第十一章 磁场 专题强化练二十　带电粒子在组合场中的运动

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A．圆形区域内磁场方向垂直纸面向外
B．粒子的比荷为eq \f(v0,BR)
C．粒子在磁场中运动的总时间为eq \f(πR,2v0)
D．粒子在电场中运动的总时间为eq \f(2BR,E)
2．(2023·江苏无锡市调研)如图所示，M、N为两块带等量异种电荷的平行金属板，两板间电压可取从零到某一最大值之间的各种数值．静止的带电粒子带电荷量为＋q，质量为m(不计重力)，从点P经电场加速后，从小孔Q进入N板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，CD为磁场边界上的一绝缘板，它与N板的夹角为θ＝30°，孔Q到板的下端C的距离为L，当M、N两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD板上，则( )
A．两板间电压的最大值Um＝eq \f(qB2L2,2m)
B．能打到N板上的粒子的最大动能为eq \f(q2B2L2,9m)
C．粒子在磁场中运动的最长时间tm＝eq \f(2πm,qB)
D．CD板上可能被粒子打中区域的长度s＝eq \f(2,3)L
3．(2023·江苏南通市模拟)如图所示，质谱仪由一个加速电场和环形区域的偏转磁场构成，磁场区域由两圆心都在O点，半径分别为2a和4a的半圆盒N1N2和M1M2围成，匀强磁场垂直于纸面向外，磁感应强度大小为B.质量为m、电荷量为＋q的粒子不断从粒子源S飘入加速电场，其初速度几乎为0，经电场加速后沿M1N1的中垂线从极板上小孔P射入磁场后打到荧光屏N2M2上．已知加速电压为U0(未知)时，粒子刚好打在荧光屏的中央．不计粒子的重力和粒子间相互作用，打到半圆盒上的粒子均被吸收．
(1)为使粒子能够打到荧光屏上，求加速电压的最大值Um；
(2)由于粒子进入磁场时速度方向在纸面内偏离SP方向，加速电压为U0(未知)时，其中有粒子打到荧光屏N2点右侧0.8a处的Q点(图中未画出)，求该粒子进入磁场时速度与SP方向夹角α的余弦值cs α；
(3)由于粒子进入磁场时速度方向在纸面内偏离SP方向，求加速电压为U0(未知)时，荧光屏N2M2上有粒子到达的最大区间长度L.
4．如图所示，xOy平面内，OP与x轴正方向的夹角为θ＝53°，在 xOP 范围内(含边界)存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝0.1 T．第二象限有平行于 y轴向下的匀强电场，电场强度大小为E ＝eq \f(83,40)×105 V/m.一带电微粒以速度 v0 ＝5×106 m/s从 x 轴上 a(L,0)点平行于OP射入磁场，并从OP上的b点垂直于OP离开磁场，与y轴交于c点，最后回到x轴上的d点，图中b、d两点未标出．已知L＝eq \f(5,4) m，sin 53°＝eq \f(4,5)，cs 53°＝eq \f(3,5)，不计微粒的重力，求：
(1)微粒的比荷eq \f(q,m)；
(2)d点与O点的距离l;
(3)仅改变磁场强弱而其他条件不变，当磁感应强度Bx大小满足什么条件时，微粒能到达第四象限．
5.(2023·广东省高三检测)如图所示，半径为R的圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，圆形区域内ac、df为互相垂直的竖直和水平两条直径，沿df方向距f点为R的g点处固定一足够长的挡板，挡板与fg方向的夹角α＝60°，粒子打到挡板上会被吸收，圆形磁场区域以外空间存在竖直向上的匀强电场．一质量为m、电荷量为q的带负电粒子(不计重力)自c点沿ca方向以速度v射入磁场，经磁场偏转后从f点沿fg方向射出磁场，之后恰好未打在挡板上，图中已画出粒子在电场中运动的轨迹．
(1)求匀强磁场的磁感应强度大小B1；
(2)求匀强电场的电场强度大小E；
(3)若将原电场换为方向垂直纸面向里的匀强磁场，其磁感应强度大小B2＝kB1(06．(2023·江苏淮南市高三模拟)如图，在竖直面内建立坐标系xOy，第一、四象限内有垂直纸面向里的匀强磁场，平行板MA、NO如图放置，两板间距为eq \f(3L,5)，板长均为eq \f(9L,5)，MA板带正电，右端位于y轴上的A点，NO板在x负半轴上且带负电，右端位于坐标轴O点，NO板正中间有一小孔P，一质量为m，电荷量为＋q的带电粒子从MA板左边沿x轴正方向以速度v0水平射入平行板间，穿过小孔P、经第三、第四、第一象限，再次进入平行板内．不计粒子的重力，cs 53°＝eq \f(3,5)，求：
(1)粒子从x轴上进入第四象限的速度大小；
(2)第一、四象限内磁感应强度大小应满足的条件；
(3)现将第四象限内磁感应强度大小改为B＝eq \f(5mv0,6qL)，方向不变，将第一象限内磁场撤除，同时在第一象限内加上平行纸面的匀强电场E.仍将粒子从MA板左边沿向x轴正方向以v0向右水平射入平行板间，最终粒子垂直于y轴从A点再次进入平行板内，求匀强电场E的大小和方向(方向用与y轴夹角的正切值表示)．
专题强化练二十 带电粒子在组合场中的运动
1．C 2.A
3．(1)eq \f(49qB2a2,8m) (2)eq \f(29,30) (3)eq \f(a,3)
解析 (1)当粒子在磁场中运动的轨迹与半径为4a的半圆盒在M2点相切时，粒子在磁场中运动的半径有最大值，设为r1，如图甲．则
r1＝eq \f(7a,2)
设粒子在磁场中运动的最大速度为v1，根据动能定理有qUm＝eq \f(1,2)mv12
粒子在磁场中做圆周运动时，根据牛顿第二定律有qv1B＝meq \f(v12,r1)
联立解得Um＝eq \f(49qB2a2,8m)
(2)设荧光屏N2M2的中点为C，加速电压为U0时粒子在磁场中的运动轨迹如图乙所示，由题意可知该粒子的运动半径为r0＝3a
设粒子进入磁场速度方向偏离SP方向的夹角为α，粒子打在荧光屏上的Q点，轨迹圆心为O1，其运动半径仍为r0，根据几何关系有
2r0cs α＝5a＋0.8a
解得cs α＝eq \f(29,30)
(3)由题意，加速电压仍为U0，粒子在磁场中的运动半径不变，则沿M1N1中垂线方向射入的粒子到达屏上的C点为粒子能打到荧光屏上最右侧的点．当粒子速度方向偏离SP方向的夹角为θ时，粒子打在荧光屏上的点A，其轨迹与磁场外边界相切，切点为D，圆心为O2，如图丙．
由几何关系得OO2＝4a－3a＝a，PO2＝PO＝3a
根据余弦定理有
cs θ＝eq \f(PO2＋PO22－OO22,2PO·PO2)＝eq \f(17,18)
则PA＝2PO2cs θ＝eq \f(17a,3)
当粒子速度方向偏离SP方向的夹角为β时，粒子打在荧光屏上的点A′，其轨迹与磁场内边界相切，切点为D′，圆心为O2′，如图丁．
由几何关系得OO2′＝3a－2a＝a，PO2′＝PO＝3a
根据余弦定理有
cs β＝eq \f(PO2＋PO2′2－OO2′2,2PO·PO2′)＝eq \f(17,18)
则PA′＝2PO2′cs β＝eq \f(17a,3)
可知点A与点A′重合，点A(A′)即为粒子打在荧光屏上最左侧的点．则粒子能到达荧光屏的最大区间长度为L＝PC－PA＝eq \f(a,3).
4．(1)5×107 C/kg (2)4 m (3)Bx≥0.2 T
解析 (1)微粒在磁场中做匀速圆周运动，由几何关系得
r＝Lsin 53°＝1 m
由牛顿第二定律得qv0B＝meq \f(v02,r)
代入数据解得eq \f(q,m)＝5×107 C/kg
(2)微粒进入电场后做类斜抛运动．由几何关系得yOc＝eq \f(Lcs 53°＋r,sin 53°)
在y轴方向有
yOc＝－v0tcs 53°＋eq \f(1,2)×eq \f(qE,m)t2
在x轴方向有l ＝ v0tsin 53°
解得l＝4 m
(3)微粒在磁场中做匀速圆周运动的轨迹与边界OP 相切时，恰好能到达第四象限．
由几何关系知R＝eq \f(1,2)Lsin 53°
由牛顿第二定律得qv0B1＝meq \f(v02,R)
解得B1 ＝ 0.2 T，故当磁感应强度Bx≥0.2 T时，微粒能到达第四象限．
5．(1)eq \f(mv,Rq) (2)eq \f(\r(3)mv2,2qR)
(3)eq \f(2R,\r(1＋k2))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)解析 (1)粒子运动的轨迹如图甲所示，由几何关系可知，粒子在磁场中运动的轨迹半径r1＝R
粒子在磁场中做圆周运动有
qvB1＝meq \f(v2,r1)
联立解得B1＝eq \f(mv,Rq)
(2)粒子在电场中做类平抛运动，粒子速度和挡板相切时有tan α＝eq \f(vy,v)，其中vy＝eq \f(Eq,m)t，又由平抛运动的推论知
t＝eq \f(2R,v)
联立解得E＝eq \f(\r(3)mv2,2qR)
(3)粒子离开圆形磁场区域到返回圆形磁场区域边界的过程中，运动轨迹如图乙所示，粒子在匀强磁场B2内做圆周运动，有qvB2＝meq \f(v2,r2)，B2＝kB1，联立解得r2＝eq \f(R,k)
根据几何关系可知
tan ∠OO′f＝eq \f(R,r2)＝k
粒子返回圆形磁场区域边界的位置i到出射点f的距离
l＝2r2sin ∠OO′f＝eq \f(2R,\r(1＋k2))
当k较小时，粒子运动轨迹恰好与挡板相切，如图丙所示，根据几何关系可知∠fgO″＝60°
tan ∠fgO″＝tan ∠fOO″＝eq \f(r2′,R)＝eq \r(3)，r2′＝eq \r(3)R
则k＝eq \f(R,r2′)＝eq \f(\r(3),3)，
故当eq \f(\r(3),3)当06．(1)eq \f(5,3)v0 (2)eq \f(10mv0,9qL)解析 (1)带电粒子进入P孔，沿平行板方向有eq \f(9L,10)＝v0t0
垂直于平行板方向有eq \f(3L,5)＝eq \f(vy,2)t0
解得vy＝eq \f(4,3)v0
粒子进入第四象限时的速度为
v＝eq \r(v02＋vy2)＝eq \f(5,3)v0
(2)如图所示
假设粒子离开P孔时速度与＋x方向夹角为θ，则有tan θ＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(4,3)
可得θ＝53°
若从O点进入平行板内，粒子在磁场中转动的半径为r1＝eq \f(\f(1,2)OD,cs θ)＝eq \f(\f(1,2)OPtan θ,cs θ)＝eq \f(\f(1,2)×\f(9L,10)×\f(4,3),\f(3,5))＝L
根据洛伦兹力提供向心力
qvB1＝meq \f(v2,r1)
可得B1＝eq \f(5mv0,3qL)
若从A点进入平行板内，粒子在磁场中转动的半径为
r2＝eq \f(\f(1,2)AD,cs θ)＝eq \f(\f(1,2)OPtan θ＋AO,cs θ)
＝eq \f(\f(1,2)×\f(9L,10)×\f(4,3)＋\f(3L,5),\f(3,5))＝eq \f(3,2)L
根据洛伦兹力提供向心力
qvB2＝meq \f(v2,r2)
可得B2＝eq \f(10mv0,9qL)
综合可知磁感应强度大小范围为
eq \f(10mv0,9qL)(3)当B＝eq \f(5mv0,6qL)，由qvB＝meq \f(v2,r)可得粒子在第四象限运动的半径为r＝2L
如图所示
故粒子以eq \f(5,3)v0垂直于x轴进入第一象限，沿y轴正方向做初速度为eq \f(5,3)v0匀减速运动，直到速度减为0，沿y轴正方向有eq \f(3L,5)＝eq \f(v,2)t
解得t＝eq \f(18L,25v0)
且0＝v－ayt
ay＝eq \f(qEy,m)
解得Ey＝eq \f(125mv02,54qL)
粒子沿x负半轴做初速度为0的匀加速直线运动，由几何关系可得
OK＝OO′＋O′K＝rsin θ＋r＝3.6L＝eq \f(1,2)·eq \f(qEx,m)t2
解得Ex＝eq \f(125mv02,9qL)
故电场强度E大小为
E＝eq \r(Ex2＋Ey2)＝eq \f(125\r(37)mv02,54qL)
电场E与y轴负方向夹角的正切值为tan α＝eq \f(Ex,Ey)＝6.