四川省眉山市仁寿第一中学南校区2023-2024学年高二数学上学期第一次质量检测试题（Word版附解析）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知点，，则直线的倾斜角为（ ）
A. 30B. 60C. 120D. 150
【答案】B
【解析】
【分析】求出直线的斜率即得解.
【详解】解：由题得直线的斜率，
设直线的倾斜角为，
所以.
故选：B
2. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据关于什么对称什么不变来解答.
【详解】点关于平面对称的点的坐标为
故选：C.
3. 近年来，部分高校根据教育部相关文件规定开展基础学科招生改革试点（也称强基计划），假设甲､乙､丙三人通过强基计划的概率分别为，那么三人中恰有两人通过强基计划的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】甲、乙、丙三人通过强基计划为相互独立事件,根据概率的乘法公式求解.
【详解】记甲、乙、丙三人通过强基计划分别为事件,显然为相互独立事件,
则“三人中恰有两人通过”相当于事件,且互斥,
∴
.
故选:C.
4. 已知空间向量，满足，则实数的值是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知条件得出，结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值.
【详解】由已知条件得出，解得.
故选：D.
5. 在平行六面体中，若，且与所成的角均为，则（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由表示出，然后平方把模转化为数量积运算求解．
【详解】由题意，
所以
，
．
故选：C．
6. 如图，在直三棱柱中，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】以为原点，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
【详解】如图示，以为原点，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，则.
所以.
所以直线与直线夹角的余弦值为.
故选：A
7. 是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作图，找到直线在平面上的投影在构建多个直角三角形，找出边与角之间的关系，继而得到线面角；也可将三条射线截取出来放在正方体中进行分析.
【详解】解法一：
如图，设直线在平面的射影为，
作于点G，于点H，连接，
易得，又平面，则平面，又平面，则，
有
故．
已知，
故为所求．
解法二：
如图所示，把放在正方体中，的夹角均为．
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
则，
所以，
设平面的法向量，则
令，则，所以，
所以．
设直线与平面所成角为，所以，
所以．
故选B．
8. 庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且．若（λ∈R），则λ＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象的对称性和向量的运算法则，化简得到，即可求解.
【详解】根据图形的对称性，可得，，
由和向量的运算法则，可得，
又由，，故，所以．
故选：D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 一个人连续射击2次，则下列各事件关系中，说法正确的是（ ）
A. 事件“两次均击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
B. 事件“恰有一次击中”与事件“两次均击中”互为互斥事件
C. 事件“第一次击中”与事件“第二次击中”互为互斥事件
D. 事件“两次均未击中”与事件“至少一次击中”互为对立事件
【答案】BD
【解析】
【分析】根据对立事件和互斥事件的概念，分析各个选项的内容即可得到答案
【详解】对于A，事件“至少一次击中”包含“一次击中”和“两次均击中“，所以不是对立事件，A错误
对于B，事件“恰有一次击中”是“一次击中、一次不中”它与事件“两次均击中”是互斥事件，B正确
对于C，事件“第一次击中”包含“第一次击中、第二次击中”和“第一次击中、第二次不中”，所以与事件“第二次击中”不是互斥事件，C错误
对于D，事件“两次均未击中”的对立事件是“至少一次击中”，D正确
故选：BD
【点睛】本题考查对立事件和互斥事件的概念，属于简单题
10. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 的最小值为2D. 的最大值为4
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据空间向量共线定理即可判断A；根据空间向量垂直的坐标表示即可判断B；根据向量的模的坐标表示结合二次函数的性质即可判断CD.
【详解】对于A，若，且，，
则存在唯一实数使得，即，
则，解得，故A正确；
对于B，若，则，
即，解得，故B正确；
，
故当时，取得最小值，无最大值，故C正确，D错误.
故选：ABC.
11. 甲、乙两人进行篮球比赛，若甲投中的概率为0.8，乙投不中的概率为0.1，且两人投篮互不影响，若两人各投篮一次，则下列结论中正确的是（ ）
A. 两人都投中的概率为0.72B. 至少一人投中的概率为0.88
C. 至多一人投中的概率为0.26D. 恰好有一人投中的概率为0.26
【答案】AD
【解析】
【分析】利用独立事件乘法、对立事件及互斥事件的概率求法求各项对应事件的概率，即可得答案.
【详解】设事件A为：“甲投中”，设事件B为：“乙投中”，这两个事件相互独立，
A：都投中概率为，对；
B：至少一人投中的对立事件为：两人都未投中，故至少一人投中概率为，错；
C：至多一人投中的对立事件为：两人都投中，至多一人投中概率为，错；
D：恰好有一人投中概率为，对.
故选：AD
12. 已知正四面体的棱长为2，、分别是和的中点，下列说法正确的是（ ）
A. 直线与直线互相垂直
B. 线段的长为
C. 直线与平面所成角的正弦值为
D. 正四面体内存在点到四个面的距离都为
【答案】ACD
【解析】
【分析】取中点，连接，证明平面，即可判断A；根据空间向量基本定理及数量积的运算律计算即可判断B；连接交于点，则点为点在平面上的投影，则即为直线与平面所成角的平面角，求出即可判断C；利用等体积法求出正四面体的内切球的半径即可判断D.
【详解】对于A，取的中点，连接，
因，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以，故A正确；
对于B，，
，
则
，故B错误；
对于C，连接交于点，连接，则为的中心，
则点为点在平面上的投影，即平面，
则即为直线与平面所成角的平面角，
在中，，，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为，故C正确；
对于D，设正四面体的内切球的半径为，
则，
所以，
所以正四面体内存在点到四个面的距离都为，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 过点且与直线垂直的直线方程是____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据两直线垂直关系求斜率，结合所过的点，写出直线方程即可
【详解】由题设知：直线斜率为，故与其垂直的直线的斜率为，
∴过点且与直线垂直的直线方程为.
故该直线方程为.
故答案为：
14. 若向量，，则与夹角的正弦值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据向量夹角的余弦值的坐标表示得出，即可根据同角三角函数的关系得出答案.
【详解】向量，，
向量与夹角的余弦值为：，
向量间的夹角范围为，
则，
故答案为：.
15. 经过点作直线l，且直线l与连接点，的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意画出图形，数形结合能求出使直线与线段有公共点的直线的斜率的范围与倾斜角的范围．
【详解】解：如图，
，，，
，，
则使直线与线段有公共点的直线的斜率 的范围为，，
又直线倾斜角的范围是：，且
直线l的倾斜角的范围为．
故答案为：．
16. 把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，向量，则向量与向量不共线的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是一颗骰子掷两次，共有种结果，向量与向量不共线的对立事件是与向量共线，根据向量共线的条件得到，列举出所有的结果数，得到共线的概率，从而求得不共线的概率.
【详解】由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件是一颗骰子掷两次，共有种结果，
当向量与共线时，有，即，
满足这种条件的有，共有3种结果，
向量与共线的概率，
根据对立事件，向量与不共线的概率，
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知不透明的袋中装有大小和质地相同的5个球，其中有3个黑球（记为，和），2个红球（记为和）.
（1）求随机抽取一个球是红球的概率；
（2）如果不放回地依次抽取两个球，求两个球都是黑球的概率.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由古典概型的概率求法，即可得随机抽取一个球是红球的概率；
（2）列举出所有抽取两个球的事件，判断两个球都是黑球的事件数，即可得概率.
【小问1详解】
由题设，5个球有2个红球，故随机抽取一个球是红球的概率为.
【小问2详解】
抽取两个球的事件有：、、、、、、、、、，共10种，
其中两个球都是黑球的有、、，共3种，
所以两个球都是黑球的概率.
18. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，E为棱PD的中点．
（1）求证：平面PCD；
（2）求平面AEC与平面PAC的夹角余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面PAD，平面PCD；
（2）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面AEC的法向量、平面PAC的法向量，由向量的夹角公式可得答案．
【小问1详解】
∵平面ABCD，平面ABCD，∴，
又∵，，平面PAD，
又平面PAD，∴，
∵，且E为PD的中点，∴，又，
∴平面PCD．
【小问2详解】
如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，．
设平面AEC的法向量为，∵，，
∴即，可取．
设平面PAC的法向量为，
∵，，
∴即可取．
∴，
即平面AEC与平面PAC的夹角余弦值为．
19. 已知三角形的三个顶点是.
（1）求边所在的直线方程；
（2）求边上的高所在直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据两点斜率公式求解斜率，进而由斜截式即可求解方程，
（2）根据斜率公式以及垂直关系得高所在直线斜率，即可求解.
【小问1详解】
由题意可得,
由斜截式可得直线方程为；
【小问2详解】
,所以边上的高所在直线的斜率为，
由点，所以边上的高所在直线方程为.
20. 如图，在三棱锥中，，，两两垂直，，．
（1）求点到直线的距离；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用点与直线距离的空间向量法计算可得.
（2）利用直线与平面夹角的空间向量法计算可得
【小问1详解】
解：以为坐标原点，，，方向分别为，，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，所以，，．
取，，则，，
所以点到直线的距离为．
【小问2详解】
解：设是平面的一个法向量，则，所以，
取，解得，所以．
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
21. 进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会､经济､生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识,某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙两位同学中恰有一人答对的概率为.
（1）求的值及每题甲、乙两位同学同时答对的概率；
（2）试求两人答对的题数之和为3的概率.
【答案】（1），甲、乙同时答对的概率为
（2）
【解析】
【分析】（1）由互斥事件和对立事件的概率公式列方程可解得，再求解每题甲、乙两位同学同时答对的概率；
（2）分别求出两人答对1道的概率，答对两道题的概率，两人共答对3道题，则是一人答对2道题另一人答对1道题，由互斥事件和独立事件概率公式可得结论．
【小问1详解】
设{甲同学答对第一题}，{乙同学答对第一题}，则，.
设{甲、乙二人均答对第一题}，{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，
则，.
由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以与相互独立，与相互互斥，
所以，
.
由题意可得，则 ，，所以，
每题甲、乙同时答对的概率为；
【小问2详解】
设{甲同学答对了道题}，{乙同学答对了道题}，，1，2.
由题意得，，，，.
设{甲乙二人共答对3道题}，则.由于和相互独立，与相互互斥，
所以.
所以，甲乙二人共答对3道题的概率为.
22. 立德中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍(méng)”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”(如图2)．
（1）若是四边形对角线的交点，求证：平面
（2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）结合图形可证四边形是平行四边形，可得，可得∥平面；
（2）根据题意结合二面角的定义可得，建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面夹角．
小问1详解】
取线段中点，连接，
由图1可知，四边形是矩形，且，
是线段与的中点，
且，
在图1中且，且．
所以在图2中，且，
且
四边形是平行四边形，则
由于平面，平面
平面
【小问2详解】
由图1，，折起后在图2中仍有，
即为二面角的平面角．
，
以为坐标原点，分别为轴和轴正向建立空间直角坐标系如图，
且设，
则，
，
，
设平面的一个法向量，
由，得，取则
于是平面的一个法向量，
，
∴直线与平面所成角的正弦值为
【点睛】