
  
【答案】/
【分析】设元件正常工作的概率为，当系统正常工作时，当且仅当正常工作，、中至少有一个正常工作，利用独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式可得出关于的等式，即可解得的值.
【详解】设元件正常工作的概率为，系统正常工作，当且仅当正常工作，、中至少有一个正常工作，
由题意可得，系统正常工作的概率为，解得.
故答案为：.
7．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）为深入学习宣传贯彻党的二十大精神，某校团委举办“强国复兴有我”——党的二十大精神知识竞答活动.某场比赛中，甲、乙、丙三位同学同时回答一道有关二十大精神知识的问题.已知甲同学答对的概率是，甲、丙两位同学都答错的概率是，乙、丙两位同学都答对的概率是.若各同学答题正确与否互不影响.则甲、乙、丙三位同学中至少2位同学答对这道题的概率为 .
【答案】
【分析】设甲同学答对的的事件为A，答错的事件为，乙同学答对的事件为B，答错的事件为，丙乙同学答对的事件为C，答错的事件为，根据题意，由 求得，再由求解.
【详解】解：设甲同学答对的事件为A，答错的事件为，设乙同学答对的事件为B，答错的事件为，乙同学答对的事件为C，答错的事件为，
因为甲同学答对的概率是，甲、丙两位同学都答错的概率是，乙、丙两位同学都答对的概率是，
所以 ，
解得，
所以甲、乙、丙三位同学中至少2位同学答对这道题的概率为:
，
，
故答案为：
8．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙、丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛，第三人旁观，一局结束后，败者下场作为旁观者，原旁观者上场与胜者比赛，按此规则循环下去.若比赛中有人累计获胜3局，则该人获得最终胜利，比赛结束，三人经过抽签决定由甲、乙先上场比赛，丙作为旁观者.根据以往经验，每局比赛中，甲、乙比赛甲胜概率为，乙、丙比赛乙胜概率为，丙、甲比赛丙胜概率为，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局.
(1)比赛完3局时，求甲、乙、丙各旁观1局的概率；
(2)已知比赛进行5局后结束，求甲获得最终胜利的概率.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据独立事件的概率公式进行求解即可；
（2）分析比赛情况，根据和事件的概率公式进行求解即可.
【详解】（1）由题可知，甲、乙、丙各旁观1局的概率即为甲、乙、丙各胜1局的概率.
设甲、乙比赛甲胜，乙、丙比赛乙胜，丙、甲比赛丙胜分别为事件，，，则，，相互独立，
设比赛完3局时，甲、乙、丙各胜1局为事件，则，
则，
所以甲、乙、丙各旁观1局的概率为.
（2）设甲、乙、丙第局比赛获胜分别为事件，，，，
设比赛完5局甲获得最终胜利为事件，则
，
，
，
，
，
，
所以.
所以，已知比赛进行5局后结束，甲获得最终胜利的概率为 .
9．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）杭州2022年第19届亚运会（The 19th Asian Games Hangzhou 2022）将于2023年9月23日至10月8日举办．本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目．同时，在保持40个大项目不变的前提下，增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．
传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军．双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？
这里我们简单研究一下两个赛制．假设四支队伍分别为，其中对阵其他三个队伍获胜概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时同组，同组．
(1)若，在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率分别为多少？
(2)分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？
【答案】(1)；；
(2)淘汰赛制获得冠军概率为，双败赛制获得冠军概率为；双败赛制下，会使得强者拿到冠军概率变大，弱者拿到冠军的概率变低，更加有利于筛选出“强者”，人们“对强者不公平”的质疑是不对的．

【分析】（1）若拿冠军则只需要连赢两场，对于想拿到冠军，首先得战胜，然后战胜中的胜者，然后根据独立事件的乘法公式计算即可；
（2）根据独立事件的乘法公式分别算出在不同赛制下拿冠军的概率，然后作差进行比较.
【详解】（1）记拿到冠军分别为事件淘汰赛赛制下，只需要连赢两场即可拿到冠军，因此，
对于想拿到冠军，首先得战胜，然后战胜中的胜者，
因此．
（2）记两种寒制下获得冠军的概率分别为，则.
而双败赛制下，获得冠军有三种可能性：
（1）直接连赢三局；（2）从胜者组掉入败者组然后杀回总决赛；（3）直接掉入败者组拿到冠军.
因此，，.
则不论哪种赛制下，获得冠军的概率均小于，.
若，双败赛制下，队伍获得冠军的概率更大，其他队伍获得冠军的概率会变小，
若，双败赛制下，以伍获得冠军的概率更小，其他队伍获得冠军的概率会变大，
综上可知：双败赛制下，会使得强者拿到冠军概率变大，弱者拿到冠军的概率变低，更加有利于筛选出“强者”，人们“对强者不公平”的质疑是不对的．


1．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知某口袋中放有大小、质地完全相同的红球和白球各若干个，若有放回地从口袋中每次摸取1个球，连续摸两次，记两次摸到的小球颜色不同的概率为，两次摸到的小球颜色相同的概率为，则（    ）
A． B．
C． D．，大小不确定
【答案】B
【分析】设口袋中有红球个，白球个，根据独立事件的概率公式，分别求得，，结合基本不等式，即可求解.
【详解】设口袋中有红球个，白球个，
则两次摸到的小球颜色不同的概率为，
两次摸到的小球颜色相同的概率为，
因为，可得，当且仅当等号成立，
所以.
故选：B.
2．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）在一段时间内，若甲去参观市博物馆的概率0.6，乙去参观市博物馆的概率为0.5，且甲乙两人各自行动，则在这段时间内，甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是（    ）
A．0.3 B．0.32 C．0.8 D．0.84
【答案】C
【分析】利用对立事件与独立事件的概率公式求解即可.
【详解】依题意，在这段时间内，甲乙都不去参观博物馆的概率为，
所以在这段时间内，甲乙两人至少有一个去参观博物馆的概率是．
故选：C.
3．（2023·河南·校联考二模）某知识问答竞赛需要三人组队参加，比赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，每个阶段比赛中，如果一支队伍中至少有一人通过，则这支队伍通过此阶段.已知甲、乙、丙三人组队参加，若甲通过每个阶段比赛的概率均为，乙通过每个阶段比赛的概率均为，丙通过每个阶段比赛的概率均为，且三人每次通过与否互不影响，则这支队伍进入决赛的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意可得这支队伍通过每个阶段比赛的概率为，利用相互独立事件的概率计算可得出结果.
【详解】“至少有一人通过”的对立事件为“三人全部未通过”，
则这支队伍通过每个阶段比赛的概率为，
所以他们连续通过初赛和复赛的概率为，即进入决赛的概率为.
故选：B
4．（2023·山东烟台·统考二模）（多选）甲、乙两人参加消防安全知识竞赛活动．活动共设三轮，在每轮活动中，甲、乙各回答一题，若一方答对且另一方答错，则答对的一方获胜，否则本轮平局．已知每轮活动中，甲、乙答对的概率分别为和，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮活动也互不影响，则（    ）．
A．每轮活动中，甲获胜的概率为
B．每轮活动中，平局的概率为
C．甲胜一轮乙胜两轮的概率为
D．甲至少获胜两轮的概率为
【答案】ABD
【分析】由事件的相互独立性，计算概率即可判断.
【详解】根据题意可得，甲获胜的概率为：，故A正确；
乙获胜的概率为，
所以平局的概率为，故B正确；
所以3轮活动中，甲胜一轮乙胜两轮的概率为：，故C不正确；
甲至少获胜两次的概率为故D正确.
故选：ABD.
5．（2023·贵州遵义·校考模拟预测）公司要求甲、乙、丙3个人在各自规定的时间内完成布置的任务，已知甲、乙、丙在规定时间内完成任务的概率分别为，，，则3个人中至少2人在规定时间内完成任务的概率为 ．
【答案】/0.4
【分析】由互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式求解．
【详解】3个人中至少2人在规定时间内完成任务，即在规定时间内3 人中恰有2人完成任务或3人都完成任务．概率为．
故答案为：．
6．（2023·安徽合肥·二模）第十九届亚洲运动会将于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行．为了让更多的同学了解亚运会，学校团委举行了“迎亚运，猜谜语”活动．甲、乙两位同学组队代表班级参加此次迷语竞猜活动．比赛共两轮，每人每轮各猜一个谜语．已知甲每轮猜对谜语的概率为，乙每轮猜对谜语的概率为，若甲、乙两人每轮猜对谜语与否互不影响，前后两轮猜对谜语结果也互不影响，则甲、乙两人在此次比赛中共猜对3个谜语的概率为 ．
【答案】
【分析】讨论甲乙猜对的个数情况利用概率公式计算即可.
【详解】甲乙共猜对3个谜语有如下两种情况：
甲猜对一个，乙猜对两个，其概率为：；
或甲猜对两个，乙猜对一个，其概率为：，
故甲、乙两人在此次比赛中共猜对3个谜语的概率为.
故答案为：
7．（2023·内蒙古乌兰察布·统考二模）甲、乙、丙三个学校进行篮球比赛，各出一个代表队，简称甲队、乙队、丙队．约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两个队，另一队轮空；每场比赛的胜队与轮空队进行下一场比赛，负队下一场轮空，直至有一队被淘汰；当一队被淘汰后，剩余的两队继续比赛，直至其中一队被淘汰，另一队最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙两队首先比赛，丙队轮空．设甲队与乙队每场比赛，甲队获胜概率为0.5，甲队与丙队每场比赛，甲队获胜概率为0.6，乙队与丙队每场比赛，乙队获胜概率为0.4．记事件A为甲队输，事件B为乙队输，事件C为丙队输，
(1)写出用A，B，C表示“乙队连胜四场”的事件，并求其概率；
(2)写出用A，B，C表示“比赛四场结束”的事件，并求其概率；
(3)求“需要进行第五场比赛”的概率．
【答案】(1)事件为ACAC，概率为；
(2)事件分别为BCBC，ACAC，ABAB和BABA，概率为；
(3).

【分析】（1）根据给定条件，写出所求事件，再利用相互独立事件的概率公式计算作答.
（2）比赛四场结束的事件是三个互斥事件的和，写出该事件，再利用互斥事件、相互独立事件的概率公式求解作答.
（3）由（2），利用对立事件求出概率作答.
【详解】（1）依题意，， “乙队连胜四场”的事件为ACAC，
所以.
（2）“比赛四场结束”共有三种情况，分别是：“甲队连胜四场”为事件BCBC；
“乙队连胜四场”为事件ACAC；“丙队上场后连胜三场”为事件ABAB和事件BABA，
所以，“比赛四场结束”的概率为

．
（3）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，
所以，需要进行第五场比赛的概率为.
8．（2023·西藏拉萨·统考一模）某足球俱乐部举办新一届足球赛,按比赛规则,进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负,则需进行点球大战.点球大战规则如下:第一阶段,双方各派5名球员轮流罚球,双方各罚一球为一轮,球员每罚进一球则为本方获得1分,未罚进不得分,当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候,比赛即宣告结束,剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样,则进入第二阶段,双方每轮各派一名球员罚球,直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面,则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战,由甲队球员先罚球,甲队每位球员罚进点球的概率均为,乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中,两队进球与否互不影响,各轮结果也互不影响.
(1)求每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率;
(2)若在点球大战的第一阶段,甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分,甲队暂时以2:0领先,求甲队第5个球员需出场罚球的概率.
【答案】(1)
(2)

【分析】(1)每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种:甲、乙均未罚进点球,或甲、乙均罚进点球.
(2) 甲队第5个球员需出场罚球,则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分,即四轮罚球结束时比分可能为2:1或2:2或3:2.
【详解】（1）设每一轮罚球中,甲队球员罚进点球的事件为,未罚进点球的事件为;乙队球员罚进点球的事件为,未罚进点球的事件为.
设每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的事件为C,由题意,得在每一轮罚球中两队打成平局的情况有两种:甲、乙均未罚进点球,或甲、乙均罚进点球,
则,
故每一轮罚球中,甲、乙两队打成平局的概率为.
（2）因为甲队第5个球员需出场罚球,则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分,即四轮罚球结束时比分可能为2:1或2:2或3:2.
①比分为2:1的概率为

.
②比分为2:2的概率为.
③比分为3:2的概率为
.
综上,甲队第5个球员需出场罚球的概率为.

考点三、条件概率的计算

1．（2023·全国·高三专题练习）已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且，，，则的值等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件概率的公式，以及概率的加法公式，可得答案.
【详解】由题意，，由，是互斥事件知，，
所以，
故选：A．
2．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知A，B为互斥事件，事件C满足：，，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据概率加法公式和条件概率的计算公式即可求解.
【详解】因为A，B互斥，所以，
因为，所以，
又因为，所以．
故选：B．
3．（2023·福建龙岩·统考二模）算盘是我国一类重要的计算工具．下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105．现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其它位置珠子不拨动．设事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数大于5050”，则（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合题目条件，分别算出，，然后代入公式，即可得到本题答案.
【详解】千位有1、5两种选择，百位、十位、个位有0、1、5三种选择，事件“表示的四位数为偶数”，要使得表示的四位数为偶数，则末位应该是0，可得，
事件“表示的四位数大于5050”，要使得表示的四位数为偶数且四位数大于5050，则千位是5，百位应该是1或5，个位是0，可得，
故.
故选：A
4．（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校考二模）（多选）为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和道填空题)，不放回地依次随机抽取道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第次抽到选择题”，则下列结论中正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据古典概型概率的求法及条件概率，互斥事件概率求法，可以分别求得各选项.
【详解】,故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，，，故D错误.
故选: ABC
5．（2023·广东揭阳·惠来县第一中学校考模拟预测）（多选）甲、乙、丙、丁四名教师分配到，，三个学校支教，每人分配到一个学校且每个学校至少分配一人.设事件：“甲分配到学校”；事件：“乙分配到学校”，则（    ）
A．事件与互斥 B．
C．事件与相互独立 D．
【答案】BD
【分析】利用互斥事件、相互独立事件的定义判断AC；利用古典概率计算判断B；计算条件概率判断D作答.
【详解】对于A，甲分配到学校的事件与乙分配到学校的事件可以同时发生，即事件与不互斥，A错误；
对于B，甲分配到，，三个学校是等可能的，则，B正确；
对于C，由选项B知，，，显然，
因此事件与相互不独立，C错误；
对于D，由选项BC知，，D正确.
故选：BD
6．（2023·江苏盐城·盐城市伍佑中学校考模拟预测）（多选）记A，B为随机事件，下列说法正确的是（    ）
A．若事件A，B互斥，，，
B．若事件A，B相互独立，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】BC
【分析】对于A，根据互斥事件和对立事件的性质分析判断即可，对于B，根据相互独立事件的性质分析判断，对于CD，根据条件概率的公式和对立事件的性质分析判断.
【详解】
，∴，A错.
，B对.
令，，，∴，
，∴，
，∴，C对.
，D错，
故选：BC.
7．（2023·江苏南通·统考三模）（多选）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式可得.
【详解】对于A：，，
所以，故A错误；
对于B：，，∴，
，故B正确；
对于C：，，∴，故C正确.
对于D：，
，∴，∴，
∴，所以D正确.
故选：BCD.
8．（2023·广西南宁·统考模拟预测）1886年5月1日，芝加哥的二十一万六千余名工人为争取实行八小时工作制而举行大罢工，经过艰苦的流血斗争，终于获得了胜利.为纪念这次伟大的工人运动，1889年7月由恩格斯领导的第二国际在巴黎举行代表大会，会议上宣布将五月一日定为国际劳动节.五一劳动节某单位安排甲、乙、丙3人在5天假期值班，每天只需1人值班，且每人至少值班1天，已知甲在五一长假期间值班2天，则甲连续值班的概率是
【答案】/
【分析】设“甲在五一假期值班两天”，“甲连续值班”，根据题目条件先分别求出，然后由条件概率公式即可求解.
【详解】设“甲在五一假期值班两天”，“甲连续值班”，
因为已知甲在五一长假期间值班2天，
所以丙和乙分别值班一天、两天或两天、一天，
所以五一假期甲乙丙三人值班方案共有种，
又因为甲在五一长假期间连续值班两天，可以是第1，2两天或第2，3两天或第3，4两天或第4，5两天，
所以甲在五一长假期间值班2天且甲连续值班的方案共有种，
所以由条件概率公式得.
故答案为：.
9．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知随机事件A，B，，，，则 .
【答案】
【分析】首先求出，则，则，最后利用对立事件的求法即可得到答案.
【详解】依题意得，所以
故，所以.
故答案为：.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，那么 ．
【答案】/
【分析】根据条件概率公式即可求解.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以.
故答案为：.


1．（2023·湖南娄底·娄底市第三中学校联考三模）甲袋中装有4个白球，2个红球和2个黑球，乙袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.用分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用B表示乙袋取出的球是白球，则（    ）
A．两两不互斥 B．
C．与B是相互独立事件 D．
【答案】B
【分析】对于A，由互斥事件的定义判断，对于B，由条件概率的公式求解即可，对于C，由独立事件的定义判断，对于D，由求解
【详解】对于A，由题意可知，，不可能同时发生，
所以，，两两互斥，所以A不正确；
对于B，由题意可得，
所以，所以B正确；
对于C，因为，，，
所以，所以与B不是相互独立事件，所以C错误；
对于D，由C选项可知D是错误的.
故选：B.
2．（2023·江苏苏州·模拟预测）某校团委组织“喜迎二十大、永远跟党走”主题征文比赛，评审结果显示，获得一、二、三等奖的征文数量之比为，男生的征文获奖数量分别占一、二、三等奖征文总数的，，.现从所有获奖征文中任取一篇，记“取出一等奖的征文”为事件，“取出男生的征文”为事件，“取出女生的征文”为事件，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据获得一、二、三等奖的征文数量比例，可以设出数量，进而表示出获奖总数，再根据男女获一、二、三等奖比例，分别算出获奖数量，对于、用古典概型公式即可判断，对于、用条件概率公式即可判断.
【详解】解：因为获得一、二、三等奖的征文数量之比为，
那么不妨设获得一、二、三等奖的征文数量分别为，，，
则获奖总数为.
因为男生的征文获奖数量分别占一、二、三等奖征文总数的，，，
所以男生的一、二、三等奖征文获奖数量分别为，，，
则女生的一、二、三等奖征文获奖数量分别为，，，
现从所有获奖征文中任取一篇，
记“取出一等奖的征文”为事件，“取出男生的征文”为事件，“取出女生的征文”为事件，
则，，
，所以选项错误.
，所以选项错误.
，所以选项错误.
，所以选项正确.
故选：.
3．（2023秋·广东佛山·高三佛山市顺德区容山中学校考阶段练习）现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（    ）
A．事件A与B相互独立 B．事件A与C为互斥事件
C． D．
【答案】C
【分析】根据条件求出，由互斥事件的定义、相互独立事件的判定和条件概率公式进行逐一判断即可
【详解】对于A，每项比赛至少一位同学参加，则有不同的安排方法，
事件“甲参加跳高比赛”，若跳高比赛安排2人，则有种方法；
若跳高比赛安排1人，则有种方法，所以安排甲参加跳高比赛的不同安排方法共有种，则，同理，
若安排甲、乙同时参加跳高比赛，则跳高比赛安排2人为甲和乙，跳远、投铅球比赛各安排1人，有种不同的安排方法，所以，
因为，事件A与B不相互独立故A错误；
对于B，在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件，事件A与C可以同时发生，故事件A与C不是互斥事件，故B错误；
对于C，在安排甲参加跳高比赛的同时安排乙参加跳远比赛的不同安排方法有种，所以，所以，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：C
4．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）（多选）设甲袋中有3个红球和4个白球，乙袋中有1个红球和2个白球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，记事件A＝“从甲袋中任取1球是红球”，记事件B＝“从乙袋中任取2球全是白球”，则（    ）
A．事件A与事件B相互独立 B．
C． D．
【答案】CD
【分析】由古典概型概率计算公式，以及条件概率公式分项求解判断即可.
【详解】现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球可知：
从甲袋中任取1球对乙袋中任取2球有影响，事件A与事件B不是相互独立关系，故A错误；
从甲袋中任取1球是红球的概率为：，从甲袋中任取1球是白球的概率为：，
所以乙袋中任取2球全是白球的概率为：
，故B错误；
，所以，故C正确；
，故D正确.
故选：CD
5．（2023秋·福建漳州·高三福建省华安县第一中学校考开学考试）（多选）设是一个随机试验中的两个事件，且，则（    ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据和事件的概率公式和条件概率公式逐个分析求解即可
【详解】对于A，因为，，
所以，所以A正确，
对于B，因为，所以，
所以，所以B错误，
对于C，因为，所以，
所以，，
所以，所以C正确，
对于D，因为，所以，所以，
所以，所以D正确，
故选：ACD
6．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）（多选）一个袋子中有编号分别为的4个球，除编号外没有其它差异.每次摸球后放回，从中任意摸球两次，每次摸出一个球.设“第一次摸到的球的编号为2”为事件，“第二次摸到的球的编号为奇数”为事件，“两次摸到的球的编号之和能被3整除”为事件，则下列说法正确的是（    ）
A． B．事件与事件相互独立
C． D．事件与事件互为对立事件
【答案】AC
【分析】对于选项A，由古典概型的概率公式得，所以该选项正确；对于选项B，由题得，事件与事件不相互独立，所以该选项错误；对于选项C, ，所以该选项正确；对于选项D,举例说明事件与事件不是对立事件，所以该选项错误.
【详解】对于选项A，两次摸到的球的编号之和能被3整除的基本事件有 ，共5个，由古典概型的概率公式得，所以该选项正确；
对于选项B，由题得,,所以，
事件与事件不相互独立，所以该选项错误；
对于选项C, ，所以该选项正确；
对于选项D, 如果第一次摸到编号为1的球，第二次摸到编号为4的球，则事件A和B都没有发生，所以事件与事件不是对立事件，所以该选项错误.
故选：AC
7．（2023·浙江·校联考模拟预测）我国为了鼓励新能源汽车的发展，推行了许多购车优惠政策，包括：国家财政补贴､地方财政补贴､免征车辆购置税､充电设施奖补､车船税减免､放宽汽车消费信贷等.记事件表示“政府推出购买电动汽车优惠补贴政策”；事件表示“电动汽车销量增加”，，.一般来说，推出购车优惠补贴政策的情况下，电动汽车销量增加的概率会比不推出优惠补贴政策时增加的概率要大.基于以上情况，下列不等式正确的是（    ）
A． B．
C． D．.
【答案】ACD
【分析】对于选项A，直接根据题意即可判断出正误；对于选项B，利用条件和对立事件的概率公式即可判断出正误；对于选项C和D，根据条件和条件概率公式，再进行变形化简即可判断出正误.
【详解】根据题意知，故选项正确；
由，得到，即，故选项B错误；
又由知，，化简得到，所以选项C正确；
又由，得，所以，
即，即，
即，故D正确；
故选：ACD.
8．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考三模）现有甲､乙､丙､丁四个人到九嶷山､阳明山､云冰山､舜皇山4处景点旅游，每人只去一处景点，设事件为“4个人去的景点各不相同”，事件为“只有甲去了九嶷山”，则 .
【答案】
【分析】根据题意，求出4人去4个不同的景点的总事件数，事件的总数和事件的总数，可求出，然后利用条件概率公式可求得结果.
【详解】由题意可知，4人去4个不同的景点，总事件数为，
事件的总数为，则
，
事件和事件同时发生，即“甲去了九嶷山，另外3人去了另外3个不同的景点”则
事件的总数为，
所以，
所以，
故答案为：
9．（2023·上海·高三专题练习）从装有3个红球和4个蓝球的袋中，每次不放回地随机摸出一球．记“第一次摸球时摸到红球”为A，“第二次摸球时摸到蓝球”为B，则 ．
【答案】
【分析】根据独立事件概率乘法公式结合条件概率分析运算.
【详解】由题意可得：，
所以.
故答案为：.
10．（2023·湖南·模拟预测）已知甲罐中有个红球、个黑球，乙罐中有个红球、个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球表示事件“由甲罐取出的球是黑球”，表示事件“由乙罐取出的球是黑球”，则 ．
【答案】/
【分析】由题意可求，，再根据条件概率的计算公式求解即可．
【详解】因为甲罐中有个红球、个黑球，所以，
因为，所以．
故答案为：．

考点四、全概率公式及应用

1．（2023·福建厦门·统考模拟预测）某餐馆在网站有200条评价，好评率为，在网站有100条评价，好评率为．综合考虑这两个网站的信息，这家餐馆的好评率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知数据直接计算可得.
【详解】解：由已知可得这家餐馆的好评率为.
故选:C.
2．（2023春·云南·高三阶段练习）有张奖券，其中张可以中奖，现有个人从中不放回地依次各随机抽取一张，设每张奖券被抽到的可能性相同，记事件“第个人抽中中奖券”，则下列结论正确的是（    ）
A．事件与互斥 B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用互斥事件的定义、全概率公式和条件概率公式求解即可.
【详解】事件与可以同时发生,根据互斥事件的定义,A错误;
由全概率公式得,故B错误;
由概率的乘法公式得,故C正确;
根据题意,
所以,故D错误.
故选:C.
3．（2023·河北衡水·河北枣强中学校考模拟预测）设甲乘汽车､动车前往某目的地的概率分别为，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为，则甲正点到达目的地的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设事件A表示甲正点到达目的地，事件B表示甲乘火车到达目的地，事件C表示甲乘汽车到达目的地，由全概率公式求解即可.
【详解】设事件A表示甲正点到达目的地，事件B表示甲乘动车到达目的地，事件C表示甲乘汽车到达目的地，
由题意知.
由全概率公式得
。
故选：C
4．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）（多选）有两个书架，第一个书架上有4本语文书，6本数学书，第二个书架上有6本语文书，4本数学书．先从第一个书架上随机取出一本书放到第二个书架上，分别以和表示从第一个书架上取出的书是语文书和数学书的事件；再从第二个书架上随机取出一本书，以表示第二个书架上取出的书是语文书的事件，则（    ）
A．事件与事件相互独立 B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】对选项A：根据事件的独立性概念判断即可；对B，根据条件概率公式求解即可；对C，根据全概率公式求解即可；对D，根据条件概率公式求解即可.
【详解】对选项A：发生时B发生的概率是，不发生时B发生的概率是，由事件的独立性概念知，事件与事件B不相互独立，A错误；
对选项B：，B正确；
对选项C：，C正确；
对选项D：，D正确；
故选：BCD．
5．（2023·江苏盐城·盐城中学一模）（多选）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，．随机取一个零件，记“零件为次品”， “零件为第台车床加工” ，，，下列结论正确的有（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】由全概率公式和条件概率依次判断4个选项即可．
【详解】对于A：因为，故A错误；
对于B：因为，故B正确；
对于C：因为，
，
所以，故C正确；
对于D：由上可得，
又因为，故D错误，
故选：BC．
6．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测）在某地A、B、C三个县区爆发了流感，这三个地区分别3%，2%，4%的人患了流感.若A、B、C三个县区的人数比分别为4：3：3，先从这三个地区中任意选取一个人，这个人患流感的概率是 .
【答案】0.03
【分析】患流感的人可能来自三个地方，利用条件概率公式求解.
【详解】设事件D为此人患流感，，，分别代表此人来自A、B、C三个地区，根据题意可知：
，，，
，，，

.
故答案为：
7．（2023·江苏苏州·校联考三模）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在这四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由获奖人获得.现有抽奖人甲选择了2号箱，在打开2号箱之前，主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子.按游戏规则，主持人将随机打开甲的选择之外的一个空箱子.
(1)计算主持人打开4号箱的概率；
(2)当主持人打开4号箱后，现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选2号箱，还是改选1号或3号箱？（以获得奖品的概率最大为决策依据）
【答案】(1)
(2)甲应该改选1号或3号箱.

【分析】（1）设出事件，根据已知条件得出事件的概率以及条件概率，然后根据全概率公式即可得出答案；
（2）根据条件概率公式，求出抽奖人甲选择各个箱子，获得奖品的概率，即可得出答案.
【详解】（1）设分别表示1，2，3，4号箱子里有奖品，
设分别表示主持人打开号箱子，
则，且两两互斥.
由题意可知，事件的概率都是，，，，.
由全概率公式，得.
（2）在主持人打开4号箱的条件下，1号箱､2号箱､3号箱里有奖品的条件概率分别为，
，
，
通过概率大小比较，甲应该改选1号或3号箱.
8．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.
(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；
(2)如果取到的零件是次品，计算它是第1台车床所加工的概率（结果用分数表示）；
(3)参照第（2）问给出判断，求第1，2，3台车床操作员对加工次品分别应承担的份额.
【答案】(1)0.0525
(2)
(3)第1，2台车床操作员应承担，第3台车床操作员应承担.

【分析】（1）设“任取一零件为次品”，“零件为第i台车床加工”，
则，且，，两两互斥，求出、、，以及、、，由全概率公式得；
（2）“求次品为第1台车床所加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率由条件概率公式计算可得答案；
（3）由条件概率公式计算可得答案；
【详解】（1）设“任取一零件为次品”，“零件为第i台车床加工”，
则，且，，两两互斥，根据题意得，
，，，
，，，
由全概率公式，得


；
（2）“求次品为第1台车床所加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件发生的概率，
；
（3）根据（2）
，
，
故第1，2台车床操作员应承担，第3台车床操作员应承担.


1．（2023·河北秦皇岛·统考模拟预测）已知有两箱书，第一箱中有3本故事书，2本科技书；第二箱中有2本故事书，3本科技书．随机选取一箱，再从该箱中随机取书两次，每次任取一本，做不放回抽样，则在第一次取到科技书的条件下，第二次取到的也是科技书的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】记事件“第一箱中取书”，事件“从第二箱中取书”．事件“第次从箱中取到的书是科技书”，，然后根据题意求出，,的值，再根据全概率公式和条件概率公式求解即可.
【详解】记事件“第一箱中取书”，事件“从第二箱中取书”．事件“第次从箱中取到的书是科技书”，,
则由题意知，，,
,
所以

故选：C
2．（2023·广东深圳·校考二模）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球.若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，设事件为第一次取出的球为i号，事件为第二次取出的球为i号，则下列说法错误的是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用条件概率及全概率公式即可对每个选项进行分析
【详解】由题意可得，故B正确；
对于A，表示在第一次取出的球为3号的前提下，第二次取出的球为3号的概率，所以，故A正确；
对于C，表示在第一次取出的球为1号的前提下，第二次取出的球为3号的概率，所以
表示在第一次取出的球为2号的前提下，第二次取出的球为3号的概率，所以，
应用全概率公式,有，故C错误；
对于D，利用条件概率可得，解得，故D正确
故选：C
3．（2023秋·广东佛山·高三佛山市南海区桂城中学校考阶段练习）（多选）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以，和表示从甲罐取出的球是红球、白球、黑球，再从乙罐中随机取出一球，以表示从乙罐取出的球是红球.则下列结论中正确的是（    ）
A． B．
C．事件与事件相互独立 D．，，两两互斥
【答案】BD
【分析】根据已知得出，然后即可根据概率的乘法公式以及全概率公式，得出答案.
【详解】由已知可得，，，，，，.
对于A项，由全概率公式可得，，故A项错误；
对于B项，根据已知，即可计算，故B项正确；
对于C项，由已知可得，，，故C项错误；
对于D项，由已知可知，，，两两互斥，故D项正确.
故选：BD.
4．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）（多选）甲箱中有4个红球，3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球，2个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，事件和分别表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，事件表示由乙箱取出的球是红球，则（    ）
A．事件与事件相互独立 B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据题意得到，，结合独立事件的概率乘法公式和条件概率的公式，逐项判定，即可求解.
【详解】由题意，可得，，
对于A中，由，且，
可得，所以事件与事件不相互独立，所以A错误；
对于B中，由，所以B正确；
对于C中，由A项可得，所以C不正确；
对于D中，由，所以D正确.
故选：BD.
5．（2023·吉林·吉林省实验校考模拟预测）（多选）现有甲､乙两个箱子，甲中有2个红球，2个黑球，6个白球，乙中有5个红球和4个白球，现从甲箱中取出一球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是红球，黑球和白球的事件，再从乙箱中随机取出一球，则下列说法正确的是（    ）
A．两两互斥.
B．根据上述抽法，从乙中取出的球是红球的概率为.
C．以表示由乙箱中取出的是红球的事件，则.
D．在上述抽法中，若取出乙箱中一球的同时再从甲箱取出一球，则取出的两球都是红球的概率为.
【答案】ABC
【分析】根据给定条件，利用利用互斥事件意义判断A；利用全概率公式求出概率判断B；利用条件概率公式计算判断C；利用概率的乘法公式及互斥事件的概率加法公式计算判断D作答.
【详解】依题意，，
对于A，事件，不可能同时发生，即，因此事件，互斥，
同理：事件，，事件，互斥，故A正确；
对于B，从乙箱中取出的是红球的事件为，
则，
因此，故B正确；
对于C，由选项B知，，C正确；
对于D，取出乙箱中一球的同时再从甲箱取出一球，取出的两球都是红球的事件可以分拆成2个互斥事件的和，
记甲箱中取红球入乙箱，再从乙箱取红球、甲箱中取红球的事件为，
则，
记甲箱中取黑球或白球入乙箱，再从乙箱取红球、甲箱中取红球的事件为，
则
所以所求概率为，故D错误.
故选：ABC.
6．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件“第次命中目标”，，，，则 .
【答案】
【分析】由题意，计算条件概率，利用全概率公式，求得答案.
【详解】由题意，，，
则；
，，
则；
故答案为：.
7．（2023·福建三明·统考三模）在二十大报告中，体育､健康等关键词被多次提及，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国是全面建设社会主义现代化国家的一个重要目标.某校为丰富学生的课外活动，加强学生体质健康，拟举行羽毛球团体赛，赛制采取局胜制，每局都是单打模式，每队有名队员，比赛中每个队员至多上场一次且是否上场是随机的，每局比赛结果互不影响.经过小组赛后，最终甲、乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队种子选手对乙队每名队员的胜率均为，甲队其余名队员对乙队每名队员的胜率均为.（注：比赛结果没有平局）
(1)求甲队最终获胜且种子选手上场的概率；
(2)已知甲队获得最终胜利，求种子选手上场的概率.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）设事件“种子选手第局上场”，事件“甲队最终获胜且种子选手上场”，求出、的值，利用全概率公式可求得的值；
（2）设事件“种子选手未上场”，事件“甲队获得胜利”，计算出、的值，利用贝叶斯公式可求得的值.
【详解】（1）解：设事件“种子选手第局上场”，
事件“甲队最终获胜且种子选手上场”.
由全概率公式知，
因为每名队员上场顺序随机，故，
，，.
所以，
所以甲队最终获胜且种子选手上场的概率为.
（2）解：设事件“种子选手未上场”，事件“甲队获得胜利”，
，，，
，
因为.    
由（1）知，所以.
所以，已知甲队获得最终胜利，种子选手上场的概率为.
8．（2023·福建龙岩·福建省龙岩第一中学校考模拟预测）在问卷调查中，被采访人有可能出于隐私保护而不愿意如实填写问卷，导致调查数据失真.某校高三级调查学生对饭堂服务满意情况，为保护学生隐私并得到真实数据，采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：
一个袋子中装有五个大小相同的小球，其中2个黑球，3个白球、高三级所有学生从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一球.约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式Ⅰ回答问卷，若相同则按方式Ⅱ回答问卷”.
方式Ⅰ：若第一次摸到的是白球，则在问卷中答“是”，否则答“否”；
方式Ⅱ：若学生对饭堂服务满意，则在问卷中答“是”，否则答“否”.
当所有学生完成问卷调查后，统计答“是”，答“否”的比例，用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该校高三级学生对饭堂服务满意度的估计值.
(1)若某班有50名学生，用X表示其中按方式Ⅰ回答问卷的人数，求X的数学期望；
(2)若该年级的所有调查问卷中，答“是”与答“否”的比例为，试估计该年级学生对饭堂的满意度.（结果保留3位有效数字）
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）按方式Ⅰ回答问卷，即两次摸到的球的颜色不同，该班50名学生中按方式Ⅰ回答问卷的人数服从二项分布，运用公式计算数学期望；
（2）记事件A为按方式Ⅰ回答问卷, 事件B为按方式Ⅱ回答问卷, 事件C为在问卷中回答“是”,利用全概率公式计算条件概率.
【详解】（1）每次摸到白球的概率为，摸到黑球的概率为，
每名学生两次摸到的球的颜色不同的概率，
由题意可得，该班50名学生中按方式Ⅰ回答问卷的人数，
所以的数学期望.
（2）记事件A为按方式Ⅰ回答问卷, 事件B为按方式Ⅱ回答问卷, 事件C为在问卷中回答“是”,
由（1）知，，，
因为，
由全概率公式，
即，解得，
故根据调查问卷估计，该校高三级学生对饭堂服务满意度.

考点五、贝叶斯概率公式及应用

1．（2023·云南·校联考模拟预测）“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设出事件，利用全概率公式和贝叶斯公式进行求解.
【详解】设事件表示“小孩诚实”，事件表示“小孩说谎”，
则，，，，
则，
，
故，
故.
故选：D
2．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以和表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（    ）
A． B．事件与事件B相互独立
C． D．
【答案】D
【分析】A选项，根据题意求出，判断A选项；
B选项，利用全概率公式求出，得到，判断事件事件与事件B不相互独立，得到D选项正确；
C选项，利用条件概率公式求解即可.
【详解】由题意得，所以A错误；
因为，
，所以，即，
故事件事件与事件B不相互独立，所以B错误，D正确；
，所以C错误；
故选：D
3．（2023·浙江杭州·统考模拟预测）（多选）甲箱中有个红球，个白球和个黑球，乙箱中有个红球，个白球和个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以和表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（    ）
A．事件与事件相互独立 B．
C． D．
【答案】BD
【分析】由题设求出、，利用条件概率公式、全概率公式判断B、C、D，根据是否相等判断事件的独立性.
【详解】由题意，，，
先发生，此时乙袋有5个红球，3个白球和3个黑球，则，
先发生，此时乙袋有4个红球，4个白球和3个黑球，则，
先发生，此时乙袋有4个红球，3个白球和4个黑球，则，
所以，B正确；，，
，C错误；
则，，，A错误；
，D正确.
故选：BD
4．（2023秋·福建漳州·高三福建省华安县第一中学校考开学考试）有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，如果该零件是次品，那么它是第3台车床加工出来的概率为 ．
【答案】
【分析】利用贝叶斯公式即可求得答案.
【详解】记事件：车床加工的零件为次品，记事件：第台车床加工的零件，
则，，，，，，
任取一个零件是次品的概率为
如果该零件是次品，那么它是第3台车床加工出来的概率为
.
故答案为：.


1．（2023·湖北武汉·湖北省武昌实验中学校考模拟预测）设某公路上经过的货车与客车的数量之比为，货车中途停车修理的概率为0.02，客车为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，则该汽车是货车的概率为（    ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.3
【答案】A
【分析】设表示该汽车是货车，表示该汽车是客车，即得，，设表示货车中途停车修理，表示客车中途停车修理，则，，利用条件概率计算公式能求出今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率．
【详解】设表示该汽车是货车，表示该汽车是客车，则，，
设表示货车中途停车修理，表示客车中途停车修理，则，，
表示一辆汽车中途停车修理，则，
今有一辆汽车中途停车修理，该汽车是货车的概率为：
．
故选：A
2．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（    ）
A．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为
B．第二次抽到3号球的概率为
C．如果第二次抽到的是1号球，则它来自2号盒子的概率最大
D．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有300种
【答案】AB
【分析】计算条件概率判断A；利用全概率公式计算判断B；利用贝叶斯公式求解判断C；求出不同元素的分组分配种数判断D作答.
【详解】记第一次抽到第i号球的事件分别为，则有，
对于A，在第一次抽到2号球的条件下，则2号球放入2号盒子内，因此第二次抽到1号球的概率为，A正确；
对于B，记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为，而两两互斥，和为，
，记第二次抽到3号球的事件为，
，B正确；
对于C，记第二次在第i号盒内抽到1号球的事件分别为，而两两互斥，和为，
，记第二次抽到1号球的事件为，
，
第二次的球取自盒子的编号与第一次取的球的号数相同，
，，
，即第二次抽到的是1号球，则它来自1号盒子的概率最大，C不正确；
对于D，把5个不同的小球分成3组的不同分组方法数是种，
将每一种分组方法分成的小球放在3个盒子中有种不同放法，
由分步乘法计数原理得不同的放法种数是种，D不正确.
故选：AB
3．（2023·河南安阳·统考二模）学校给每位教师随机发了一箱苹果，李老师将其分为两份，第1份占总数的40％，次品率为5％，第2份占总数的60％，次品率为4％．若李老师分份之前随机拿了一个发现是次品后放回，则该苹果被分到第1份中的概率为 ．
【答案】
【分析】利用贝叶斯公式即可.
【详解】设事件B为“拿的苹果是次品”，为“拿的苹果来自第i份”，
则，，，，
所以，
所求概率为．
故答案为：
4．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）某考生回答一道有4个选项的选择题，设会答该题的概率是，并且会答时一定能答对，若不会答，则在4个答案中任选1个.已知该考生回答正确，则他确实会答该题的概率是 .
【答案】
【分析】利用条件概率和全概率公式即可.
【详解】设考生会答该题为事件A，不会答为事件B，该考生回答正确为事件C；
则：,,


故答案为：


【基础过关】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）某校对高三男生进行体能抽测，每人测试三个项目，1000米为必测项目，再从“引体向上，仰卧起坐，立定跳远”中随机抽取两项进行测试，则某班参加测试的5位男生测试项目恰好相同的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】计算抽取方式的种数，得到其中一种抽取方式的概率，计算5人都抽取这一结果的概率，再把所有类型的结果相加即可.
【详解】从“引体向上，仰卧起坐，立定跳远”中随机抽取两项进行测试，有种结果，
其中抽得“引体向上，仰卧起坐”这两项的概率为，5位男生都抽到这两项概率为，
同理， 5位男生都抽到“引体向上，立定跳远”
这两项和5位男生都抽到“仰卧起坐，立定跳远” 这两项的概率都是，
所以5位男生测试项目恰好相同的概率为.
故选：B.
2．（2023秋·福建漳州·高三漳州三中校考阶段练习）在数字通信中，信号是由数字0和1组成.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，若发送信号0和1是等可能的，则接受信号为1的概率为（    ）
A．0.475 B．0.525 C．0.425 D．0.575
【答案】B
【分析】运用全概率公式及对立事件概率公式计算即可.
【详解】设A=“发送的信号为0”， B=“接收到的信号为0”，
则=“发送的信号为1”， =“接收到的信号为1”，
所以，，，，，，
所以接收信号为0的概率为：，
所以接收信号为1的概率为：.
故选：B.
3．（2023·四川成都·校联考二模）一个不透明的袋中装有4个红球，4个黑球，2个白球，这些球除颜色外，其他完全相同，现从袋中一次性随机抽取3个球，事件A：“这3个球的颜色各不相同”，事件B：“这3个球中至少有1个黑球”，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】运用分类加法与分步乘法分别求得、，再结合条件概率的公式计算即可.
【详解】由题意知，， ，
所以.
故选：D.
4．（2023·山西临汾·统考二模）现有甲､乙､丙三个工厂加工的同种产品各100件，按标准分为一､二两个等级､其中甲､乙､丙三个工厂的一等品各有60件､70件､80件.从这300件产品中任选一件产品，则下列说法错误的是（    ）
A．选中的产品是甲厂的一等品与选中的产品是乙厂的二等品互斥
B．选中的产品是一等品的概率为
C．选中的产品是丙厂生产的二等品的概率为
D．选中的产品是丙厂生产的产品与选中的产品是二等品相互独立
【答案】D
【分析】运用互斥事件、独立事件的定义可判断A项、D项，运用古典概型求概率可判断B项、C项.
【详解】对于A项， “选中的产品是甲厂的一等品”记为事件A，“选中的产品是乙厂的二等品”记为事件B，
则，
所以选中的产品是甲厂的一等品与选中的产品是乙厂的二等品互斥，故A项正确；
对于B项，选中的产品是一等品的概率为，故B项正确；
对于C项，选中的产品是丙厂生产的二等品的概率为，故C项正确；
对于D项，“选中的产品是丙厂生产的产品”记为事件C，“选中的产品是二等品”记为事件D，
则，
由B项知，，
由C项知，，
所以，
所以选中的产品是丙厂生产的产品与选中的产品是二等品不互相独立，故D项不成立.
故选：D.
5．（2023·湖北荆门·荆门市龙泉中学校考模拟预测）某人周一至周五每天6：30至6：50出发去上班，其中在6：30至6：40出发的概率为0.4，在该时间段出发上班迟到的概率为0.1；在6：40至6：50出发的概率为0.6，在该时间段出发上班迟到的概率为0.2，则小王某天在6：30至6：50出发上班迟到的概率为（    ）
A．0.3 B．0.17 C．0.16 D．0.13
【答案】C
【分析】根据全概率的计算公式即可求解.
【详解】由题意可知：小王某天在6：30至6：50出发上班迟到的概率为：
,
故选：.
6．（2023·广西柳州·统考模拟预测）根据历年的气象数据，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2，则在刮四级以上大风的情况下，发生中度雾霾的概率为（    ）
A．0.5 B．0.625 C．0.8 D．0.9
【答案】A
【分析】利用条件概率的概率公式求解即可.
【详解】设发生中度雾霾为事件，刮四级以上大风为事件，
依题意，，，，
则在刮四级以上大风的情况下，发生中度雾霾的概率为.
故选：A

二、填空题
7．（2023·四川成都·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）某学习小组共有11名成员，其中有6名女生，为了解学生的学习状态，随机从这11名成员中抽选2名任小组组长，协助老师了解情况，表示“抽到的2名成员都是女生”，表示“抽到的2名成员性别相同”，则 .
【答案】/0.6
【分析】求出，，再利用条件概率求解即可．
【详解】由题意可知，，
．
故答案为：．
8．（2023·四川·校联考模拟预测）甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为，.则谜题被破解的概率为 .
【答案】
【分析】设“甲独立地破解谜题”为事件，“乙独立地破解谜题”为事件，“谜题被破解”为事件，利用求解.
【详解】设“甲独立地破解谜题”为事件，“乙独立地破解谜题”为事件，“谜题被破解”为事件，且事件，相互独立，
则.
故答案为：
9．（2023·全国·高三专题练习）已知某产品的一类部件由供应商和提供，占比分别为和，供应商提供的部件的良品率为，若该部件的总体良品率为，则供应商提供的部件的良品率为 ．
【答案】
【分析】根据全概率公式计算可得.
【详解】记随机取一件产品由供应商提供为事件，由供应商提供为事件，为良品为事件，
则，，，，
由，即，解得，
即供应商提供的部件的良品率为.
故答案为：
10．（2023·陕西西安·校考模拟预测）从1，2，3，4，5，6，7中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件为“取到的两个数均为偶数”，则 ．
【答案】
【分析】根据条件概率公式，结合组合数公式，即可求解.
【详解】因为事件，所以，
而，所以.
故答案为：
11．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）“五一”假期期间，小明和小红两位同学计划去四川省图书馆与老师探讨作业试卷上的圆锥曲线大题.如图，小红在街道处，小明在街道处，四川省图书馆位于处.二人均选择最短路线并约定在天府广场汇合，记事件：小红经过，事件：小红经过，则 .
  
【答案】/
【分析】根据古典概型概率公式求出和，再根据条件概率公式可求出.
【详解】小红从到的最短路径条数为：，
小红从经过到的最短路径条数为：，故，
小红经过和到的最短路径条数为：，故，
所以.
故答案为：.

三、解答题
12．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）某批规格相同的产品由甲、乙、丙三个工厂共同生产，甲厂生产的产品次品率为2%，乙厂和丙厂生产的产品次品率均为4%，三个工厂生产的产品混放在一起，已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品数分别占总数的40%，40%，20%.
(1)任选一件产品，计算它是次品的概率；
(2)如果取到的产品是次品，分别计算此次品出自甲厂、乙厂和丙厂的概率.
【答案】(1)
(2)， ， .

【分析】(1)根据独立事件同时发生的概率计算公式求解；
(2)利用条件概率公式求解.
【详解】（1）设表示“取到的产品是次品”，
表示“产品由甲工厂生产”，表示“产品由乙工厂生产”，
表示“产品由丙工厂生产”，易知，，两两互斥，
根据题意得，，，
根据全概率公式可得
，
故取到次品的概率为.
（2）“如果取到的产品是次品，计算分别出自三个工厂的概率”，
就是计算在发生的条件下，事件发生的概率.

同理可得，
所以如果取到的产品是次品，
此次品出自甲厂、乙厂和丙厂的概率分别是， ， .
13．（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）.
(1)若选择方案一，求甲获胜的概率；
(2)用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若“两枚骰子向上的点数之和不大于6”则选择方案一；否则选择方案二.判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由.
【答案】(1)
(2)方案二被选择的可能性更大，理由见解析

【分析】（1）由相互独立时间的概率乘法公式，结合互斥事件的概率加法公式即可求解，
（2）列举所有基本事件，由古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】（1）由题意可得，选择方案一，三局两胜制，记甲获胜的事件为A
甲获胜事件A包含甲连胜两局记为；甲第一局负，第二、三局胜记为；甲第一局胜，第二局负、第三局胜记为 且互斥，且每局比赛相互独立.
则，，
∴
所以甲获胜的概率为.
（2）抛掷两枚质地均匀的骰子，设向上的点数为，有36个样本点，为，
它们是等可能的，故这是个古典概型.
两点数之和不大于6的样本点有15个：,
记事件C为“两点数之和不大于6”，所以.
记事件D为“点数之和大于6”，所以.
因为，所以方案二被选择的可能性更大。

四、双空题
14．（2023·山西·统考模拟预测）一个袋子里装有4个红球3个白球3个蓝球，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回.则第一次摸到红球的概率是 ，第一次没有摸到红球且第二次摸到红球的概率是 .
【答案】 /
【分析】第一空，根据古典概型的概率公式即可求得答案；第二空，根据全概率公式结合条件概率的计算即可求得答案.
【详解】设Hi表示“第i次摸到红球”，Bi表示“第i次摸到白球”，Li表示“第i次摸到蓝球”，，
则第一次摸到红球的概率为；
第一次没有摸到红球第二次摸到红球包括第一次摸到白球第二次摸到红球，和第一次摸到蓝球第二次摸到红球，
所以所求概率为 ，
故答案为：.
15．（2023·湖北武汉·统考三模）设样本空间含有等可能的样本点，且，，，则A，B，C三个事件 （填“是”或“不是”）两两独立，且 .
【答案】 是
【分析】根据题意分别求得，结合独立事件的定义，可判定事件相互独立，且的值.
【详解】由题意，可得，
且，
所以
所以事件是相互独立事件，且.
故答案为：是；.

【能力提升】
一、单选题
1．（2023·河南开封·统考三模）用五个数字排成一个无重复数字的五位数，设事件{数字在的左边}，事件{与相邻}，则等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别计算出，由条件概率公式可求得结果.
【详解】，，.
故选：D.
2．（2023·河北秦皇岛·校联考二模）根据某机构对失踪飞机的调查得知：失踪的飞机中有70%的后来被找到，在被找到的飞机中，有60%安装有紧急定位传送器，而未被找到的失踪飞机中，有90%未安装紧急定位传送器，紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位的装置.现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别表示出三个事件：失踪的飞机后来被找到、失踪的飞机后来未被找到、装有紧急定位传送器的概率，再用条件贝叶斯公式计算即可得出结论.
【详解】设“失踪的飞机后来被找到”，“失踪的飞机后来未被找到”，“安装有紧急定位传送器”，
则，，
安装有紧急定位传送器的飞机失踪，它被找到的概率为.
故选：C.
3．（2023·湖南郴州·统考三模）篮球队的5名队员进行传球训练，每位队员把球传给其他4人的概率相等，由甲开始传球，则前3次传球中，乙恰好有1次接到球的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】考虑前3次传球中，乙恰好有1次接到球的情况有只在第一次接到球和只在第二次接到球以及只在第三次接到球，根据独立事件的乘法公式以及互斥事件的加法公式即可求得答案.
【详解】由题意可知每位队员把球传给其他4人的概率都为，
由甲开始传球，则前3次传球中，乙恰好有1次接到球的情况可分为：
只在第一次接到球和只在第二次接到球以及只在第三次接到球，
则概率为，
故选：D
4．（2023·河北·校联考模拟预测）2023年3月24日是第28个“世界防治结核病日”，我国的宣传主题是“你我共同努力，终结结核流行”，呼吁社会各界广泛参与，共同终结结核流行，维护人民群众的身体健康.已知某种传染疾病的患病率为5%通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人诊断为阳性，患者中有2%的人诊断为阴性.随机抽取一人进行验血，则其诊断结果为阳性的概率为（    ）
A．0.46 B．0.046 C．0.68 D．0.068
【答案】D
【分析】应用全概率公式求解即可.

【详解】设随机抽取一人进行验血，则其诊断结果为阳性为事件A,

设随机抽取一人实际患病为事件B, 随机抽取一人非患为事件，

则.
故选:D.
5．（2023·湖南郴州·统考模拟预测）已知颜色分别是红、绿、黄的三个大小相同的口袋，红色口袋内装有两个红球，一个绿球和一个黄球；绿色口袋内装有两个红球，一个黄球；黄色口袋内装有三个红球，两个绿球（球的大小质地相同）．若第一次先从红色口袋内随机抽取1个球，然后将取出的球放入与球同颜色的口袋内，第二次从该口袋内任取一个球，则第二次取到黄球的概率为（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件概率公式和概率的乘法公式以及全概率公式即可求解.
【详解】记第一次抽到红、绿、黄球的事件分别为，
则，
记第二次在红、绿、黄色口袋内抽到黄球的事件分别为，
而两两互斥，其和为，
所以，
记第二次抽到黄球的事件为B，
则，
故选:D．
6．（2023·河南·统考三模）设，是两个随机事件，且发生必定发生，，，给出下列各式，其中正确的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题设知，即，，结合条件概率公式判断各项正误.
【详解】由，是两个随机事件，且发生必定发生，知：，即，，
所以，，，A、B、D错，C对；
故选：C
7．（2023春·辽宁·高三辽师大附中校考阶段练习）已知事件A、B满足，，则（    ）
A． B．
C．事件相互独立 D．事件互斥
【答案】C
【分析】利用对立事件概率求法得，结合已知即独立事件的充要条件判断C，由于未知其它选项无法判断.
【详解】由题设，
所以，即相互独立，同一试验中不互斥，
而未知，无法确定、.
故选：C

二、多选题
8．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考一模）红、黄、蓝被称为三原色，选取其中任意几种颜色调配，可以调配出其他颜色，已知同一种颜色混合颜色不变，等量的红色加黄色调配出橙色；等量的红色加蓝色调配出紫色；等量的黄色加蓝色调配出绿色.现有红、黄、蓝颜料各两瓶，甲从六瓶颜料中任取两瓶，乙再从余下四瓶颜料中任取两瓶，两人分别进行等量调配，表示事件“甲调配出红色”；表示事件“甲调配出绿色”；表示事件“乙调配出紫色”，则下列说法正确的是（    ）
A．事件与事件是独立事件 B．事件与事件是互斥事件
C． D．
【答案】BCD
【分析】分别求得，由可知A错误；由互斥事件可知B正确；由条件概率公式知C正确；计算后，可知D正确.
【详解】对于A，调配出红色需要两瓶红色颜料，调配出紫色需要一瓶红色和一瓶蓝色颜料，
，又，，
，事件与事件不是独立事件，A错误；
对于B，调配出红色需要两瓶红色颜料，调配出绿色需要一瓶黄色和一瓶蓝色颜料，
事件与事件不可能同时发生，事件与事件为互斥事件，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，由A知：，，D正确.
故选：BCD.
9．（2023春·山东聊城·高三统考期中）某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设M=“该家庭中有男孩、又有女孩”，N=“该家庭中最多有一个女孩”，则下列结论正确的是()
A．若该家庭中有两个小孩，则M与N互斥
B．若该家庭中有两个小孩，则M与N不相互独立
C．若该家庭中有三个小孩，则M与N不互斥
D．若该家庭中有三个小孩，则M与N相互独立
【答案】BCD
【分析】若该家庭中有两个小孩，写出对应的样本空间即可判断A和B;若该家庭中有三个小孩，写出对应的样本空间，即可判断C和D.
【详解】若该家庭中有两个小孩，样本空间为(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，
(男，女)，(女，男)(男，男)，(男，女)，(女，男)(男，女)，(女，男)，
则M与N不互斥，，，，
于是，所以M与N不相互独立，则A错误、B正确；
若该家庭中有三个小孩，样本空间为(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)，
(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，
(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，则M与N不互斥，
，，，于是，
所以M与N相互独立，则C和D均正确．
故选：BCD．
10．（2023·安徽马鞍山·统考二模）已知A，B为两个随机事件，且，，则（    ）
A．
B．若A，B为互斥事件，则
C．若，则A，B为相互独立事件
D．若A，B为相互独立事件，则
【答案】BCD
【分析】由互斥事件且可得且，即可判断A、B；利用独立事件的性质及已知概率值判断C、D.
【详解】若为互斥事件，又，则且，故，，故A错误，B正确；
若，即，故A，B为相互独立事件，C正确；
若A，B为相互独立事件，则也相互独立，即，又，
而，
故，D正确.
故选：BCD

三、填空题
11．（2023·福建福州·校考模拟预测）在排球比赛的小组循环赛中，每场比赛采用五局三胜制．甲、乙两队小组赛中相见，积分规则如下：以或获胜的球队积3分，落败的球队积0分；以获胜的球队积2分，落败的球队积1分．若甲队每局比赛获胜的概率为0.6，则在甲队本场比赛所得积分为3分的条件下，甲队前2局比赛都获胜的概率是 ．(用分数表示)
【答案】
【分析】设“甲队本场比赛所得积分为3分”为事件，“甲队前2局比赛都获胜”为事件，分甲队以或获胜，求得，再由条件概率公式求解即可.
【详解】甲队以获胜，即三局都是甲胜，概率是，
甲队以获胜，即前三局有两局甲胜，第四局甲胜，概率是，
设“甲队本场比赛所得积分为3分”为事件，“甲队前2局比赛都获胜”为事件，
甲队以获胜，即前2局都是甲胜，第4局甲胜，概率是，
则，，
则在甲队本场比赛所得积分为3分的条件下，
甲队前2局比赛都获胜的概率.
故答案为：.
12．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）有甲、乙、丙三个开关和A，B，C三盏灯，各开关对灯的控制互不影响．当甲闭合时A，B亮，当乙闭合时B，C亮，当丙闭合时A，C亮．若甲、乙、丙闭合的概率分别为，，，且相互独立，则在A亮的条件下，B也亮的概率为 ．
【答案】
【分析】若AB同时亮，则可能闭合甲开关或不闭合甲开关且同时闭合乙，丙开关.
若A亮，则闭合甲或者丙开关.则所求概率为AB同时亮概率与A亮概率之商.
【详解】设事件M为A灯亮，事件N为B灯亮，事件X为开关甲闭合，事件Y为开关乙闭合，事件Z为开关丙闭合，则所求概率为 .
其中，
，
所以.
故答案为：
13．（2023·湖北·统考模拟预测）现有甲、乙两个口袋，其中甲口袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球；乙口袋内装有两个1号球，一个2号球，一个3号球．第一次从甲口袋中任取1个球，将取出的球放入乙口袋中，第二次从乙口袋中任取一个球，则第二次取到2号球的概率为 ．
【答案】
【分析】利用全概率公式求解即可.
【详解】记事件，分别表示第一次、第二次取到i号球，，2，3，
依题意，，两两互斥，其和为，
并且，，，
所以，，，
应用全概率公式，有.
故答案为：．
14．（2023·江苏南京·校考二模）某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成，每包产品均含有10个零件．小张到该企业采购，利用如下方法进行抽检：从该企业产品中随机抽取1包产品，再从该包产品中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是一等品，则决定采购该企业产品；否则，拒绝采购．假设该企业这批产品中，每包产品均含1个或2个二等品零件，其中含2个二等品零件的包数占，则小张决定采购该企业产品的概率为 ．
【答案】
【分析】根据题意，分析可得含1个二等品零件的包数占，进而由对立事件和互斥事件的概率公式计算可得答案．
【详解】解：根据题意，该企业这批产品中，含2个二等品零件的包数占，则含1个二等品零件的包数占，
在含1个二等品零件产品中，随机抽取4个零件，若抽取的4个零件都是一等品，其概率，
在含2个二等品零件产品中，随机抽取4个零件，若抽取的4个零件都是一等品，其概率，
则小张决定采购该企业产品的概率；
故答案为：．

四、解答题
15．（2023·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）某电视台举行冲关直播活动，该活动共有四关，只有一等奖和二等奖两个奖项，参加活动的选手从第一关开始依次通关，只有通过本关才能冲下一关.已知第一关的通过率为0.7，第二关､第三关的通过率均为0.5，第四关的通过率为0.3，四关全部通过可以获得一等奖（奖金为500元），通过前三关就可以获得二等奖（奖金为200元），如果获得二等奖又获得一等奖，奖金可以累加.假设选手是否通过每一关相互独立，现有甲､乙两位选手参加本次活动.
(1)求甲最后没有得奖的概率；
(2)已知甲和乙都通过了前两关，求甲和乙最后所得奖金总和为900元的概率.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）分第一关未通过，第一关通过第二关未通过，前两关通过第三关未通过三种情况，结合独立事件和互斥事件的概率公式，求解即可；
（2）若奖金为900，则甲和乙一人得一等奖一人得二等奖，计算对应概率即可.
【详解】（1）记第一关未通过为事件，第一关通过第二关未通过为事件，前两关通过第三关未通过为事件，甲最后没有得奖为事件，
则，，，
故.
（2）记通过了前两关时最后获得二等奖为事件，通过了前两关时最后获得一等奖为事件，
则，.
因为甲和乙最后所得奖金总和为900元，所以甲和乙一人得一等奖一人得二等奖，
故甲和乙最后所得奖金总和为900元的概率为.
16．（2023·全国·高三专题练习）某学校为了迎接党的二十大召开，增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中.
(1)如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是填空题的概率；
(2)若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第二支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）设表示“第次从乙箱中取到填空题”，分别求出概率，根据全概率公式即可
（2）设事件 为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”，事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，事件为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，则､､彼此互斥，求出相关的概率，
再根据条件概率求解即可.
【详解】（1）设表示“第次从乙箱中取到填空题”，，2，
，，
由全概率公式得：第2次抽到填空题的概率为：
；
（2）设事件 为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”，
事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，
事件为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，
事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，
则､､彼此互斥，且，
，
，
，
，
，
，


所求概率即是发生的条件下发生的概率：.
17．（2023·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大.人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策.基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）.
(1)求首次试验结束的概率；
(2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整.
①求选到的袋子为甲袋的概率，
②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大.
【答案】(1)
(2)①；②方案二中取到红球的概率更大.

【分析】（1）根据全概率公式，解决抽签问题；
（2）利用条件概率公式计算，根据数据下结论.
【详解】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件，
（1）.
所以试验一次结果为红球的概率为.
（2）①因为，是对立事件，，
所以，
所以选到的袋子为甲袋的概率为.
②由①得，
所以方案一中取到红球的概率为：
，
方案二中取到红球的概率为：
，
因为，所以方案二中取到红球的概率更大.
18．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）某校举行“强基计划”数学核心素养测评，要求以班级为单位参赛，最终高三一班（45人）和高三二班（30人）进入决赛．决赛规则如下：现有甲、乙两个纸箱，甲箱中有4个选择题和2个填空题，乙箱中有3个选择题和3个填空题，决赛由两个环节组成，环节一：要求两班级每位同学在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答，作答后放回原箱．并分别统计两班级学生测评成绩的相关数据；环节二：由一班班长王刚和二班班长李明进行比赛，并分别统计两人的测评成绩的相关数据，两个环节按照相关比赛规则分别累计得分，以累计得分的高低决定班级的名次．
(1)环节一结束后，按照分层抽样的方法从两个班级抽取20名同学，并统计每位同学答对题目的数量，统计数据为：一班抽取同学答对题目的平均数为1，方差为1；二班抽取同学答对题目的平均数为1.5，方差为0.25，求这20人答对题目的均值与方差；
(2)环节二，王刚先从甲箱中依次抽取了两道题目，答题结束后将题目一起放入乙箱中，然后李明再抽取题目，已知李明从乙箱中抽取的第一题是选择题，求王刚从甲箱中取出的是两道选择题的概率．
【答案】(1)样本均值为1.2，样本方差为0.76
(2)

【分析】（1）首先求分层抽取的两个班的人数，再根据两个班抽取人数的平均数和方差，结合总体平均数和方差公式，代入求值；
（2）根据全概率公式和条件概率公式，即可求解.
【详解】（1）一班抽取人，二班抽取人，
一班样本平均数为，样本方差为；二班样本的平均数为，样本方差为；总样本的平均数为．
记总样本的样本方差为，
则．
所以，这20人答对题目的样本均值为1.2，样本方差为0.76．
（2）设事件A为“李明同学从乙箱中抽出的第1个题是选择题”，
事件为“王刚同学从甲箱中取出2个题都是选择题”，
事件为“王刚同学从甲箱中取出1个选择题1个填空题"，
事件为“王刚同学从甲箱中取出2个题都是填空题”，
则、、，彼此互斥，且，
，，，
，，，


所求概率即是A发生的条件下发生的概率：
．
19．（2023·江苏苏州·校联考三模）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭.主持人知道奖品在哪个箱子里.游戏规则是主持人请抽奖人在这四个箱子中选择一个，若奖品在此箱子里，则奖品由获奖人获得.现有抽奖人甲选择了2号箱，在打开2号箱之前，主持人先打开了另外三个箱子中的一个空箱子.按游戏规则，主持人将随机打开甲的选择之外的一个空箱子.
(1)计算主持人打开4号箱的概率；
(2)当主持人打开4号箱后，现在给抽奖人甲一次重新选择的机会，请问他是坚持选2号箱，还是改选1号或3号箱？（以获得奖品的概率最大为决策依据）
【答案】(1)
(2)甲应该改选1号或3号箱.

【分析】（1）设出事件，根据已知条件得出事件的概率以及条件概率，然后根据全概率公式即可得出答案；
（2）根据条件概率公式，求出抽奖人甲选择各个箱子，获得奖品的概率，即可得出答案.
【详解】（1）设分别表示1，2，3，4号箱子里有奖品，
设分别表示主持人打开号箱子，
则，且两两互斥.
由题意可知，事件的概率都是，，，，.
由全概率公式，得.
（2）在主持人打开4号箱的条件下，1号箱､2号箱､3号箱里有奖品的条件概率分别为，
，
，
通过概率大小比较，甲应该改选1号或3号箱.
20．（2023·浙江·高三专题练习）甲、乙两个学校分别有位同学和n位同学参加某项活动，假定所有同学成功的概率都是，所有同学是否成功互不影响．记事件A＝“甲成功次数比乙成功次数多一次”，事件B＝“甲成功次数等于乙成功次数”．
(1)若，求事件A发生的条件下，恰有5位同学成功的概率；
(2)证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）根据已知求出及甲成功次数比乙成功次数多一次且有5位同学成功的概率，再利用条件概率公式求事件A发生的条件下恰有5位同学成功的概率
（2）根据题设写出、，利用组合数的性质证明结论即可.
【详解】（1）由题设，甲乙学校分别有4个、3个学生参加活动，

，
而甲成功次数比乙成功次数多一次且有5位同学成功的概率为，
所以事件A发生的条件下，恰有5位同学成功的概率.
（2）由题设知：，
，
因为，，所以

【真题感知】
6.1

一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（    ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
【答案】A
【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解.
【详解】同时爱好两项的概率为，
记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件，
则，
所以.
故选:.
2．（江苏·高考真题）将一颗质地均匀的骰子（各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6）先后抛掷3次，至少出现1次6点向上的概率是（    ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正难则反原则，先求出“抛掷3次都没有出现6点向上”事件的概率，由对立事件的概率性质，计算可得答案.
【详解】解：将一颗质地均匀的骰子先后掷3次，这3次之间是相互独立，
记事件为“抛掷3次，至少出现一次6点向上”，
则为“抛掷3次都没有出现6点向上”，
记事件为“第次中，没有出现6点向上”，，
则，又，所以，
所以.
故选：D.
【点睛】本题考查对立事件的性质和概率计算，利用了正难则反的原则，属于基础题.

二、双空题
3．（2022·天津·统考高考真题）52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽到A的概率为 ；已知第一次抽到的是A，则第二次抽取A的概率为
【答案】
【分析】由题意结合概率的乘法公式可得两次都抽到A的概率，再由条件概率的公式即可求得在第一次抽到A的条件下，第二次抽到A的概率.
【详解】由题意，设第一次抽到A的事件为B,第二次抽到A的事件为C,
则.
故答案为：；.
4．（2023·全国）甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为．这三个盒子中黑球占总数的比例分别为．现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为 ；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为 ．
【答案】 /
【分析】先根据题意求出各盒中白球，黑球的数量，再根据概率的乘法公式可求出第一空；
根据古典概型的概率公式可求出第二个空．
【详解】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为，所以总数为，
所以甲盒中黑球个数为，白球个数为；
乙盒中黑球个数为，白球个数为；
丙盒中黑球个数为，白球个数为；
记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件，所以，
；
记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件，
黑球总共有个，白球共有个，
所以，．
故答案为：；．


三、解答题
5．（·湖南·高考真题）甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为．
（1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；
（2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率．
【答案】（1），，；（2）
【分析】（1）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件，则再利用独立事件的概率计算公式，解方程组即可得到答案.
（2）记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件，利用对立事件，即计算即可.
【详解】（1）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件，
由题设条件有即
解得，，．
即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是，，；
（2）记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件，则

．
故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为．
【点晴】本题主要考查独立事件的概率计算问题，涉及到对立事件的概率计算，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.
6．（四川·高考真题）某课程考核分理论与实验两部分进行，每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考核都是“合格”，则该课程考核“合格”，若甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7，在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9，所有考核是否合格相互之间没有影响．
(1)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；
(2)求这三个人该课程考核都合格的概率(结果保留三位小数)．
【答案】(1) 0.902   (2) 0.254
【详解】解:记“甲理论考核合格”为事件A1，“乙理论考核合格”为事件A2，“丙理论考核合格”为事件A3，记事件i为Ai的对立事件，i＝1,2,3.记“甲实验考核合格”为事件B1，“乙实验考核合格”为事件B2，“丙实验考核合格”为事件B3.
(1)记“理论考核中至少有两人合格”为事件C，记为事件C的对立事件，
P(C)＝P(A1A2A3＋A1A2＋A1A3＋A2A3)
＝P(A1A2A3)＋P(A1A2)＋P(A1A3)＋P(A2A3)
＝0.9×0.8×0.7＋0.9×0.8×0.3＋0.9×0.2×0.7＋0.1×0.8×0.7＝0.902.
所以，理论考核中至少有两人合格的概率为0.902.
(2)记“三个人该课程考核都合格”为事件D.
P(D)＝P[(A1·B1)·(A2·B2)·(A3·B3)]
＝P(A1·B1)·P(A2·B2)·P(A3·B3)
＝P(A1)·P(B1)·P(A2)·P(B2)·P(A3)·P(B3)
＝0.9×0.8×0.8×0.7×0.7×0.9≈0.254.
所以，这三个人该课程考核都合格的概率为0.254.
7．（四川·高考真题）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家对一批产品发给商家时，商家按规定拾取一定数量的产品做检验，以决定是否验收这批产品：
(1)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.3，从中任意取出4种进行检验，求至少有1件是合格产品的概率；
(2)若厂家发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，来进行检验，只有2件产品合格时才接收这些产品，否则拒收，分别求出该商家检验出不合格产品为1件和2件的概率，并求该商家拒收这些产品的概率．
【答案】(1)0.7599；
(2)答案见详解.

【分析】（1）由对立事件概率公式及产品合格的概率为0.3，即可求出从产品中任意取出件进行检验至少有件是合格的概率；
（2）根据超几何分布求出对应的概率，结合对立事件概率公式，即可求得结果.
【详解】（1）记“厂家任取件产品检验，其中至少有件事合格品”为事件A
用A的对立事件来算，有；
（2）设商家检验出不合格产品的件数为，则的可能取值为0,1,2，
，
，
，
所以商家检验出不合格产品为1件、2件的概率分别为、；
记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件，
则商家拒收这批产品的概率
所以商家拒收这批产品的概率为.
6．（2022·全国·统考高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：

不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90
(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附，

0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
【答案】(1)答案见解析
(2)（i）证明见解析；(ii)；

【分析】(1)由所给数据结合公式求出的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i）结合已知数据求.
【详解】（1）由已知，
又，，
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2）(i)因为，
所以
所以，
(ii)
由已知，，
又，，
所以

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