江苏省常州市花园中学2023—2024学年上学期第一次月考九年级数学试卷

这是一份江苏省常州市花园中学2023—2024学年上学期第一次月考九年级数学试卷，文件包含部编九年级上册语文第五单元教材知识点考点梳理pptx、部编九年级上册语文第五单元教材知识点考点梳理教案docx、部编九年级上册语文第五单元教材知识点考点梳理验收卷原卷版docx、部编九年级上册语文第五单元教材知识点考点梳理验收卷解析版docx等4份课件配套教学资源，其中PPT共29页， 欢迎下载使用。
1．关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．2B．﹣2C．2或﹣2D．0
2．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝5B．（x+2）2＝5C．（x﹣2）2＝3D．（x+2）2＝3
3．下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个矩形B．两个菱形
C．两个等腰三角形D．两个正方形
4．已知方程kx2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．且k≠0
5．已知M＝m﹣4，N＝m2﹣3m，则M与N的大小关系为（ ）
A．M＞NB．M＝NC．M≤ND．M＜N
6．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP＝∠CB．∠APB＝∠ABCC．＝D．＝
7．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
8．如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，点P运动时y随x变化的函数图象如图2所示，则BC的长是（ ）
A．B．5C．6D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共20分.）
9．已知﹣1是方程x2+bx﹣5＝0的一个根，则b的值为 ．
10．已知线段a＝9cm，c＝4cm，线段x是a、c的比例中项，则x等于 cm．
11．若x＝2是关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）的解，则2023﹣2a﹣b＝ ．
12．已知（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6＝0，则a2+b2＝ ．
13．某工程队计划将一块长64m，宽40m的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求小路的宽．设小路的宽为xm，则可列方程 ．
14．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为 米．
15．如图，在▱ABCD中，E是AD边上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则等于 ．
16．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，点G为AD上一点，连接AE、BG交于点F，连接CF，当∠BCF＝∠GBA时，线段CF的长度是 ．
三、解答题
17．（20分）解下列方程：
（1）（4y﹣1）2﹣5＝0；
（2）（x+3）2＝2x+5；
（3）3x（x﹣1）＝2﹣2x；
（4）3x2﹣6x﹣2＝0（配方法）．
18．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且，求m的值．
19．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．
（1）在图①中，PC：PB＝ ．
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在AB上找一点P，使AP＝3．
②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．
20．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同
（1）求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
21．我们已经学习了乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式​x2+4x+5的最小值．解答如下：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，
（x+2）2≥0，∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1，∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题．
（1）知识再现：当x＝ 时，代数式x2﹣4x+15的最小值是 ；
（2）知识运用：若y＝﹣x2+6x﹣15，当x＝ 时，y有最 值（填“大”或“小”），这个值是 ；
（3）知识拓展：若﹣x2+5x+y+10＝0，求y+x的最小值．
22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动（0≤t≤5）．设运动时间为t秒，求：
（1）用含t的代数式表示CQ＝ ，CP＝ ；
（2）当t为多少时，PQ的长度等于4？
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？
参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1．关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0的一个根是0，则a的值为（ ）
A．2B．﹣2C．2或﹣2D．0
【分析】由一元二次方程的定义，可知a﹣2≠0；一根是0，代入（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0可得a2﹣4＝0．a的值可求．
解：∵（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0是关于x的一元二次方程，∴a﹣2≠0，即a≠2①
由一个根是0，代入（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0，可得a2﹣4＝0，解之得a＝±2；②
由①②得a＝﹣2．故选B．
【点评】本题考查一元二次方程的定义应用，二次项系数不为0．解题时须注意，此为易错点．否则选C就错了．
2．用配方法解方程x2﹣4x+1＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣2）2＝5B．（x+2）2＝5C．（x﹣2）2＝3D．（x+2）2＝3
【分析】在本题中，把常数项1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．
解：把方程x2﹣4x+1＝0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣4x＝﹣1，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4＝﹣1+4，
配方得（x﹣2）2＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了用配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
3．下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个矩形B．两个菱形
C．两个等腰三角形D．两个正方形
【分析】根据相似图形的概念进行判断即可．
解：A、任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，不符合题意，
B、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意；
C、任意两个等腰三角形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，不符合题意；
D、任意两个正方形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．
4．已知方程kx2﹣x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．且k≠0
【分析】令原方程根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，求得k的取值，保证二次项的系数不为0即可．
解：由题意得：1﹣4k＞0；k≠0，
解得：k＜且k≠0，
故选：D．
【点评】方程有2个不相等的实数根应注意两种情况：Δ＞0，二次项的系数不为0．
5．已知M＝m﹣4，N＝m2﹣3m，则M与N的大小关系为（ ）
A．M＞NB．M＝NC．M≤ND．M＜N
【分析】利用完全平方公式把N﹣M变形，根据偶次方的非负性解答．
解：N﹣M＝（m2﹣3m）﹣（m﹣4）
＝m2﹣3m﹣m+4
＝m2﹣4m+4
＝（m﹣2）2≥0，
∴N﹣M≥0，即M≤N，
故选：C．
【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．
6．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP＝∠CB．∠APB＝∠ABCC．＝D．＝
【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
解：A、当∠ABP＝∠C时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
B、当∠APB＝∠ABC时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
C、当＝时，又∵∠A＝∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项不符合题意；
D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
7．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理进行判断即可．
解：∵DE∥BC，
∴，
∴故A错误，
∵DE∥BC，
∴△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，
∴，＝，
∴＝，故B错误，
∵DE∥BC，
∴DE∥BC，
∴△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，
∴，
∴＝，故C正确；D错误，
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
8．如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，点P运动时y随x变化的函数图象如图2所示，则BC的长是（ ）
A．B．5C．6D．
【分析】根据函数图象可得，当x＝0，即点P与点B重合时，BA﹣PE＝1，再根据三角形的三边可得y有最大值为AE＝5，设BE＝a，则BA＝a+1，在Rt△ABE中，利用勾股定理建立方程，求解即可．
解：根据函数图象可得，当x＝0，即点P与点B重合时，BA﹣BE＝1，
在△PAE中，
∵三角形任意两边之差小于第三边，
∴PA﹣PE＜AE，
当且仅当点P与点E重合时有PA﹣PE＝AE，
∴y有最大值为AE，
∴AE＝5，
设BE为a，则BA＝a+1，
在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，
∴（a+1）2+a2＝52，
解得：a1＝3，a2＝﹣4（舍去），
∴BC＝2BE＝2a＝2×3＝6．
故选：C．
【点评】本题以矩形为背景考查了动点问题的函数图象，根据函数图象得到线段之间的关系，利用勾股定理求出线段的长是解题关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共20分.）
9．已知﹣1是方程x2+bx﹣5＝0的一个根，则b的值为 ﹣4 ．
【分析】由一元二次方程的解的定义，将x＝﹣1代入已知方程列出关于b的新方程，通过解新方程来求b的值即可．
解：根据题意，得
（﹣1）2+（﹣1）×b﹣5＝0，即﹣b﹣4＝0，
解得，b＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
10．已知线段a＝9cm，c＝4cm，线段x是a、c的比例中项，则x等于 6cm cm．
【分析】根据已知线段a＝9cm，c＝4cm，线段x是a、c的比例中项，列出等式，利用内项之积等于外项之积即可得出答案
解：∵线段a＝9cm，c＝4cm，线段x是a、c的比例中项，
∴＝，
∴x2＝ac＝9×4＝36，
∴x＝±6，x＝﹣6（舍去）．
故答案为：6cm．
【点评】此题主要考查学生对比例线段这一知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题．
11．若x＝2是关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）的解，则2023﹣2a﹣b＝ 2024 ．
【分析】根据x＝2是关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）的解，可以得到2a+b的值，然后代入所求式子计算即可．
解：∵x＝2是关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）的解，
∴a×22+b×2+2＝0，
化简，得：2a+b＝﹣1，
∴2023﹣2a﹣b
＝2023﹣（2a+b）
＝2023﹣（﹣1）
＝2023+1
＝2024，
故答案为：2024．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确方程的解一定使得原方程成立．
12．已知（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣6＝0，则a2+b2＝ 3 ．
【分析】将a2+b2看作一个整体，然后用未知数表示出a2+b2，通过解所得的一元二次方程即可求出a2+b2的值．
解：设a2+b2＝x，则有：
x2﹣x﹣6＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣2；
由于a2+b2≥0，故a2+b2＝x1＝3．
【点评】换元法就是解题过程中把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．这样做，常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观．
13．某工程队计划将一块长64m，宽40m的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求小路的宽．设小路的宽为xm，则可列方程 （64﹣2x）（40﹣x）＝64×40×80% ．
【分析】根据矩形的面积公式结合绿化区域的面积为广场总面积的80%，即可得出关于x的一元二次方程．
解：设小路的宽为x米，则绿化区域的长为（64﹣2x）米，宽为（40﹣x）米，
根据题意得，（64﹣2x）（40﹣x）＝64×40×80%，
故答案为：（64﹣2x）（40﹣x）＝64×40×80%．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，找准等量关系，是正确列出一元二次方程的关键．
14．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为 5 米．
【分析】易得：△ABM∽△OCM，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．
解：根据题意，易得△MBA∽△MCO，
根据相似三角形的性质可知＝，即＝，
解得AM＝5m．则小明的影长为5米．
【点评】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比可得出小明的影长．
15．如图，在▱ABCD中，E是AD边上一点，且AE＝2ED，EC交对角线BD于点F，则等于 ．
【分析】由平行四边形的性质得AD∥BC，AD＝BC，则△EFD∽△CFB，得，再利用AE＝2DE解决问题．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△EFD∽△CFB，
∴，
∵AE＝2ED，
∴BC＝AD＝3DE，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质是解题的关键．
16．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，点G为AD上一点，连接AE、BG交于点F，连接CF，当∠BCF＝∠GBA时，线段CF的长度是 ．
【分析】根据矩形的性质得到∠ABC＝∠BAG＝90°，BE＝BC＝3，BC∥AD，根据勾股定理得到AE＝5，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
解：在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，
∴∠ABC＝∠BAG＝90°，BE＝BC＝3，BC∥AD，
∴AE＝＝5，∠CBF＝∠BGA，
∵∠BCF＝∠GBA，
∴∠BFC＝∠BAG＝90°，
∴EF＝BC＝3，
∴AF＝2，
∵BE∥AG，
∴△BEF∽△GAF，
∴，
∴，
∴AG＝2，
∴BG＝，
∵∠BFC＝∠BAG＝90°，∠BCF＝∠GBA，
∴△BCF∽△GBA，
∴，
∴，
∴CF＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
三、解答题
17．（20分）解下列方程：
（1）（4y﹣1）2﹣5＝0；
（2）（x+3）2＝2x+5；
（3）3x（x﹣1）＝2﹣2x；
（4）3x2﹣6x﹣2＝0（配方法）．
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法进行计算，即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答；
（3）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答；
（4）利用解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答．
解：（1）（4y﹣1）2﹣5＝0，
（4y﹣1）2＝5，
4y﹣1＝±，
4y﹣1＝或4y﹣1＝﹣，
∴y1＝，y2＝；
（2）（x+3）2＝2x+5，
整理得：x2+4x+4＝0，
（x+2）2＝0，
∴x1＝x2＝﹣2；
（3）3x（x﹣1）＝2﹣2x，
3x（x﹣1）＝2（1﹣x），
3x（x﹣1）﹣2（1﹣x）＝0，
3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（3x+2）＝0，
x﹣1＝0或3x+2＝0，
x1＝1，x2＝﹣；
（4）3x2﹣6x﹣2＝0，
x2﹣2x﹣＝0，
x2﹣2x＝，
x2﹣2x+1＝+1，
（x﹣1）2＝，
x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，直接开平方法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且，求m的值．
【分析】（1）根据方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出m的范围即可；
（2）已知等式利用完全平方公式化简，再利用根与系数的关系将各自的值代入计算即可求出m的值．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有实数根，
∴Δ≥0，即（2m﹣1）2﹣4（m2﹣1）≥0，
整理得：﹣4m+5≥0，
解得：m≤；
（2）∵该方程的两个实数根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝1﹣2m，x1x2＝m2﹣1，
∵x12+x22＝9，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝9，即（1﹣2m）2﹣2（m2﹣1）＝9，
整理得：m2﹣2m﹣3＝0，即（m﹣3）（m+1）＝0，
解得：m＝3（舍去）或m＝﹣1，
则m的值为﹣1．
【点评】此题考查了根与系数的关系，以及根的判别式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
19．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．
（1）在图①中，PC：PB＝ 1：3 ．
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在AB上找一点P，使AP＝3．
②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．
【分析】（1）根据两条直线平行，对应线段成比例即可得结论；
（2）①根据勾股定理得AB的长为5，再根据相似三角形的判定方法即可找到点P；
②作点A关于BD的对称点A′，连接A′C与BD的交点即为要找的点P，使△APB∽△CPD．
解：（1）图1中，
∵AB∥CD，
∴＝＝，
故答案为1：3．
（2）
①如图2所示，点P即为所要找的点；
②如图3所示，作点A关于BD的对称点A′，
连接A′C，交BD于点P，
点P即为所要找的点，
∵AB∥CD，
∴△APB∽△CPD．
【点评】本题考查了作图﹣相似变换，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定方法．
20．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同
（1）求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
【分析】（1）设每次降价的百分率为a，（1﹣a）2为两次降价的百分率，50降至32就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；
（2）根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值．
解：（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得：
50（1﹣a）2＝32，
解得：a＝1.8（舍）或a＝0.2，
答：每次下降的百分率为20%；
（2）设每千克应涨价x元，由题意，得
（10+x）（500﹣20x）＝6000，
整理，得 x2﹣15x+50＝0，
解得：x1＝5，x2＝10，
因为要尽快减少库存，所以x＝5符合题意．
答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程，解答即可．
21．我们已经学习了乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式​x2+4x+5的最小值．解答如下：
解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1，
（x+2）2≥0，∴当x＝﹣2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，
∴（x+2）2+1≥1，∴当（x+2）2＝0时，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，
∴x2+4x+5的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题．
（1）知识再现：当x＝ 2 时，代数式x2﹣4x+15的最小值是 11 ；
（2）知识运用：若y＝﹣x2+6x﹣15，当x＝ 3 时，y有最 大 值（填“大”或“小”），这个值是 ﹣6 ；
（3）知识拓展：若﹣x2+5x+y+10＝0，求y+x的最小值．
【分析】（1）配方后即可确定最小值；
（2）将函数解析式配方后即可确定当x取何值时能取到最小值；
（3）首先得到有关x+y的函数关系式，然后配方确定最小值即可．
解：（1）∵x2﹣4x+15＝（x﹣2）2+11，
∴当x＝2时，有最小值11；
故答案为：2，11；
（2）∵y＝﹣x2+6x﹣15＝﹣（x﹣3）2﹣6，
∴当x＝3时有最大值﹣6；
故答案为：3，大，﹣6；
（3）∵﹣x2+5x+y+10＝0，
∴x+y＝x2﹣4x﹣10＝（x﹣2）2﹣14，
∵（x﹣2）2≥0，
∴（x﹣2）2﹣14≥﹣14，
∴当x＝2时，y+x的最小值为﹣14．
【点评】本题考查了因式分解的应用及非负数的性质，解题的关键是能够对二次三项式进行配方，难度不大．
22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动（0≤t≤5）．设运动时间为t秒，求：
（1）用含t的代数式表示CQ＝ 2t ，CP＝ 20﹣4t ；
（2）当t为多少时，PQ的长度等于4？
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？
【分析】（1）利用距离＝速度×时间分别求得线段AP，CQ的长度即可得到结论；
（2）在Rt△CPQ中，利用勾股定理列出方程即可求解；
（3）分两种情况：①△CPQ∽△CBA和②△CPQ∽△CAB，利用相似三角形对应边成比例列出方程即可求解．
解：（1）∵动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，点P的速度是4cm/s，
∴AP＝4tcm，
∴CP＝AC﹣AP＝（20﹣4t）cm．
∵动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，点Q的速度是2cm/s，
∴CQ＝2tcm．
故答案为：2t；20﹣4t；
（2）在Rt△CPQ中，
∵CP2+CQ2＝PQ2，
∴．
整理得：t2﹣8t+12＝0．
解得：t＝2或6．
∵0≤t≤5，
∴t＝2．
∴当t为2时，PQ的长度等于4．
（3）①当△CPQ∽△CBA时，
∵△CPQ∽△CBA，
∵．
∴．
解得：t＝．
②当△CPQ∽△CAB时，
∵△CPQ∽△CAB，
∴．
∴．
解得：t＝3．
综上，当t为3或时，以点C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似．
【点评】本题主要考查了相似三角形的综合运用，勾股定理，相似三角形的性质，利用分类讨论的思想解答是解题的关键．