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新高考物理一轮复习讲义第7章 机械振动和机械波 实验九 用单摆测量重力加速度的大小 (含解析)
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这是一份新高考物理一轮复习讲义第7章 机械振动和机械波 实验九 用单摆测量重力加速度的大小 (含解析)，文件包含人教版物理九年级全册同步精品讲义153串联和并联原卷版doc、人教版物理九年级全册同步精品讲义153串联和并联教师版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共35页， 欢迎下载使用。
考点一 教材原型实验
例1 (2023·山东济南模拟)某实验小组在实验室用单摆做测定重力加速度的实验，实验装置如图2所示。
图2
(1)摆球的直径用螺旋测微器测出，如图乙所示，其读数为________mm。
(2)正确操作测出单摆完成n次全振动的时间为t，用毫米刻度尺测得摆线长为L，螺旋测微器测得摆球直径为d。用上述测得的量写出重力加速度的表达式：g＝___________________________________________________________________。
(3)某同学测得的g值比当地的重力加速度偏小，可能原因是________。
A.计算时将L当成摆长
B.测摆线长时摆线拉得过紧
C.开始计时时，秒表按下过晚
D.实验中误将30次全振动计为29次
答案 (1) 4.700 (2)eq \f(4π2n2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(L＋\f(d,2))),t2) (3)AD
解析 (1)螺旋测微器的读数为d＝4.5 mm＋20.0×0.01 mm＝4.700 mm。
(2)单摆完成n次全振动的时间为t，则单摆的周期为T＝eq \f(t,n)，
单摆的摆长为l＝L＋eq \f(d,2)
根据单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))
可得重力加速度为g＝eq \f(4π2l,T2)＝eq \f(4π2n2,t2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(L＋\f(d,2)))。
(3)计算时将L当成摆长，此时得到重力加速度的表达式为g′＝eq \f(4π2l,T2)＝eq \f(4π2n2L,t2)，可知，此时测得的重力加速度将偏小，故A正确；测摆线长时摆线拉得过紧，则导致摆长l偏大，会使测得的重力加速度将偏大，故B错误；开始计时时，秒表按下过晚，会导致测得的时间t偏小，从而导致测得的重力加速度偏大，故C错误；实验中误将30次全振动计为29次，会使得记录的次数n偏小，从而导致测得的重力加速度偏小，故D正确。
跟踪训练
1.某同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中进行了如下的操作：
(1)请选择正确的器材________。
A.体积较小的钢球 B.体积较大的木球
C.无弹性的轻绳子 D.有弹性、质量大的绳子
(2)用游标上有10个小格的游标卡尺测量摆球直径如图3所示，摆球直径为________mm。利用刻度尺测得摆线长90.10 cm，则该单摆的摆长L＝________cm。
图3
(3)用秒表测量单摆的周期。当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为
n＝0，单摆每经过最低点记一次数，当数到n＝60时秒表的示数如图4所示，该单摆的周期是T＝________ s(结果保留3位有效数字)。
图4 图5
(4)测量出多组周期T、摆长L数值后，画出T2－L图像如图5，此图线斜率的物理意义是________。
A.g B.eq \f(1,g) C.eq \f(4π2,g) D.eq \f(g,4π2)
(5)与重力加速度的真实值比较，发现第(4)问中获得的测量结果偏大，分析原因可能是________。
A.振幅偏小
B.将摆线长加直径当成了摆长
C.将摆线长当成了摆长
D.开始计时误记为n＝1
(6)该小组的另一同学没有使用游标卡尺也测出了重力加速度。他采用的方法是：先测出一摆线较长的单摆的振动周期T1，然后把摆线缩短适当的长度l，再测出其振动周期T2。用该同学测出的物理量表达重力加速度为g＝____________。
答案 (1)AC (2)20.6 91.13 (3)2.24 (4)C (5)BD (6)eq \f(4π2l,Teq \\al(2,1)－Teq \\al(2,2))
解析 (1)为减小实验误差，应选择密度大而体积小的球作为摆球，B错误，A正确；实验过程单摆摆长应保持不变，摆线应选用无弹性的轻绳子，D错误，C正确。
(2)由题图可知，游标卡尺的游标为10分度，且第6个小格与主尺对齐，则摆球直径为d＝20 mm＋6×0.1 mm＝20.6 mm，该单摆的摆长为L＝l＋eq \f(d,2)＝91.13 cm。
(3)由题图可知，秒表的读数为t＝67.30 s
根据题意可知，共经历了30个周期，则单摆的周期是T＝eq \f(t,30)≈2.24 s。
(4)由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(L,g))
可得T2＝eq \f(4π2,g)L
则T2－L图像的斜率的物理意义是eq \f(4π2,g)，故C正确。
(5)由(4)分析可得，重力加速度为g＝eq \f(4π2L,T2)，重力加速度的测量值与振幅无关，振幅偏小，不影响测量结果，A错误；将摆线长加直径当成了摆长，则L偏大，g值偏大，B正确；将摆线长当成了摆长，则L偏小，g值偏小，C错误；开始计时误记为n＝1，则所测周期偏小，g值偏大，D正确。
(6)根据题意，由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(L,g))可得T1＝2πeq \r(\f(L,g))，T2＝2πeq \r(\f(L－l,g))，联立解得g＝eq \f(4π2l,Teq \\al(2,1)－Teq \\al(2,2))。
考点二 创新拓展实验
例2 (2022·四川成都模拟)“利用单摆测重力加速度”的实验中：
(1)某同学尝试用DIS测量周期。如图6所示，用一个磁性小球代替原先的摆球，在单摆下方放置一个磁传感器，其轴线恰好位于单摆悬挂点正下方。图中磁传感器的引出端A接到数据采集器上。使单摆做小角度摆动，当磁感应强度测量值最大时，磁性小球位于最低点。若测得连续N(N从“0”开始计数)个磁感应强度最大值之间的时间间隔为t，则单摆周期的测量值为________(地磁场和磁传感器的影响可忽略)。
图6
(2)由于器材所限，无法测量磁性小球的直径，对实验进行了如下调整：让单摆在不同摆线长度的情况下做简谐运动，测量其中两次实验时摆线的长度l1、l2和对应的周期T1、T2，通过计算也能得到重力加速度大小的测量值。请你写出该测量值的表达式g＝________。
(3)通过实验获得以下数据：
当T2＝4.2 s2时，l＝________m；重力加速度g＝________m/s2(小数点后保留2位)。
答案 (1)eq \f(2t,N) (2)eq \f(4π2（l1－l2）,Teq \\al(2,1)－Teq \\al(2,2)) (3)1.03 9.86
解析 (1)根据题意可知，小球经过两次最低点为一个周期，则小球运动的周期为T＝eq \f(t,\f(N,2))＝eq \f(2t,N)。
(2)设小球的半径为r，根据单摆的周期公式
T＝2πeq \r(\f(L,g))，可得g＝eq \f(4π2L,T2)
根据题意有g＝eq \f(4π2（l1＋r）,Teq \\al(2,1))，g＝eq \f(4π2（l2＋r）,Teq \\al(2,2))
联立解得g＝eq \f(4π2（l1－l2）,Teq \\al(2,1)－Teq \\al(2,2))。
(3)设小球的半径为r，根据单摆的周期公式
T＝2πeq \r(\f(L,g))，可得T＝2πeq \r(\f(l＋r,g))
整理得l＝eq \f(g,4π2)T2－r
代入表中数据解得g≈9.86 m/s2，r＝0.02 m
当T2＝4.2 s2时，代入上式中，
可得摆线长为l＝1.03 m。
跟踪训练
2.(2023·山东菏泽调研)在探究单摆运动的实验中：
(1)图7(a)是用力传感器对单摆运动过程进行测量的装置图，图(b)是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F－t图像，根据图(b)的信息可得，从t＝0时刻开始摆球第一次摆到最低点的时刻为________s，摆长为________m(取π2＝10，重力加速度大小g＝10 m/s2)。
图7
(2)单摆运动的回复力是________。
A.摆球所受的重力
B.摆球重力在垂直摆线方向上的分力
C.摆线对摆球的拉力
D.摆球所受重力和摆线对摆球拉力的合力
(3)某同学的操作步骤如下，其中正确的是________。
A.取一根细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上
B.用米尺量得细线长度l，即摆长为l
C.在摆线偏离竖直方向5°位置由静止释放小球
D.让小球在水平面内做圆周运动，测得摆动周期，再根据公式计算重力加速度
答案 (1)0.5 0.64 (2)B (3)AC
解析 (1)摆球第一次摆到最低点时，力传感器显示的力最大，根据题图(b)的信息可得，所对应的时刻为t＝0.5 s。根据题图(b)的信息可得，单摆周期T＝1.6 s，由单摆周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，解得摆长为l＝0.64 m。
(2)单摆运动的回复力是摆球重力在垂直摆线方向上的分力，而摆球所受重力和摆线对摆球拉力的合力在径向上提供向心力，选项B正确。
(3)A项操作正确，测得摆长应为l＋eq \f(d,2)，选项B错误；摆线偏离竖直方向5°位置由静止释放，产生误差较小，C正确；若让小球在水平面内做圆周运动，则为圆锥摆运动，测得的周期不是单摆的周期，选项D错误。
1.(2023·山东省实验中学模拟)用如图1甲所示实验装置做“用单摆测重力加速度”的实验。
图1
(1)为了减小测量误差，下列说法正确的是________(选填字母代号)。
A.将钢球换成塑料球
B.当摆球经过平衡位置时开始计时
C.把摆球从平衡位置拉开一个很大的角度后释放
D.记录一次全振动的时间作为周期，根据公式计算重力加速度g
(2)若测得的重力加速度g值偏小，可能的原因是________(选填字母代号)。
A.把悬点到摆球下端的长度记为摆长
B.把摆线的长度记为摆长
C.摆线上端未牢固地系于悬点，在振动过程中出现松动
D.实验中误将摆球经过平衡位置49次记为50次
(3)某同学利用质量分布不均匀的球体作摆球测定当地重力加速度，摆球的重心不在球心，但是在球心与悬点的连线上。他仍将从悬点到球心的距离当作摆长L，通过改变摆线的长度，测得6组L和对应的周期T，画出T2－L图线如图乙所示，然后在图线上选取A、B两个点，坐标分别为(LA，Teq \\al(2,A))，(LB，Teq \\al(2,B))如图乙所示。由图可计算出重力加速度g＝________。
答案 (1)B (2)BC (3)eq \f(4π2（LB－LA）,Teq \\al(2,B)－Teq \\al(2,A))
解析 (1)实验中为了减小阻力的影响，应选择密度大的材质小球，故A错误；为了减小测量误差，应从摆球经过平衡位置时开始计时，故B正确；小球做单摆运动应满足摆角小于5°，故C错误；应记录多次全振动的时间求出平均值作为周期，再根据公式计算重力加速度g，故D错误。
(2)把悬点到摆球下端的长度记为摆长，则l 偏大，由g＝eq \f(4π2l,T2)可知g偏大，故A不符合题意；把摆线的长度记为摆长，则l 偏小，由g＝eq \f(4π2l,T2)可知g偏小，故B符合题意；摆线上端未牢固地系于悬点，在振动过程中出现松动，则实际摆长变大，计算所用的摆长偏小，则由g＝eq \f(4π2l,T2)可知g偏小，故C符合题意；实验中误将摆球经过平衡位置49次记为50次，则T偏小，由g＝eq \f(4π2l,T2)可知g偏大，故D不符合题意。
(3)若摆球重心在球心以上x处，则
T＝2πeq \r(\f(L－x,g))得T2＝eq \f(4π2L,g)－eq \f(4π2x,g)
由图像可得eq \f(4π2,g)＝k＝eq \f(Teq \\al(2,B)－Teq \\al(2,A),LB－LA)
解得g＝eq \f(4π2（LB－LA）,Teq \\al(2,B)－Teq \\al(2,A))。
2.(2022·天津市新华中学一模)(1)如图2所示为小金在进行“探究单摆摆长和周期关系”实验时，用停表记录下单摆50次全振动所用时间，由图可知该次实验中50次全振动所用时间为________s。
图2
(2)他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图3所示，这样做的目的是________(填选项前的字母)。
图3
A.保证摆动过程中摆长不变
B.可使周期测量更加准确
C.需要改变摆长时便于调节
D.保证摆球在同一竖直平面内摆动
(3)小金同学以摆线的长度(L)作为纵坐标，以单摆周期的平方(T2)作为横坐标，作出L－T2的图像如图4所示，则其作出的图线是________(选填“图线1”“图线2”或“图线3”)。若作出的图线的斜率为k，则能否根据图像得到当地的重力加速度？____________。(若不可以求出，则填“否”；若可以求出，则写出其表达式)
图4
答案 (1)99.7 (2)AC (3)图线2 g＝4π2k
解析 (1)由题图可知，小表盘分度值为30 s，大表盘分度值为0.1 s，秒表指针所指位置即为该时刻对应位置，不需要估读，此时小表盘指针指在1.5和2之间，读数记为90 s，则大表盘读数应为9.7 s，所以该次实验中50次全振动所用时间为99.7 s。
(2)用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，可以在需要改变摆长时便于调节；用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，从而保证摆动过程中摆长不变。上述做法并不能使周期测量更加准确，也无法保证摆球在同一竖直平面内摆动。故A、C正确。
(3)设摆球的半径为r，根据单摆周期公式可得T＝2πeq \r(\f(L＋r,g))，整理得L＝eq \f(gT2,4π2)－r
由上式可知小金同学作出的图线应具有横截距，即图线2。图线的斜率为k＝eq \f(g,4π2)，解得g＝4π2k。
3.(2023·湖南长沙高三月考)在探究“单摆周期与摆长”的关系实验中，若摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻，如图5甲所示。光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图线如图乙所示，则该单摆的振动周期为________。若保持悬点到小球顶点的绳长不变，改用直径是原小球直径一半的另一小球进行实验(振幅不变)，则该单摆的周期将________(选填“变大”“不变”或“变小”)，图乙中的Δt将________(选填“变大”“不变”或“变小”)。
图5
答案 2t0 变小 变小
解析 单摆在一个周期内两次经过平衡位置，每次经过平衡位置，单摆会挡住细激光束，从R－t图线可知周期T＝2t0。摆长等于摆线的长度加上摆球的半径，摆球的直径变小，摆线长度不变，则摆长减小，根据T＝2πeq \r(\f(l,g))知周期变小。振幅不变，经过最低点的速度不变，摆球的直径减小，则挡光的时间变短，所以Δt将变小。原理装置图
实验步骤
注意事项
测摆长L和周期T，由
T＝2πeq \r(\f(L,g))得g＝eq \f(4π2L,T2)
1.做单摆
将细线穿过带中心孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，让摆球自然下垂。
2.测摆长
用米尺量出摆线长l′(精确到毫米)，用游标卡尺测出小球直径D，则单摆的摆长l＝l′＋eq \f(D,2)。
3.测周期
将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放小球，记下单摆摆动30次～50次的总时间，算出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。
4.改变摆长，重做几次实验。
1.摆线要选1 m左右，不要过长或过短。
2.悬线长要待悬挂好球后再测，计算摆长时要将悬线长加上摆球半径。
3.单摆要在竖直平面内摆动，不要形成圆锥摆。
4.要从平衡位置开始计时，并数准全振动的次数
数据处理
1.公式法：g＝eq \f(4π2l,T2)，算出重力加速度g的值，再求出g的平均值。
2.图像法：根据测出的一系列摆长l对应的周期T，作l－T2的图像，由单摆周期公式得l＝eq \f(g,4π2)T2，图像应是一条通过原点的直线，如图1所示，求出图线的斜率k，即可利用g＝4π2k求重力加速度。
图1
摆线长l(cm)
48.00
58.00
78.00
108.00
周期T2(s2)
2.00
2.40
3.20
4.40
考点一 教材原型实验
例1 (2023·山东济南模拟)某实验小组在实验室用单摆做测定重力加速度的实验，实验装置如图2所示。
图2
(1)摆球的直径用螺旋测微器测出，如图乙所示，其读数为________mm。
(2)正确操作测出单摆完成n次全振动的时间为t，用毫米刻度尺测得摆线长为L，螺旋测微器测得摆球直径为d。用上述测得的量写出重力加速度的表达式：g＝___________________________________________________________________。
(3)某同学测得的g值比当地的重力加速度偏小，可能原因是________。
A.计算时将L当成摆长
B.测摆线长时摆线拉得过紧
C.开始计时时，秒表按下过晚
D.实验中误将30次全振动计为29次
答案 (1) 4.700 (2)eq \f(4π2n2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(L＋\f(d,2))),t2) (3)AD
解析 (1)螺旋测微器的读数为d＝4.5 mm＋20.0×0.01 mm＝4.700 mm。
(2)单摆完成n次全振动的时间为t，则单摆的周期为T＝eq \f(t,n)，
单摆的摆长为l＝L＋eq \f(d,2)
根据单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))
可得重力加速度为g＝eq \f(4π2l,T2)＝eq \f(4π2n2,t2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(L＋\f(d,2)))。
(3)计算时将L当成摆长，此时得到重力加速度的表达式为g′＝eq \f(4π2l,T2)＝eq \f(4π2n2L,t2)，可知，此时测得的重力加速度将偏小，故A正确；测摆线长时摆线拉得过紧，则导致摆长l偏大，会使测得的重力加速度将偏大，故B错误；开始计时时，秒表按下过晚，会导致测得的时间t偏小，从而导致测得的重力加速度偏大，故C错误；实验中误将30次全振动计为29次，会使得记录的次数n偏小，从而导致测得的重力加速度偏小，故D正确。
跟踪训练
1.某同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中进行了如下的操作：
(1)请选择正确的器材________。
A.体积较小的钢球 B.体积较大的木球
C.无弹性的轻绳子 D.有弹性、质量大的绳子
(2)用游标上有10个小格的游标卡尺测量摆球直径如图3所示，摆球直径为________mm。利用刻度尺测得摆线长90.10 cm，则该单摆的摆长L＝________cm。
图3
(3)用秒表测量单摆的周期。当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为
n＝0，单摆每经过最低点记一次数，当数到n＝60时秒表的示数如图4所示，该单摆的周期是T＝________ s(结果保留3位有效数字)。
图4 图5
(4)测量出多组周期T、摆长L数值后，画出T2－L图像如图5，此图线斜率的物理意义是________。
A.g B.eq \f(1,g) C.eq \f(4π2,g) D.eq \f(g,4π2)
(5)与重力加速度的真实值比较，发现第(4)问中获得的测量结果偏大，分析原因可能是________。
A.振幅偏小
B.将摆线长加直径当成了摆长
C.将摆线长当成了摆长
D.开始计时误记为n＝1
(6)该小组的另一同学没有使用游标卡尺也测出了重力加速度。他采用的方法是：先测出一摆线较长的单摆的振动周期T1，然后把摆线缩短适当的长度l，再测出其振动周期T2。用该同学测出的物理量表达重力加速度为g＝____________。
答案 (1)AC (2)20.6 91.13 (3)2.24 (4)C (5)BD (6)eq \f(4π2l,Teq \\al(2,1)－Teq \\al(2,2))
解析 (1)为减小实验误差，应选择密度大而体积小的球作为摆球，B错误，A正确；实验过程单摆摆长应保持不变，摆线应选用无弹性的轻绳子，D错误，C正确。
(2)由题图可知，游标卡尺的游标为10分度，且第6个小格与主尺对齐，则摆球直径为d＝20 mm＋6×0.1 mm＝20.6 mm，该单摆的摆长为L＝l＋eq \f(d,2)＝91.13 cm。
(3)由题图可知，秒表的读数为t＝67.30 s
根据题意可知，共经历了30个周期，则单摆的周期是T＝eq \f(t,30)≈2.24 s。
(4)由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(L,g))
可得T2＝eq \f(4π2,g)L
则T2－L图像的斜率的物理意义是eq \f(4π2,g)，故C正确。
(5)由(4)分析可得，重力加速度为g＝eq \f(4π2L,T2)，重力加速度的测量值与振幅无关，振幅偏小，不影响测量结果，A错误；将摆线长加直径当成了摆长，则L偏大，g值偏大，B正确；将摆线长当成了摆长，则L偏小，g值偏小，C错误；开始计时误记为n＝1，则所测周期偏小，g值偏大，D正确。
(6)根据题意，由单摆的周期公式T＝2πeq \r(\f(L,g))可得T1＝2πeq \r(\f(L,g))，T2＝2πeq \r(\f(L－l,g))，联立解得g＝eq \f(4π2l,Teq \\al(2,1)－Teq \\al(2,2))。
考点二 创新拓展实验
例2 (2022·四川成都模拟)“利用单摆测重力加速度”的实验中：
(1)某同学尝试用DIS测量周期。如图6所示，用一个磁性小球代替原先的摆球，在单摆下方放置一个磁传感器，其轴线恰好位于单摆悬挂点正下方。图中磁传感器的引出端A接到数据采集器上。使单摆做小角度摆动，当磁感应强度测量值最大时，磁性小球位于最低点。若测得连续N(N从“0”开始计数)个磁感应强度最大值之间的时间间隔为t，则单摆周期的测量值为________(地磁场和磁传感器的影响可忽略)。
图6
(2)由于器材所限，无法测量磁性小球的直径，对实验进行了如下调整：让单摆在不同摆线长度的情况下做简谐运动，测量其中两次实验时摆线的长度l1、l2和对应的周期T1、T2，通过计算也能得到重力加速度大小的测量值。请你写出该测量值的表达式g＝________。
(3)通过实验获得以下数据：
当T2＝4.2 s2时，l＝________m；重力加速度g＝________m/s2(小数点后保留2位)。
答案 (1)eq \f(2t,N) (2)eq \f(4π2（l1－l2）,Teq \\al(2,1)－Teq \\al(2,2)) (3)1.03 9.86
解析 (1)根据题意可知，小球经过两次最低点为一个周期，则小球运动的周期为T＝eq \f(t,\f(N,2))＝eq \f(2t,N)。
(2)设小球的半径为r，根据单摆的周期公式
T＝2πeq \r(\f(L,g))，可得g＝eq \f(4π2L,T2)
根据题意有g＝eq \f(4π2（l1＋r）,Teq \\al(2,1))，g＝eq \f(4π2（l2＋r）,Teq \\al(2,2))
联立解得g＝eq \f(4π2（l1－l2）,Teq \\al(2,1)－Teq \\al(2,2))。
(3)设小球的半径为r，根据单摆的周期公式
T＝2πeq \r(\f(L,g))，可得T＝2πeq \r(\f(l＋r,g))
整理得l＝eq \f(g,4π2)T2－r
代入表中数据解得g≈9.86 m/s2，r＝0.02 m
当T2＝4.2 s2时，代入上式中，
可得摆线长为l＝1.03 m。
跟踪训练
2.(2023·山东菏泽调研)在探究单摆运动的实验中：
(1)图7(a)是用力传感器对单摆运动过程进行测量的装置图，图(b)是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F－t图像，根据图(b)的信息可得，从t＝0时刻开始摆球第一次摆到最低点的时刻为________s，摆长为________m(取π2＝10，重力加速度大小g＝10 m/s2)。
图7
(2)单摆运动的回复力是________。
A.摆球所受的重力
B.摆球重力在垂直摆线方向上的分力
C.摆线对摆球的拉力
D.摆球所受重力和摆线对摆球拉力的合力
(3)某同学的操作步骤如下，其中正确的是________。
A.取一根细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上
B.用米尺量得细线长度l，即摆长为l
C.在摆线偏离竖直方向5°位置由静止释放小球
D.让小球在水平面内做圆周运动，测得摆动周期，再根据公式计算重力加速度
答案 (1)0.5 0.64 (2)B (3)AC
解析 (1)摆球第一次摆到最低点时，力传感器显示的力最大，根据题图(b)的信息可得，所对应的时刻为t＝0.5 s。根据题图(b)的信息可得，单摆周期T＝1.6 s，由单摆周期公式T＝2πeq \r(\f(l,g))，解得摆长为l＝0.64 m。
(2)单摆运动的回复力是摆球重力在垂直摆线方向上的分力，而摆球所受重力和摆线对摆球拉力的合力在径向上提供向心力，选项B正确。
(3)A项操作正确，测得摆长应为l＋eq \f(d,2)，选项B错误；摆线偏离竖直方向5°位置由静止释放，产生误差较小，C正确；若让小球在水平面内做圆周运动，则为圆锥摆运动，测得的周期不是单摆的周期，选项D错误。
1.(2023·山东省实验中学模拟)用如图1甲所示实验装置做“用单摆测重力加速度”的实验。
图1
(1)为了减小测量误差，下列说法正确的是________(选填字母代号)。
A.将钢球换成塑料球
B.当摆球经过平衡位置时开始计时
C.把摆球从平衡位置拉开一个很大的角度后释放
D.记录一次全振动的时间作为周期，根据公式计算重力加速度g
(2)若测得的重力加速度g值偏小，可能的原因是________(选填字母代号)。
A.把悬点到摆球下端的长度记为摆长
B.把摆线的长度记为摆长
C.摆线上端未牢固地系于悬点，在振动过程中出现松动
D.实验中误将摆球经过平衡位置49次记为50次
(3)某同学利用质量分布不均匀的球体作摆球测定当地重力加速度，摆球的重心不在球心，但是在球心与悬点的连线上。他仍将从悬点到球心的距离当作摆长L，通过改变摆线的长度，测得6组L和对应的周期T，画出T2－L图线如图乙所示，然后在图线上选取A、B两个点，坐标分别为(LA，Teq \\al(2,A))，(LB，Teq \\al(2,B))如图乙所示。由图可计算出重力加速度g＝________。
答案 (1)B (2)BC (3)eq \f(4π2（LB－LA）,Teq \\al(2,B)－Teq \\al(2,A))
解析 (1)实验中为了减小阻力的影响，应选择密度大的材质小球，故A错误；为了减小测量误差，应从摆球经过平衡位置时开始计时，故B正确；小球做单摆运动应满足摆角小于5°，故C错误；应记录多次全振动的时间求出平均值作为周期，再根据公式计算重力加速度g，故D错误。
(2)把悬点到摆球下端的长度记为摆长，则l 偏大，由g＝eq \f(4π2l,T2)可知g偏大，故A不符合题意；把摆线的长度记为摆长，则l 偏小，由g＝eq \f(4π2l,T2)可知g偏小，故B符合题意；摆线上端未牢固地系于悬点，在振动过程中出现松动，则实际摆长变大，计算所用的摆长偏小，则由g＝eq \f(4π2l,T2)可知g偏小，故C符合题意；实验中误将摆球经过平衡位置49次记为50次，则T偏小，由g＝eq \f(4π2l,T2)可知g偏大，故D不符合题意。
(3)若摆球重心在球心以上x处，则
T＝2πeq \r(\f(L－x,g))得T2＝eq \f(4π2L,g)－eq \f(4π2x,g)
由图像可得eq \f(4π2,g)＝k＝eq \f(Teq \\al(2,B)－Teq \\al(2,A),LB－LA)
解得g＝eq \f(4π2（LB－LA）,Teq \\al(2,B)－Teq \\al(2,A))。
2.(2022·天津市新华中学一模)(1)如图2所示为小金在进行“探究单摆摆长和周期关系”实验时，用停表记录下单摆50次全振动所用时间，由图可知该次实验中50次全振动所用时间为________s。
图2
(2)他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图3所示，这样做的目的是________(填选项前的字母)。
图3
A.保证摆动过程中摆长不变
B.可使周期测量更加准确
C.需要改变摆长时便于调节
D.保证摆球在同一竖直平面内摆动
(3)小金同学以摆线的长度(L)作为纵坐标，以单摆周期的平方(T2)作为横坐标，作出L－T2的图像如图4所示，则其作出的图线是________(选填“图线1”“图线2”或“图线3”)。若作出的图线的斜率为k，则能否根据图像得到当地的重力加速度？____________。(若不可以求出，则填“否”；若可以求出，则写出其表达式)
图4
答案 (1)99.7 (2)AC (3)图线2 g＝4π2k
解析 (1)由题图可知，小表盘分度值为30 s，大表盘分度值为0.1 s，秒表指针所指位置即为该时刻对应位置，不需要估读，此时小表盘指针指在1.5和2之间，读数记为90 s，则大表盘读数应为9.7 s，所以该次实验中50次全振动所用时间为99.7 s。
(2)用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，可以在需要改变摆长时便于调节；用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，从而保证摆动过程中摆长不变。上述做法并不能使周期测量更加准确，也无法保证摆球在同一竖直平面内摆动。故A、C正确。
(3)设摆球的半径为r，根据单摆周期公式可得T＝2πeq \r(\f(L＋r,g))，整理得L＝eq \f(gT2,4π2)－r
由上式可知小金同学作出的图线应具有横截距，即图线2。图线的斜率为k＝eq \f(g,4π2)，解得g＝4π2k。
3.(2023·湖南长沙高三月考)在探究“单摆周期与摆长”的关系实验中，若摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻，如图5甲所示。光敏电阻与某一自动记录仪相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t的变化图线如图乙所示，则该单摆的振动周期为________。若保持悬点到小球顶点的绳长不变，改用直径是原小球直径一半的另一小球进行实验(振幅不变)，则该单摆的周期将________(选填“变大”“不变”或“变小”)，图乙中的Δt将________(选填“变大”“不变”或“变小”)。
图5
答案 2t0 变小 变小
解析 单摆在一个周期内两次经过平衡位置，每次经过平衡位置，单摆会挡住细激光束，从R－t图线可知周期T＝2t0。摆长等于摆线的长度加上摆球的半径，摆球的直径变小，摆线长度不变，则摆长减小，根据T＝2πeq \r(\f(l,g))知周期变小。振幅不变，经过最低点的速度不变，摆球的直径减小，则挡光的时间变短，所以Δt将变小。原理装置图
实验步骤
注意事项
测摆长L和周期T，由
T＝2πeq \r(\f(L,g))得g＝eq \f(4π2L,T2)
1.做单摆
将细线穿过带中心孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，让摆球自然下垂。
2.测摆长
用米尺量出摆线长l′(精确到毫米)，用游标卡尺测出小球直径D，则单摆的摆长l＝l′＋eq \f(D,2)。
3.测周期
将单摆从平衡位置拉开一个角度(小于5°)，然后释放小球，记下单摆摆动30次～50次的总时间，算出一次全振动的时间，即为单摆的振动周期。
4.改变摆长，重做几次实验。
1.摆线要选1 m左右，不要过长或过短。
2.悬线长要待悬挂好球后再测，计算摆长时要将悬线长加上摆球半径。
3.单摆要在竖直平面内摆动，不要形成圆锥摆。
4.要从平衡位置开始计时，并数准全振动的次数
数据处理
1.公式法：g＝eq \f(4π2l,T2)，算出重力加速度g的值，再求出g的平均值。
2.图像法：根据测出的一系列摆长l对应的周期T，作l－T2的图像，由单摆周期公式得l＝eq \f(g,4π2)T2，图像应是一条通过原点的直线，如图1所示，求出图线的斜率k，即可利用g＝4π2k求重力加速度。
图1
摆线长l(cm)
48.00
58.00
78.00
108.00
周期T2(s2)
2.00
2.40
3.20
4.40
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