人教版九年级数学第24章圆24.4弧长及扇形面积同步测试

这是一份人教版九年级数学第24章圆24.4弧长及扇形面积同步测试，共5页。
2．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，点O是边BC的中点，半圆O与△ABC相切于点D、E，则阴影部分的面积等于（ ）
A．1﹣ B． C．1﹣ D．
3．如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为r，扇形的半径为R，扇形的圆心角等于90°，则r与R之间的关系是（ ）
A．R=2r B．R=r C．R=3r D．R=4r
4．如图，有一圆心角为120°，半径长为6cm的扇形，若将OA、OB重合后围成一圆锥侧面，那么圆锥的高是（ ）
A．4cm B． cm C．2cm D．2cm
5．如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．18-9π B．18-3π C．9- D．18-3π
6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）
A．14 B．22斛 C．36斛 D．66斛
7．如图，一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行一周，设蚂蚁的运动时间为，蚂蚁到O点的距离为S，则S关于t的函数图象大致为（ ）
8．如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2，以直角边AC为直径作⊙O交AB于点D，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
9．120°的圆心角对的弧长是6π，则此弧所在圆的半径是（ ）
A．3 B．4 C．9 D．18
10．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（ ）
A． B．π C． D．2
11．如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（ ）
A．π B． C．3+π D．8﹣π
12．如图，已知一块圆心角为270°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽（接缝忽略不计），圆锥底面圆的直径是60cm，则这块扇形铁皮的半径是（ ）
A.40cm B.50cm C.60cm D.80cm
13．已知圆锥的母线长是12，它的侧面展开图的圆心角是120°，则它的底面圆的直径为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
14．如图，AB是⊙O的直径，AB=6，，∠CBD=30°，则弦AC的长为 ．
15．小杨用一个半径为36cm、面积为324πcm2的扇形纸板制作一个圆锥形的玩具帽（接缝的重合部分忽略不计），则帽子的底面半径为 cm．
16．一个扇形的圆心角为120°，面积为12πcm2，则此扇形的半径为 cm．
17．如图是一个废弃的扇形统计图，小华利用它的阴影部分来制作一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是 ．
18．已知圆上一段弧长为6π，它所对的圆心角为120°，则该圆的半径为 ．
19．如图，边长为2的正方形MNEF的四个顶点在大圆O上，小圆O与正方形各边都相切，AB与CD是大圆O的直径，AB⊥CD，CD⊥MN，则图中阴影部分的面积是__________．
20．如图，在扇形AOB中，半径OA=2，∠AOB=120°，C为弧AB的中点，连接AC、BC，则图中阴影部分的面积是 （结果保留π）．
21．如图，△ABC是边长为4个等边三角形，D为AB边的中点，以CD为直径画圆，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
22．如图，在△ACB中，∠BAC=50°，AC=2，AB=3，现将△ACB绕点A逆时针旋转50°得到△AC1B1，则阴影部分的面积为 ．
23．如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则阴影部分面积是 （结果保留π）．
24．如图矩形ABCD中，AB=1，AD=，以AD的长为半径的⊙A交BC于点E，则图中阴影部分的面积为 ．
25．如图，直径AB为4的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是 ．
26．如图，在⊙O中，直径AB=2，CA切⊙O于A，BC交⊙O于D，若∠C=45°，则阴影部分的面积为 ．
27．若一个圆锥的底面圆半径为3cm，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是 cm．
28．如图，某数学兴趣小组将边长为5的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ABD的面积为______________.
29．用一个圆心角为180°，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径为 ．
30．课本中有一个例题：
有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m2．
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题：
（1）若AB为1m，求此时窗户的透光面积？
（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．
31．如图，在△ABC中，AB=AC，E是BC中点，点O在AB上，以OB为半径的⊙O经过点AE上的一点M，分别交AB，BC于点F，G，连BM，此时∠FBM=∠CBM．
（1）求证：AM是⊙O的切线；
（2）当BC=6，OB：OA=1：2 时，求，AM，AF围成的阴影部分面积．
32．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°，求阴影部分的面积．
33．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，AB=8．
（1）利用尺规，作∠CAB的平分线，交⊙O于点D；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，连接CD，OD，若AC=CD，求∠B的度数；
（3）在（2）的条件下，OD交BC于点E．求出由线段ED，BE，所围成区域的面积．（其中表示劣弧，结果保留π和根号）
34．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若∠BAC=60°，OA=2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
35．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠D=30°，
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，求的长．（结果保留π）
36．如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连结BD，∠BAD=105°，∠DBC=75°．
（1）求证：BD=CD；
（2）若圆O的半径为3，求的长．
37．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．
38．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别于BC，AC相交于点D，E，BD=CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为5，∠CDF=30°，求的长（结果保留π）．参考答案6
1．D
【解析】
试题分析：∵∠CDB=30°，∴∠COB=60°，又∵弦CD⊥AB，CD=2，∴OC===2，∴，故选D．
考点：扇形面积的计算．
2．B
【解析】
试题分析：连接OD，OE，∵半圆O与△ABC相切于点D、E，∴OD⊥AB，OE⊥AC，
∵在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，∴四边形ADOE是正方形，△OBD和△OCE是等腰直角三角形，
∴OD=OE=AD=BD=AE=EC=1，∴∠ABC=∠EOC=45°，∴AB∥OE，∴∠DBF=∠OEF，
在△BDF和△EOF中，，∴△BDF≌△EOF（AAS），
∴S阴影=S扇形DOE=×π×12=．故选B．
考点扇形的面积；切线的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
3．D
【解析】
试题分析：根据扇形的弧长公式可知：扇形的弧长是：，再由圆的半径为r，则底面圆的周长是2πr，而圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长则得到： =2πr，可得=2r，即：R=4r，
r与R之间的关系是R=4r．
故选D．
考点：有关扇形和圆锥的相关计算
4．A
【解析】
试题分析：由圆心角为120°、半径长为6cm，
可知扇形的弧长为=4πcm，
即圆锥的底面圆周长为4πcm，
则底面圆半径为2cm，
已知OA=6cm，
由勾股定理得圆锥的高是4cm．
故选A．
考点：圆锥的有关计算
5．A.
【解析】
试题解析：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，
∴AD=AB=6，∠ADC=180°-60°=120°，
∵DF是菱形的高，
∴DF⊥AB，
∴DF=AD•sin60°=6×=3，
∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD的面积-扇形DEFG的面积=6×3-=18-9π．
故选A．
考点：1.菱形的性质；2.扇形面积的计算．
6．B.
【解析】
试题解析：设米堆所在圆锥的底面半径为r尺，
则×2πr=8，
解得：r=，
所以米堆的体积为V=××πr2×5=≈35.56，
所以米堆的斛数是≈22，
故选B．
考点：1.圆锥的计算；2.弧长的计算．
7．C．
【解析】
试题解析：一只蚂蚁从O点出发，沿着扇形OAB的边缘匀速爬行，在开始时经过OA这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间t的增大而增大；到弧AB这一段，蚂蚁到O点的距离S不变，走另一条半径时，S随t的增大而减小．
故选C．
考点：动点问题的函数图象．
8．A.
【解析】
试题分析：如图连接OD、CD．由AC是直径，可得∠ADC=90°，再由∠A=30°，可得∠ACD=90°﹣∠A=60°，又因OC=OD，可判定△OCD是等边三角形，已知BC是切线可得∠ACB=90°，由BC=2可得AB=4，AC=6，所以S阴=S△ABC﹣S△ACD﹣（S扇形OCD﹣S△OCD）=×6×2﹣×3×3﹣（﹣×32）=﹣π．故答案选A．
考点：扇形面积的计算；含30度角的直角三角形．
9．C．
【解析】
试题分析：已知120°的圆心角对的弧长是6π，根据弧长的公式l=可得6π=，解得r=9．故答案选C．
考点：弧长的计算．
10．B.
【解析】
试题分析：如图，取AB的中点E，取CE的中点F，连接PE，CE，MF，则FM＝PE＝1，故M的轨迹为以F为圆心，1为半径的半圆弧，轨迹长为.故答案选B.
考点：点的轨迹；等腰直角三角形.
11．D.
【解析】
试题分析：作DH⊥AE于H，已知∠AOB=90°，OA=3，OB=2，根据勾股定理求出AB=，由旋转的性质可知，OE=OB=2，DE=EF=AB=，△DHE≌△BOA，所以DH=OB=2，所以阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积=×5×2+×2×3+﹣
=8﹣π，故答案选D．
考点：扇形面积的计算；旋转的性质．
12．A.
【解析】
试题分析：设这块扇形铁皮的半径为Rcm，根据圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长可得×2πR＝2π×.解得R＝40. 故答案选A.
考点：弧长、圆锥的侧面积.
13．D
【解析】
试题分析：根据圆锥侧面展开图的圆心角与半径（即圆锥的母线的长度）求得的弧长，就是圆锥的底面的周长，然后根据圆的周长公式l=2πr解出r的值即可．
设圆锥的底面半径为r．圆锥的侧面展开扇形的半径为12，
∵它的侧面展开图的圆心角是120°，∴弧长==8π，即圆锥底面的周长是8π，
∴8π=2πr，解得，r=4，∴底面圆的直径为8．
考点：圆锥的计算
14．3
【解析】
试题分析：∵，∴∠A=∠CBD=30°，又∵AB是⊙O的直径，∴AC=AB•csA=6×=3．
故答案是：3．
考点：圆周角定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．
15．9
【解析】
试题分析：根据扇形的公式结合扇形的半径及扇形的面积可得出扇形的弧长，再利用圆的周长公式即可得出帽子的底面半径．
解：∵扇形的半径为36cm，面积为324πcm2，
∴扇形的弧长L===18π，
∴帽子的底面半径R1==9cm．
故答案为：9．
【点评】本题考查了圆锥的计算、扇形的面积以及圆的周长，解题的关键是熟练的运用扇形的弧长以及圆的周长公式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据圆锥的制作过程找出圆锥的底面周长等于扇形的弧长是关键．
16．6.
【解析】
试题分析： 设此扇形的半径为r，则，解得r=6.
考点：扇形有关计算.
17．3.6
【解析】
试题分析：扇形的弧长为，
∴圆锥的底面半径是7.2π÷2π=3.6．
故答案为：3.6．
考点：圆锥的计算；扇形统计图．
18．9
【解析】
试题分析：根据题意得：6π=，
解得r=9，
该圆的半径为9．
考点：弧长的计算
19．π．
【解析】
试题分析：∵小圆O与正方形各边都相切，AB与CD是大圆O的直径，AB⊥CD，CD⊥MN，∴图形是中心对称图形，大圆的半径为，∴图中阴影部分的面积=S扇形OBC==π．故答案为π．
考点：①扇形面积的计算；②旋转的性质．
20．．
【解析】
试题解析：连接OC，过点A作AD⊥CD于点D，
∵∠AOB=120°，C为弧AB的中点，
∴AC=BC，∠AOC=∠BOC=60°，
∴△ACO与△BOC为边长相等的两个等边三角形．
∵AO=2，
∴AD=OA•sin60°=2×．
∴S阴影=S扇形AOB-2S△AOC==．
考点：扇形面积的计算.
21．-π．
【解析】
试题解析：过点O作OE⊥AC于点E，连接FO，MO，
∵△ABC是边长为4的等边三角形，D为AB边的中点，以CD为直径画圆，
∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=30°，AC=BC=AB=4，
∴∠FOD=∠DOM=60°，AD=BD=2，
∴CD=2，则CO=DO=，
∴EO=，EC=EF=，则FC=3，
∴S△COF=S△COM=，
S扇形OFM==π，
S△ABC=×CD×4=4，
∴图中影阴部分的面积为：4-2×-π=-π．
考点：扇形面积的计算．
22．．
【解析】
试题分析：∵，∴S阴影===．故答案为：．
考点：旋转的性质；扇形面积的计算．
23．2π．
【解析】
试题分析：根据题意得，S阴影部分=S扇形BAD﹣S半圆BA，∵S扇形BAD==4π，S半圆BA= =2π，∴S阴影部分=4π﹣2π=2π．故答案为：2π．
考点：扇形面积的计算．
24．﹣﹣．
【解析】
试题分析：连接AE．根据圆的性质，知AE=AD=．则根据勾股定理，得BE=1．根据三角形的内角和定理得∠BAE=45°．则∠DAE=45°．则阴影部分的面积=﹣﹣．
考点：1、等腰直角三角形的面积，2、扇形的面积公式
25．．
【解析】
试题分析：∵AB=AB′=4，∠BAB′=60°
∴图中阴影部分的面积是：
S=S扇形B′AB+S半圆O′﹣S半圆O
故答案为：．
考点：扇形面积的计算；旋转的性质
26．1.
【解析】
试题解析：连接AD；如图所示：
∵CA是⊙O的切线，
∴AB⊥AC，
∴∠BAC=90°，
∵∠C=45°，
∴∠B=90°-45°=45°，
∴AC=AB=2，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∴CD=BD，
∴AD=BC=BD=CD，
∴S阴影=S△ADC=S△ADC==1.
考点：1.切线的性质；2.扇形面积的计算.
27．9
【解析】
试题分析：利用圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长即可求解．
设母线长为l，则=2π×3 解得：l=9．
考点：圆锥的计算．
28．25.
【解析】
试题分析：∵扇形ABD的弧长等于正方形两边长的和BC＋DC＝10，扇形ABD的半径为正方形的边长5，∴S扇形ABD＝×10×5＝25.
考点：扇形的计算.
29．2
【解析】
试题分析：设这个圆锥的底面圆的半径为R，根据扇形的弧长等于这个圆锥的底面圆的周长，列出方程即可解决问题.设这个圆锥的底面圆的半径为R，由题意：2πR=，解得R=2．
考点：圆锥的计算
30．（1）；（2）最大值为：
【解析】
试题分析：（1）根据矩形和正方形的周长进行解答即可；（2）设AB为xcm，利用二次函数的最值解答即可．
试题解析：（1）由已知可得：AD== 则S=1×=m2，
（2）设AB=xm，则AD=3﹣xm， ∵3-x0 ∴，
设窗户面积为S，由已知得：S=AB·AD=x（3-x）=
当x=m时，且x=m在的范围内，S最大值=，
∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大
考点：二次函数的应用
31．（1）见试题解析；（2）2﹣π．
【解析】
试题分析：（1）连接OM，由AB=AC，且E为BC中点，利用三线合一得到AE垂直于BC，再由OB=OM，利用等边对等角得到一对角相等，由已知角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到OM与BC平行，可得出OM垂直于AE，即可得证；
（2）由E为BC中点，求出BE的长，再由OB与OA的比值，以及OB=OM，得到OM与OA的比值，由OM垂直于AE，利用直角三角形中一直角边等于斜边的一半，得到此直角边所对的角为30度得到∠MAB=30°，∠MOA=60°，阴影部分的面积=三角形AOM面积﹣扇形MOF面积，求出即可．
试题解析：（1）连结OM，∵AB=AC，E是BC中点，∴BC⊥AE，∵OB=OM，∴∠OMB=∠MBO，
∵∠FBM=∠CBM，∴∠OMB=∠CBM，∴OM∥BC，∴OM⊥AE，∴AM是⊙O的切线；
（2）∵E是BC中点，∴BE=BC=3，∵OB：OA=1：2，OB=OM，∴OM：OA=1：2，
∵OM⊥AE，∴∠MAB=30°，∠MOA=60°，OA：BA=1：3，∵OM∥BC，∴△AOM∽△ABE，
∴==，∴OM=2，∴AM==2，
∴S阴影=×2×2﹣=2﹣π．
【考点】切线的判定；勾股定理；扇形面积的计算；相似三角形的判定与性质．
32．（1）证明见解析；（2）4π-8．
【解析】
试题分析：（1）连接OD，易得∠ABC=∠ODB，由AB=AC，易得∠ABC=∠ACB，等量代换得∠ODB=∠ACB，利用平行线的判定得OD∥AC，由切线的性质得DF⊥OD，得出结论；
（2）连接OE，利用（1）的结论得∠ABC=∠ACB=67.5°，易得∠BAC=45°，得出∠AOE=90°，利用扇形的面积公式和三角形的面积公式得出结论．
试题解析：（1）连接OD，
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DF是⊙O的切线，
∴DF⊥OD，
∴DF⊥AC．
（2）连接OE，
∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，
∴∠ABC=∠ACB=67.5°，
∴∠BAC=45°，
∵OA=OE，
∴∠AOE=90°，
∵⊙O的半径为4，
∴S扇形AOE=4π，S△AOE=8 ，
∴S阴影=4π-8．
考点：1.切线的性质，2.扇形的面积计算.
33．（1）作图见解析；（2）30°；（3）．
【解析】
试题分析：（1）作AP平分∠CAB交⊙O于D；
（2）由等腰三角形性质得到∠CAD=∠ADC．又由∠ADC=∠B，得到∠CAD=∠B．
再根据角平分线定义得到∠CAD=∠DAB=∠B．由于直径所对圆周角为90°，得到∠ACB=90°，从而得到∠B的度数；
（3）先得到△OEB是30°角的直角三角形，从而得出OE，EB的长，然后把不规则图形面积转化为扇形BOD的面积减去Rt△OEB的面积求解．
试题解析：（1）如图，AP即为所求的∠CAB的平分线；
（2）∵AC=CD，∴∠CAD=∠ADC．又∵∠ADC=∠B，∴∠CAD=∠B．
∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠DAB=∠B．
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°，∴3∠B=90° ，∴∠B=30°；
（3）由（2）知，∠DAB=30°．又∵∠DOB=2∠DAB，∴∠EOB=60°，∴∠OEB=90°．
在Rt△OEB中，∵OB=4，∠OBE=30°，∴OE=2，BE=，∴S===．
考点：作图—基本作图；圆周角定理；扇形面积的计算；作图题．
34．（1）证明见解析（2）
【解析】
试题分析：（1）由Rt△ABC中，∠C=90°，⊙O切BC于D，易证得AC∥OD，继而证得AD平分∠CAB．
（2）如图，连接ED，根据（1）中AC∥OD和菱形的判定与性质得到四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，则图中阴影部分的面积=扇形EOD的面积．
试题解析：（1）∵⊙O切BC于D，
∴OD⊥BC，
∵AC⊥BC，
∴AC∥OD，
∴∠CAD=∠ADO，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠OAD=∠CAD，
即AD平分∠CAB；
（2）设EO与AD交于点M，连接ED．
∵∠BAC=60°，OA=OE，
∴△AEO是等边三角形，
∴AE=OA，∠AOE=60°，
∴AE=AO=OD，
又由（1）知，AC∥OD即AE∥OD，
∴四边形AEDO是菱形，则△AEM≌△DMO，∠EOD=60°，
考点：1、切线的性质，2、等腰三角形的性质
35．（1）证明见解析；（2）π．
【解析】
试题分析：（1）根据等腰三角形得出得出∠A=∠D，∠A=∠ACO，求出∠A=∠ACO=30°，求出∠COD=60°，根据三角形内角和定理求出∠OCD，根据切线的判定推出即可；
（2）根据弧长公式l=求出即可．
试题解析：（1）连接OC，
∵AC=CD，∠D=30°，
∴∠A=∠D=30°，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO=30°，
∴∠DOC=∠A+∠ACO=60°，
∴∠OCD=180°-30°-60°=90°，
∴OC⊥CD，
∵OC为⊙O半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵⊙O半径是3，∠BOC=60°，
∴由弧长公式得：的长为：=π．
考点：1.切线的判定；2.弧长的计算．
36．（1）证明过程见解析；（2）π
【解析】
试题分析：（1）直接利用圆周角定理得出∠DCB的度数，再利用∠DCB=∠DBC求出答案；（2）首先求出的度数，再利用弧长公式直接求出答案．
试题解析：（1）∵四边形ABCD内接于圆O， ∴∠DCB+∠BAD=180°， ∵∠BAD=105°，
∴∠DCB=180°﹣105°=75°， ∵∠DBC=75°， ∴∠DCB=∠DBC=75°， ∴BD=CD；
（2）∵∠DCB=∠DBC=75°， ∴∠BDC=30°，
由圆周角定理，得，的度数为：60°， 故===π，
答：的长为π．
考点：（1）圆内接四边形的性质；（2）弧长的计算．
37．（1）证明过程见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）连接OC，先证明∠OAC=∠OCA，进而得到OC∥AE，于是得到OC⊥CD，进而证明DE是⊙O的切线；（2）分别求出△OCD的面积和扇形OBC的面积，利用S阴影=S△COD﹣S扇形OBC即可得到答案．
试题解析：（1）连接OC， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∵AC平分∠BAE， ∴∠OAC=∠CAE，
∴∠OCA=∠CAE， ∴OC∥AE， ∴∠OCD=∠E， ∵AE⊥DE， ∴∠E=90°， ∴∠OCD=90°， ∴OC⊥CD，
∵点C在圆O上，OC为圆O的半径， ∴CD是圆O的切线；
（2）在Rt△AED中， ∵∠D=30°，AE=6， ∴AD=2AE=12， 在Rt△OCD中，∵∠D=30°，
∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC， ∴DB=OB=OC=AD=4，DO=8，
∴CD===4， ∴S△OCD===8， ∵∠D=30°，∠OCD=90°，
∴∠DOC=60°， ∴S扇形OBC=×π×OC2=， ∵S阴影=S△COD﹣S扇形OBC ∴S阴影=8﹣，
∴阴影部分的面积为8﹣．
考点：（1）切线的判定；（2）扇形面积的计算
38．（1）详见解析；（2）．
【解析】
试题分析：（1）连接OD，由切线的性质即可得出∠ODF=90°，再由BD=CD，OA=OB可得出OD是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质即可得出，根据平行线的性质即可得出∠CFD=∠ODF=90°，从而证出DF⊥AC；（2）由∠CDF=30°以及∠ODF=90°即可算出∠ODB=60°，再结合OB=OD可得出△OBD是等边三角形，根据弧长公式即可得出结论．
试题解析：（1）证明：连接OD，如图所示．
∵DF是⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥DF，
∴∠ODF=90°．
∵BD=CD，OA=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∴∠CFD=∠ODF=90°，
∴DF⊥AC．
（2）解：∵∠CDF=30°，
由（1）得∠ODF=90°，
∴∠ODB=180°﹣∠CDF﹣∠ODF=60°．
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∴的长=．
考点：切线的性质；弧长的计算．